Mate Ma Tic a A

Guías para Enseñar y Aprender

MATEMATICA

A

Guías para Enseñar y Aprender

Gobernador Ing. Carlos Alberto Verna Ministro de Cultura y Educación Prof. María de los Angeles Zamora Subsecretaria de Educación Prof. Berta Suarez de Delú Directora General de Educación Inicial y General Básica Prof. Raquel Fernández

A Autores:

Prof: Daniel A. Maldonado

Edición:

Juan Montalvo

L o s a u t o r e s d e l a p r e s e n t e g u í a a g r a d e c en   la desinteresada y valiosa colaboración de los docentes  q u e p a r t i c ip a r o n e n l a r e v i s i ó n d e l m a t e r i a l .

Kolman, Zulema Adriana Álvarez, Iris Adriana Díaz, Liliana Beatriz Urdaniz, María Nélida Viviana

Guías para Enseñar y Aprender

Autores Prof. Daniel Maldonado Prof. Fani Citzenmaier Diseño y Edición Juan Montalvo

A

P ara los docentes Estimado colega:

Las Guías para Enseñar y Aprender, instrumento que acompaña y/o complementa las propuestas de enseñanza del docente, acercan una propuesta didáctica concreta, para los diferentes años que conforman el Tercer Ciclo de la EGB. El propósito de las guías consiste en brindar una selección de contenidos, una sugerencia de actividades alternativas para trabajar los mismos y una secuenciación u ordenamiento temático posible. Así, la articulación de los diferentes contenidos propuestos y la resolución de las diferentes consignas propician, en el alumno, el desarrollo de procedimientos y capacidades básicas. La búsqueda de fuentes adecuadas para completar los cuadros comparativos o las imágenes y esquemas hace que la información adquiera mayor significatividad. De este modo queda sujeto al trabajo del aula el grado de profundidad que se usará para desarrollar los diferentes temas, y la utilización de las actividades adecuadas al contexto áulico. Los autores

ACTI VI DAD 1 Resolviendo problemas Básicamente, para resolver un problema es conveniente realizar los siguientes pasos:

1°) 2°)

Comprender el problema. Pensar las estrategias que convienen seguir.

3°) 4°)

Desarrollar el plan pensado en el paso anterior. Reflexionar sobre el proceso seguido.

A continuación encontrarás una breve lista de pautas para la resolución de distintos problemas del área de Matemática. Te sugerimos que la tengas siempre presente y la releas antes de realizar cada una de las actividades que te proponemos.

1º) Primer paso: Pautas para comprender el problema. Leé el enunciado del problema despacio. Identificá cuáles son los datos (la información que te dan en el enunciado) y cuál es la incógnita (lo que se te pide averiguar). Tratá de encontrar la relación entre los datos y la incógnita. Hacé un esquema o un dibujo de la situación.

2º) Segundo paso: Pautas para pensar las estrategias que convienen seguir. Analizá si el problema es parecido a otros que ya resolviste anteriormente. Planteá el problema de otra forma. Imaginá un problema más sencillo. Imaginá el problema resuelto. Revisa si tuviste en cuenta todos los datos que se expresan en el enunciado. Armá una lista con las acciones (cálculos, gráficos, resolución de ecuaciones, etc.) que tenés que hacer para resolver el problema, indicando el orden en que debés realizar dichas acciones.

3º) Tercer paso: Pautas para desarrollar el plan pensado. Comprobá cada uno de los pasos. Analizá si los pasos seguidos son correctos. Antes de hacer algo pensá: “¿Qué logro con esto?”. Frente a un dificultad, revisá el proceso y probá nuevamente.

4º) Cuarto paso: Pautas para reflexionar sobre el proceso seguido. Leé nuevamente el enunciado del problema y verificá si obtuviste lo que se te pedía (la incógnita). Revisá la lógica de la solución a la que llegaste. ¿Los pasos previos al resultado final verifican al mismo? Comprobá si la solución es posible. ¿Es coherente el resultado obtenido con los datos del problema? Buscá todas las soluciones posibles (pensá si existe otras soluciones).

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Finalmente debés responder a la pregunta con una frase que indique la solución del problema. Explicar y discutir nuestras ideas con otros ayuda a aclaralas, precisarlas y enriquecerlas. Por eso te sugerimos compartir con tus compañeros y con tu docente el planteo de los problemas y la solución que encontraste. A modo de ejemplo desarrollaremos algunos problemas aplicando las sugerencias que hemos listado. Seguramente te servirá de entrenamiento y aprendizaje:

1) Al finalizar el acto escolar del festejo del 25 de mayo se repartieron alfajores. Inicialmente había 60 cajas con 1 docena de alfajores cada una. Al finalizar la distribución quedaron sólo 36 alfajores. ¿Cuántos alfajores se repartieron?

2) Ramiro, Gonzalo y Soledad reparten entre los niños huérfanos de un Hogar bolsas con golosinas. Soledad entregó 18 bolsas. Gonzalo entregó cuatro bolsas menos que Soledad. Ramiro entregó el doble de bolsas que Gonzalo. a) ¿Cuántas bolsas de golosinas entregó Gonzalo? b) ¿Cuántas bolsas de golosinas entregó Ramiro? c) ¿Cuántas bolsas entregaron en total Soledad, Gonzalo y Ramiro?

UNA PROPUESTA DE SOLUCI ÓN... Al primer problema nosotros lo resolvimos así:

1°)

Comprender el problema.

Datos: Había 60 cajas de alfajores de 1 docena cada una. Sobran 36 alfajores. Incógnitas: Cantidad de alfajores repartidos. Relaciones entre los datos y las incógnitas: Alfajores repartidos = Total de alfajores menos los alfajores que sobraron.

2°)

Pensar las estrategias que convienen seguir.

Primero: Calcular el total de alfajores multiplicando la cantidad de cajas por 12 (una docena de alfajores son 12 alfajores). Segundo: Calcular los alfajores repartidos restando al total de alfajores los que sobraron. Es decir, restar al resultado anterior los alfajores que quedaron (36).

3°)

Desarrollar el plan pensado en el paso anterior.

Primero: 60 x 12 = 720 Segundo: 720 - 36 = 684

4°)

Reflexionar sobre el proceso seguido.

Comprobación de la coherencia de los resultado: Si sumo los 36 alfajores que quedaron con los 684 que repartí, me da un total de 720 alfajores. Si a los 720 alfajores los divido por docena (por 12), me da 60 docenas. Si cada docena se envasa en una caja, entonces obtengo 60 cajas. ¡Los resultados son coherentes con los datos que aparecen en el enunciado! Respuestas a las preguntas del problema. Se repartieron 684 alfajores.

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ACTI VI DAD 2 Jerarquía de las operaciones 1) Se dispone de un rollo de alambre de 274 m de longitud. a) ¿Cuántos trozos de 3 m podrás cortar con él? b) ¿Cuántos trozos de 2 m de alambre podrás cortar? 2) Se tienen 27 cajas en las cuales se colocarán 9 paquetes de caramelos en cada una. a) ¿Cuántos paquetes de caramelos se necesitarán para llenar esas cajas? b) Cada paquete tiene 39 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene una caja?

3) Un camino tiene 1.290 m de largo. Se lo ha comenzado a pavimentar por ambos extremos. Desde un extremo ya se han pavimentado 300 m y, por el otro 275 m. a) ¿Cuántos metros faltan para terminar de pavimentar el camino?

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ACTI VI DAD 3 Operaciones combinadas 1) En la retacería se han comprado 75 m de tela. Cada metro de esa tela costó $ 15. Al vender esos mismos metros de tela se obtuvo una ganancia total de $ 225.

a) ¿Cuánto costaron en total los 75 m de tela? b) ¿Cuánto dinero ingresó por la venta de esos mismos metros de tela? c) ¿A cuánto se vendió cada metro de tela? 2) Luis recibió en herencia $ 30.000. Juan recibió como herencia el triple de Luis. La herencia de Pablo fue tanto como la de Luis y la de Juan juntas.

a) ¿Cuánto recibió de herencia Juan? b) ¿Cuánto recibió de herencia Pablo? c) ¿Cuánto recibieron de herencia en total Luis, Juan y Pablo? 3) Una empresa a clasificado a sus empleados en dos categorías: la “A” y la “B”. Los empleados de la categoría “A” ganan $ 150 diarios. Se ha pagado $ 3.270 por un día de trabajo a 25 empleados. Entre esos empleados había 9 de la categoría “A”.

a) ¿Cuánto dinero se destinó para pagar un día de trabajo a los 9 empleados de la categoría “A”?

b) ¿A cuántos empleados de la categoría “B” se les pagó ese día de trabajo? c) ¿Cuánto dinero se destinó para pagar un día de trabajo a los empleados de la categoría “B”? d) ¿Cuánto gana por día un empleado de la categoría “B”?

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ACTI VI DAD 4 Uso de paréntesis 1) Recordá el problema 1) de la ACTIVIDAD 3 que trataba sobre una retacería que vendía y compraba 75 m de un tipo de tela. a) Volvé a leer el problema. Para contestar la pregunta del ítem c) algunos alumnos de otra escuela anotaron los siguientes cálculos:

Juan

(75 ⋅ 15 + 225) ÷ 75 = 18 Gabriela 225 ÷ 75 + 15

=

18

Martín 75 ⋅ 15 + 225 ÷ 75

=

1128

=

1170

Marcela 225 ÷ 75 + 75 ⋅ 15

b) ¿Cuáles de los alumnos realizaron los cálculos correctos para responder el ítem c) del problema? c) Indicá el error que cometió cada uno de los alumnos que no realizaron los cálculos adecuados.

2) En los cálculos que siguen colocá los paréntesis necesarios en los lugares adecuados para obtener los resultados indicados en cada caso:

a) b) c)

21 + 7 − 2 ⋅ 8

=

12

21 + 7 − 2 ⋅ 8

=

61

21 + 7 − 2 ⋅ 8

=

208

3) Las cajas de frascos de mermelada contienen 12 envases cada una. Cada frasco de mermelada de frutilla cuesta $ 3. Cada frasco de mermelada de durazno cuesta $ 2. a) ¿Cuánto cuesta una caja de mermelada de frutilla? b) ¿Cuánto cuesta una caja de mermelada de durazno? c) ¿Cuánto dinero gastarás si comprás 7 cajas de cada tipo de mermelada?

4) En el criadero de perros La Mascota Feliz venden anualmente 150 animales. Por cada cachorro se invierten $ 25 en productos veterinarios y, además, cada animalito consume 6 Kg. de alimento balanceado mientras está en el lugar. El criador compra el alimento en bolsas de 20 Kg. que cuestan $ 63 cada una. Cada perrito se vende a $ 110. a) ¿Cuál es la ganancia anual del criadero.

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ACTI VI DAD 5 Expresiones algebraicas 1) En un salón donde se realizan eventos sociales, los mozos tienen la orden de colocar 8 copas por mesa, distribuidas de la siguiente manera:

a) ¿Cuántas copas pondrá si une 3 mesas? b) ¿Cuántas copas pondrá si une 5 mesas? c) ¿Cuántas copas pondrá si une 10 mesas?

d) Escribí una expresión matemática que le permita al mozo calcular la cantidad de copas que necesitará al unir cualquier cantidad de mesas.

e) Usá la expresión del apartado anterior para calcular la cantidad de copas que se necesitarán al unir 23 mesas.

f) ¿Puede ocurrir que, al unir un cierto número de mesas, el mozo necesite 100 copas para cubrir todos los lugares?

2) Un patio cuadrado está embaldosado con cerámicos cuadrados. El patio posee baldosas de dos colores: las de los bordes son grises y las otras blancas.

a) b) c) d)

¿Cuántas baldosas grises tendrá el patio si posee 6 baldosas de lado? ¿Cuántas baldosas grises tendrá el patio si posee 13 baldosas de lado? ¿Cuántas baldosas grises tendrá el patio si posee 2 baldosas de lado? Escribí una expresión matemática que te permita calcular la cantidad de baldosas grises que tendrá el patio para cualquier número de baldosas que posee en cada lado. e) Usá la expresión del apartado anterior para calcular la cantidad de baldosas grises que tendrá el patio si posee 37 baldosas de lado.

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ACTI VI DAD 6 Potenciación 1) En una calle de España hay 7 balcones. En cada balcón hay 7 macetas. En cada maceta hay 7 flores. En cada flor hay 7 pétalos. ¿Cuántos pétalos hay en los 7 balcones?

2) Los miembros de un club han creado un sistema para transmitirse mensajes. Organizaron una “cadena de llamadas telefónicas”. El miembro del club que quiere enviar un mensaje hace inicialmente 2 llamadas telefónica a otros dos miembros. Cada uno de los miembros que reciben el mensaje hacen, a su vez, 2 llamadas.

a) ¿Cuántas llamadas se realizan en el cuarto eslabón de la cadena? b) ¿Cuántas llamadas se realizan en el sexto eslabón de la cadena? 3) ¿Encontraste alguna operación en común entre estos dos últimos problemas? 4) Patricia estaba mirando un libro de Matemática y encontró esto: 35 a) ¿Por qué no son iguales? b) ¿Cómo podés explicarle cuál es la forma correcta de calcular 3 5?

≠

3⋅5

5) Sergio va a trabajar como ayudante en un restaurante.

11

El dueño le dijo: “Durante los 30 días del mes de abril te ocuparás de barrer la vereda y sacar la basura. Te pagaré $ 3 por día.”  Sergio, en cambio, le propuso el siguiente trato: “Durante el mes de abril, cada 3 días me encargo de eso, y además me ocuparé de lavar los platos y las copas, y de preparar las mesas. El primer día me da $ 2, el segundo día me da el doble ($ 4), el tercer día que trabajo me da el doble ($ 8), y así sucesivamente hasta el décimo día de trabajo. A mi me conviene porque trabajo cada tres días y a usted también porque me pagará un día sí y dos no.”  a) ¿Cuánto habrá recibido Sergio al finalizar el mes si hubiera aceptado el trato del dueño? b) Completá el cuadro para calcular cuántos pesos habría recibido con su propuesta y escribí la cantidad de cantidad de cada día como una potencia.

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DIA

1°

2°

3°

$

2=21

4=22

8=23

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10° TOTAL

ACTI VI DAD 7 Radicación 1) Un patio cuadrado tiene 36 baldosas cuadradas. a) ¿Cuántas baldosas tiene cada lado? b) ¿Cuántas baldosas tendrá en cada lado un patio cuadrado que en total tiene 100 baldosas?

c) ¿Qué otro número de baldosas se te ocurre que podría tener en total un patio cuadrado?

2) Un cubo tiene un volumen de 1.000 cm3. a) ¿Cuánto mide su arista? 3) Rocío no tiene calculadora científica. a) ¿Cómo puede hacer para calcular 3 3

2.744

? Ayudita: considerá que 2.744 es

3

mayor que 10 y menor que 20 .

4) ¿A qué número hay que calcularle la raíz cuadrada para obtener 13? ¿Y para obtener 47?

5) Escribí el número 100 en mi calculadora y calculé su raíz cuadrada. Luego, la raíz cuadrada del resultado y, así sucesivamente. ¿A qué número me fui acercando?

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ACTI VI DAD 8 Temperaturas “ bajo cero”  1) En la siguiente tabla se muestran los termómetros con las temperaturas máximas y mínimas registradas durante una semana del mes de julio en una localidad de Argentina.

 

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

a) Completá la siguiente tabla, escribiendo con números las temperaturas máximas y mínimas de cada día.

 

Mínima

Máxima

 Lunes  Martes  Miércoles  Jueves Viernes Sábado  Domingo

b) ¿Qué otras situaciones de la vida real conocés en las cuales aparecen números  “por debajo de cero”?

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ACTI VI DAD 9 P ositivos y negativos 1) Un submarino navega a 200 metros de profundidad bajo el nivel del mar. Dispara dos cohetes: el primero asciende 150 metros y el segundo asciende 300 metros. a) ¿Ascendieron los dos cohetes por encima del nivel del mar? b) ¿Qué número asignarías a las posiciones alcanzadas por cada uno de ellos?

2) Un edificio tiene pisos por encima y por debajo del nivel de la calle. En el ascensor se observa una botonera como la de la figura. Completá la tabla, teniendo en cuenta los datos del dibujo.

Subimos en el Viajamos en ascensor piso -1

3 pisos hacia arriba

3

5 pisos hacia abajo

4

Bajamos en el piso

-1 4 pisos hacia abajo

-2

-1

7

-2

2

3) Una persona compró un lavarropas que le costó $ 630, un televisor cuyo precio era de $ 865, y un radiograbador de $ 289. Pagó todo usando su tarjeta de crédito. a) ¿Cuánto gastó en total esa persona? b) Esa misma persona ya había gastado $ 476 usando su tarjeta de crédito. ¿Cuál es el saldo de su tarjeta de crédito? c) ¿El saldo de su tarjeta de crédito es positivo o negativo? Justificá tu respuesta.

4) Un colectivo de media distancia parte de Rosario con 28 pasajeros a bordo. En la primera parada se bajan 17 y suben 5, en la segunda parada bajan 11 personas. En la tercera bajan 19 y no sube nadie. ¿Cuántos pasajeros quedan en el colectivo después de la tercera parada?

5) Pablo y Juan, que tienen 6 y 9 años respectivamente, juegan con su papá. Los tres tiran con una pelota a un aro de básquet. Tiran series de 5 tiros cada una y cuentan los puntos con estas reglas: • Los tiros embocados de Pablo valen 3 puntos y los errados no valen nada. • Los tiros embocados de Juan valen 2 puntos y los errados valen –1. • Los tiros embocados del papá valen 1 punto y los errados –2. Completá las tablas y señalá al ganador de cada serie.

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1° SERIE

Tiros embocados

Pablo

1

Juan Papá

2° SERIE

Tiros errados

3 3

Tiros embocados

Pablo

Tiros errados

16

Total de puntos

3

Juan

-5

Papá

1

3° SERIE

Tiros embocados

Pablo

3

Juan

1

Papá

Total de puntos

Tiros errados

4

Total de puntos

ACTI VI DAD 10 Juego del punto 1) Te proponemos un juego que se llama “El juego del punto”. Para jugarlo hay que armar varios equipos de dos personas. Cada miembro del equipo tendrá una hoja del tipo A4 totalmente en blanco. Un miembro del equipo será el “instructor ” y el otro el “ copiador ”. El “instructor ” marca un punto en su hoja A4 sin que el “ copiador ” pueda verlo. Luego, el “instructor ” escribe (no puede hacer dibujos) las instrucciones que crea necesarias para que el “ copiador ” pueda marcar en su hoja un punto exactamente en la misma posición en que lo hizo el “ instructor ”. El “copiador ” recibirá las instrucciones del “ instructor ” y tratará de marcar en su hoja un punto exactamente en la misma posición en que lo hizo el instructor. Finalmente, el “instructor ” y el “copiador ” comparan sus hojas. Gana el equipo cuyos puntos coinciden en la ubicación.

2) Los compañeros que ganaron van a tener que leer las instrucciones que escribió el “ instructor ” y que permitieron que el “copiador ” ubicase el punto lo más exacto posible.

3) Volvé a jugar pero, ahora te damos una ventajita: se puede hacer un doblez en la hoja blanca. Te sugerimos que intercambien los roles de “instructor” y “copiador”. Nuevamente ganarán los que ubiquen con mayor precisión el punto.

5) ¿Qué instrucciones deberían escribir si pudiesen hacer dos dobleces en el papel?

6) Supone que tu docente te entrega una hoja como la siguiente:

Supone también que dibuja un punto en su hoja sin que nadie la vea. Sus instrucciones dicen: “el punto está a la misma distancia de los bordes de la hoja y de la intersección de las perpendiculares”. a) ¿Cuáles son los posible lugares en los que se puede encontrar el punto que dibujó el docente? b) ¿Qué le agregarías al dibujo si tuvieses una sola oportunidad para ubicar el punto que dibujó tu docente?

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ACTI VI DAD 11 Batalla naval 1) Juan y María han sido compañeros en el “Juego del punto” descrito en la actividad anterior. Ambos acuerdan en que para poder ganar deben pasarse como datos un par (dos) de coordenadas: una que represente la distancia que hay entre el punto y el margen izquierdo de la hoja, y la otra que que represente la distancia que hay entre el punto y el margen inferior de la hoja Juan dice que la primera coordenada debe ser la distancia que hay entre el punto y el margen izquierdo de la hoja y, la segunda coordenada debe ser la distancia que hay entre el punto y el margen inferior de la hoja. María opina que las coordenadas deben darse en el orden inverso al que dice Juan. a) ¿Quién tiene razón, Juan o María? b) ¿Qué habría que hacer para que el “ copiador ” pueda marcar el punto exactamente en la misma posición en que lo hizo el “ instructor ”?

2) Analía y Luis juegan a la batalla naval. Luis ubica sus barcos en las siguientes coordenadas: (C;4), (F;9), (D;6), (J;0), (H;3). a) Marcá con un punto en el gráfico la ubicación de cada barco de Luis.

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Analía ubica sus barcos en las posiciones que se muestran en el siguiente gráfico:

b) Escribí las coordenadas donde se ubican los barcos de Analía.

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ACTI VI DAD 12 Representación en la recta 1) En la siguiente semirrecta se representan con puntos la edad de cada uno de los miembros de una familia: Julián (J), Mamá (M), Papá (P). Hace dos meses nació María, la hermana de Julián. ¿Dónde ubicarías, dentro de la misma semirrecta, el punto que representa la edad de María?

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ACTI VI DAD 13 Representación en ejes cartesianos 1) Representá con puntos los siguientes animales y ubicalos en una semirrecta, ordenándolos según su peso.

2) Representá con puntos los siguientes animales y ubicalos en una semirrecta, ordenándolos según su agresividad.

3) Representá con puntos los siguientes animales y ubicalos en una semirrecta, ordenándolos según su relación con el hombre.

4) Observá los gráficos que hiciste en los apartados 1) , 2) y 3) . Comparalos con los de tus compañeros. a) ¿Los animales quedaron ordenados de igual manera en todos los apartados? ¿Por qué?

5) Durante los Juegos Olímpicos del año 2004, en Atenas, hubo carreras de atletismo de 100 m, 200 m, 400 m, y 1.000 m. a) Representá en una semirrecta como la siguiente las distancias de estas carreras.

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b) Representá en una semirrecta como la siguiente la máxima velocidad desarrollada en cada una de esas carreras.

c) ¿Dónde ubicarías el punto que representa simultáneamente la distancia y la velocidad máxima desarrollada en cada carrera?

6) ¿Dónde ubicarías el punto que representa simultáneamente el tiempo de trabajo y el dinero que ganan las personas que desarrollan las siguientes profesiones: ama de casa, albañil, bancario, docente, abogado, político?

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23

ACTI VI DAD 14 I dentificación de polígonos 1) Graficá en un par de ejes cartesianos los siguientes conjuntos de puntos. Luego, uní con segmentos los puntos de un mismo conjunto en el orden en que fueron presentados, verás que se formarán diversas figuras.

a) Figura 1: A1 = (3 ; 10) b) Figura 2: A2 = (2 ; -5) c) Figura 3: A3 = (-4 ; 7) d) Figura 4: A4 = (4 ; -4) e) Figura 5: A5 = (-2 ; -9) f) Figura 6: A6 = (-2 ; 1) g) Figura 7: A7 = (-10 ; 5) h) Figura 8: A8 = (0 ; 2) i) Figura 9: A9 = (6; 0)

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B 1 = (5 ; 8)

C1 = (1 ; 4)

D1 = (-1 ; 6)

B2 = (7 ; -9)

C2 = (2 ; -9)

B3 = (-6 ; 10)

C3 = (-8 ; 7)

D 3 = (-6 ; 4)

B4 = (7 ; -1)

C4 = (10 ; -4)

D 4 = (7 ; -7)

B 5 = (-3 ; -6)

C5 = (1 ; -1)

D 5 = (2 ; -4)

B6 = (-5 ; -6)

C6 = (-9 ; -8)

B 7 = (-10 ; -3)

C7 = (-5 ; -1)

B8 = (-4 ; 2)

C8 = (-2 ; 6)

B9 = (0 ; 3)

C9 = (6; 6)

D 7 = (-5 ; 3)

D9 = (9 ; 3)

2) Completá la siguiente tabla indicando el tipo de figura, según lo que graficaste en el apartado anterior.

Tipo de Figura Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9

3) Completá las siguientes frases: a) Todas las figuras de tres lados se llaman................................................ b) Todas las figuras de cuatro lados se llaman............................................ 4) Escribí las coordenadas de los vértices del triángulo, del rombo y del trapecio dibujados.

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ACTI VI DAD 15 Clasificación de triángulos 1) a) b) c)

Según las medidas de los lados: ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen todos los lados distintos? ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen un par de lados iguales? ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen todos los lados iguales?

2) Construí un triángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 4 cm y el tercer lado mida 6,5 cm.

3) ¿Es posible construir un triángulo rectángulo isósceles? 4) ¿Es posible construir un triángulo rectángulo equilátero?

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ACTI VI DAD 16 P ropiedad de los lados de un triángulo 1) Escribí la mayor cantidad posible de ternas (conjunto de tres) números que representen la medida de los lados de un triángulo, de manera tal que la suma de esas tres medidas sea 9 cm. a) Compará tu lista de ternas con las de tus compañeros. b) Dibujá los triángulos que incluiste en tu lista. c) ¿Siempre se puede dibujar un triángulo cuya suma de lados sea de 9 cm, sin importar cuál sea la medida de cada lado? Justificá tu respuesta. d) ¿Qué relación encontrás en la medida de los lados de los triángulos que pudiste dibujar en el apartado 1)b) ? e) Escribí la relación que deben cumplir las medidas de los lados de cualquier triángulo para que se pueda construir.

2) Clasificá cada uno de los triángulos que dibujaste en el apartado anterior, según las medidas de sus lados, en: escaleno, isósceles, y equilátero. 3) Construí, si podés, un triángulo cuyos lados midan: a) 3 cm, 4 cm, y 8 cm b) 3 cm, 5 cm, y 2 cm c) 3 cm, 6 cm, y 4 cm

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ACTI VI DAD 17 Altura de un triángulo 1) Recortá en un cartón triángulos con las siguientes medidas: Triángulo A: 15 cm, 12 cm, 9 cm  Triángulo B: 24 cm, 16 cm, 12 cm  Triángulo C: 18 cm, 15 cm, 15 cm Apoyá sobre la mesa cada lado de cada triángulo (A, B, y C), y colgá del vértice superior una banda elástica, tal como se muestra en la siguiente figura: 

Para cada lado de cada triángulo, hacé un gráfico que muestre cómo queda ubicada la banda elástica junto con el triángulo y la mesa (un gráfico como el anterior).

2) Se llama altura de un triángulo al segmento que une perpendicularmente un vértice con el lado opuesto. a) ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? b) Trazá las alturas de cada uno de los siguientes triángulos.

Triángulo I

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Triángulo II

Triángulo II I

ACTI VI DAD 18 Simetría 1) Natalia desafió a Patricia a completar los cuadrados. Hacelo vos y descubrí la regla general.

2) En cada una de las siguientes figuras imaginá, si existen, dobleces que permitan superponer partes congruentes; si los encontrás, graficalos.

a)

b)

c)

d)

e)

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ACTI VI DAD 19 Cuadriláteros 1) Construí una figura según la siguiente descripción:  “Es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados congruentes”. a) ¿Qué clase de figura obtuviste? b) ¿Podrías haber obtenido otras figuras con estas mismas características?

2) Construí una figura sobre la cual se sabe que:  “Es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos de 9 cm y los otros dos lados opuestos de 7 cm”. a) ¿Qué clase de figura obtuviste? b) ¿Podrías haber obtenido otras figuras con estas mismas características? 3) a) b) c)

Construí un cuadrilátero convexo para cada una de las siguientes condiciones: cuyos lados opuestos no sean paralelos. con un ángulo recto y un par de lados opuestos paralelos. con dos lados consecutivos congruentes de 3,5 cm y los otros dos también congruentes de 5 cm. d) Escribí el nombre de la figura que construiste en cada uno de los ítem anteriores.

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ACTI VI DAD 20 Juego de naipes Te proponemos una serie de juegos de naipes. Las “cartas” que deberás utilizar son especiales. En las páginas siguientes te damos los modelos de naipes para que puedas fotocopiarlos y recortarlos.

MEMOTEST GEOMÉTRICO Este juego propicia el reconocimiento de las figuras por la clase a la que pertenecen o la explicitación de algunas de sus propiedades geométricas dadas por las relaciones entre sus elementos.

Materiales 

18 cartas del Memotest geométrico (solo las que tienen figuras de cuadriláteros convexos)

Organización del grupo Se juega en grupos de 4 alumnos.

Reglas del juego Se mezclan las fichas y se acomodan boca abajo, en una disposición rectangular. Por turno, cada jugador levanta dos fichas, de manera que todos los   jugadores puedan verlas. Si encuentra alguna relación geométrica (tipo de figuras o propiedades) entre las dos figuras la enuncia en voz alta y, si los demás jugadores acuerdan, se lleva ambas fichas. Si no encuentra alguna relación geométrica, las vuelve a ubicar boca abajo en los mismos lugares. No se considera válido decir al levantar dos figuras: "Son convexas" o "Son cuadriláteros". Por ejemplo, pueden decir "Son rombos" o "tienen cuatro lados iguales" para levantar el cuadrado y un rombo no cuadrado, o "Son paralelogramos" o "tienen dos pares de lados opuestos paralelos" y no levantar sólo el paralelogramo "típico" sino dos particulares, como rombo y rectángulo o

"tienen un par de lados opuestos iguales (congruentes)” al levantar el rombo y el rectángulo". En cualquiera de los dos casos, se le cede el turno al siguiente jugador, hasta que no queden más fichas. Gana quien levantó más fichas. Si hay desacuerdo, deben exponer sus posiciones y   justificarlas. Sólo si, agotada esta instancia, no se llega a un acuerdo, pueden pedir la intervención del docente.

Variantes del juego A las 18 cartas se agregan 12 tarjetas con propiedades y las 2 cartas con los cuadriláteros cóncavos. Se levanta una carta con figura y una tarjeta, y sólo se llevan ambas tarjetas si la figura cumple la propiedad que indica la tarjeta. Siempre debe haber acuerdo entre todos los integrantes del grupo para tener el derecho de llevarse las tarjetas.

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¿QUIÉN ES QUIÉN? Este juego permite descubrir las características geométricas de la figuras y, además, identificar a éstas por su nombre

Materiales  

20 cartas que tienen dibujadas figuras geométricas de un lado y sus nombres del otro. Para la variante, se agregan las 10 tarjetas con propiedades y el nombre de todas las figuras que cumplen con esa propiedad.

Organización del grupos Juegan dos equipos de dos alumnos.

Reglas del juego Se disponen las tarjetas boca arriba sobre la mesa. Por turno, un equipo elige en secreto una tarjeta y la anota. Los integrantes del otro equipo tienen que identificar tarjeta elegida, para lo cual sólo pueden realizar preguntas que requieran un “sí” o un “no” como respuesta. Se cuenta la cantidad de preguntas realizadas hasta la identificación de la tarjeta elegida en secreto y se anota esa cantidad de puntos al equipo que hizo las preguntas. A la siguiente ronda, se alternan los equipos. Si el equipo que hace las preguntas arriesga el nombre de una figura antes de la quinta pregunta y se equivocan, se les suman dos puntos. Gana el equipo que suma menos puntos después de tres manos.

Variantes del juego Se colocan las tarjetas en el centro en dos filas: en una, las 10 tarjetas con las propiedades y los nombres de las figuras, con la propiedad hacia arriba, y en otra, las 20 tarjetas con el dibujo de una figura geométrica y su nombre, la

figura hacia arriba. Juegan dos equipos de dos jugadores. Por turno, un equipo elige en secreto una tarjeta con una propiedad y la anota, para control. El otro equipo debe adivinar la propiedad elegida. Para esto deberá elegir las figuras geométricas de a una y preguntar si cumple la propiedad elegida. La respuesta sólo puede ser “sí”  o “no”. Decidirá en qué momento cree haber encontrada la propiedad que está buscando y la enuncia. Tiene dos chances para hacerlo. Se cuenta la cantidad de preguntas efectuadas hasta la deducción de la propiedad elegida y se asigna ese puntaje al equipo que la adivinó. De no lograr identificarla (y de no haber errores en las repuestas) el equipo que eligió la propiedad gana 4 puntos. La asignación del puntaje debe contar con el acuerdo de todos los jugadores. Luego de cuatro rondas, o según se acuerde previamente, gana el equipo con menor puntaje. Otra variante es invertir las tarjetas con los dibujos de figuras geométricas, de manera que quede a la vista sólo el nombre. Esto aumenta el nivel de complejidad del juego.

LOTERÍA GEOMÉTRICA. Este juego te permitirá realizar actividades de reconocimiento de figuras, tanto a través de la representación como a través del nombre.

Materiales   

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20 cartas con figuras geométricas de un lado y sus nombres del otro. Cartones de lotería Porotos para anotar (15 para cada jugador)

Organización del grupo Se juega en grupos de cuatro alumnos.

Reglas del juego Se reparten los cartones de entre tres  jugadores. El restante jugador dicta esa ronda. Puede acordarse si se juega con uno o dos cartones para cada jugador, en cada juego. Se preparan las tarjetas que se usan para dictar, colocándolas con la cara que tiene la figura hacia arriba, se mezclan sin mirarlas, cuidando de no voltearlas, y se apilan. Por turno, uno de los alumnos dicta las figuras que va sacando de la pila que preparó, sin que la vean los demás, y los otros 3 jugadores tienen que identificar si en sus cartones de lotería tienen la figura dictada. De ser así, deben señalarla con el poroto. La figura dictada se coloca aparte, para usarla en el control posterior (para eso, se usa la otra cara confirmando que el dictado fue correcto. Quien primero llena su cartón se anota el punto de esa ronda, previo control de que el dictado fue correcto y de que realmente se marcaron bien las figuras. El juego se puede realizar por cuatro rondas para que todos tengan la oportunidad de dictar figuras y de reconocerlas.

Variantes del juego Para esta variante se agregan las 10 tarjetas con propiedades. Si quien dicta utiliza las tarjetas con propiedades, en lugar de las tarjetas con una solo figura, al mencionar cada propiedad, los demás tienen que tratar de identificar todas las figuras de su cartón que verifiquen dicha propiedad. Es decir que, se puede llegar a colocar más de un poroto por propiedad dictada.

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ACTI VI DAD 21 Construcción de polígonos 1) Construí un rombo cuyos lados midan 3,5 cm y su diagonal más larga sea de 6 cm.

2) Trazá un segmento de 16 cm que no sea paralelo a los bordes de la hoja. Considerá que ese segmento es uno de los lados de un cuadrado y completá la figura. a) ¿Podrás construir con esos datos una figura que no sea congruente a la obtenida?

3) Construí un rectángulo que tenga un lado de 4 cm y la diagonal de 5 cm. a) ¿Podés obtener diferentes rectángulos con esos datos? 4) Trazá un segmento cualquiera. Construí un rectángulo que tenga a ese segmento como diagonal. a) ¿Podés obtener diferentes rectángulos con esa misma diagonal?

5) Trazá un segmento de 16 cm que no sea paralelo a los bordes de la hoja. Considerá que ese segmento es una de las diagonales de un cuadrado y completá la figura. a) ¿Podrás construir con esos datos un figura que no sea congruente a la obtenida?

6) Construí un romboide que tenga un ángulo recto. 7) Construí un trapecio que tenga un ángulo recto y cuyos lados paralelos midan 3 cm y 5,4 cm.

8) El procedimiento de construcción de una figura dice:  “Trazá dos segmentos congruentes de 14 cm que se corten en su punto medio y que sean perpendiculares entre sí. Uní los cuatro extremos de esos segmentos para formar un cuadrilátero”. a) ¿Qué figura obtendrás si seguís las instrucciones? Compartí tu opinión con tus compañeros antes de construir la figura. b) Construí la figura según el procedimiento indicado. c) ¿Qué figura obtuviste? ¿Cómo la reconociste? 9) Otro procedimiento de construcción de una figura dice:   “Trazá dos segmentos perpendiculares (uno de 17 cm y otro de 10 cm) que se corten en sus punto medio. Uní los cuatro extremos de esos segmentos para formar un cuadrilátero”. a) ¿Qué figura obtendrás si seguís las instrucciones? Compartí tu opinión con tus compañeros antes de construir la figura. b) Construí la figura según el procedimiento indicado. c) ¿Qué figura obtuviste? ¿Cómo la reconociste?

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ANEXO Actividades complementarias 

A CTI V I D A D 1 1) El papá y la mamá de Pablo trabajan y juntan el dinero que ganan. La mamá gana $ 850 pero, le descuentan $ 40. El papá gana $ 1.200 pero, le descuentan $ 50. Los gastos mensuales ascienden a $ 1.000. ¿Cuánto dinero les queda?

2) Leandro tenía $ 8. Su madre le dio $ 20 más. En la librería gastó $ 17 en un libro y $ 4 en dos cuadernos de $ 2 cada uno. a) ¿Le quedó dinero disponible? b) ¿Se puede comprar más cuadernos? ¿Cuántos? c) Si se compró más cuadernos, ¿le quedó un resto? 3) Melina tiene $ 15. Pudo comprar en la librería por el valor de $ 21 porque le fiaron. Su amiga Lorena le devolvió $ 24 que le debía. Finalmente gastó $ 12. ¿Cuál es el saldo en pesos?

A CTI V I D A D 4   4) Claudio tiene depositados sus ahorros en tres bancos distintos. En el banco “Seguro” guarda la cuarta parte de lo que tiene en el banco   “Alcancía”. En este último banco colocó $ 2.892. En el banco “Confianza” depositó una suma igual a la diferencia entre los dos anteriores. Antes de irse de viaje, decidió distribuir sus ahorros en partes iguales en los tres bancos. a) ¿Qué movimientos de dinero entre las cuentas de los tres bancos tiene que hacer? b) ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?

A CTI V I D A D 6   5) Don Juan es el encargado de un edificio que tiene solo dos pisos. En cada piso hay dos departamentos. En cada departamento hay una familia con dos niños. Calculá la cantidad de niños que hay en ese edificio. 6) Los “Roax” son mensajes de correo electrónico en los que se les pide a los destinatarios que retransmitan ese mismo mensaje. Pablo recibió hoy un “Roax” y que al día siguiente lo transmitirá a otras 7 personas. Estas personas harán lo mismo al día siguiente y, así, sucesivamente. a) ¿Cuántas personas habrán recibido el mensaje el tercer día? b) ¿Cuántas personas habrán recibido el mensaje en esos tres días a partir de la cadena de Pablo? 7) Luis y Camila están estudiando para una evaluación. Luis dice que para resolver 24 hay que hacer 2 · 4, y Camila dice que hay que hacer 2 · 2 · 2 · 2. 50

a) ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? 8) Julián llegó a la placita del barrio y observó que en cada uno de los cuatro bancos había cuatro personas sentadas y cada una le estaba dando de comer cuatro granos de maíz a cada una de cuatro palomas. a) ¿cuántos granos de maíz contó Julián? b) Escribí un cálculo que te permita resolver la situación utilizando potenciación.

A CTI V I D A D 8   9) Una ruta tiene dirección oeste – este. Un auto parte de una estación de servicio situada sobre la ruta. Recorre 10 Km. hacia el este. Luego, 13 Km. hacia el oeste. Finalmente, 3 Km. hacia el este. ¿A dónde llega?

10) Tenía un saldo de (-$ 69) en el banco. Deposité $ 180 y luego retiré $ 90. a) ¿Qué saldo me quedó? b) ¿Cuánto tengo que sacar o depositar para que me quede saldo cero? 11) Estoy en la planta alta de un edificio y voy al primer subsuelo. a) ¿Cuántos pisos recorro? b) ¿Qué otro piso está a la misma distancia de la planta baja? c) ¿Existe alguna relación entre los valores absolutos de ambos números? 12) A Mario le depositan su sueldo en una cuenta bancaria. El último saldo de su cuenta era de (-$ 570). Posteriormente cobró $ 620. ¿Su saldo será positivo o negativo? ¿Por qué?

13) Lucía estaba en el primer subsuelo de un edificio y tomó el ascensor hasta el tercer piso. ¿Qué cuenta podés escribir para representar la situación y que dé como resultado la cantidad de pisos que subió?

A CTI V I D A D 9   14) Escribí un cálculo que permita resolver cada uno de estos problemas y luego resolvelos.

a) Una cuenta corriente que tiene un saldo inicial deudor (negativo) de $ 6.000 recibe tres depósitos de $ 2.500 cada uno y dos depósitos de $ 1.200 cada uno. Luego se extraen tres veces $ 2.300 y una vez $ 1.800. ¿Cuál es el saldo actual? b) De una cuenta bancaria que tiene un saldo inicial de $ 5.000 se hacen tres retiros de $ 320 cada uno. Luego se deposita una suma igual al doble de cada uno de los retiros realizados, y finalmente se extrae la mitad del dinero que quedó depositado hasta ese momento. ¿Cuál es el saldo actual?

15) Escribí con un numero entero cada una de las siguientes situaciones. Luego, representá ese número en la recta numérica: a) El año 20 a. de C. b) El año 50 d. de C. c) No gané ni perdí nada. d) Un pájaro vuela a 30 m. de altura. e) Un buzo está a 30 m. bajo el nivel del mar.

16) El mes pasado, Andrés debía $ 350 y hoy debe el triple. 51

a) Indicá con un número negativo la deuda que Andrés tenía el mes pasado. b) ¿Qué operación tenés que realizar para saber cuál es su deuda actual? Hacela. 17) Julieta duda entre comprarse una campera que cuesta $ 180, un tapado cuyo precio es de $ 190, un conjunto de pantalón y camisa de $ 120 o un par de zapatos de $ 90. Tiene sólo $ 400. a) ¿Cuáles de esas prendas podría comprar sin que le falte ni le sobre dinero? b) Si quisiera comprar sólo dos prendas y gastar $ 300 como máximo, ¿qué prendas podría comprar?

A CTI V I D A D 1 3   18) Noelia nació el 2 de junio. El pediatra anotó el peso de la beba, desde que nació hasta los seis meses, el día 2 de cada mes. Graficá los datos registrados en la tabla:

Edad en meses Peso en Kg.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3,5

4,5

5

6

6,5

7

7,7

8,2

9

19) Ubicá los siguientes pares ordenados y uní los puntos en el orden dado en cada grupo. (1 ; 1) , (1 ; 2) , (1 ; 3) , (3 ; 3) , (3 ; 2) , (1 ; 2) y (3 ; 1) (4 ; 2) , (4 ; 4) , (6 ; 4) , (6 ; 2) y (4 ; 2) (9 ; 5) , (7 ; 5) , (7 ; 3) y (9 ; 3) (10 ; 4) , (10 ; 6) , (12 ; 6) , (12 ; 4) , (10 ; 5) y (12 ; 5) ¿Qué palabra descubriste? 20) Marcá los puntos en cada caso y uní con un segmento cada uno de ellos con el siguiente: (1 ; 1) , (5 ; 9) y (9 ; 1) (2 ; 3) , (2 ; 1) , (8 ; 1) y (8 ; 3) (6 ; 7) , (7 ; 7) y (7 ; 5) (4 ; 6) , (6 ; 6) , (6 ; 5) , (4 ; 5) y (4 ; 6) (4 ; 1) , (4 ; 3) , (6 ; 3) y (6 ; 1) ¿Qué figuras descubristes? 21) Para preparar ñoquis una cocinera utiliza, por cada kilo de harina, 2 kilos de papas.

a) ¿Cuántos kilos de papas debe usar para 2, 4, 6 y 8 kilos de harina? b) Realizá la tabla y luego graficala. 22) Para hacer un mantel, Silvia va a comprar una tela que cuesta $ 4 el metro. a) Realizá la tabla y graficala. b) ¿Qué significa que el punto de coordenadas (3 ; 12) pertenezca al gráfico de la función?

A CTI V I D A D 1 4   23) Ubicá los siguientes pares ordenados en un papel cuadriculado: (1 ; 2) , (2 ; 15) , (3 ; 0) , (4 ; -1) , (-1 ; 0,5) , (-2 ; -2) y (0 ; 0)

A CTI V I D A D 1 6   24) ¡A jugar con el reloj! Dibujá y contestá qué ángulo se forma en el reloj si son las:

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a) b) c) d) e) f) g)

910 hs. 1245 hs. 1145 hs. 1230 hs. 915 hs. 615 hs. 1010 hs.

25) Corregí los errores: a) Los triángulos acutángulos tienen un ángulo obtuso b) Los triángulos rectángulos tienen tres ángulos agudos. c) Los triángulos obtusángulos tienen un ángulo recto. 26) Dibujá un triángulo isósceles, otro escaleno y otro equilátero. Luego, medí  sus ángulos y comprobá si es verdadera o falsa la siguiente definición:  “Los ángulos interiores de un triángulo suman siempre 180°”  27) ¿Se puede construir un triángulo cuya base sea de 2 cm. y dos lados iguales de 4 cm. cada uno? a) Construí el triángulo del apartado anterior. b) Según sus lados, ¿qué tipo de triángulo es? 28) Planteá como ecuación, resolvé y construí: a) El perímetro de un triángulo equilátero es de 16,5 cm. ¿Cuánto mide cada lado? b) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 3,4 cm. cada uno. Si el perímetro es de 11 cm., ¿cuánto mide el lado desigual?

A CTI V I D A D 1 9   29) Gisela está haciendo un portarretratos como el de la figura para regalarle a su mamá. Consiste en un rectángulo de cartón cuyas caras anterior y posterior están forradas en tela, y que tienen dos recortes circulares en su frente para colocar las fotos. ¿Cuántos cm2 de tela utilizará si debe dejar 1 cm para doblar en el contorno de cada cara y alrededor de los círculos?

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30) ¿Cuánto cuesta alfombrar este departamento? Tené en cuenta que el baño, la cocina y el balcón no llevan alfombra.

31) En el club Defensores y Unidos realizaron un baile para recaudar los fondos necesarios para hacer algunas mejoras. Observá el plano del club y, teniendo en cuenta que el lado de cada cuadradito equivale a 5 m., calculá: a) La longitud de un cerco alrededor de la pileta, a 3 m. de distancia de los bordes. b) La superficie de la cancha de papi-fútbol que hay que pintar. c) Los m2 de césped que hay que comprar para renovar la totalidad.

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BIBLIOGRAFIA

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

Bindstein, Mirta; Hanfling, Mirta. 1999. Matemática 7º EGB. Argentina . Aique



Ferraris, Liliana; Tasso, Marcela. 2003. A prendamos matemática 7. Argentina. Comunicarte.



Seveso de Larotonda, J.; Wykowski, A.; Ferrarini, G.. 1998. Matemática 7 EGB. Argentina. Kapelusz.



Autores varios. 1998. El libro de la matemática 7. Argentina. Estrada



Bindstein, Mirta; Hanfling, Mirta. 1999. Matemática 8º EGB. Argentina . Aique

ACTI VI DAD 22 Cartas con fracciones Seguimos jugando pero, cambiamos los naipes. Los que te proponemos utilizar ahora tiene, en un lado una fracción y, en el otro, su representación gráfica. En estos juegos podrás comparar fracciones, calcular sumas y/o restas.

GUERRA DE FRACCIONES Materiales 

48 cartas con las fracciones representadas en forma numérica en una cara y en forma gráfica en la otra.

Organización del grupo Se juega en grupo de 4 alumnos.

Reglas del juego Se mezclan y se reparten 12 cartas a cada jugador con la representación numérica hacia arriba, formando 4 pilas personales. Los 4 colocan a la vez en el centro, la carta superior de su pila. El que tiene la carta de mayor valor se lleva las 4 cartas y las coloca aparte en otra pila personal. Las cartas llevadas no se vuelven a usar. Si hay dudas, se pueden dar vuelta las cartas y usar la comparación de los rectángulos pintados al dorso para constatar. Si hay empate se juega otra vuelta y el ganador se lleva las 8 cartas. Gana quien al final del juego tiene más cartas.

GUERRA CON CÁLCULOS Se puede introducir la regla de que cada alumno dé vuelta dos cartas a la vez y las sume; y que se lleve todas el que obtenga la suma mayor. También, en forma análoga, se puede pedir que las reste y se lleve las cartas el que tenga la resta cuyo resultado sea el mayor o el menor. En cualquier caso, cada participante anotará en una hoja todos lo cálculos que realice. Así, se podrán controlar en caso de no llegar a un acuerdo sobre quién es el ganador con el resto de los jugadores.

PONER ORDEN Se realiza una modificación al juego inicial (GUERRA DE FRACCIONES). Cuando los cuatro jugadores dieron vuelta su carta, deben ordenarlas de mayor a menor, asignando puntos de 4 a 1, según ese orden. Gana el que obtiene más puntos. En este caso no es necesario desempatar ya que puede haber jugadores con el mismo puntaje en esa ronda, si tenían tarjetas con fracciones equivalentes. Además, las cartas ya jugadas, pasan a un pozo común.

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ACTI VI DAD 23 Relación parte-todo 1) La siguiente figura constituye los 2/3 de otra. Dibujá la figura original.

2) ¿Qué parte del conjunto de los rombos son cuadrados?

3) Pintá las 2/5 partes del conjunto de círculos.

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4) Completá el conjunto de lápices sabiendo que sólo se han dibujado las ¾ partes de él.

5) Se desea repartir 3 turrones entre 5 niños. ¿Cuánto le tocará a cada uno si se quiere que todos reciban la misma cantidad?

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ACTI VI DAD 24 Comparando racionales 1) A fin de completar sus estudios, los alumnos del último curso preparan un viaje. Las opciones son: viajar a las Cataratas del Iguazú o a Uspallata. Varias empresas les ofrecen sus servicios, pero sólo dos de ellas tienen el mejor precio. La decisión es difícil, ya que, para lograr el contrato, cada empresa les propone distintos beneficios.  

Empresa “El Yaguareté”: viajan siete y pagan seis. Empresa “Tupungato”: viajan cinco y pagan cuatro.

¿Por cuál empresa les conviene viajar? ¿Cuál les ofrece mayor beneficio?

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ACTI VI DAD 25 Rompecabezas Fabricá el siguiente rompecabezas, pero más grande, de modo que lo que en el original mide 3 en el tuyo mida 5. Dibuje pieza por pieza y luego armalo según el modelo. ¿Pudiste hacerlo sin dificultades?

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ACTI VI DAD 26 Pa rtes del círculo. Escoba del 1. Te proponemos un juego para el cual tendrás que fotocopiar y recortar los modelos de círculos que aparecen en las páginas siguientes. Las reglas del juego son muy parecidas a “la escoba” que jugamos con naipes.

Materiales 

35 piezas recortadas a partir de los círculos: medios, tercios, cuartos, sextos, octavos y doceavos.

Organización del grupo Se juega en grupos de 4 alumnos.

Reglas del juego Se mezclan y se colocan las piezas en una caja opaca. Sin mirar, cada jugador saca 4 piezas y luego se colocan otras 3 en el centro de la mesa. Cada uno por turno, debe formar un círculo (el entero) con una pieza propia y una o más de las que hay en la mesa. Si lo logra, las recoge formando un montón. Si no puede formarlo, coloca una de sus piezas sobre la mesa. En ambos casos, pasa el turno al compañero. Cuando no tienen más piezas en la mano, sacan otra vez 4 cada uno sin mirar, y se juega otra mano, y así hasta que se terminan las piezas. Gana quien logró reunir la mayor cantidad de enteros.

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ACTI VI DAD 27 Números decimales 1) Suponé que tenés varias monedas de los siguientes valores:

a) Escribí tres maneras de pagar $ 3,75 con esas monedas (se pueden usar varias monedas del mismo valor).

b) Anotá dos o tres maneras diferentes de formar: $ 0,87 y $ 2,08 con esas monedas (se pueden usar varias monedas del mismo valor).

2) Resolvé, formando un “equipo” con otro compañero, los siguientes problemas: a) Imaginá que recibís un premio de quince monedas de 10 centavos, siete monedas de 25 centavos y trece monedas de 50 centavos. ¿Cuánto dinero recibiste? b) Un chico recibió otro premio con las siguientes monedas: doce de 10 centavos, dos de 1 peso, ocho de 1 centavo y tres de 25 centavos. Para saber cuánto había ganado hizo cálculos con la calculadora y obtuvo el siguiente resultado: 4,03. Sabemos que el resultado es correcto. ¿Qué cálculos pudo haber hecho para obtener en el visor de la calculadora ese número? Anotalos y verificalos con tu calculadora.

3) Si sólo tuvieras monedas de 10 centavos, cuántas necesitarías para pagar  justo estas cantidades: a) $ 1 b) $ 0,80 e) $ 4,25 f) 4,03

c) $ 2,20 g) $ 0,05.

d) $ 12,50

4) Indicá la cantidad de dinero que recibiría cada uno de diez chicos si se reparten en partes iguales los siguientes montos de dinero: a) $ 1 b) $ 2 c) $ 5 d) $ 2,5 e) $ 0,80 d) $ 0,10

5) Pago 10 centavos con una moneda de $ 1. a) ¿Cuánto me dan de vuelto? b) ¿Cómo escribirías en la calculadora una cuenta que te dé la respuesta? 6) Tengo 2 pesos con 73 centavos y necesito llegar a 3 pesos. a) ¿Cuánto dinero me falta? b) ¿Qué cuenta habría que hacer en la calculadora? Anotala y luego comprobalo. 7) Tengo 2 pesos con 3 centavos y necesito 3 pesos. a) ¿Cuánto es necesario agregar? b) ¿Cómo sería la cuenta en la calculadora?

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8) Se tienen tres monedas de $ 0,50, tres monedas de $ 0,25 y tres monedas de $ 0,10. ¿Se pueden pagar justo las siguientes cantidades? ¿Cómo? Anotalas. a) $ 1,80 b) $ 2,45 c) $ 1,05 d) $ 1,15 e) $ 2,60. ¿Será posible hacerlo de diferentes maneras? También anotalas.

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ACTI VI DAD 28 Números descompuestos 1) Si tuvieras un mazo con las siguientes cartas: 10 cartas de 0,1 10 cartas de 0,01 • 10 cartas de 0,001 ¿Con cuáles cartas armarías los siguientes números?  ¯ 0,2  ¯ 0,03  ¯ 0,005  ¯ 0,25  ¯ 0,375 Juan usó 3 cartas de 0,001, 3 de 0,1 y 4 de 0,01. ¿Qué número armó? Intentá armar el 1,02 de dos maneras diferentes. Tratá de armar el 1,2 de dos maneras distintas. ¿Qué número se arma con las treinta cartas juntas? • •

a)

b) c) d) e)

2) Micaela hizo el siguiente cálculo para saber qué número se arma con las cartas que tiene: 5 x 0,1 + 3 x 0,01. ¿Cuál era el número? 3) Escribí en el visor de la calculadora el número 3,452. a) ¿Qué deberás hacer con la máquina para que aparezca el número 3,402 sin borrar? b) ¿Y para que aparezca el 3,052?

4) Escribí en el visor de la calculadora el número 2,347. a) ¿Qué deberás hacer para que aparezca el número 2,007 sin borrar?

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ACTI VI DAD 29 Representación de fracciones en la recta numérica Así como podemos representar los números naturales en una recta, también podemos hacer lo mismo con las fracciones. Supongamos que queremos representar la fracción 9/4. Primero es conveniente buscar entre qué números naturales se encuentra la fracción. 9 4 4 1 9 1 9 = + + = 2 está entre 2 y 3 4 4 4 4 4 4 4 Luego elegimos un segmento unidad y ubicamos en la recta los números naturales.

Como queremos representar cuartos, dividimos el segmento unidad en 4 parte iguales y, a partir del 2, marcamos 1/4.

En el ejemplo que presentamos tuvimos que representar cuartos, por ello es conveniente que la longitud del segmento unidad que elijamos sea fácil de dividir en cuatro partes iguales. En el caso de tener que representar, por ejemplo 5/3, conviene elegir la longitud del segmento unidad de tal manera que sea fácil de dividir en tres partes iguales. ¿Qué sucede si tenemos que representar en una misma recta 9/4 y 5/3? Tendríamos que elegir la longitud del segmento unidad de tal manera que sea fácil de dividir en 3 partes iguales y en 4 partes iguales. Una manera es, por ejemplo, elegir un segmento unidad de 12 cm (porque 12 es un número divisible por 3 y por 4).

En este caso, cada 1 cm marcamos1/12. También podríamos haber elegido un segmento unidad de 6 cm. Ahora, cada ½ cm. marcamos1/12. ¿Y si tuvieras que representar 2/3 y 10/15? En este caso, tenés que tener en cuenta que se trata de fracciones equivalentes y que, como representan el mismo número, las dos se ubican en el mismo lugar en la recta.

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ACTI VI DAD 30 Atrapando la fracción 1) Te proponemos un juego para el cual se deben formar dos equipos. Cada equipo debe elegir una fracción comprendida entre 0 y 10; tiene que escribirla en un papel y no dejar que el otro equipo la vea. El objetivo de cada partida es descubrir en qué intervalo de números naturales consecutivos se encuentra la fracción elegida por el equipo oponente. Cada equipo, en forma alternada, realizará preguntas al otro equipo. Las preguntas podrán ser solo del siguiente tipo: “¿La fracción está entre 7 y 9?”. El otro equipo sólo responderá “sí” o “no”. Cuando un equipo pregunta si una fracción está entre dos números naturales consecutivos y, la respuesta es afirmativa, el otro equipo debe decir: “está encerrada”. Si la fracción coincide con el menor número natural mencionado en el intervalo entonces, el otro equipo debe responder “atrapada”  El equipo que “encierra” a la fracción del otro, gana 1 punto. El equipo que la  “atrapa”, gana 5 puntos. Cada equipo deberá anotar las preguntas y las respuestas realizadas en cada partida para efectuar un control una vez finalizada la misma. Si existió un error en las respuestas dadas por un equipo, se debe penalizar al mismo con el descuento de 1 punto. Este juego, además de jugarse por equipos, también puede jugarse entre dos personas.

2) La siguiente, es una variante del juego anterior. Ahora, tu docente piensa una fracción comprendida entre 0 y 1. Vos y tus compañeros deben “atrapar” a esa fracción en el intervalo más pequeño posible (se pueden utilizar como límites de los intervalos otras fracciones).

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ACTI VI DAD 31 Operaciones con fracciones 1) Marcá con una cruz la respuesta correcta. Luego, compartilas con tus compañeros. a) La mitad de

b) El doble de

12 8

12 8

es: 12

12

24

4

16

16

27

12

24

8

16

16

es:

2) Algunos chicos de otro año dicen que revés, que

1 10

es la mitad de

1 5

1 5

es la mitad de

1 10

, y otros que es al

. ¿Quién tiene razón?

3) Un chico que no se acordaba sumar fracciones hizo 1 2

+

1 2

=

1 4

a) ¿Qué opinas de este cálculo? b) ¿Cuánto le falta a 15 para llegar a un entero? c) ¿Te animás a responder cuánto le falta a 25 para tener dos enteros? Explicá como lo hiciste. d) ¿Es posible que

e) ¿Y que

5 + 3

1 4 + 3 3

dé por resultado un número menor que 1?

1 sea menor que 2?

4) Necesito comprar 2 Kg de café, pero en la estantería sólo quedan los paquetes que muestra el dibujo

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a) ¿Qué paquetes puedo comprar? ¿Hay una sola posibilidad? b) Si quiero llevar la menor cantidad posible de paquetes, ¿cuáles debo elegir? 5) ¿Qué debo agregar para equilibrar la balanza?

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ACTI VI DAD 32 Figuritas 1) Paola colecciona figuritas del campeonato mundial de fútbol. Cada paquete trae 5 figuritas. ¿Cuántas figuritas tendrá si compra 8 paquetes?

2) La siguiente tabla muestra la relación entre algunas cantidades de paquetes de figuritas del mundial de fútbol, y la cantidad total de figuritas que se obtienen. Completá la tabla, sabiendo que todos los paquetes traen la misma cantidad de figuritas. Cantidad de paquetes 4 5 8 12 10 1

Cantidad total de figuritas

20

40

60

160

200

3) En el quiosco “Pancho” el precio de 5 paquetes de figuritas del mundial es de $ 3,50. En el quiosco “Tomy” el importe de 8 paquetes es de $ 6. ¿Qué quiosco elegirá Paola para comprar las figuritas? ¿Por qué?

4) ¿Cuánto cuestan 10 paquetes de figuritas en el quiosco “Tomy”? 5) Un chico compró figuritas en el quiosco “Tomy” y gastó $ 11. ¿Cuántos paquetes compró?

78

ACTI VI DAD 33 Propo rcionalidad directa - Primera parte) 1) Un grupo de chicos van a comprar chocolates para repartir entre ellos, calculando media tableta por chico. Completá la siguiente tabla.

Cantidad de chicos presentes

Cantidad de chocolate consumido (medido en tabletas)

18 9 21 22 11 23 11 1/2 En algunos casos quedará media tableta sin repartir. ¿Cómo es en esos casos el número de chicos?

2) Tres chicos organizaron una fiesta para sus compañeros. Al terminar la fiesta acordaron repartir el resto de la torta en tres partes iguales. Completá la siguiente tabla, que relaciona la fracción que recibirá cada chico con algunos posibles resto de torta.

Fracción de torta restante

Fracción para cada chico

1/2 1/3 1/4 1/4

79

ACTI VI DAD 34 P roporcionalidad directa - Segunda parte) 1) En un bote caben 4 personas. a) ¿Cuántos botes se necesitan como mínimo para transportar 25 personas? b) ¿Cuántos botes se necesitan para transportar 25 personas, si se quiere que en cada bote vaya la misma cantidad de personas? c) ¿Cuántos botes se necesitan como mínimo para transportar 24 personas? d) ¿Cuántos botes se necesitan como mínimo para transportar 28 personas? e) ¿Cuántas personas se podrían transportan con 8 botes, si todos los botes se utilizan al máximo de su capacidad?

2) Completá la siguiente tabla: Edad de Aníbal 11 12 23

Edad de Laura 14

3) Uno de estos cuadros corresponde a cantidades que no son directamente proporcionales. a) ¿Cuál es? b) ¿Por qué?

80

2 4 6

4 8 12

2 4 6

4 8 9

ACTI VI DAD 35 Escalas y porcentajes 1) Laura está diseñando un departamento que posea una habitación, una cocina, un baño, y una sala de entrada. Hizo un plano para su departamento. Completá la siguiente tabla, sabiendo que con 1 cm. va a representar 1 m. (o sea con una escala de 1 cm./m.).

Medida real (en m.) Habitación

Largo Ancho

Baño

Lado

Cocina

Largo Ancho

Sala

Lado

Medida sobre el plano (en cm.)

2) Después probó con otras escalas: la de 1 cm./m., la de ½ cm./m., o la de 3 cm./m.. ¿Con cuál resultará un plano más grande?

3) Al fin se decidió por otra escala. El lado del baño quedó, sobre el plano, de 3 cm.. a) ¿Qué escala utilizó esta vez? b) ¿Por qué?

4) Entusiasmada, agregó un balcón terraza a su último plano. Le quedó así:

¿Qué medidas sueña para su balcón?

5) Consultando planos de arquitectos, observó que venían sin unidades: 1:100, 1:200, 1:300... Se preguntó que querrían decir y, por qué venían sin unidades. ¿Cómo se le podría explicar?

6) Laura tomó un mapa y sacó un fotocopia ampliada del mismo. Aquí está:

81

El mapa original estaba perfecto, pero la fotocopia contiene un error. ¿Cuál es?

7) Gastón colecciona monedas. Su colección es la siguiente:

a) ¿Qué fracción de las monedas es de cobre? b) ¿Qué porcentaje representan las monedas de cobre respecto del total? c) ¿Con qué fracción se puede representar la colección completa de monedas de Gastón? d) ¿Con qué porcentaje se representa esa colección? e) Otro coleccionista tiene 150 monedas y el porcentaje de piezas de cobre es el mismo que el de la colección de Gastón. ¿Cuántas monedas de cobre tiene?

8) El cuadrado de la figura está dividido en 100 cuadraditos.

a) ¿Qué porcentaje representa cada cuadradito del total? 82

b) ¿Qué porcentaje de los cuadraditos queda limitado por la región marcada con un borde más grueso? c) ¿Qué fracción de los cuadraditos, con respecto al total, está coloreada? d) Coloreá el 40% del cuadrado. ¿Qué fracción representa del total?

83

ACTI VI DAD 36 Cuerpos 1) Observá los siguientes modelos.

a) ¿Cuál de los modelos dibujados se podrá usar para hacer un farolito de cartulina en forma de pirámide rectangular? Respondé sin recortar los modelos. b) Justificá la elección. c) Recortá los modelos y comprobá si tu respuesta es correcta o no.

2) Observá el siguiente modelo.

84

a) Usá el modelo anterior para construir cuatro bloques cúbicos iguales. b) Construí, usando los cuatro bloques cúbicos que armaste en el apartado anterior, un edificio de manera que desde una dirección pueda verse sólo un bloque. c) Describí cómo lo lograste construir el edificio del apartado b) . d) Construí, usando los bloques del apartado a) , un edificio de manera que desde una dirección puedan verse sólo dos bloques. e) ¿Existe sólo una posibilidad para cumplir con lo pedido en el apartado d) ? Ejemplificar.

3) El dibujo que se muestra es una vista superior de un edificio. Los números de altura informan sobre la cantidad de cubos que se apilan en ese cuadrado.

a) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir el edificio? b) Dibujá el edificio visto desde el frente. c) ¿Serías capaces de construirlo usando cubos como los del apartado 2)a) ?

85

ACTI VI DAD 37 Construyendo cuerpos 1) A continuación trabajarás únicamente con triángulos equiláteros. a) Construí un poliedro regular utilizando la menor cantidad posible de triángulos equiláteros. b) ¿Cuál es el mínimo número de triángulos equiláteros que se necesitan para formar un poliedro regular? c) El poliedro regular que se puede construir con el mínimo número de triángulos equiláteros se llama “tetraedro regular”. ¿Por qué se llamará así? d) ¿Cuántos triángulos convergen en cada vértice del tetraedro regular? e) ¿Podrías construir un poliedro regular en cuyos vértices convergieran 4 triángulos equiláteros? f) Si pudieras construir el poliedro del apartado anterior, ¿qué nombre le darías?. Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros. g) ¿Podrías construir un poliedro regular en cuyos vértices convergieran 5 triángulos equiláteros? h) Si pudieras construir el poliedro del apartado anterior, ¿qué nombre le darías?. Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros. i) ¿Podrías construir un poliedro regular en cuyos vértices convergieran 6 triángulos equiláteros?  j) Si pudieras construir el poliedro del apartado anterior, ¿qué nombre le darías?. Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros.

2) Hasta ahora has utilizado el triángulo equilátero como “figura generadora”. Probá ahora con un cuadrado. a) ¿Cuántas de estas figuras se necesitan para formar un poliedro regular? b) Construí el poliedro regular. c) ¿Cuántas caras tiene ese poliedro? d) Hay dos formas de nombrarlo, ¿cuáles serían? e) ¿Pueden unir más de 3 cuadrados en un vértice para formar un poliedro regular? Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros.

3) Utilizá como “figura generadora” un pentágono regular. a) ¿Cuál es el mínimo número necesario de estas figuras para formar un poliedro regular? b) ¿Cuál es el número máximo de ellas que puede ser utilizado? c) Construí con los pentágonos dados el poliedro resultante. d) ¿Cuántas caras tiene? e) ¿Cómo lo llamarías?

4) Considerá como “figura generadora” el hexágono regular. a) ¿Podrías formar un nuevo poliedro regular sobre la base de esta figura? Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros. b) ¿Se pueden usar polígonos regulares de más de 6 lados para formar poliedros regulares? Justificá tu respuesta y compartila con tus compañeros. 5) Releé todas tus respuestas y compartilas con tus compañeros. Luego, escriban las

conclusiones a las que arribaron referidas a los poliedros regulares.

86

ACTI VI DAD 38 Pa ralelismo y perpendicularidad 1) Cortá franjas de papel transparente de igual ancho y otras de diferente ancho. a) Analizá las figuras obtenidas al intersectar bandas. Variá el tipo de bandas que intersectas (de igual o distinto ancho) y la forma de intersección de las mismas (perpendicular u oblicua). b) Completá la siguiente tabla:

InterAncho sección

Dibujo de la figura

Nombre

Lados paralelos y/ o perpendiculares

  r   a    l   u   c    i    d   n   e   p   r   e    P    l   a   u   g    I

  a   u   c    i    l    b    O

  e    t   n   e   r   e    f    i    D

  r   a    l   u   c    i    d   n   e   p   r   e    P

  a   u   c    i    l    b    O

87

ACTI ACTI VI DAD 39 39 Diagonales y ángulos 1 ) Recortá tiras de cartulina, algunas de igual largo y otras de diferente (el ancho no importa, podrían tener todas el mismo). Usa las tiras de cartulina que recortaste, intersectándolas, como si fuesen las diagonales de un cuadrilátero. Explorá la relación que existe entre un tipo de cuadrilátero y sus diagonales. diagonales. a) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas perpendicularmente perpendicularmente a través de sus puntos medios? b ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? c) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas perpendicularmente una por su punto medio y la otra no? d ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? e ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas perpendicularmente, pero no por sus puntos medios? f ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? g ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas perpendicularmente perpendicularmente a través de sus puntos medios? h ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? i) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas perpendicularmente una por su punto medio y la otra no?  j) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? k ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas perpendicularmente, pero no por sus puntos medios? l) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? m ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas oblicuamente a través de sus puntos medios? n ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? p ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas oblicuamente oblicuamente una por su punto medio y la otra no? q ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? r) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de igual largo intersectadas oblicuamente, pero no por sus puntos medios? s ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? t ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas oblicuamente a través de sus puntos medios? u ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? v) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas oblicuamente una por su punto medio y la otra no? w ) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior? x ) ¿Qué cuadrilátero es posible obtener utilizando como diagonales dos tiras de distinto largo intersectadas oblicuamente, pero no por sus puntos medios? y) ¿Cómo son los ángulos del cuadrilátero del apartado anterior?

2 ) Basándote en tus respuestas del apartado anterior, completá la siguiente tabla:

88

Largo

Punto de Inter- intersección Cuadrilátero Cuadrilátero sección entre las diagonales

Igual

Perpendicular

Ambas en los puntos medios.

Igual

Perpendicular

Una en el punto medio y la otra no

Igual

Perpendicular

Ninguna en los puntos medios.

Igual

Oblicua

Ambas en los puntos medios.

Igual

Oblicua

Una en el punto medio y la otra no

Igual

Oblicua

Ninguna en los puntos medios.

Diferente

Perpendicular

Ambas en los puntos medios.

Diferente

Perpendicular

Una en el punto medio y la otra no

Diferente

Perpendicular

Ninguna en los puntos medios.

Diferente

Oblicua

Ambas en los puntos medios.

Diferente

Oblicua

Una en el punto medio y la otra no

Ángulos

Dibujo

89

Largo

Diferente

90

Punto de Inter- intersección Cuadrilátero Cuadrilátero sección entre las diagonales Oblicua

Ninguna en los puntos medios.

Ángulos

Dibujo