Manual Domini o Mate Matic o

Cursos de Nivelación

Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior 2017

DESARROLLO DEL CURSO


MODALIDAD:

CARGA HORARIA:

PRESENCIAL

55 HORAS

PRESENTACIÓN:

Este documento se realizó a partir del análisis de los resultados alcanzados por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuyo puntaje les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y responder a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales. El presente manual tiene 4 Unidades Formativas y se realizó con la finalidad de fortalecer competencias competencias básicas de los aspirantes que deseen ingresar a una instituci ón de educación superior. El contenido de este documento es producto del análisis estadístico sobre las falencias más frecuentes presentadas por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, por tanto tiene un enfoque enfoque específico. El presente documento expone conocimientos de una manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. En estas unidades formativas se trabajará: teoría del conteo; ecuaciones e inecuaciones; funciones; sucesiones; series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo

SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR



MODALIDAD:

CARGA HORARIA:

PRESENCIAL

55 HORAS

PRESENTACIÓN:

Este documento se realizó a partir del análisis de los resultados alcanzados por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuyo puntaje les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y responder a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales. El presente manual tiene 4 Unidades Formativas y se realizó con la finalidad de fortalecer competencias competencias básicas de los aspirantes que deseen ingresar a una instituci ón de educación superior. El contenido de este documento es producto del análisis estadístico sobre las falencias más frecuentes presentadas por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, por tanto tiene un enfoque enfoque específico. El presente documento expone conocimientos de una manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. En estas unidades formativas se trabajará: teoría del conteo; ecuaciones e inecuaciones; funciones; sucesiones; series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo


ÍNDICE:

UNIDAD FORMATIVA 1 1.1. Teoría Combinatoria 1.1.1.

Introducción

1.1.2. Principios básicos: aplicaciones 1.2. Métodos de Conteo. 1.2.1. Permutaciones: definición, aplicaciones. 1.2.2. Variaciones: definición, aplicaciones. 1.2.3. Combinaciones: definición, aplicaciones. Glosario de términos

UNIDAD FORMATIVA 2 2.1. Ecuaciones e Inecuaciones. 2.1.1. Términos algebraicos. 2.1.2. Dominio aritmético y algebraico. 2.1.3. Ecuaciones: Definición. 2.1.3.1. Despejes y solución. 2.1.3.2. Comprobación. 2.1.2. Desigualdad 2.1.2.1. Inecuación: Definición. 2.1.2.2. Intervalo solución. 2.1.2.3. Comprobación. 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2.


2.2.1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2.2.2. Clasificación gráfica de sistemas lineales 2x2. 2.2.3. Métodos de solución: 2.2.3.1. Eliminación. 2.2.3.2. Igualación. 2.2.3.3. Sustitución. 2.2.4. Aplicaciones. 2.3 Programación Lineal. 2.3.1. Introducción. 2.3.2. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables. 2.3.3. Región factible. 2.3.4. Función objetivo. 2.3.5. Solución óptima. 2.4 Funciones Lineal y Cuadrática. 2.4.1. Función: elementos de una función. 2.4.2. Función Lineal y función afín: Concepto y representación 2.4.2.1. Propiedades. 2.4.2.2. Ejercicios y problemas. 2.4.3. Función Cuadrática. 2.4.3.1. Expresión algebraica. 2.4.3.2. Representación gráfica. 2.4.3.3. Propiedades. 2.4.3.4. La fórmula cuadrática y el discriminante.


2.4.3.5. Ejercicios y problemas UNIDAD FORMATIVA 3 3.1. Función exponencial y logarítmica 3.1.1. Función exponencial 3.1.1.1. Expresión algebraica 3.1.1.2. Gráfico y propiedades 3.1.1.3. Modelos exponenciales. 3.1.2. Función logarítmica. 3.1.2.1. Expresión algebraica. 3.1.2.2. Gráfico y propiedades. 3.1.2.3. Relación con la función exponencial 3.2 Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 3.2.1. Propiedades de los exponentes 3.2.2. Propiedades de los logaritmos 3.2.3. Notación exponencial y logarítmica. 3.2.4. Ecuaciones exponenciales: ejercicios 3.2.5. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios 3.2.6. Comprobación de soluciones UNIDAD FORMATIVA 4 4.1. Progresiones Aritméticas 4.1.1. Sucesiones y reglas de construcción 4.1.2. Definición y construcción de progresiones aritméticas 4.1.3. Término n-ésimo


4.1.4. Suma de los n primeros términos 4.1.5. Aplicaciones 4.2 Progresiones Geométricas 4.2.1. Definición y construcción 4.2.2. Término n-ésimo 4.2.3. Suma de los n primeros términos 4.2.4. Aplicaciones 4.3 Vectores en R2 4.3.1. Vectores como desplazamientos en el plano 4.3.2. Expresión en forma de componentes, módulo y vectores unitarios 4.3.3. Operaciones con vectores: Suma, resta, producto por un escalar 4.4 Aplicaciones de vectores 4.4.1. Problemas Glosario


UNIDAD FORMATIVA 1: ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE INFORMACIÓN RELACIONADA A LA TEORÍA COMBINATORIA Y METODOS DE CONTEO PRUEBA DIAGNÓSTICA 1. 1. 2. 3. 4.

¿Cuál es el valor de n que cumple la expresión n!/2!(n-2)!=45? 5 10 15 20

2. 1. 2. 3. 4.

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 objetos? 1 6 24 120

3. 1. 2. 3. 4.

¿Cuántos números entre 1 y 100 son divisibles entre 3 o 5? 20 33 47 53

4. 1. 2. 3. 4.

¿Cuántos número entre 1 y 100 son divisibles para 4 y 7? 3 11 14 25

5. Si Ernesto compra 3 camisetas deportivas y 2 shorts. ¿De cuántas formas puede combinarlos? 1. 2 2. 3 3. 5 4. 6 6. 1. 2. 3. 4.

¿De cuántas maneras se pueden sentar en una fila de 4 sillas dos personas? 4 6 8 12


7. ¿Cuántas sumas de dinero diferentes se pueden hacer con las monedas 10, 5 y 25 centavos (una de cada una)? 1. 1 2. 3 3. 4 4. 5 8. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 2 banderas rojas y 1 blanca, si cada señal se hace con las tres banderas? 1. 2 2. 3 3. 6 4. 8 9. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 1 bandera azul, 1 roja y 1 verde, si las señales se pueden hacer con 2 o 3 banderas? 1. 4 2. 6 3. 8 4. 12 10. ¿Cuántas comidas diferentes puedes servirte si tienes para escoger 3 platos fuertes y 4 postres? 1. 3 2. 4 3. 7 4. 12 11. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante 3 libros diferentes de matemáticas y 2 libros diferentes de lengua? 1. 2 2. 6 3. 12 4. 24 12. En la serie A del campeonato ecuatoriano de fútbol participan 12 equipos. ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los dos primeros lugares? 1. 6 2. 72 3. 132 4. 144


13. Para solicitar un crédito vas a dos bancos que te ofrecen la siguiente información: Banco A: Te ofrece una línea de crédito con dos períodos de tiempo a escoger. Banco B: Te brinda dos líneas de crédito con tres períodos de tiempo a escoger en cada caso. ¿De cuántas opciones dispones para realizar el crédito? 1. 2. 3. 4.

3 5 8 10

14. Si hay 12 candidatos en tu ciudad para escoger 3 representantes para el municipio. ¿De cuántas maneras puedes seleccionarlos? 1. 15 2. 36 3. 220 4. 1320

15. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes mayores que 60000 se pueden hacer con las cifras 1, 3, 5. 7. 9? 1. 24 2. 48 3. 60 4. 120


1.1 Teoría Combinatoria 1.1.1. Introducción.- La teoría combinatoria que se relaciona con las técnicas de conteo, persigue básicamente darnos información sobre todas las formas posibles en las cuales puede ocurrir un evento específico bajo determinadas condiciones o reglas, esto es, determinar el número de ordenamientos o agrupamientos posibles entre los elementos de un conjunto.

Contexto Imagina la siguiente situación:

En tu casa tu papá ha pensado en colocar una alarma de seguridad, que tiene un código formado por cinco elementos de acuerdo a la siguiente condición: -

Los 3 primeros elementos deben ser una letra vocal.

-

Los 2 últimos elementos pueden ser cualquier dígito.

Se te pide que establezcas el código y que indiques ¿cuántas opciones de códigos dispones? Puedes pensar en formar todas las opciones posibles, pero te llevaría mucho tiempo ¡verdad! Damos respuesta a esta y otras preguntas que están relacionadas con las técnicas de conteo con el estudio de esta unidad.

1.2 Métodos de conteo. conteo. De acuerdo a las condiciones propuestas en los ejercicios y problemas podemos tener diferentes métodos para determinar el número total de arreglos posibles entre los elementos de un conjunto, los mismos que están basados en ordenamientos y agrupaciones. 1.2.1. Permutaciones (Pn): definición. Las permutaciones de un conjunto de n elementos las entendemos como todos los posibles ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de este con junto. Aplicación: Si en una final de una competencia de 100m planos compiten 3 deportistas numerados (12), (45) y (31) que lograron cronometrar el tiempo requerido para la final, ¿Dé cuántas maneras pueden llegar a la meta y ubicarse en las tres posiciones?


Como la pregunta tiene que ver con todos los posibles ordenes de llegada a la meta, podemos formarlos de la siguiente forma: Solución: 

 

 



(12)(31)(45), (12)(45)(31), (31)(12)(45), (31)(45)(12), (45)(12)(31), y (45)(31)(12).

Un total de 6 ordenamientos o rdenamientos posibles. En este caso la formación resultó simple, pero en el caso de tener 5 o más competidores en la final nos llevaría más tiempo, y no resultaría tan agradable; es por esta razón que el cálculo de permutaciones se basa en la siguiente definición.

1.2.1.1. El factorial de un número. Dado un número natural natural n, su factorial se simboliza como n! y se calcula de acuerdo acuerdo a la siguiente expresión:

Tomando en cuenta que:

 ! =  ×× × ××… ×…× × ! = 

n! representa el número total de ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de un conjunto. En la aplicación anterior tenemos en la l a final 3 competidores, por tanto 3 elementos, y el cálculo de sus posibles ordenamientos, esto es, las posibles posiciones de llegada son 3! Solución: 3!=1×2×3=6 opciones totales, que concuerda con el número de formaciones realizadas. Por tanto para calcular el número de las posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos emplearás la siguiente expresión: Expresión de las permutaciones:

 = !!


()  = ≥!  −!

1.2.2. Variaciones . Definición. Las variaciones las entenderemos como todas las posibles permutaciones o agrupamientos ordenados de p elementos que podemos realizar en un conjunto de n elementos. Condición: Expresión:

Existen muchas ocasiones en las que necesitamos escoger subconjuntos ordenados dentro de un conjunto total, tú lo has vivido muchas veces cuando dentro de un grupo de compañeros eligen por ejemplo una directiva para que los represente. Aplicación: En tu aula de clases hay 25 estudiantes en total y necesitan elegir al inicio del año un presidente, un vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas formas los pueden elegir? Lo primero que debes reconocer es que se formarán en la elección subconjuntos de 3 estudiantes, que corresponden a las 3 dignidades a elegir, y también que la clave para la aplicación de las variaciones consiste en que el ORDEN es importante en estos subconjuntos pues las dignidades a elegir cumplirán labores diferentes. Solución:

 = 25  = 3  = −! ! = !! = ×××! ! = 25×24×23 () nC = ≥!p

Tenemos como información

y

.

Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 13800 maneras posibles.

1.2.3. Combinaciones

. Definición.

En muchas situaciones necesitamos seleccionar grupos de elementos de un conjunto, en los cuales el orden de los mismos carece de importancia, en este contexto aplicamos las denominadas combinaciones de p elementos de un conjunto de n elementos totales. Condición: Expresión:

 !−!


Aplicación: En un bar disponen de 3 tipos de frutas para realizar jugos de: naranja, mora y tomate. ¿Cuántos tipos de jugos pueden preparar si realizan una combinación de dos frutas en cada preparación? Al tomar en cuenta que en la preparación de los jugos NO IMPORTA EL ORDEN de las frutas al momento de seleccionarlas, procedemos de la siguiente forma: Solución:

 =3 = 2  = !!−! = !!×! = ×××

Tenemos como información

y

.

Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 3 opciones de jugo en el bar. Para pensar: Calcula el nuevo total de opciones bajo la condición de que los jugos se pueden preparar con una, dos o las tres frutas.

También te puedo mencionar que existen situaciones en las que puedes combinar estos conceptos en la solución de un problema, como en el siguiente caso: Ejemplo 1: En una empresa necesitan formar un comité de 3 hombres y 2 mujeres, y tienen entre el personal como elegibles a 5 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede crear este comité? Es claro ver que al seleccionar los hombres y las mujeres para el comité no importa el orden, por lo tanto procedemos con el uso de combinaciones de la siguiente forma:

 = =!!!−!−! =! =6 10

Solución: Para los hombres tenemos: Para las mujeres tenemos:

Y aplicando el principio básico inicial tenemos

106 = 60

opciones totales.

Puedes también ingresar a los siguientes enlaces para favorecer tu comprensión y practicar los conceptos aprendidos.


Enlaces a recursos y práctica: https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinatorics-precalc/v/permutationformula https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinations/v/introduction-tocombinations FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS:

Tarea 1. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 6 carteles de diferentes colores, si cada señal consta de 3 carteles? 2. En un centro comercial existe una promoción del 50% por la compra de un combo que incluya 1 juego de comedor, 1 de sala y 1 dormitorio. Si en total se tienen disponibles 4 juegos de comedor, 5 de sala y 3 juegos de dormitorio. ¿De cuántas maneras puedes armar tu combo? 3. Un joven tiene 8 CD de música que más le gustan, y quiere regalarle a su novia 3 de ellos. ¿De cuántas formas lo puede hacer? 4. ¿Cuántas siglas diferentes pueden formarse con las letras de las palabras CABRA? 5. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión 3 estudiantes mujeres y 2 estudiantes hombres, si hay 8 hombres y 7 mujeres elegibles? 6. ¿Cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los dígitos 6, 7, 8, 9, sin repetir 6, 7, 8, 9 en el número formado? 7. En la clase de matemáticas, tu profesor te solicita que coloques en una fila (uno tras otro) a: Iván, Juan, Ana, Adrián y a Eduardo; pero te pide que no los ubiques juntos a Iván y Ana, pues siempre se pelean. ¿Cuántas opciones tienes de colocarlos en la fila? 8. Se juegan en la ciudad dos torneos de tenis simultáneamente con 10 jugadores cada uno, se nos propone llenar cartillas para acertar las posiciones, con la particularidad que en un torneo la cartilla solo pide el campeón y en el otro pide el campeón y vice campeón del torneo. ¿de cuántas formas puedo llenar las dos cartillas?


UNIDAD FORMATIVA 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y REPRESENTACIÓN DE VARIABLES 1

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 1) Darío guarda 12 dólares en su alcancía, que corresponde a la tercera parte de lo que ya había, ¿Cuánto dinero hay ahora en la alcancía? a. 16 b. 36 c. 48 d. 52 2) El padre de Juan tiene 7 años más que su madre y los dos tercios de la edad de su madre son 28 años. ¿Cuál es la edad del padre de Juan? a. 26 b. 35 c. 42 d. 49





3) Para cercar una finca rectangular de 300 se han utilizado 70 de valla. Calcula el ancho en metros de la finca. a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 4) Encuentra la edad de una persona si sabes que al cuadrado se le suma el doble de la edad obtenemos 17 veces esta. a. 13 b. 15 c. 17 d. 19



5) Determina los valores de , para que la ecuación distintas. a. b. c. d.

 <> 44  <> 1616

  8  = 0

tenga dos raíces reales


6) La diferencia entre el peso de una camioneta con carga y el peso de la camioneta vacía no debe ser mayor que 560 kg, Si hay que llevar 5 cajones iguales. ¿Cuánto debe pesar en kg como máximo cada uno de ellos? a. b. c. d.

  óó ≤≤ 111112   óó ≤≤ 113114

7) Pedro necesita comprar gafas y aletas de natación para entrenar a sus estudiantes, sabe que el costo de gafas y aletas es de 14 dólares, si por 15 gafas y 10 aletas pagó 180 dólares. ¿Cuánto cuesta en dólares cada gafa de natación? a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 8) La edad de Ana y su hija suman 55 años, en 16 años la edad de la hija será la mitad de la edad de Ana. ¿Cuántos años tenía la hija de Ana hace 3 años? a. 10 b. 13 c. 15 d. 16 9) Identifica la región solución del siguiente sistema:

{23 ≤≥ 64

a.


b.

c.

d.


10) Determina la expresión que tiene como solución el siguiente semiplano.

a. b. c. d.

44 55 ≤≥ 2200 55 44 ≤≥ 2200 ℎ ℎℎ == 22 33 ℎℎ == 22 66 ∞,∞,32 3,2,∞∞

ℎ

11) Juan lanza un globo desde una altura de 3m, si el globo asciende a una razón constante y se sabe que al cabo de 3 segundos está a una altura de 9m, escribe una ecuación para , la altura (en metros) del globo luego de segundos. a. b. c. d.



12) Determina el rango de la siguiente función cuadrática.

a. b. c. d.

 =   6 7


13) Relaciona cada función cuadrática con su vértice.

 = =  11002219 ℎ  = =  881111 Función

1 2 3 4

a.

1c,2b,3d,4a

b.

1c,2d,3b,4a

c.

1d,2c,3a,4b

d.

1d,2c,3b,4a

 ,,82 ,,12 ℎ

4,4,55 55,,44

Vértice

a b c d

14) Una recta tiene pendiente 3 y ordenada en el origen -2. ¿Cuál punto pertenece a la recta? a. b. c.

d. 15) El movimiento de un globo aerostático se modela por la función:

ℎ = 3  2 1 

Donde la altura se mide en kilómetros y el tiempo en horas. Determine la máxima altura en kilómetros que alcanza el globo en su trayectoria. a. b. c. d.

2 3 4 5


2.1. Ecuaciones e Inecuaciones lineales. Introducción.- En tu diario vivir encuentras situaciones que las tienes que resolver y que generan el planteamiento de ecuaciones e inecuaciones, en las cuales la diferencia radica en el número de soluciones a determinar; así por ejemplo si sales a comer con tus amigos tendrás como mínimo que repartir el valor de la cuenta o determinar cuánto aportará cada uno en el gasto realizado (ecuación), también si planeas realizar un viaje deberás determinar de acuerdo a tus planes la mínima cantidad de dinero que debes llevar para no tener inconvenientes (inecuación). 2.1.1. Términos algebraicos. Están formados por una o más variables y una constante literal o numérica, por ejemplo: -3





En todo término algebraico puedes determinar: el signo (en este caso negativo), el coeficiente (en este caso 3) y la variable (en este caso ). La unión de varios términos algebraicos mediante operaciones forman las expresiones algebraicas que se encuentran formando parte de las ecuaciones e inecuaciones. 2.1.2. Dominio aritmético y algebraico. Para poder determinar la solución de ecuaciones e inecuaciones que veremos a continuación deber poseer los siguientes dominios. Aritmético. Significa que debes poder operar con toda clase de números sin cometer error, el campo numérico con el que trabajaremos en todo la u nidad es el campo de los números reales R . Algebraico. Significa que debes operar entre términos y expresiones algebraicas con el propósito de simplificar expresiones y determinar soluciones en base a procesos fundamentados algebraicamente como la factorización. 2.1.3. Ecuaciones: Definición. Es una igualdad entre dos miembros que contienen expresiones matemáticas y que s e cumple para algún o algunos valores de la incógnita. Contexto Imagina la siguiente situación: Juan, tu compañero de clases fue el pasado fin de semana de compras a una librería y te propone el siguiente reto: Dime ¿cuánto dinero llevé a la librería?, si conoces que compré un libro de Historia con la tercera parte de mi dinero, compré un comic con las dos terceras partes de lo que me quedaba y al salir de la librería todavía tenía 12usd


Con base en el contexto nos corresponde plantear la ecuación a resolver. Planteamiento. En primer lugar asignamos una variable a la incógnita de nuestro reto.



Sea la cantidad de dinero total que llevaba Juan, por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como sigue:

   =  

-

costo del libro de Historia , luego de su compra le queda

-

costo del cómic al final le sobra 12usd.

-

La ecuación a resolver es: 2.1.3.1. Despejes y solución.

, y

   = 

,

 =    

La ecuación planteada la podemos trabajar con los coeficientes racionales originales o podemos multiplicar todos los términos de la ecuación por 9 que es el común denominador y obtener la ecuación equivalente siguiente:

 =     =   =   = 

Para despejar trasponemos los términos con al término izquierdo y obtenemos:

Por tanto:

Luego, ya conoces que tu amigo Juan llevó 54usd a la librería. 2.1.3.2. Comprobación.

El paso más importante a realizar si dudas de tus procesos aritméticos o algebraicos, es hacer un reemplazo de tu solución en la ecuación original planteada:

 =      =   = 


Lo que nos indica que la solución es la correcta, y además te asegura resolver siempre una ecuación lineal con una incógnita ¡sin dudar!

2.1.2. Desigualdad. Es una relación entre dos valores en los cuales expresamos un criterio de orden. Ejemplos de desigualdades son:  

 

10 <>  5 3 ≥ ≤7  "" >< "" "" ≥≤ "" ,

,

,

.

Como puedes observar los símbolos usados son: -

mayor que, menor que, mayor o igual que, y menor o igual que.

Ahora que ya recuerdas las desigualdades y cómo se expresan, definamos las inecuaciones. 2.1.2.1. Inecuación. Definición. Es una relación entre dos desigualdades condicionadas, esto es, dependen ahora de variables, cuya solución consiste en determinar los valores de las variables, para los cuales la relación de orden expresada es verdadera. Contexto Imagina la siguiente situación:

En tu hogar se está destinando mucho presupuesto para el pago de la línea telefónica, tu papá va a la empresa de telefonía y le indican la siguiente información: La empresa cobra cada mes 4usd de tarifa fija por el acceso al servicio y cada minuto empleado en llamadas telefónicas cuesta 20 centavos. Con esta información tu papá indica que máximo destinará 25usd al pago del servicio telefónico, por tanto tu interés es saber de cuántos minutos máximo dispone tu familia al mes.


Ejemplo 2: Con base en el contexto nos corresponde plantear la inecuación a resolver. Planteamiento. En primer lugar asignamos una variable a la incógnita a determinar.



Sea el número de minutos que tu familia habla al mes, por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como siguen: -

4 0,2 25 ,  ≤ 

costo fijo mensual: usd, pago por minutos de llamada: pago máximo a realizar: usd.

La inecuación a resolver es:

,

2.1.2.2. Intervalo solución.

Para determinar la solución de la inecuación planteada procedemos de la siguiente forma: 







Restamos 4 a cada miembro de la inecuación con el propósito de dejar solo el término que tiene la variable:

,,  ≤≤ ,,≤ ≤, 0,105

Dividimos ambos miembros de la inecuación para 0,2

Ahora conoces que máximo en tu casa podrán hablar al mes 105 minutos para poder cumplir el objetivo de tu papá. Esta respuesta se puede expresar como el intervalo

La respuesta está expresada en forma de intervalo con un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 150. Para recordar la estructura de los intervalos y sus nombres te presento el siguiente cuadro:


Intervalo

Expresión

 ≤<  ≤<  ≤<

,  ,  , ,∞

Cerrado: Incluye los valores de a y b Abierto: No incluye los valores de a y b Semiabierto o semicerrado: Incluye el valor a y no incluye el valor b

∞,

Infinito: Cerrado en el valor de a Infinito: Abier to en el valor de a

También debes recordar que la notación del intervalo representan exactamente lo mismo.

0,105

,

 ≥< 

es equivalente a

,

, esto es,

La solución del ejemplo 2 es el intervalo , ya que como máximo podrán hablar 150 minutos al mes y como mínimo 0 minutos, cuando están de viaje por ejemplo; en este caso los valores negativos no tienen justificación lógica para incluirlos en la solución y constituyen una restricción del contexto del problema planteado. Debes tener también presente las propiedades de las desigualdades, entre las cuales tenemos la siguiente: Si a los miembros de una desigualdad multiplicas o divides por un número negativo, la desigualdad se invierte, por ejemplo:

2 > 9 12 < 91 2< 9

Para revisar las otras propiedades ingresa al siguiente link: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Inecuaciones/desi_prop.html


2.1.2.3. Comprobación. Para verificar la solución de una inecuación basta con comprobar que un elemento del intervalo encontrado satisface la inecuación originalmente planteada, que en nuestro caso es:

,0,105 ≤  40,410250≤ 25≤ 25 14 ≤ 25

  = 50

Tomando un que pertenece al intervalo minutos, y reemplazando obtenemos:

, que se escribe como

 ∈ 0,105

, por ejemplo

Que es una desigualdad verdadera y que verifica que hemos determinado el intervalo correcto. Ejemplo 3: También podemos tener las inecuaciones planteadas como ejercicios en los cuales no necesitas realizar una restricción del contexto, por ejemplo: Determinar la solución de: Cuya solución es:

 <  44 8< 118< 11 4 < 33  < 4  ∈ ∞,   ∈ ∞,  374 < + > 32

Que lo podemos escribir como:

, un intervalo infinito según la clasificación de la tabla

1, y que admite también la siguiente notación: Para pensar:

.

Calcula la solución de las siguientes inecuaciones: a) b)


2.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. También puedes encontrar en situaciones reales o hipotéticas, ecuaciones lineales que dependen de dos variables cuya solución varía respecto a la encontrada en el ejemplo 1, en el que teníamos una sola incógnita. 2.2.1. Ecuaciones lineales con 2 variables. Una ecuación lineal con 2 incógnitas tiene la forma:

      =   ,   ,  ∈   ,   ,  ,   =    =0  330==3=9 9  3 , 0    =0  30==99= 9 0,9 ;

(

Por tanto, ahora debemos determinar pares de valores

son números reales) que cumplan o satisfagan la ecuación

planteada, si representamos estos puntos en el plano observaremos que representan una recta.

Propongamos un caso numérico: Sea la ecuación:

,

Para graficar esta ecuación ahora que conocemos que corresponde a una recta basta con determinar dos puntos de la misma, te sugiero determinar los cortes con los ejes de coordenadas: Corte en el eje : igualamos

, y despejamos :

Corte en el eje : igualamos

Punto , y despejamos :

Punto


Estos puntos generalmente se presentan y se leen en una tabla como la siguiente

  0

-9

3

0

El gráfico es el siguiente:

 = 

Matemáticamente decimos que todos los puntos de esta recta satisfacen la ecuación: y son solución de la misma, por tanto tenemos infinitas soluciones para la ecuación planteada. 2.2.2. Sistemas lineales 2x2. Clasificación gráfica. Del apartado anterior podemos concluir que para poder determinar una única solución debemos tener

{==  ,,, ,, ∈  ,

un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, propuestos de la siguiente forma:

En el cual el punto de coordenadas ecuaciones simultáneamente.

a determinar como solución debe satisfacer las dos

Tipos de solución.- No todos los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 tienen una única solución y como ya sabes que su gráfico corresponde a una recta te presento la siguiente clasificación:


Gráfico

Tipo de solución

Explicación

Solución única

El punto de coordenadas satisface ambas ecuaciones simultáneamente, las rectas se cortan entre sí.

Infinitas soluciones

Las rectas coinciden en el plano y sus ecuaciones son equivalentes.

,

Sin solución

,

No existen puntos que satisfacen las dos ecuaciones, las rectas son paralelas entre sí.


Para pensar: ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones lineales del sistema para tener?: a) Infinitas soluciones, b) Sin solución.

2.2.3. Métodos de solución. Contexto Imagina la siguiente situación: Tu amigo Juan ha decidido capacitarse en el área de computación e informática, para lo cual la semana anterior entregó a su instructor los CD y los DVD que compró. Recuerda que los compró con la lista de cuadernos de sus hermanos y que los entregó en un paquete cerrado, pero no recuerda el número de cada uno de ellos; busca su factura de compra y encuentra la siguiente información: •

•

•

Compró un total de 17 artículos entre los CD y los DVD. Pagó por ellos un total de 27usd. El precio de cada CD es 1.20usd y el de cada DVD 1.80usd.

2.2.3.1. Método de reducción. Llamado también método de eliminación, lo que pretende es reducir el sistema lineal 2x2 a una ecuación con una incógnita, que ya la podemos despejar fácilmente y luego utilizar este valor para determinar la segunda variable. Ejemplo 4: Con base al contexto nos corresponde plantear el sistema de ecuaciones lineales a resolver. Planteamiento. En primer lugar asignamos las variables a las incógnitas a determinar.



Sea el número de los CD.




Sea el número de los DVD. De acuerdo a las condiciones de compra y del precio podemos plantear el siguiente sistema:

{1.2 1.8=17= 27 12 {10 ×1.2 1 0 ×1.= 178 = 10 ×27 12 {1218 ==17270 12

Como la ecuación (2) tiene valores decimales, muchas veces resulta conveniente multiplicar todos los término de la ecuación por un factor para utilizar valores enteros; en nuestro caso el factor de multiplicación es 10.

Y obtenemos:

Dado ya el sistema de ecuaciones a resolver con coeficientes enteros, detallemos los pasos a seguir en el método de eliminación: Paso 1.- Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas.

 {12 ×121182 ×== 27120×17 12 {1122 1218 == 202740 12

En nuestro caso elegimos la variable por tener los coeficientes menores, por tanto multiplicamos la ecuación (1) por 12, y obtenemos:

Es importante que te indique que en primer lugar la ecuación obtenida es totalmente equivalente a la original, pues genera las mismas soluciones y que en otros casos el proceso es un poco más extenso y tendrás que determinar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la variable escogida. Paso 2.- Sumamos o restamos las ecuaciones.

 {1122 1812 = = 272004 12

En nuestro caso, dado que los coeficientes de coinciden también en signo, procedemos a restar la ecuación (2) menos la ecuación (1) miembro a miembro, y obtenemos: Ecuación (2) menos ecuación (1)


Paso 3.- Se resuelve la ecuación resultante. En nuestro caso es muy simple y obtenemos:

Ya sabemos que Juan compró 11 DVD.

6 = 66  = 11

Paso 4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Sustituyamos y resolvamos en la ecuación inicial (1)

 11 = =6 17

Luego, Juan compró también 6 CD.

La solución indica que Juan compro 11 DVD y 6 CD. Paso 5.- Se comprueba la solución: La comprobación se hará sustituyendo los valores obtenidos en una de las ecuaciones iniciales o en ambas. Como la sustitución en la ecuación inicial (1) es evidente, comprobaremos en la ecuación inicial (2).

¡La solución ha sido verificada!

1.1.2621. 1.881=27= 27 7.2 19.27 =827= 27

Este ejemplo es una muestra de que los sistemas lineales 2x2 tienen su origen en contextos reales o hipotéticos. Para la explicación de los siguientes métodos partiremos de la formulación ya establecida de un sistema lineal 2x2.


2.2.3.2. Método de Igualación. Ejemplo 5: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

{627==14 8 12

Sigamos los pasos que se indican a continuación:

Paso 1.- Despejamos la misma incógnita de las ecuaciones (1) y (2).

 4   == 21867  =  42 = 186 7 6246 4  ==23618714 20 = 60 20 = 6060  = 20  = 3.  4   = 4 32 = 2

En nuestro caso escojamos la variable .

Paso 2.- Igualamos las expresiones anteriores obteniendo una ecuación con una incógnita.

Paso 3.- Resolvemos la ecuación obtenida.

Paso 4.- Sustituimos el valor de en uno de los despejes del paso 1.


La solución del sistema es:

 =   =  ,

.

 = 

Paso 5.- Se comprueba la solución. Reemplazamos

, 

en una de las ecuaciones iniciales.

6 7 = 18

Con lo que verificamos la solución.

61232 71=31 =818 18 = 18

2.2.3.3. Método de Sustitución. Ejemplo 6: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

69 372 == 612 12 4

Sigamos los pasos que se indican a continuación:

Paso 1.- Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones.



Despejemos la incógnita de la ecuación (2):

93  34  = 6 4 = =4 996 6 3 = 43 2


 = 12 8 67 72  = 12 6  2 12 8 = 12 667426284==1122 48 = 16 48 = 1616  = 481  =3   = 12 8  = 12 13 8  =48 = 4  =    =  ,  6  72  = 12

Paso 2.- Sustituimos el despeje de en la ecuación (1) obteniendo una ecuación con una incógnita.

Paso 3.- Resolvemos la ecuación obtenida.

Paso 4.- Reemplazamos el valor de en el despeje del paso 1.

La solución del sistema es:

,

.

Paso 5.- Se comprueba la solución. Reemplazamos

en una de las ecuaciones iniciales.


6 13  72 4 = 12 21412 = 12= 12 .

Con lo que verificamos la solución. 2.2.4. Aplicaciones.

Para sistemas lineales 2x2 encontramos aplicaciones típicas en campos relacionados a:      

edades, números, conteo de elementos, economía y finanzas, pesos, etc.

Revisa aplicaciones de sistemas de ecuaciones ingresando al siguiente link. https://es.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations#systems-of-linearequations-word-problems

2.3 Programación lineal. 2.3.1. Introducción. Un problema de programación lineal es un problema de optimización, en el que se busca maximizar o minimizar una función lineal en presencia de restricciones expresadas como inecuaciones lineales. La programación lineal tuvo su surgimiento en la segunda guerra mundial y ahora es muy utilizada en áreas como: la industria, la planificación urbana, las redes telefónicas, las líneas aéreas, etc. 2.3.2. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables. Inecuaciones lineales.- Una inecuación lineal con dos variables tiene la forma:

  ≤  ,, ∈  ;


<,>,≥



En la que puede estar presente también los símbolos . Una inecuación lineal divide el plano en dos semiplanos, uno donde se satisface la desigualdad y otro en que no se cumple. La igualdad correspondiente constituye la frontera de los semiplanos. Veámoslo con un ejemplo: Ejemplo 7: Determinemos gráficamente la solución de la inecuación:

  ≤ 

Los pasos a seguir son: 

Reemplazamos el símbolo de la desigualdad ecuación correspondiente; la recta graficada desigualdad es o , estos es, incluye una continua, caso contrario para los símbolos o

≤≥

por el de igualdad y graficamos la es parte de la solución cuando la igualdad y se traza como una línea la línea se traza segmentada.

< >  = 

Como ya conoces que esta ecuación representa una recta, debemos encontrar dos puntos por los que pase, te recomiendo usar los puntos de corte con los ejes. Construyamos la siguiente tabla:

Determinamos los puntos

  0

-6

2

0

0,6 2, 0. y

El gráfico de esta recta es el siguiente:




Para determinar el semiplano que satisface la inecuación, tomamos un punto de prueba P en uno de los semiplanos, si las coordenadas de P verifican la inecuación se sombrea la región respectiva.

Es común utilizar, cuando la recta no pasa por el origen de coordenadas, este punto facilidad de reemplazo:

3300≤ ≤6 6 0≤ 6 3  ≤ 6

0 ,0 

por su

Obtenemos en este caso una expresión verdadera, por tanto el punto pertenece a la región solución y sombreamos el área respectiva.


Cualquier punto P de la región sombreada satisface la inecuación propuesta. Ahora que sabes determinar la solución gráfica de una inecuación lineal con 2 incógnitas, comprenderás que al resolver un sistema de dos o más inecuaciones lineales tenemos que buscar la región en la que coinciden las soluciones de las inecuaciones que forman el sistema.

{ 23 <>65 2  => 5  

Ejemplo 8: Determinemos gráficamente la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales:

Siguiendo los pasos especificados en el ejemplo anterior, hallamos la solución de cada inecuación:

0

5

2.5

0

Los puntos por donde pasa la recta son: (0, 5) y (2.5, 0); recuerda que ahora la recta se traza segmentada. El reemplazo del punto

0 ,0 

np satisface la inecuación:


2000 > 5> 5

Esta desigualdad es una falsedad, por tanto el semiplano no contiene el punto Graficamos la recta y sombreamos la región solución.

0 ,0 

Ahora determinamos la solución de la inecuación:

  <   3 =6 0

2

-6

0

Los puntos por donde pasa la recta son: (0, 2) y (-6, 0); recuerda que también esta recta se traza segmentada.


El punto

0 ,0 

no pertenece al semiplano solución, pues la expresión

Graficamos la recta y sombreamos la región solución.

0 < 6

es falsa.

Finalmente juntamos los gráficos y determinamos la solución del sistema de inecuaciones planteado:

La región en la cual coinciden ambos sombreados es la solución.


2.3.3. Región factible.

La región factible de un sistema de inecuaciones lineales es el espacio solución del sistema.

2.3.4. Función objetivo.

En un problema de programación lineal, la función objetivo es la ecuación a ser optimizada, esto es maximizada o minimizada de acuerdo al contexto y sujeta a las restricciones del sistema de inecuaciones lineales del problema.

Ejemplo 9: Contexto

El jefe de planta de una empresa de producción de mesas va a construir al menos 6 muestras de un tipo de mesas para oficinas, las mesas son de madera y plástico y cuestan 20usd y 10usd respectivamente. Se deben construir por lo menos dos mesas de cada tipo y el tiempo de entrega son 3 días. Las mesas de madera necesitan 8 horas para construirse y las de plástico 4 horas. En base a estas condiciones queremos minimizar el costo de producción de




En este problema está claro que debemos optimizar el costo de producción, que lo llamaremos . Asignemos las variables a trabajar, llamemos:



al número de mesas de madera a producir, al número de mesas de plástico a producir.

Conocida la asignación realizada podemos escribir la función objetivo de la siguiente forma:

, =  

Esta ecuación representa el costo de producción de las mesas. Esta ecuación está condicionada a las restricciones del sistema de inecuaciones lineales que podemos leer en el contexto:

  ≥ 6 8 4 ≤ 72  ≥2 ≥ 2

…………………..Se desean construir al menos 6 mesas de muestra. .……..….…...El tiempo de entrega máximo son 3 días, las mesas de

madera se construyen en 8 horas y las de plástico en 4 horas.

……………………….Se deben construir al menos dos mesas de madera. ……………………….Se deben construir al menos dos mesas de plástico.

El sistema de inecuaciones lineales se expresa:

 =2

8 4 ≤≥≥7622 ≥ 2

Las rectas que corresponden a las ecuaciones relacionadas con las dos últimas desigualdades y son: una recta horizontal y una vertical respectivamente.

 =2

Mediante un proceso similar al ejemplo anterior determinamos la región solución común a estas cuatro restricciones.


La región factible (RF) determinada gráficamente es:

En este gráfico también podemos determinar los vértices de la región factible que corresponden a las soluciones de los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se intersecan. Vértice

Coordenadas

A

(4, 2)

B

(8, 2)

C

(2, 14)

D

(2, 4)

Sistema

{  == 26 {8 4 == 272 8 4 == 272   == 62


2.3.5. Solución óptima. En el problema del ejemplo que estamos resolviendo, se desea minimizar el costo de producción de las mesas, el mismo que ya establecimos en la expresión:

, =  

El proceso para determinar la solución óptima es evaluar los vértices de la región factible en la ecuación de costo ya establecida, determinando el costo mínimo y, por tanto, el número de mesas de madera y de plástico a ser construidas de acuerdo a las restricciones establecidas en el problema.

Vértice A (4, 2) B (8, 2) C (2, 14) D (2, 4)

Valor de la función objetivo

 ,, ==   =     =  ,,==   =   = 

Por tanto se debe construir 2 mesas de madera y 4 de plástico, que generará un costo mínimo de 80usd.


2.4 Funciones Lineal y Cuadrática. 2.4.1. Función: elementos de una función. Introducción.- Al hablar de función debemos hacer referencia al término relación, reconociendo que nuestra vida está llena de diferentes tipos de relaciones, así cuando vas de compras hay una relación entre el comprador y el número de artículos que compra, también encontramos una relación entre los artículos y su precio; dependiendo de dónde compres, también existe la relación entre el comprador y la distancia recorrida hasta el lugar de compra, etc. Las relaciones también son muy importantes, así, tú tienes una relación con el número de tu cédula de identidad, que en este caso es única; y de este tipo de relaciones tenemos también la relación entre el auto de tu familia y el número de placa, etc. Como puedes darte cuenta las relaciones se establecen entre los elementos de 2 conjuntos básicamente y cumplen una determinada regla de asignación. Estas relaciones se representan en gráficos de conjuntos, llamados diagramas sagitales, como el siguiente:

La relación anterior muestra la materia favorita de 4 estudiantes de bachillerato. Lo primero que notamos es la presencia de dos conjuntos:

 = , , , }  = ,á, }

El conjunto A, es llamado el conjunto de partida y muestra los 4 estudiantes de bachillerato, mientras que el conjunto B es llamado el conjunto de llegada y muestra las materias preferidas por ellos.


La relación la podemos expresar de la siguiente forma:

 = "  "  =  , á, ,, ,,  , á}

Esta relación asigna a cada estudiante su materia preferida, y se la puede mostrar formada por los pares ordenados siguientes:

Estas relaciones bajo una específica condición reciben el nombre de función:

Función es una relación en la que a cada elemento del conjunto de partida sólo le corresponde un elemento en el conjunto de llegada.



Bajo esta definición, la relación indicada anteriormente cumple la condición y, por tanto, sí constituye una función. La representamos con la letra .

Los elementos del conjunto A reciben ahora el nombre de dominio de la función, y los elementos del conjunto B pertenecientes a los pares ordenados mostrados en la relación reciben el nombre de rango de la función. Las funciones expresadas en notación matemática tienen la siguiente estructura:

: {  →→ 


   

     =      ,,∈∈

Que se lee: función entre los conjuntos y , que a cada elemento de le asigna un elemento en . La regla de asignación de la función se escribe:



Como puedes ver la función es una relación entre los elementos del dominio de la función y elementos del rango de la función , los términos y se conocen como las variables de la función y reciben la siguiente clasificación:

El dominio y rango constituyen los elementos básicos para identificar y determinar una función.

También se suele definir el dominio y rango de una función de la siguiente forma: 



.  . 

  

El dominio de es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente , de tal forma, que se cumpla la regla de asignación dada por la función . El rango de es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente , y que por tanto son una consecuencia de aplicar la regla de asignación de la función sobre el dominio.

Puedes acceder al siguiente link para ampliar tu conocimiento sobre dominio y rango de una función: https://es.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/domain-and-range/v/domainof-a-function-intro https://es.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/domain-and-range/v/rangeof-a-function 2.4.2. Función Lineal y función afín: Concepto. La función lineal y la función afín son funciones polinómicas de primer grado. Expresión, representación. La función lineal y la función afín se representan algebraicamente de la siguiente forma:


Como ya establecimos que la siguiente forma:

ó   = ;  ∈  ó í  =  ; , ∈     ó    =   ==  , esto es,

sus ecuaciones se expresan de

;

.

Si reconoces estas ecuaciones, en las cuales y son números reales, corresponden a ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya representación gráfica son rectas, esto significa que la representación gráfica de funciones lineales y afines son líneas rectas.

Observa en la tabla los siguientes ejemplos de función lineal y función afín: Función

Gráfica

 = 4


 = 2  3

Para pensar:  

¿Cuál es la diferencia gráfica entre una función lineal y una función afín? ¿Toda recta en el plano representa una función?

2.4.2.1Propiedades.

 =  ?  = 2 3

¿Cuál es el dominio y el rango de una función de la forma

 = 2 3

En la tabla anterior tenemos graficada la función , cuya ecuación se expresa de la forma ; utilizando las definiciones de dominio y rango dadas anteriormente, podemos observar que la variable independiente puede tomar cualquier valor real, situación idéntica con los valores que toma la variable dependiente , por tanto podemos concluir que el dominio y el rango de esta función son todos los números reales; matemáticamente se expresa como:

   = | ∈ }  = | ∈ }






Al hablar de las propiedades de la función lineal y la función afín, también podemos determinar a más del dominio y rango, su corte en el eje y su raíz, entendida como el valor de que hace que la función , que coincide por tanto con el corte en el eje .

 = 0  =   

  0, 

La ecuación de la forma se conoce como la ecuación cartesiana de la recta con pendiente y ordenada en el origen b; la pendiente tiene relación con la inclinación de la recta y el valor de nos da el corte en el eje Y, que corresponde al punto . Observa en el siguiente gráfico la interpretación de la pendiente

  = 0 ∆ 



y la ordenada en el origen .



Es claro ver que el valor de representa el corte en el eje Y, pues corresponde al valor que toma cuando , y la pendiente es una medida de la inclinación de la recta que se lee como una razón del incremento en , respecto a un incremento en , el símbolo es la letra griega delta que representa “incremento”.

 ∆ ∆

La pendiente de una recta está relacionada con su monotonía, esto es, con su crecimiento o decrecimiento, visto siempre en el sentido de avance positivo del eje X y mantiene la siguiente relación: Pendiente

Monotonía

Relación de incrementos

Gráfico


 >0

 >> 

Recta creciente

 <0

Recta decreciente

 >< 

Para pensar: 

,  ∈ 

¿Cuál es el valor de la pendiente de las rectas constantes de la forma ?

=

También puedes revisar el siguiente link, para al concepto de pendiente: https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-graphing-lines-slope/core-algebraslope/v/slope-and-rate-of-change 2.4.2.2. Ejercicios y Problemas. Ejemplo 10: Dada la función

 = 2 5

, determinar:

a) Dominio y rango. b) Cortes con los ejes. c) Monotonía. Solución.




  =     =      = 2  5  == || ∈∈ }} óó  ∈∈ ∞,∞,∞∞

a) En primer lugar al reconocer que es una función de , esto es, podemos escribir la ecuación en la que tanto el dominio como el rango son todos los números reales, pues la variable independiente puede tomar cualquier valor, ya que no presenta ninguna restricción, así como la variable dependiente ; la representación gráfica de la función abarca todo el eje X y todo el eje Y. Luego:

b) Tal como vimos en las secciones anteriores, los cortes con los ejes se presentan bajo las siguientes condiciones. Corte con el eje Y:

 = 0

En nuestro caso lo podemos leer directamente de la ecuación, pues identificando los términos entre las ecuaciones:

 == 2 5 ,

.

  = 0

La ordenada en el origen es igual a 5 y el corte es el punto Corte con el eje X:



.

0 ==222= 5 55  = 52 = 2.5  2 . 5 , 0   = 2. 5 2.5 = 0  = 2 5 

El corte en el eje es el punto de coordenadas función, ya que cumple la condición .

2

0, 5

y el valor de

se llama raíz de la

c) También podemos identificar en la ecuación que la pendiente tiene un valor de , por tanto de acuerdo al análisis de la tabla anterior esta es una recta decreciente. Todo lo determinado analíticamente lo podemos comprobar en el siguiente gráfico.


Ejemplo 11: La siguiente tabla muestra la tarifa de taxis en Ecuador para el año 2010:

Fuente: ANT

a) Para el servicio diurno, modela una función lineal que relacione el valor a pagar con la distancia recorrida, suponiendo que es lineal. b) ¿Qué representan los valores 0.35 y 0.26? c) ¿Cuál es el costo de un viaje de 8km?


Solución.



 =  

a) La función buscada tiene la forma , que se expresa mediante la ecuación , por tanto comencemos asignando las variables:

   =0

 =  

Variable independiente = distancia del viaje, pues es el valor que va a cambiar con cada uno de los usuarios del servicio. Variable dependiente realizado.

= costo del viaje, ya que su valor depende de la distancia del viaje

,.

Según la información la arrancada tiene un valor de 0.35, es decir, todavía no has recorrido ningún kilómetro, por tanto y corresponde a la ordenada en el origen, el punto . Realicemos una tabla que represente el costo del servicio para los primeros 5km. Distancia (km) Costo (usd)

0

1

2

0.35

0.61

0.87

3 1.13

4

5

1.39

1.65

En esta tabla sólo hemos sumado la arrancada y el valor de cada km. Su gráfico es el siguiente:


 >0

El gráfico corresponde a una recta que tiene un ritmo de cambio continuo positivo, esto es, es creciente y tiene una pendiente . Para determinar el valor de la pendiente realicemos el siguiente análisis en la tabla de datos anterior:

 =       ∆∆ == 10.26

 = 

Observamos que tanto en la variable independiente , como en la variable dependiente , existe un ritmo de cambio continuo, por cada kilómetro adicional el valor se incrementa en 0,26usd, esto es: Variación en es Variación en es

Por tanto la pendiente de esta recta es:

 = ∆∆ = 0.126 = 0.26  =    = . .

Luego la ecuación de la recta que tiene la forma



b) El valor de 0.26 representa la pendiente de la recta

en el origen .

 =8

se puede expresar como:

y el valor de 0.35 representa la ordenada



c) Para determinar el costo de un viaje de 8km debemos reemplazar la variable que representa la distancia en km por el valor y determinar el valor del costo del viaje representado por la variable .



 ==0.0.226680. 0.3355  = 2.08 0.35


El viaje de 8km tiene un costo de 2.43usd.

 = 2.43

Practica más modelos lineales en el siguiente enlace: https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-word-problems/linear-models-wordproblems/e/constructing-and-interpreting-linear-functions 2.4.3. Función Cuadrática. 2.4.3.1. Expresión algebraica. La expresión algebraica de una función cuadrática se escribe:

 =     ,,  ∈ , ≠ 0 ; con

2.4.3.2. Representación gráfica.

Su representación gráfica es una curva típica llamada parábola, cuyos elementos se muestran a continuación:

2.4.3.3. Propiedades. Caractericemos cada uno de los elementos descritos:

 = 0 =       ≠ 0

Corte en el eje Y.- Toda función cuadrática con ecuación corte en el eje Y, que corresponde al reemplazo del valor

, con en la función , esto es:

tiene un


0 = =0  0 ,0 = 

Por tanto el punto de corte en el eje Y es algebraica de la función.

y se lo puede leer directamente en la expresión

Cortes en el eje X.- Una función cuadrática puede tener 0, 1 o 2 cortes en el eje X de acuerdo a los siguientes casos posibles gráficamente:

0 cortes en el eje X

1 corte en el eje X


2 cortes en el eje X

Los cortes en el eje X se conocen comúnmente como los ceros o raíces de la función cuadrática, pues se determinan bajo la condición:

 =      = 0

Esta expresión genera la ecuación:

Que se resuelve factorizando o aplicando la expresión:

 =  ±√ 2  4 Vértice.- El vértice de una función cuadrática es su punto máximo o su punto mínimo, el que queda determinado por la concavidad de la parábola, entendiendo por concavidad la curvatura de la gráfica; por tanto podemos tener parábolas cóncavas hacia arriba y parábolas cóncavas hacia abajo de acuerdo al valor del coeficiente de su función.



La siguiente tabla muestra la relación de la concavidad de la parábola con el coeficiente expresión para determinar sus coordenadas.




y la

 = −

 

De acuerdo a la tabla anterior para determinar la coordenada del vértice de la parábola se aplica la expresión , y para determinar la coordenada del vértice se evalúa la función en el valor



de ya indicado, esto es



 = −

.

La coordenada del vértice de una parábola es un dato fundamental cuando se grafica la función cuadrática con una tabla de valores, ya que estos se distribuyen alrededor de este valor, con el propósito de tener un gráfico con la forma completa de la parábola. Eje de simetría.- El eje de simetría de una parábola es una recta imaginaria paralela al eje Y que pasa por su vértice, por tanto tendrá como ecuación:

 = 

Podemos observar en el gráfico inicial de elementos que alrededor del eje de simetría, las ramas de la parábola se abren simétricamente y por tanto si imaginariamente cerramos estas ramas respecto a este eje, éstas coinciden en todos sus puntos.

 =     ,  ≠ 0 

Dominio.- Una función cuadrática , definida en los reales, tiene como dominio todos los números reales, pues su variable independiente puede tomar cualquier valor y no está sujeta a ninguna restricción.


     =      ,  ≠ 0  = 

Rango.- El rango de la función su variable dependiente su concavidad.

, que corresponde a los valores que toma , estará determinada por la ordenada del vértice de la parábola y

La siguiente tabla ilustra gráficamente las condiciones del dominio y rango expuestas:

Parábola

Dominio

Rango

∞,∞

  2, ∞


∞,∞ ∞,∞,2 2.4.3.4. La fórmula cuadrática y el discriminante. La fórmula cuadrática busca determinar los ceros de la función cuadrática, esto es los cortes con el eje X, llamados también las raíces de la función. Podemos aplicar la siguiente expresión ya dada para determinar los cortes en el eje X:

 =  ± √        ∆ ∆ ==   4 > 0,  ≠  ∆ =   4 = 0 ∆ =   4 < 0

El número de raíces a determinar depende de la expresión que se encuentra bajo el radical y que se conoce como el discriminante , el mismo que permite determinar el número de raíces reales de la función bajo las siguientes condiciones: Para la función cuadrática •

•

•

Si el discriminante , la función tiene dos raíces reales distintas y la su gráfica corta al eje X en dos puntos. Si el discriminante , la función tiene una raíz real (raíz doble) y su gráfica es tangente al eje X (topa al eje X en un punto) Si el discriminante , la función no tiene raíces reales y su gráfica no corta al eje X.


Revisa otras formas de expresión de la función cuadrática y sus características en el siguiente enlace: https://es.khanacademy.org/math/algeb https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/feat ra/quadratics/features-of-quadratic-functions/v/find ures-of-quadratic-functions/v/findingingfeatures-of-quadratic-functions 2.4.3.5. Ejercicios y problemas. Ejemplo 12: 12: Dada la función a) b) c) d) e) f)

 =   8  18

. . Determinar:

Corte en el eje Y Vértice Gráfico Raíces Eje de simetría Dominio y rango.

Solución.



 =0 0 0,18  ==   818   = 1, = 8, = 18−− −−   ,   2 = 218 = 82 = 4 4 = 4  84,, 18 = 16  3232 18 = 2  = 1 > 0

a) El corte en el eje se determina cuando , esto es, evaluando la función en cero corresponde al valor del término constante de la funció n.

0 = 18

, que

, punto de corte en el eje Y es

b) Relacionando las ecuaciones:

Podemos identificar los coeficientes:

El vértice está determinado por el punto de coordenadas

Luego, el vértice tiene por coordenadas parábola es cóncava hacia arriba.

y es un mínimo, ya que

, por tanto la




c) Para realizar el gráfico de la parábola elaboremos una tabla de valores, en la cual la abscisa del vértice ocupará el valor central entre los v alores de la variable independiente .

   2,3, 5,6 2

3

4

5

6

6

3

2

3

6

Los valores se obtienen de un simple reemplazo del valor propuesto evaluar la función en los valores de la tabla: .

en la función, es decir,

Graficando obtenemos la siguiente parábola:

d) Si d) Si observamos el gráfico vemos que esta función no tiene raíces reales, su parábola no corta al eje X. Analizando el discriminante:

∆ =   4 = = 88  44118 = 64  72 = 44 < 0  = − = 

Lo que concuerda con la clasificación dada de las raíces. e) Coincide con la coordenada El eje de simetría es la recta

del vértice.

.


f) El dominio de la función cuadrática corresponde a todos los números reales como ya se ha determinado, esto es:

 = | ∈ }  = | =≥2}∈ 2, ∞

Como la función es cóncava hacia arriba y el vértice es un mínimo, el rango corresponde al intervalo desde la ordenada del vértice hasta infinito, esto es: , o también

Ejemplo 13: El snowboard es un deporte olímpico desde 1998 y consiste en surfear por la nieve. En la práctica del deporte se dan muchos saltos, la altura de los saltos (en metros) de un deportista de élite se puede modelar por la función:

Donde:  

Determinar:

ℎ 

ℎ =   4

representa la altura del deportista en metros, y representa el tiempo en segundos.

a) La altura máxima del salto del deportista y el tiempo en alcanzarla. b) ¿Cuánto tiempo estuvo el deportista en el aire? c) La altura del deportista al tercer segundo de saltar. Solución.



En primer lugar procedamos a graficar la función cuadrática dada construyendo una tabla de valores en la que la variable independiente es el tiempo, considerando que los valores de no pueden ser negativos.




 ≥0

0

1

2

3

4

0

3

4

3

0



Como notas en la tabla usamos como valor central de la variable independiente el valor de 2, que corresponde a la abscisa del vértice de la parábola a graficar y se obtiene con la expresión

 = −

.

ℎ0, ℎ1,ℎ2, ℎ3,ℎ4

Las ordenadas de los puntos se obtienen evaluando la función, esto es, reemplazando los valores del tiempo propuestos y hallando los valores correspondientes a: . Como puedes observar para los tiempos 0s y 4s la altura es cero, lo que se debe interpretar como la restricción natural del contexto, ya que la variable dependiente altura no admite valores negativos.

Luego, el gráfico obtenido es:

ℎ ≥ 0

  , ℎ    



a) Cada punto de la parábola graficada tiene por coordenadas , la abscisa (valor en el eje ) corresponde al tiempo y la ordenada (valor en el eje ) corresponde a la altura del deportista.


Por tanto, la altura máxima del deportista corresponde a la ordenada del vértice de la parábola, ya que es el punto máximo, y el tiempo en alcanzarla es la abscisa del vértice. El vértice lo podemos ver en el gráfico, y calcularlo con las expresiones expuestas en la parte teórica.

,  ,  ℎ  = =  4  = 1  = 4  = 0 2 , ℎ 2 241, ℎ 241 ((2,42,ℎ 44)2) 2,4   ℎ      ℎ  = 0   4 = 0  4 = 0

Vértice. En primer lugar identificamos los coeficientes

Podemos identificar:

,

,

.

.

La coordenada del vértice viene dada por:

Luego con un reemplazo de las constantes obtenemos:

Lo cual significa que la altura máxima del salto es 4 metros y el tiempo en alcanzarla son 2s.

b) El tiempo que estuvo en el aire corresponde en la gráfica corresponde a la distancia horizontal (intervalo de tiempo) entre los cortes en el eje (ceros o raíces de ), esto es, el tiempo entre las alturas cero de , desde el inicio al final del salto. Raíces de .

Son los cortes con el eje y se determinan bajo la condición

.

Resolvamos por factorización, primero un factor común:


Luego, como tenemos dos factores igualados a cero, uno de los dos debe valer cero, esto es:

  =   4 = 0  =    4 = 0   = 1, = 4, = 0  =  ±√ 2  4  = 4± 24 1410  = 444±42  = 442 = 0  = 2 = 4    =   = 3 ℎ ℎ =   4 ℎ3 ℎ3ℎ = =93 1423 ℎ = 3 ,

También podemos utilizar la fórmula cuadrática y obtener el mismo resultado:

Los coeficientes son: La fórmula expresa:

.

Por tanto el intervalo de tiempo que el deportista estuvo en el aire es

.

c) Para determinar la altura del deportista al tercer segundo debemos reemplazar el valor de en la expresión de la altura , esto es, evaluar la altura en el tercer segundo hallando .

La altura del deportista en el tercer segundo son 3 metros.


FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS

Tarea

1) José es 7 años mayor que Javier y el resultado de sumar sus dos edades es menor a 75. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener José? 2) Un fabricante de pantallas de computadora tiene costos fijos de 10000usd y costo por cada unidad de producción de 350usd. Si una empresa internacional de computadoras le solicita unidades, ¿cuál es la ecuación que modela el costo de producción ?





3) Josué gasta de su sueldo la cuarta parte en el arriendo de su departamento, de lo que le sobra gasta la tercera parte en alimentación y le queda 450usd. ¿Cuánto gana al mes Josué en dólares?

ℎ

ℎ = 3ℎ 12 8 

4) El salto de un delfín se puede modelar con la función mide en segundos y en metros, determina la máxima altura alcanza el delfín en su salto.

726 

, donde se en metros, que

5) Se vende un terreno rectangular de , si se sabe que el ancho del terreno es dos tercios de largo, determina en metros el perímetro del terreno.





6) Una empresa textil se especializa en la fabricación de camisetas ( ) y chompas deportivas ( ) a un precio de venta de 12usd y 20usd respectivamente, en el siguiente gráfico se encuentran presentes las rectas frontera de las restricciones de producción semanal: Semanalmente deben producir mínimo 30 unidades en total. Deben producir por lo menos el doble de camisetas que de chompas Determina la cantidad de camisetas y chompas, en ese orden, que la empresa debe producir semanalmente para maximizar sus ingresos.  


7) Una empresa se especializa en la producción de jugos naturales combinados de naranja y mora sin preservantes. Tiene dos tipos de jugos A y B con diferente tipo de concentración y planea producir este mes jugos tipo A y jugos tipo B. Para la producción de este mes se compraron 7kg se zumo de mora y 10kg se zumo de naranja. Si se conoce que: Los jugos tipo A llevan 50g de zumo de mora y 100g de zumo de naranja. Los jugos tipo B llevan 60g de zumo de naranja y 90g de zumo de mora. 







Determina el conjunto de restricciones del problema. 8) Si al triple de la edad de Julia le restas 16, resulta menos que 32; y si a la mitad de su edad le sumas 10, resulta más que 17. Determina la edad de Julia.


UNIDAD FORMATIVA 3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y REPRESENTACION DE VARIABLES

Evaluación Diagnostica

1. La expresión equivalente de a. b. c. d.

√ √    √   √    √√ 

√ √ 

es:

2. Identifica las funciones exponenciales: Función

 ℎ

a. b. c. d.

,,  ,ℎ, ℎ  = log  ,   > 0, > 0, ≠ 1 11,,0 2,,02 log 0,001

3. Dada la función función. a. b. c. d.

Ecuación

 == 2  == 3

. Identifica el punto que pertenece a la

4. Calcula el valor de a. 1 b. -1 c. 3


d. -3

5. Si

4  2 = 2 

, el valor de es:

a. – 1 b. 0 c. 1 d.

6. Si



log25 = 4 a. b. c. d.



, entonces el valor de es:

10 40 100 400

7. Relacione cada logaritmo con su valor:

1 2

3 4 a. b. c. d.

log 3 12 log 18 log 27 log243

A B

C D

32 32 52 52

1A, 2B, 3D, 4C 1A, 2D, 3C, 4B 1C, 2A, 3B, 4D 1C, 2B, 3A, 4D

  =   > 0 lloogg  ==  lloogg  == 

8. La expresión equivalente de a. b. c. d.

, con

es:


     = 3 ∞,∞,∞0 0,∞,∞0 8l o g 3 √  24 48√√ 33  = =lo3g  ℎ = 2  1

9. El dominio de la función a. b. c. d. 10. El valor de la expresión a. b. c. d.

es:

es:

11. Relaciona cada una de las siguientes funciones con su rango: Función

Rango

1)

A)

2)

B)

3)

a. b. c. d.

∞,1,∞∞ 0, ∞

C)

1A,2B,3C 1A,2C,3B 1C,2A,3B 1C,2B,2A

ln 

12. El valor de a. – 3 b. 1 c. d. 3





es:

13. El valor de en la expresión a. 2 b. 4 c. 8 d. 16

log 16

es:


14. Dos de las siguientes expresiones son correctas, determina cuales son. 1) 2) 3) 4)

lloogg =lo=glo gl olgo g  log  =   log  = log  log  a. b. c. d.

1,3 1,4 2,3 2,4

 

15. Si un auto comprado en 20000 dólares se deprecia 20% cada año, y representa el tiempo en años, determina la expresión que te permita calcular el valor del auto para un año cualquiera. a. b. c. d.

    == 20000 0 . 2  .    20000      == 20000 0 , 8 20000.


3.1. Función exponencial y logarítmica. 3.1.1. Función exponencial. 3.1.1.1. Expresión algebraica. Una función exponencial de base a está definida por la expresión:

 =   >   ≠   ∈  , con

y

;

.

Como podemos observar la expresión de esta función tiene en su base una constante y en su potencia una variable.

3.1.1.2. Gráfico y propiedades. Para determinar el gráfico y propiedades proponemos el siguiente ejercicio. Ejemplo 1:

 = 3,  =   3 <  <   > 

Graficar las siguientes funciones:

Solución:



La base de la función es , que cumple la condición , que cumple la condición .

  

, en tanto que la base de la función es

Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las gráficas de las funciones y ,


  =   = 

3 127 27

2 19 9

1 0 1 2 3 13 1 3 9 27 3 1 13 19 217

En esta tabla podemos identificar tres características fundamentales:

  

1) Para las bases propuestas, las funciones y son siempre positivas, independiente del valor que pueda tomar su exponente . 2) La razón de crecimiento es positiva para la función (función creciente), mientras que es negativa para la función (función decreciente). 3) Las funciones y tienen una misma ordenada en el origen, el punto .

  



0, 1

La tercera característica está basada en la siguiente propiedad:

 = ;  ∈ , ≠ 

.

El gráfico de las funciones es el siguiente: Gráficos:


> 1

0<<1

Podemos notar que la forma de la gráfica depende del valor de la base, como se especifica en cada gráfico.

Propiedades. Una vez que hemos determinado el gráfico de la función exponencial, sus características básicas y su forma, podemos analizar las siguientes propiedades:


  =   >   ≠   ∈   ∈  =∞, ∈∞       =   >   ≠   ∈   > 0  ∈ =0,∈∞ +

Dominio.- En los gráficos del ejemplo 1 observamos que la función exponencial es continua y no presenta ninguna restricción para los valores de su exponente , por tanto el dominio de la función definida como , con y ; son todos los números reales.

,

Rango.- En la tabla de valores del ejemplo 1 también podemos observar que el valor de las funciones siempre es un valor positivo, independiente del valor que tome el exponente , por tanto podemos expresar que el rango de la función definida como , con y ; son todos los números reales positivos .

,

Corte con los ejes.

  =0

Corte con el eje .

0 0 = = = 1.

El corte en el eje se da bajo la condición de que la variable independiente, esto es, el exponente , por tanto tenemos que evaluar la función en cero :

,

Participa en el foro accediendo en la plataforma: Unidad formativa 3 / Actividades / Foro


Para pensar: ¿Cómo puedes hacer una demostración de que

 =0

1  ,

 = 1

?

Esto significa que independiente del valor de la base (bajo la definición de la función exponencial), la evaluación de la función en siempre es , lo que ya se verificó en la tabla de valores del ejemplo 1.

Corte en el eje :



.

Corte con el eje .

  =   >   ≠   ∈        =0

En la tabla de valores del ejemplo 1 y en los gráficos de la funciones podemos observar que los valores de las funciones (los valores en ) son siempre positivos y no llegan a ser cero, lo que significa que la función definida como , con y ; no corta al eje .

Lo que observamos en los gráficos es que las funciones se aproximan al eje , matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje y el eje es su asíntota horizontal, esto es, la curva tiende a tocar al eje , pero nunca llega a hacerlo (recuerda que el eje corresponde a la ecuación ).



Monotonía.- De acuerdo a la característica 2 de la tabla del ejemplo 1 podemos generalizar el siguiente criterio:


Función exponencial

Monotonía

 =    > 1

Función creciente. . Función de crecimiento exponencial.

→ ∞→  → →∞∞  =   0 <  < 1

Función decreciente. . Función de decrecimiento o decaimiento exponencial.

→ →∞∞ → →∞ “La expresión:


Se lee:



→ →∞∞

tiende a infinito, cuando



tiende a infinito.”

También te debo mencionar que las funciones ya definidas pueden manipularse matemáticamente, con lo que sus propiedades pueden cambiar.

Por ejemplo veamos el gráfico de la siguiente función:

 = 2+  3

Construye una tabla de valores y verifica la siguiente forma gráfica.

Esta función se ha trasladado horizontal y verticalmente, con lo que se han modificado algunas de sus propiedades, la secuencia de estas transformaciones las podemos ver a continuación:




Podemos observar en el primer gráfico que tenemos las características ya definidas el corte en el eje es el punto (0,1), en el segundo gráfico podemos ver una traslación hacia la izquierda de una unidad, con lo que el punto de corte en el eje cambia al punto (0,2), y finalmente en la función propuesta en el tercer gráfico vemos adicionalmente una traslación de tres unidades hacia arriba lo cual se evidencia en el nuevo punto de corte en el eje (0,5).



Las propiedades de la nueva función son: 













 ∈ ∞,∞

Dominio.- El dominio siguen siendo todos los reales , pues no está presente ninguna restricción para la asignación de los valores de . Rango.- Como la función se desplazó hacia arriba 3 unidades, el rango es el conjunto de valores que pertenecen al intervalo . Asíntota.- La asíntota horizontal ahora es la recta . Cortes.- Esta función corta al eje en el punto de coordenadas lo que se puede verificar con un reemplazo de en la función, además esta función no corta al eje . Monotonía.- Esta función es creciente en el sentido positivo del eje .



3, ∞  = 3   0 , 5   =0  


3.1.1.3 Modelos exponenciales. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones concretas en contextos reales para el modelamiento de procesos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Una muestra de ellas a continuación: Crecimiento exponencial. Ejemplo 2: En un laboratorio se está analizando el crecimiento de una bacteria en particular, se sabe que la colonia inicialmente tiene 500 bacterias y que su número se duplica cada hora, se busca modelar su crecimiento y determinar el número de bacterias luego de 10 horas. Solución. Para el modelamiento partamos de una tabla de datos inicial que cumpla con la descripción de la situación planteada.

 

0

1

2

3

500

1000

2000

4000

La tabla muestra, como el problema lo propone, una duplicación de las bacterias cada hora. El número de bacterias lo podemos modelar de la siguiente forma:

       ú          ú   500×2 500 ×2 500×2 500×2    0

1

2

3

500

1000

2000

4000

Aquí podemos observar la presencia de una cantidad constante, las 500 bacterias iniciales de la colonia, que la llamaremos , un factor igual a que lo llamaremos , y en el exponente el tiempo




  = ,   ≠    > 

en años que lo llamaremos ; llamando al número de bacterias podemos escribir el siguiente modelo exponencial:

, ya que depende del tiempo,

.

vv

Que corresponde al modelo exponencial del ejemplo y que se lo puede generalizar para problemas similares.

Para determinar el número de bacterias luego de 10 horas bastará evaluar el modelo para el tiempo solicitado:

10 = 5002 = 512000 .



De acuerdo a la explicación que leíste en la monotonía de la función, la base determinará si el presente modelo es de crecimiento y decrecimiento expone ncial bajo las siguientes condiciones.

 ==  0 < > <1 1

Función de crecimiento exponencial. Función de decrecimiento exponencial.

Decrecimiento exponencial. Ejemplo 3 El Radón-222 tiene una vida media de 3.82 días, si tenemos inicialmente 100 miligramos del elemento químico. Determina la cantidad al cabo de 15 días. z


Solución. La vida media de un elemento radioactivo es una típica aplicación de decrecimiento exponencial, ya que indica el tiempo en que la materia del elemento se reduce a la mitad, por tanto tenemos que .

 = 

 =   = 10 

Utilizamos la expresión , en la que y los tiempos debemos colocar en períodos de 3.82 días, ya que este valor corresponde a la vida media, dada esta última característica, se suele escribir la fórmula de la forma:

ℎ

    =  

Donde representa el tiempo de vida media. Los datos a colocar en mismas unidades de tiempo.

 = 15 í.   .  1 15 = 1002  15 = 6.6 .

ℎ

y deben estar en las

Luego, nuestro cálculo es simplemente reemplazar

Puedes fortalecer tu comprensión y encontrar más aplicaciones revisando los videos de los siguientes links. https://es.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions https://es.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponentialdecay-alg1/v/word-problem-solving-exponential-growth-and-decay


3.1.2. Función logarítmica. 3.1.2.1. Expresión algebraica. Una función logarítmica de base a está definida por la expresión:

 =    >   ≠   , con

 

y

Que se lee: de es igual al logaritmo en base de .

La primera equivalencia que escribimos para comprender la expresión de la función logarítmica es la siguiente:

 =    

si se cumple que

 = 

   >   =     =    =  



Generalmente mencionamos: el logaritmo de en base es igual al exponente al que se debe elevar la base para obtener . Dado que

y

, solo toma valores positivos Si:

Donde: 

 

, entonces:

.

2 es la base, 3 es el exponente ( ), y 8 es el número ( )


3.1.2.2. Gráfico y propiedades.

Para determinar el gráfico y propiedades proponemos el siguiente ejercicio.

Ejemplo 4:

 = log ,  = log     0<<1     217 19 13 1 3 9  3 2 1 0 1 2  =   3 2 1 0 1 2

Graficar las siguientes funciones: Solución:

 >1  

Como en el caso de la función exponencial, la base de la función cumple la condición en tanto que la base de la función cumple la condición , condiciones a generalizar.

,

Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las gráficas de las funciones y .

Si comprendiste la relación entre la base , el exponente , y el valor de , puedes ver que preferimos colocar valores en la tabla que nos permitan obtener valores inmediatos de la funciones.

27 3 3


En esta tabla podemos identificar cuatro características fundamentales:



      

1) Los valores de y de las funciones y están invertidos si los comparamos con los del ejemplo 1. 2) Para las bases propuestas, los valores de en la tabla son siempre positivos. 3) La razón de crecimiento es positiva para la función (función creciente), mientras que es negativa para la función (función decreciente). 4) Las funciones y tienen una misma abscisa en el origen, el punto .

1, 0

La cuarta característica está basada en la siguiente propiedad:

 = ;   = 

.

El gráfico de las funciones es el siguiente:


Las bases de las funciones logarítmicas graficadas tienen la siguiente característica:

 0 < > <1 1 ,

.

Propiedades. Una vez que hemos determinado el gráfico de la función logarítmica, sus características y su forma, podemos analizar las siguientes propiedades:

    >   ≠ 

 =

Dominio.- En los gráficos de este ejemplo observamos que la función logarítmica es continua y sólo existe para valores positivos de , por tanto el dominio de la función definida como , con y ; son todos los números reales positivos.

 ∈ =0,∈∞+

,


Rango.- En la tabla de valores también podemos observar que el valor de las funciones puede ser positivo, negativo e incluso cero, por tanto podemos expresar que el rango de la función definida como , con y ; son todos los números reales.

 =    >   ≠   ∈ +  ∈ =∞, ∈∞   = 1 1 1 = =loglog 1= 0.   1  ,     >   ≠   ∈ +  ,

Corte con los ejes.

Corte con el eje .

 = 0

El corte en el eje se da bajo la condición de que la función tenga un valor de cero ( , lo que se da cuando la variable independiente, esto es, el valor de , tenemos que evaluar la función en uno :

,

Este valor se comprueba, pues la simple pregunta que nos debemos hacer es: ¿A qué exponente se debe elevar la base para obtener como resultado ?, y la respuesta siempre va a ser cero, independiente del valor que tome la base .

Corte en el eje :

Corte con el eje .

.

  =

En la tabla de valores y en los gráficos de la funciones podemos observar que los valores de son siempre positivos y no llegan a ser cero, lo que significa que la función definida como , con y ; no corta al eje .


 



Lo que observamos en los gráficos es que las funciones se aproximan al eje , matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje y el eje es su asíntota vertical, esto es, la curva tiende a tocar al eje , pero nunca llega a hacerlo.



Monotonía.- De acuerdo a la característica 3 de la tabla podemos generalizar el siguiente criterio en función del valor de la base: Función exponencial

 = log    > 1

Monotonía

Función creciente.

.

→ →∞ → →∞∞

 = log   0 <  < 1

.

Función decreciente

→ →∞ → →∞∞


→ →∞∞

“La expresión:

Se lee:



tiende a infinito, cuando



tiende a infinito.”

3.1.2.3. Relación con la función exponencial. Como ya te habrás dado cuenta el análisis de las propiedades, el dominio y el rango de la función exponencial son iguales al rango y el dominio de la función logarítmica respectivamente:

Función

Dominio

∈∈ 0∞,, ∞∞ 

 = =log   >>0 0  ≠≠1 1 , con

y

, con

Rango

y

 ∈ ∈ 0∞,, ∞∞ 

Las funciones que cumplen con esta característica se conocen como funciones inversas. Es decir, las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí. Esta característica es evidente al observar los puntos de corte en los ejes:

  =   >   ≠   = ,

   ,      >   ≠ 

El punto de corte en el eje de la función exponencial de coordenadas , con

, con

y

es el punto

, el punto de corte en el eje de la función logarítmica

y

es el punto de coordenadas

.

También esta relación se presenta al poder intercambiar entre las notaciones exponencial y logarítmica como se indica:

 = 

, si y solo si

  = 

.

 =

Gráficamente se visualizan estas funciones inversas, pues sus puntos tienen una distribución simétrica respecto a la recta que se conoce como la función identidad.






Los pares ordenados que forman la función identidad poseen valores idénticos, eso es, un valor de devuelve en su mismo valor. Veamos esta propiedad en el siguiente gráfico:


Para pensar: Ya definidas las funciones exponenciales y logarítmicas, éstas pueden ser modificadas, matemáticamente se dice transformadas, analiza las siguientes funciones, determina y comenta sus propiedades:    

 = ==−    =  


3.2. Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. 3.2.1. Propiedades de los exponentes. Recordemos las propiedades básicas de los exponentes mostradas en el siguiente cuadro:

Propiedad

Expresión

Multiplicación División Potencia de un producto Potencia de un cociente Potencia de una potencia Potencia cero Potencia negativa

 ÷ × = =−+, ≠ 0  =  ×   =  ,×≠ 0  = 1, =≠ 0 − = 1 ,  ≠ 0

3.2.2. Propiedades de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos tienen relación y demostración directa mediante las leyes de los exponentes de la tabla anterior. Dada una base

 >0  ≠1 lloogg 1 == 01 log  =  y

, se cumple que:

Propiedad

Justificación

 == 1  = 


Para pensar: 

 = 

Justifica y comenta la siguiente propiedad:

También tenemos las propiedades del desarrollo de los logaritmos. Dada una base

 >0  ≠1   log = log  log  log  =log   log  log  = log  y

, para y positivos se cumple que:


Para pensar:

 =   = 

Sean y , utilizando las propiedades de los exponentes y el hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son inversas, demuestra las propiedades del desarrollo de los logaritmos. Ejemplo 5: Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar la siguiente expresión:

log √  SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Solución.

Utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos podemos escribir el siguiente proceso:

   2log √  2[log(√ ) log] 2(log  log √  log) 23 log   13 log  log    

El proceso seguido también lo puedes hacer en sentido inverso, esto es, expresar en un solo logaritmo la expresión final. 3.2.3. Notación exponencial y logarítmica. Ya hemos indicado que:

 = 

, si y solo si

  = 

.

Esta relación entre la función exponencial y la función logarítmica es fundamental para el trabajo inicial de sus ecuaciones, así las siguientes expresiones son equivalentes:


9 = 3

,

si y solo si

log 9 = 2

.

Estos dos tipos de escritura, estas dos notaciones exponencial y logarítmica nos permiten

calcular algunos logaritmos simples, por ejemplo:







 == lloogg 16  = log 8

43 = =1 6 ==22  = 8  = 3

, significa que , significa que

,

significa que

y por tanto y por tanto

y por tanto

.

.

.



Como vemos los logaritmos pueden tener diferentes bases, las más comunes son la base 10 (logaritmos decimales) y la base (logaritmos naturales), que los encuentras como teclas directas de uso en tu calculadora. En los logaritmos decimales la base se toma por defecto y no se la escribe, esto es:

log 1000 = 3

,

dado que:

Los logaritmos naturales se escriben en la forma ejemplo:



ln = 1

,



1000 = 10.

y cumplen todas las propiedades escritas, por

dado que:

 = 

.

Puedes revisar el número en el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/e-and-thenatural-logarithm/v/e-through-compound-interest


3.2.4. Ecuaciones exponenciales: ejercicios. Para resolver ecuaciones exponenciales, a más de utilizar sus propiedades, utilizaremos su relación con la función logarítmica. Ejemplo 6: Resolver 6: Resolver la siguiente ecuación:

Solución.

 =  3 = 3−− 3 = 3− 3 = 11  =3 6 = 45

Podemos escribir los dos miembros de la ecuación en términos de la misma base:

Luego,

Entonces,

Ejemplo 7: Resolver 7: Resolver la siguiente ecuación:

Solución. En este caso no podemos igualar las bases y utilizamos la siguiente propiedad:

  = ,,  =   > ,, > 


Vamos a utilizar el logaritmo en base 10, que lo podemos determinar en nuestra calculadora: Entonces:

Utilizado las propiedades tenemos:

Luego

Ejemplo 8: Resolver 8: Resolver la ecuación:

log6 = log 45  log6 = log 45  = lloogg465 ≈ 2.1245 3+ = 2−

Solución. Como los dos miembros de la ecuación son positivos, podemos utilizar la misma propiedad del ejercicio anterior:

Luego,

Entonces tenemos:

log3++ = log2−−  log3g311lolog3gg33== =2l 22og2g23l3logo2g2g2 log3g3  3log2g2 = 2log2g2   log3g3 2l2log2log3g3 = log3g3  3 log 2




 = +− ≈ .

Este despeje de lo podemos seguir trabajando utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos en sentido inverso de la sección 3.2.1.

Así tenemos:

 = lloogg23 lologg3g23  = lolgog3×2×23 2  =  ≈ .

Como vemos obtenemos el mismo resultado, pues la aplicación de las propiedades genera expresiones equivalentes. 3.2.5. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios.

log

Las igualdades que contienen términos se denominan ecuaciones logarítmicas, en las cuales se el cambio de notación es fundamental fu ndamental para su solución. Ejemplo 9: Resolver 9: Resolver la ecuación:

log 3 3 = 4 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Solución. En esta ecuación sencilla, recordemos que podemos cambiar a notación exponencial escribiendo:

 3 = 2  3 = 16  = .  log 16 = 4 16 = 2

Una ecuación lineal fácil de resolver,

Esta solución la podemos verificar pues al reemplazar tenemos: , lo que significa que

.

Ejemplo 10: En el caso de tener varias expresiones con logaritmos en la ecuación a resolver, tenemos que utilizar las propiedades de su desarrollo de la sección 3.2.1.

 log5 1 = 2log 1

Así por ejemplo hallemos el valor de en la siguiente ecuación logarítmica:

Solución.

En primer lugar juntamos las expresiones que contienen la incógnita,

log5 1 log 1 = 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Utilizamos las propiedades del desarrollo de los logaritmos, esto es, si hay una resta de logaritmos, los términos están formando un cociente.

log 511  = 2 Cambiando a notación exponencial podemos escribir:

Resolvemos:

511 = 3 5 14==98  9 = 

Un reemplazo en la ecuación inicial verifica la solución obtenida.


Ejemplo 11: Una de las aplicaciones más conocidas de los logaritmos es su empleo en la escala Richter de los terremotos, cuya expresión es: Como vemos el logaritmo utilizado es base 10. Donde:  



es el grado del terremoto, representa el número de veces que el terremoto es más intenso respecto al sismo de menor intensidad que se puede detectar en un sismógrafo.

¿Calcular cuántas veces es más intenso un sismo grado 5 que un sismo grado 2? Solución. Sismo grado 5:

Sismo grado 2:

5 == l10og  = 100000 2 == l10og  = 100

Si dividimos las intensidades de los dos sismos obtenemos:

10000010 = 1000 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Por tanto un sismo grado 5 es 1000 veces más intenso que un sismo grado 2. 3.2.6. Comprobación de soluciones. Una parte indispensable en la solución de todo tipo de ecuaciones es la comprobación de sus soluciones, asegurándote así de tener la solución correcta. Aplica los siguientes criterios en este tipo de ecuaciones, y toma como referencia el dominio ya especificado en cada una de las funciones estudiadas. En las ecuaciones exponenciales como el dominio de la función admite cualquier valor real no tienes inconveniente y bastará un simple reemplazo para verificar tu respuesta. En las ecuaciones logarítmicas debes tomar en cuenta que el dominio son sólo los valores reales positivos, por tanto tienes que verificar que los argumentos de los logaritmos de tu ecuación, es decir, los términos afectados por los logaritmos sean siempre positivos, determinando así soluciones válidas para tu ecuación. Las funciones exponencial y logarítmica, así como sus ecuaciones tienen muchas variantes, a continuación encuentra una muestra de ellas.

Ejemplo 12:



Hallar el valor de que satisface la siguiente ecuación:

  =   

Solución. La primera dificultad que encontramos en la ecuación es que los logaritmos se encuentran expresados en bases diferentes que las tenemos que unificar, utilicemos un cambio de notación para resolverlo.


Observa este modelo y replícalo:

Si

 =    

, entonces sabemos que

 =  llogog == lloogg  = 

Luego podemos aplicar logaritmos a los dos miembros de la ecuación, obteniendo:

En este caso hemos cambiado a base 10. Por lo tanto la fórmula de cambio de base para cualquier valor permitido es:

  =   Continuemos con el ejemplo y cambiemos el logaritmo base 4 a base 2.

loglog14 = 12  log


Usando la definición de logaritmo tenemos:

Luego,

Cambiamos de notación,

Obtenemos la ecuación cuadrática:

log2 1 = 12  log lloogg11=2l12logog =1 log 11log = 1 log    = 1 1 = 2 2   1 = 0

Que la podemos resolver por la fórmula o factorizarla de la siguiente forma:

2 1 1 = 0


Obteniendo las siguientes soluciones:

2  1 =0  =   1 1==0 Recuerda que en esta ecuación logarítmica tienes que verificar que los argumentos de los logaritmos sean positivos debido a la propiedad de la función, esto es:

 11 >0>, 0> 11

,y

La restricción que asegura el cumplimiento de ambas condiciones es

=  Ejemplo 13:



 >0

, por tanto:

es la solución válida de la ecuación propuesta.

Hallar el valor de en la siguiente ecuación:

  = . SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Un cambio de notación nos proporciona la respuesta directamente:

 ≈=10.3.61 Este proceso se conoce como determinar el antilogaritmo.

Ejemplo 14:



Los logaritmos naturales también son muy utilizados en procesos que involucran cambios contínuos, recuerda que la base del logaritmo natural es el número trascendente que tiene un valor aproximado de 2.718281. Algunas instituciones bancarias ofrecen un interés continuo a sus clientes, estas transacciones se modelan mediante la ecuación:

Donde: 



 

 

 = 

representa la cantidad inicial de dinero del cliente, representa la cantidad de dinero al final de la transacción, representa la tasa de interés ofrecida por la institución (un valor decimal), y representa el tiempo de la transacción, cuyas unidades están de acuerdo a las condiciones representa de la tasa de interés.

Si se sabe que el banco ofrece una tasa de interés anual del 8%. ¿En cuánto tiempo un cliente puede duplicar la cantidad de dinero inicial que coloca?


Solución. Tenemos que: 



 == 0.208

(recuerda un valor decimal, en este caso c aso

Luego,

Aplicando logaritmo natural tenemos:

Pues la base de

 

es .



)

2 = . 2 = . ln2 = ln. ln2 = 0.08  = ln82 ≈ 8.7 ñ

Un cliente de esta institución financiera necesita 8.7 años para poder duplicar su inversión.


FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS:

1. Si

√ 5 =

TAREA

  2− 8 = 4 log 2 = 4     = 1002    =  log  log 3   1  =  2     = log 2 1

  √ 

. Calcula el valor de es:

2. Determina el valor de en la ecuación: 3. Halla la solución de la ecuación

.

4. El número de bacterias en un cultivo, para un tiempo de horas se modela con la ecuación: . Determina el número de bacterias iniciales presente en el cultivo. 5. Despeja de la expresión:

6. Halla la solución de la ecuación

7. Un elemento radioactivo tiene una vida media de 7 días y la cantidad del elemento se modela con la ecuación:

Donde:   

es la cantidad del elemento radioactivo luego de días, es la cantidad inicial del elemento radioactivo, y es el tiempo en días.

Determinar el porcentaje del elemento radioactivo que queda después de 30 días. 8. Determina el dominio de la función:


UNIDAD FORMATIVA 4: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTRUCTURADOS

EVALUACION DIAGNOSTICA

3,1, 160,,92,10,2,4…0,… ,,1,,,,2 ,,……

1. Indica que progresiones son aritméticas: A) B) C) D)

a. b. c. d.

A, B A, D B, C B, D

2. Los siguientes ángulos forman una progresión aritmética.

Determina el valor del ángulo e. 30 f. 45 g. 60 h. 75

°

.

3. Determina el término 90 de la siguiente progresión:

i. 287 j. 307 k. 345

11,7,3,1,…


l.

366

4. Si para una carrera de 5km una persona se propone comenzar entrenando 1km el primero día, e ir aumentando 500m cada día de entrenamiento. Hasta el día que corra los 5km como parte de su entrenamiento por primera vez. ¿Cuántos km habrá entrenado en total? m. 26 n. 27 o. 28 p. 29



5. Halla el valor del quinto término de una progresión geométrica que tiene como primer término 6 y como razón q. r. s. t.

  

6. En un sorteo se ofrecen 10 premios que en total suman 2625 dólares. Si cada premio consecutivo desde el décimo hasta el primero tiene una diferencia de 25 dólares, siendo el primero el mayor premio. Halla el valor del décimo premio. u. 125 v. 150 w. 175 x. 200



7. Halla el valor de de tal forma que la siguiente progresión sea geométrica.

y. z. aa. bb.

1 4 8 10

, 2, 3

8. Un almacén deportivo vende en cuatro días de promoción 160 ternos deportivos, si cada día vendió la tercera parte del día anterior. ¿Cuántos ternos deportivos vendió el primer día? cc. 54 dd. 81 ee. 108


ff. 135 9. ¿Cuál es la vida útil en años de una máquina cuyo costo inicial es de 3600 dólares, si se deprecia anualmente en 150 dólares y su valor de desecho es 300 dólares? gg. 20 hh. 21 ii. 22 jj. 23 10. ¿Cuántos términos de la progresión de 390? kk. 14 ll. 15 mm. nn. 17

9,4,1,6,…

deben sumarse para tener un resultado

16

11. Dados los vectores:

Halle

⃗ 4 1 1142 

oo.

pp.

qq.


rr.

33 3√ 13 √ 515 ⃗⃗ == 2⃗⃗⃗2⃗⃗4⃗ ⃗= =23⃗⃗ 7,2 2,7 ⃗ == 84⃗⃗63⃗⃗

12. Determina la magnitud del vector ss. tt. uu. vv.

⃗ = 3⃗2⃗ ⃗ = 2⃗⃗

13. Identifica el vector perpendicular al vector ww. xx. yy. zz. 14. Identifica el punto inicial del vector aaa. bbb. ccc. ddd.

⃗ = 3⃗⃗

15. Identifica el vector de magnitud 5 opuesto a eee. fff. ggg. hhh.

10,3 2,7   7 , 2 ⃗ = 8⃗6⃗ ⃗⃗= = 4⃗⃗3⃗⃗  , si el punto final es


4.1. Progresiones Aritméticas. Para comprender el concepto de progresión, empecemos por entender lo que son las sucesiones. 4.1.1. Sucesiones y reglas de construcción. Entendemos como sucesión a un conjunto de términos ordenados de acuerdo a una regla específica. También podemos comprender una sucesión como una función cuyo dominio son los números naturales N o un subconjunto de ellos y cuyo rango son los términos que la forman. Por ejemplo la sucesión:

1,4,9,16,25,… Está formada por los cuadrados de los números naturales, y como función se puede expresar de la siguiente forma:

: { →→ =  En esta función el dominio son los números naturales, el rango son los números reales y la regla de construcción indica que a cada número natural se le asigna su cuadrado. Podemos tener infinito número de sucesiones según su regla de construcción, lo que debes tener siempre en cuenta es que en toda sucesión tenemos un primer término y a cada término se le asigna su valor de acuerdo a su posición y su regla de construcción. Al estar definidas las sucesiones como funciones, se les asigna reglas de construcción como fórmulas.


Ejemplo 1: Hallar los 4 primeros términos de las sucesiones cuya regla de construcción se define por la fórmula:

a) b)

 == +−

Solución:



a) Para determinar los términos de la sucesión necesitamos hacer los siguientes reemplazos en los valores de .



   == 1111 == 112 21 3 1 1  == 311 == 14 41 5 ,, ,,… 12 ,13 , 14 ,15 , …  = − 0,1,3,6,…

Posición 1 2 3 4

Los términos de la sucesión son:

Esto es:

b) Con un proceso similar para

Término

obtenemos los términos:


Muchas veces tenemos como datos los términos de una sucesión y lo que pretendemos hallar es su regla de construcción, en este caso mientras más cantidad de términos se tenga es mejor. Las sucesiones también admiten clasificaciones, entre las básicas tenemos:

Tipo de sucesión Finita Infinita Creciente Decreciente

Definición Tiene primer y último término. Tiene primer término y no último. Cada término siguiente es mayor que el anterior. Cada término siguiente es menor que el anterior.

La regla de construcción de una sucesión también puede estar definida en forma recursiva, lo que significa que cada término está definido por su término anterior o sus anteriores.

Por ejemplo hallemos los 5 primeros términos de la siguiente sucesión definida en forma recursiva:

 = 2− 5 ,  = 3,  > 1

    = 3   = =22  55==2213  55==127  = =22  55==225297  55==12593

Como puedes ver en este caso es necesario especificar el valor del primer término tabla muestra el cálculo de los términos a encontrar.

 1 2 3 4 5

. La siguiente

(dato)

Los términos que forman la sucesión son:

3,11,27,59,123,… SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Cuando las sucesiones cumplen una regla de construcción específica, reciben el nombre de progresiones. Puedes reforzar las bases de sucesiones en el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/precalculus/seq-induction#sequences-review

Para pensar: 

Una sucesión famosa a lo largo de la historia en la sucesión de Fibonacci, comenta sobre su regla de construcción y sus aplicaciones. Usa los siguientes links para iniciar tu indagación. https://www.youtube.com/watch?v=DKGsBUxRcV0 https://es.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/spiralsfibonacci/v/doodling-in-math-spirals-fibonacci-and-being-a-plant-1-of-3

4.1.2. Definición y construcción de progresiones aritméticas.

Una progresión aritmética se define como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción:



Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando a su inmediato anterior una cantidad fija llamada diferencia .

Analicemos los siguientes ejemplos de sucesiones:

a) b)

5,15,11,11,17,7,233,,21,9,35,5,……


Estas sucesiones cumplen la regla de construcción establecida y se pueden escribir por recurrencia de la siguiente forma:

a)

 = − 6 ,  = 5,  > 1

Cada término, a partir del primero, se obtiene sumando 6 a su inmediato término anterior.

b)

 = − 4 ,  = 15,  > 1

Cada término, a partir del primero, se obtiene restando 4 a su inmediato término anterior.



 

6 

Ambas reciben el nombre de progresiones aritméticas, con la característica de que en la progresión del literal la diferencia es un valor positivo y es una progresión aritmética creciente, mientras que en el caso del literal el valor de la diferencia es negativo y es una progresión aritmética decreciente.

4

   

4.1.3. Término

ésimo.

El ésimo término de una progresión aritmética, conocido también como término general, representa cualquier término de la progresión y expresa su regla de construcción.



Para su deducción literal construyamos una progresión aritmética de término inicial . La siguiente tabla muestra los primeros 5 términos de la progresión aritmética:

 1 2 3 4 5



y diferencia

   =  =  =1  2  ==    ==   34 Término


En los cinco primeros términos de la progresión aritmética podemos identificar un patrón que nos permite determinar cualquier término a partir del primero, podemos observar que según el número del término , las veces que está sumada la diferencia es , así el término 5 se obtiene sumando al primer término cuatro veces la diferencia .



Por tanto la expresión del



14

ésimo término de una progresión aritmética es:

 =     

Para pensar: 

 = 5

 = 3

 =4

Una progresión aritmética tiene por primer término , y por diferencia , determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje represente el número del término y el eje el término de la progresión aritmética. Responde y comenta. ¿Si unes los puntos qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión?



  

, 





4.1.4. Suma de los primeros términos.

La suma

de los términos de una progresión aritmética es:

 =         ⋯

Para deducir su expresión partamos del siguiente ejemplo: Deseamos conocer la suma de los 30 primeros términos de la siguiente progresión aritmética.

4,10,16,22,… SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

En primer lugar identificamos que: 





= =64  = 30

, el primer término. , la diferencia común que se obtiene al restar a cualquier término su inmediato anterior. , ya que se pide la suma de los 30 primeros términos.

En primer lugar hallemos el término 30

 =     1  =4 = 17830 16

pues ya conocemos la expresión del término general.

Luego la suma que buscamos es:

 = 4101622 ⋯172178 Esta suma también la podemos escribir de la forma:

 = 178 172166160⋯104 Sumando las dos expresiones anteriores término a término obtenemos:

2 = 182 182182 182 ⋯182182 Podemos observar que estamos sumando 30 veces 182, por tanto:


2 = 30182

4178    2 = 304  178  = 320 4178

El valor de 182 lo podemos escribir como

 = 2730

Obtenemos una suma de número de término a sumar tenemos:

, esto es,

. También identificamos que el valor de 30 corresponde al , por tanto, reemplazando los números por lo que representan

 =     

Expresión para determinar la suma de los primeros términos de una progresión aritmética.

  =        =     

Esta expresión admite una equivalente si reemplazamos el término

ésimo, obteniendo:


4.1.5. Aplicaciones.

Las aplicaciones de las progresiones aritméticas las podemos encontrar en ejercicios y problemas, revisa los siguientes ejemplos: Ejemplo 2: Una progresión aritmética tiene por primer término 25, y su noveno término es 81. Encuentra el término vigésimo. Solución. Tenemos como datos:

 == 2851  = 9 81 = =2 5 9 81 8125 = 8 8 == 56    = =2525 2011977  =   

Colocando la expresión del término general para

Luego:

escribimos:

Una vez hallada la diferencia podemos determinar el término pedido


El vigésimo término de la progresión aritmética es 158.

Ahora analicemos la característica de la diferencia común de una progresión aritmética de la siguiente forma: Para un término cualquiera de la siguiente forma:



(menos el primero), este tendrá un término anterior y uno posterior

−,,+

Dada la estructura de una progresión aritmética, podemos determinar el valor de la diferencia utilizando una de las siguientes expresiones equivalentes:  

 == +  −

Por tanto:

El término



, o

 =  2  =− −=  + +   = −  + se define como la media aritmética de sus dos términos contiguos

Ejemplo 3:

−,  +

Intercalar 5 medios aritméticos entre 3 y 12.


.



Solución Tenemos como datos:  





 = 3  = 7  = 12

El primer término . Como intercalamos 5 medios aritméticos entre 3 y 12, el número de elementos de la progresión aritmética es . El séptimo término .

Para construir la progresión necesitamos determinar la diferencia, utilicemos la expresión del ésimo término.

 =     1

Reemplazando los datos tenemos:

 12= = 3 761  = 1263 = 96 = 1.5  = 1. 5 3, 4. 5 , 6, 7. 5 , 9, 10. 5, 12

Conocido ya el valor de la diferencia

podemos intercalar los medios aritméticos pedidos:


Ejemplo 4: Un atleta planea entrenarse para una carrera de 11 km. Piensa iniciar en su primer día corriendo 1km, e ir aumentando cada día a su recorrido de entrenamiento 400m. a) ¿En qué día de su entrenamiento correrá por primera vez los 11 km? b) Contando el día en que corrió por primera vez 11 km en su entrenamiento. ¿Cuánta distancia habrá recorrido en todo su entrenamiento hasta ese día? Solución. Al leer el problema podemos identificar los siguientes datos:  

= =0.14

(el primer día corre 1 km) (cada día corre 400m más que equivale a 0.4 km)

  = 1

a) Para contestar este literal, necesitamos determinar el valor de en el cual Utilizamos la fórmula de

  =    1 1 = 1 11110.4  1 = 0.4  1= =25 .

.

En el día 26 de su entrenamiento correrá los 11 km por primera vez. b) En este literal se nos pide determinar el valor de la siguiente suma:

11.41.82.22.6⋯11 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

 = 2   

Podemos utilizar la expresión:

Reemplazando los datos tenemos:

 = 226 1 11  =  El atleta ha recorrido una distancia total de 156 km en sus primeros 26 días de entrenamiento.

4.2. Progresiones Geométricas.

4.2.1. Definición y regla de construcción.

Una progresión geométrica se define como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción:



Cada término de la progresión geométrica se obtiene multiplicando a su inmediato anterior una cantidad fija llamada razón .

Ejemplos de progresiones geométricas son:


3,2,6,6,12,18,14,54,… … 10,2,, , …

a) b) c)

Estas sucesiones cumplen la regla de construcción de las progresiones geométricas pues podemos observar lo siguiente:

 = 3= 2 =  > 1   = 2  = 10 0 <  < 1  = 

En el literal a, cada término de la sucesión se obtiene multiplicando a su inmediato anterior por 2, por tanto el valor de la razón es . En el literal b, el valor de la razón es . En el literal c, el valor de la razón es .







 = 3

Las tres son progresiones geométricas. La progresión del literal a es creciente pues su primer término es positivo y tiene una razón , la progresión del literal c es decreciente, su primer término es positivo y tiene una razón . La sucesión del literal b debido a su comportamiento alternante de signo no se puede clasificar ni como creciente ni como decreciente.

Para pensar: 

Escribe las progresiones de los literales a, b, c en forma recursiva tal como lo realizamos en el estudio de la sección 4.1.1, comenta toda la información que se debe proporcionar para su construcción.

4.2.2. Término



ésimo.

Para una progresión geométrica con primer término construcción podemos escribir los siguientes términos:

 

y razón , de acuerdo a su regla de


 1 2 3 4 5



 1

 =  ×   ==  ××  ==  ××   =  ×  =  ×  Término



Podemos observar que en cada término , el número de veces que la razón está multiplicada es , por tanto podemos escribir la siguiente expresión:

 = −

Fórmula del término general de una progresión geométrica.

Para pensar: 

 = 2  = 4  

Una progresión geométrica tiene por primer término , y por razón , determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje represente el número del término y el eje el término de la progresión geométrica. Responde y comenta. ¿Si unes los puntos qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión?



, 



4.2.3. Suma de los primeros términos.



Para determinar la expresión que permite determinar la suma de los progresión geométrica realicemos la siguiente deducción:



primeros términos de una

Lo que buscamos es determinar el siguiente valor:


 =         ⋯ Esto es, de acuerdo a su regla de construcción:

 =        ⋯−     =        ⋯−    =        ⋯−     −    =     1 =   1  =    ,  ≠ 

Realicemos la operación

y observemos su resultado.



En las expresiones anteriores hemos procedido a multiplicar la razón por la expresión ya cambiar el signo a los términos de para que la resta sea evidente. Observamos que al restar los términos desde hasta se eliminan entre sí y obtenemos la siguiente expresión:

   Esto es:

Luego:




Expresión para determinar la suma de los primeros términos de una progresión geométrica.

4.2.4. Aplicaciones.

Las aplicaciones de las progresiones geométricas las encontramos en ejercicios y problemas. Ejemplo 5: Hallar el valor del octavo término y la suma de los quince primeros términos de la progresión:

2,3, 92 ,247 ,… Solución. En la progresión podemos leer los siguientes datos: 



 = 2

(primer término)

Para determinar la razón de la progresión dada su regla de construcción, dividimos cualquier término (a partir del segundo) para su inmediato anterior, esto es por ejemplo:

 =  = 32   = −

El mismo resultado se obtiene al dividir otro término para su inmediato anterior, entonces podemos escribir la siguiente expresión para la razón .


  = 3−  = 221872  = 2 128   =   = 15  = 1  1  = 2 3231  1 2  = .

Para determinar el valor del octavo término

utilizamos la fórmula del término general:

Para determinar la suma de los 15 primeros términos

, utilizamos la expresión:

La suma de los 15 primeros términos tiene un valor de 1747.6 En las progresiones geométricas encontramos una aplicación importante cuando la sucesión muestra un patrón de decrecimiento aunque alternen los signos. Estas sucesiones son convergentes, es decir, su suma tiende a un valor específico.

Para deducir la expresión de esta suma, partimos de la expresión de la suma de los términos:



primeros


 = −− Para que una progresión geométrica muestre el patrón decreciente su razón siguiente condición:

1 <  < 1  





debe cumplir la

Esto significa que es un valor decimal entre -1 y 1. Observando la expresión interesados en ver qué pasa con el término .



estamos

Mira la siguiente tabla para un valor de que cumpla esta condición. Sea

 = 0.2

 1 2 3 4 5 6

0.2 00.2.2 = =0.0.00084 00.2.2 = =0.0.000032016 0.2 = 0.000064



Claramente vemos que mientras el exponente aumenta el término se acerca cada vez más al valor de cero. Por tanto podemos mencionar que si deseamos sumar infinitos términos, el término cuando tiende a infinito valdrá prácticamente cero.

 

Esta deducción la expresamos matemáticamente de la siguiente forma:

Para

 <  <   → ∞  →  ; si

, entonces

.


Reemplazando esta condición en la fórmula de la suma tenemos:

 = 1  1  = 01 1  = 1  =   <  < 

Expresión para determinar la suma de infinitos términos de una progresión geométrica que cumple la condición

.

Veamos su aplicación en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 6:

0. 7̅ = 0.77 7…

Muestra que el número se puede expresar como un número racional, esto es, como un cociente de dos números enteros. Solución. El número

Esto es:

0.7777…

lo podemos expresar como:

0.77 7… = 0.7 0.070.007 0.00 7⋯ SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

0.7 77… =        ⋯   7 7 1 7 1 7 1 0.7 77… = 10  10 10  10 10  10 10  ⋯ Claramente observamos que se trata de una progresión geométrica con una razón podemos hallar la suma de sus infinitos términos:

 = 

, por tanto

 = 1 Datos: 



Luego:

= =

El número

Ejemplo 7:

.  = .…

7 7  = 11010 = 11900 = 79 

se puede expresar como .

Una progresión geométrica tiene como primer término el número 3, y como razón el número 4. ¿Qué término tiene el valor de 12288? Solución. Tenemos la siguiente información:




 

= =43  = 12288

(primer término) (razón común) (valor del término cuya posición vamos a determinar)

Utilicemos la fórmula del



ésimo término.

 = − 12288 = 34− 4096 = 4−

Esta es una ecuación exponencial que la podemos resolver aplicando logaritmos, como las ecuaciones de la unidad formativa 3.

−   4096 = 4 log4096 = log4091l6og 4  1 = log4  =    =  El séptimo término de la progresión geométrica tiene un valor de

Ejemplo 8:



.


La población de una ciudad en el año 2010 era de 200000 habitantes, si un estudio demográfico indica que la población incrementa un 1.5% cada año. ¿Qué población se espera para el año 2030? Solución. Los datos que podemos identificar en el problema son:







= =1.200000 0 15  = 21

(la población del año 2010) (el aumento previsto en la población: 100% + 1.5%) (el número de años incluyendo 2010 hasta 2030)

  = −  = =  22000000000011.0.01515−  = 

Debemos determinar el valor del término

.

En el año 2030 se espera tener una población de 269371 habitantes.

Ejemplo 9: Un automóvil se compra por un valor de 35000 dólares, las condiciones de mercado indican que su valor se deprecia 12% cada año. ¿En cuánto se puede vender el auto luego de 5 años de acuerdo a las condiciones del mercado actuales?

Solución. Si el automóvil pierde el 12% de su valor cada año, significa que conserva el 88% de su valor cada año, por tanto el factor a multiplicar es 0.88 (valor de la razón).


Datos: 

 

= =0.3500088  =6

(valor inicial del auto, por lo tanto, primer término) (de acuerdo al razonamiento realizado) (se necesita el valor del auto luego de 5 años)

Necesitamos determinar el término

  = −  = = 3 5000350000.08.888−  = . .

El valor del auto en cinco años será de 18470.62 dólares.

Para practicar más y fortalecer tus destrezas usa los siguientes links: https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometricsequences/e/geometric_sequences_1 https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometricsequences/e/geometric_sequences_2 https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/modeling-with-sequences/e/recursive_explicit 4.3. Vectores en R2.

En nuestro diario vivir estamos acostumbrados a medir magnitudes, medimos distancias, áreas, pesos, velocidades, etc. La clasificación de estas magnitudes que medimos radica en cómo las debemos expresar, así tenemos:



Magnitudes escalares, que se representan sólo por una cantidad numérica como por ejemplo: temperatura, densidad, presión, rapidez, etc.




Magnitudes vectoriales, que se representan por una cantidad numérica que la llamamos su módulo, y además necesitamos especificar su dirección y sentido como por ejemplo: velocidad, posición, fuerza, etc.

La representación de las magnitudes vectoriales son los vectores que matemáticamente y geométricamente se definen como segmentos de recta orientados.

Para entender mejor lo que es un vector piensa en tu ubicación respecto a la entrada del lugar donde te encuentras, para especificar tu posición no basta decir a que distancia te encuentras de dicha entrada (el módulo), además tendrás que especificar un ángulo, una inclinación para llegar a ti (la dirección) y cómo se debe ir de la entrada a tu ubicación (el sentido).

4.3.1. Vectores como desplazamientos en el plano.

La representación gráfica de vectores se lo realiza en un plano cartesiano y se entiende como el desplazamiento entre dos puntos, de la siguiente forma:

En la representación gráfica de un vector podemos distinguir los siguientes elementos:




 





      

Punto inicial, llamado también punto de aplicación, es el origen del vector. Punto final, llamado punto terminal, es el extremo del vector. Dirección, dada por la inclinación de la recta o línea de acción que contiene al vector. Sentido, representado por la flecha e indica la orientación del vector

  á   ℎ 

Módulo de vector, que se entiende como el tamaño del vector, conocido como la norma del vector.



Analíticamente los vectores se representan por sus puntos inicial y final



o por una letra minúscula que nombra el vector, por ejemplo , en estas representaciones el módulo de un vector se escribe o bien , también se acostumbra quitar la flecha de la parte superior.

 | |

De acuerdo a sus elementos podemos realizar la siguiente clasificación de los vectores:





Vectores equivalentes, (también llamados equipolentes) son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Vectores opuestos, aquellos que tienen igual módulo y dirección pero sentido opuesto.

También decimos que un vector está en posición estándar cuando su origen coincide con el origen de coordenadas.

El siguiente gráfico muestra una representación de vectores equivalentes y opuestos:


⃗ 

⃗

Podemos decir que los vectores y son equivalentes, y el vector es opuesto a cualquiera de los dos anteriores.

4.3.2. Expresión en forma de componentes, módulo y vectores unitarios.

Para poder operar con los vectores necesitamos expresarlos, de una de las siguientes formas.

Forma de componentes.- Para expresar un vector en forma de componentes podemos distinguir dos casos:

a) Cuando el punto de aplicación del vector (punto inicial) coincide con el origen de coordenadas, es decir, el vector está en posición estándar.


En este caso el vector se expresa en forma de componentes mediante las coordenadas de su extremo:

En forma general el vector se escribe:

 =   = 

b) Cuando el punto inicial del vector no coincide con el origen de coordenadas:

En este caso las componentes del vector se hallan restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final.

 =  =  




,   =   =    

En forma general si un vector tiene como punto inicial se expresa en forma de componentes:



Este vector también puede nombrarse como el vector

y como punto final

,

.

Módulo de un vector.- Como ya lo expresamos, el módulo de un vector se entiende como el tamaño del vector, y su expresión tiene la siguiente explicación gráfica:

, ⃗ | |

⃗ ,        | | =       

En el gráfico tenemos el vector que está trazado desde el punto hasta el punto , para determinar el módulo del vector hemos realizado la construcción de un triángulo rectángulo con catetos y en el que el tamaño del vector que se expresa corresponde a la hipotenusa de dicho triángulo. Por el teorema de Pitágoras podemos escribir:

Expresión para determinar el módulo de un vector conocidas las coordenadas de sus puntos inicial y final.


Vectores unitarios.- Un vector unitario lo entendemos como un vector cuyo módulo (tamaño) sea igual a la unidad.

⃗

   = | |

Si tenemos un vector , su unitario se escribe para su módulo, esto es:

 ⃗ 

y para determinar su valor dividimos el vector

⃗  

En el plano cartesiano se han definido ya dos vectores unitarios: el vector en la dirección y sentido del eje , y el vector en la dirección y sentido del eje .

, 

Dada esta definición, para expresar un vector en función de sus vectores unitarios (llamados también vectores base) bastará acompañar el valor de sus componentes por los vectores , respectivamente.

⃗ ⃗ 

Diremos que dos vectores son iguales si tienen sus mismas componentes y por tanto su expresión en vectores unitarios es la misma.

Ejemplo 10:

Graficar el vector cuyo punto inicial es función de sus vectores unitarios.

2, 1

y su punto final es

3,2

. Expresar el vector en


Solución.

⃗

Nombremos al vector a determinar, su gráfico se muestra a continuación:

Para expresar el vector en función de sus vectores unitarios, en primer lugar determinamos las componentes del vector:

⃗= 3221 = 53 ⃗ ⃗ 

Una vez determinadas las componentes del vector podemos escribir en función de los vectores unitarios y de la siguiente forma:

 = ⃗  ⃗

4.3.3. Operaciones con vectores: Suma, resta, producto por un escalar.


Las operaciones básicas entre vectores corresponden a su suma o resta y al producto por un escalar (por un número).

Suma y resta de vectores.

⃗=   =   ± =  ± =  ±±  ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗   =       =           ± =  ± ⃗   ±  ⃗ Dados dos vectores

,

su suma o resta es otro vector que se expresa como la suma

o resta de sus componentes:

La interpretación es la misma en función de sus vectores unitarios, esto es, si los vectores están expresados de la forma y su suma o diferencia se expresa de la forma: .

La suma y resta de vectores también se la puede realizar gráficamente de acuerdo a las siguientes reglas:

⃗ 

Para sumar dos vectores gráficamente se forma un polígono en el que se hace coincidir el origen del vector con el extremo del vector ; el vector suma, llamado vector resultante es aquel que une el origen del vector con el extremo del vector . Este método permite sumar fácilmente más de dos vectores manteniendo el mismo proceso.





⃗

⃗


⃗ 

Para sumar dos vectores gráficamente se trazan de tal forma que coincidan sus puntos de inicio y se forma un paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es el vector suma resultante.

La resta de vectores segundo, esto es:

⃗

la entenderemos como la suma del primero vector con el opuesto del

  =  ( ) Ya hemos definido el vector opuesto, y como sabemos que solo cambia el sentido respecto al vector original, necesitamos únicamente cambiar el signo de sus componentes.

Así gráficamente tenemos:


En este gráfico vemos claramente la distinción entre el vector suma y el vector diferencia.

Producto de un vector por un escalar.

⃗= ⃗ ⃗    = ⃗   ⃗ = ⃗   ⃗

El resultado de multiplicar un vector se expresa como:

por un escalar (un número), es otro vector que

La interpretación es la misma cuando el vector está expresado en función de sus componentes, esto es:

 =  =  El efecto gráfico de multiplicar un vector por un escalar lo clasificamos en la siguiente tabla:

Valor de



Gráfico

Efecto


 >1 Expansión del vector

⃗

 < 1

Expansión y cambio de sentido (signo) del vector

0<<1

Contracción del vector

1 <  < 0

Contracción y cambio de sentido (signo) del vector

⃗

⃗ ⃗

En los valores: 



 == 10

0

, el resultado obviamente es obtener el vector original, y , el resultado es eliminar las componentes y definimos el vector cero .

⃗

En todos los casos de la tabla podemos observar que el efecto de multiplicar un vector por un escalar afecta el módulo y el sentido, mientras que la dirección se mantiene, esto es los vectores y tienen la misma dirección (inclinación) y siempre son paralelos.

⃗


Esta característica permite definir los vectores paralelos de la s iguiente forma:



  = 



El vector es paralelo al vector , si existe un escalar tal que

4.4 Aplicaciones de vectores. Revisemos las aplicaciones de los conceptos teóricos anteriores en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 11:

Dados los vectores:

Hallar:

a) b) c) d) e)

2⃗ ⃗⃗ ⃗  ó ⃗ ⃗  á  ó  

⃗= 34,⃗ =  23  ⃗ ⃗ 

Expresemos los vectores dados en funciones de y .

⃗⃗ == 33⃗⃗42⃗⃗ ⃗⃗= 3⃗4⃗ 3⃗2⃗  = 3 3⃗ 4 2⃗ = 6⃗ 2⃗

 

a)

.


b) c) d)

2⃗ =⃗23⃗⃗+4⃗⃗  = 6⃗+⃗⃗ 8⃗ .   = |⃗| = + =  = ⃗ ⃗ = 0.6⃗ 0.8⃗ |⃗| =  3  2 = √ 9 4 = √ 13.

.

El siguiente gráfico muestra los vectores dados y determinados:

e) Para determinar el ángulo de inclinación del vector siguiente gráfico:

⃗

respecto a la horizontal, veamos el


Para determinar el valor del ángulo respecto a la horizontal (llamado también ángulo director) necesitamos usar la función trigonométrica tangente, ya que observamos en el triángulo rectángulo formado un cateto opuesto de medida 4 (componente en del vector) y un cateto adyacente de medida 3 (componente en del vector).

  = 43  = − 43 = 53.13° ⃗ ⃗ | |   = 5   == ||⃗⃗|| == 5c5soesn553.3.113°3° ==34 También puedes calcular que el módulo del vector

es



, y por tanto sus componentes

en los ejes los podemos comprobar con las siguientes expresiones:

 

4.4.1. Problemas.

Veamos dos aplicaciones típicas en el tratamiento de vectores en el plano.


En muchos casos prácticos de movimientos de objetos, tenemos el interés de determinar si sus trayectorias tienen una característica particular, generalmente relacionada con su separación angular.

En este contexto podemos aplicar lo que en vectores se conoce como producto escalar o producto punto, que se determina como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman:

 ∙  = | |   El resultado obtenido de un producto punto entre dos vectores es un escalar (un número) no un vector.

Si los vectores están expresados en vectores base, esto es:

⃗ ==⃗⃗ ⃗⃗  El producto punto se expresa como:

 ∙  =    SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Combinando las dos expresiones anteriores podemos tener la siguiente:

  = | |  Expresión que permite determinar el ángulo formado por dos vectores.

Ejemplo 12:

Tres barcos salen de un mismo puerto y sus trayectorias están dadas por la dirección de los vectores:



Barco A,



Barco B,



Barco C,

⃗ ==341 3 2 ⃗= 8 

Fuente: www.freeimages.com a) Demostrar que las trayectorias de los barcos A y C son ortogonales. b) Hallar el ángulo que forma las trayectorias de los barcos A y B. Solución:

a) Para demostrar que las trayectorias son ortogonales (perpendiculares), basta señalar que su producto punto es igual a cero.

 ∙  = | | |  =  SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Ya que el

cos90° = 0.

En primer lugar expresemos los vectores en función de sus vectores unitarios:



 

Luego:

⃗⃗ == 43⃗⃗⃗⃗3⃗⃗  = 28 ⃗∙⃗= 42  18 = 88 = 0  

Por tanto las trayectorias seguidas por los vectores y son perpendiculares.

El siguiente gráfico muestra las trayectorias de los barcos:


⃗    = | | 

b) Para determinar el ángulo entre los vectores y utilizamos la expresión:

Determinamos los módulos de los vectores:





Luego:

|⃗| ==   34  13 == √3√ 1 27 cos = 4(√ 137)(31√ 2)3 = 0.8575 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

 ≈ ° La segunda aplicación consiste en establecer la ecuación vectorial de la trayectoria rectilínea seguida por móviles en el plano.

En esta aplicación estamos interesados en conocer la posición del móvil en cualquier momento, dentro de la trayectoria.

El siguiente gráfico muestra la deducción de la aplicación:

Dada la trayectoria indicada gráficamente, el vector

⃗ 

⃗= 

(vector en posición estándar) muestra la

ubicación del móvil en cualquier punto de la trayectoria; este vector como observamos corresponde a la suma de los vectores y , esto es:

 =   SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

  ⃗  =    = 

En esta expresión el vector recta, el vector

corresponde a la posición de un punto que pertenece a la

⃗

 ,

es un vector que sigue la dirección de la recta, y es un escalar

(generalmente el tiempo) que permite determinar la posición de cualquier punto trayectoria.

de la

La ecuación vectorial de la recta en función de las componentes de los vectores tiene por tanto la siguiente forma:

 =  Que se puede leer como las ecuaciones (llamadas paramétricas):

 

 ==   

Ejemplo 13:

La ecuación vectorial para la posición (en cada hora) de un auto en km, en una larga autopista recta para un observador en una bomba de gasolina, viene expresada por:

⃗= 08 12  Determinar:


a) La posición inicial del automóvil. b) La posición luego de 2 horas. c) Si otro auto tiene la siguiente ecuación para su posición.

⃗= 190.15 Demuestra que siguen trayectorias paralelas.

Solución.

 =0  = 08 0 12  = 08  ⃗= 192 01.5 = 19 12 = 38 

a) La posición inicial del automóvil se da para el tiempo

horas.

b) La posición en dos horas es:

c) Para demostrar que las trayectorias son paralelas tenemos que probar que los vectores que indican sus direcciones mantienen la siguiente relación:

12  = 01.5 Tenemos las ecuaciones:

{1 2 ==10.5 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR

 =2 12  = 20.15

Para las cuales obtenemos el valor de

, entonces podemos escribir:

Como uno de los vectores dirección se puede escribir como el producto escalar del otro vector de dirección, concluimos que las trayectorias son paralelas.

Para pensar: 

 

==712  5310 3 ⁄3

Dos móviles parten al mismo tiempo y siguen trayectorias rectilíneas de posiciones:



Donde es el tiempo. Determina Las posiciones iniciales de los móviles. Demuestra si sus trayectorias se cruzan o no. En caso afirmativo establece el tiempo y la posición del encuentro.

Puedes revisar los conceptos tratados en vectores y practicarlos en los siguientes links: https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-basic/v/introductionto-vectors-and-scalars https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/unit-vectors/v/intro-unitvector-notation https://es.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-additionsubtraction/e/graphically-adding-and-subtracting-vectors


FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS:

TAREA 1. Una progresión aritmética de 30 términos tiene por primer término 13 y por último término 127. ¿Cuál es el valor de su diferencia?

2 2, 2 5, 3 1, … 2, 2⁄,2⁄  ,8,… 310  130  103 0 ⋯ 9

2. Determina el valor de en la siguiente progresión aritmética:

3. Determina el décimo término de la siguiente progresión:

4. Halla el valor de la siguiente suma:

5. El primer término de una progresión aritmética es y la suma de los once primeros términos es 11. Halla el valor del quinto término. 6. Halle el valor de:

 3 3 33 √3 … 8,3  = ⃗2⃗ ⃗     2⃗

7. Si un barco se encuentra en la ubicación distancia en km se encuentra del puerto? 8. El vector opuesto a

respecto a un puerto. ¿a qué

es:

9. El siguiente gráfico muestra el desplazamiento de dos móviles B y C en el plano, representados por los vectores expresión

y respectivamente. Determina el valor de la

.


GLOSARIO:

Aplicación: En matemática, puesta en práctica de procedimientos matemáticos en diferentes contextos. Aplicación: En matemáticas, se entiende generalmente como la vinculación teoría – contextos reales. Aritmética: Rama de las matemáticas que estudia todos los campos numéricos y sus posibles operaciones. Combinación: De n elementos tomados de p en p, subconjuntos de p elementos de un conjunto de n elementos totales, en los cuales el orden posicional no interesa, pueden tener o no repetición. Comprobación: Acción de comprobar, satisfacer la solución de un problema. Componentes de un vector: Proyecciones del vector sobre los ejes coordenados. Concepto: Una idea que concibe o forma el entendimiento. Condición: Propiedad que se debe cumplir para que una situación se cumpla. Conteo: Técnica utilizada para cuantificar opciones de eventos. Contexto: Circunstancias de diferente grado de dificultad que rodean a una situación y permiten comprenderla. Cortes: En matemática, relativo a los puntos de intersección de una gráfica con los ejes coordenados.

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Crecimiento: En matemática, relativo a la monotonía, si los valores en aumentan, los valores en también lo hacen.

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Definición: Proposición que delimita la comprensión de un concepto. Desigualdad: En matemáticas es una relación de orden entre expresiones aritméticas o algebraicas. Despeje: En matemáticas, un procedimiento para determinar el valor de una incógnita dada una expresión matemática. Dominio: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función.


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Decrecimiento: En matemática, relativo a la monotonía, si los valores en aumentan, los valores en disminuyen. Dominio: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función. Dirección de un vector: Inclinación de la línea de acción del vector, relacionada con el ángulo que forma con el eje horizontal. Ecuación: Igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para valores específicos de la o las incógnitas. Exponente: Relativo a potencia. Evento: Acontecimiento o suceso de interés. Expresión: Conjunto de letras y números que caracterizan un término matemático. Ejercicio: En matemáticas, planteamiento que permite reforzar una destreza matemática mediante la aplicación de un procedimiento específico. Expresión recursiva: En sucesiones, regla de construcción que relaciona un término con sus precedentes. Ecuación: Igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para valores específicos de la o las incógnitas. Factorial: Producto de un número entero positivo por todos sus inmediatos inferiores hasta llegar a la unidad. Función: En matemáticas es una relación entre los elementos de un conjunto (dominio) y los de otro (rango) de tal manera que a un elemento del dominio sólo le corresponda un elemento del rango. Fórmula: En matemáticas, igualdad que relaciona expresiones que contienen variables Inecuación: Desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para conjuntos de valores de la o las incógnitas. Infinito: Concepto matemático en referencia a la representación de una cantidad sin final. Intervalo: Conjunto de números comprendidos entre dos valores extremos los cuales pueden estar incluidos o excluidos. Infinito: Concepto matemático en referencia a la representación de una cantidad sin final.


Método: conjuntos de pasos ordenados y sistémicos que persiguen un determinado fin. Modelo: En matemática, contexto de aplicación típico de aplicación de un concepto matemático. Monotonía: Relativo al crecimiento y decrecimiento de funciones. Módulo de un vector: Longitud, tamaño o norma del vector. Notación: En matemática, relativo a la representación simbólica de conceptos. Logaritmo: Exponente al cual se debe elevar una base dada para obtener un determinado número. Permutación: Son listas en donde el orden es importante, pueden tener o no repetición. Principio: Idea fundamental en la que se basa una técnica. Problema: En el contexto matemático es una situación planteada cuyo algoritmo de solución no es inmediato. Suceso: Acontecimiento o evento de interés. Técnica: Procedimientos para una determinada tarea que se adquiere al practicarla. Variaciones: En matemáticas de n elementos tomados de p en p, se refiere a subconjuntos ordenados de p elementos de un conjunto de n elementos totales, pueden tener o no repetición. Planteamiento: Viene de exponer una idea mediante un enunciado o una representación gráfica referida a un problema o a una situación específica a ser resuelta. Problema: Cuestionamiento teórico o contextual a partir de información específica para determinar una incógnita. Progresión aritmética: Sucesión numérica que se construye sumando una cantidad constante de un término al siguiente. Progresión geométrica: Sucesión numérica que se construye multiplicando una cantidad constante de un término al siguiente. Propiedades: Expresiones comunes a un conjunto de elementos que determinan el cumplimiento de leyes. Potencia: Expresión escrita en la parte superior de un término para indicar el exponente. Raíces: En matemáticas son los valores de la variable que hacen cero la función.


Rango: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Rango: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Regla de construcción: En sucesiones, fórmula que permite obtener sus términos, según su ubicación relativa. Semiplano: En matemáticas, espacio del plano que satisface una inecuación lineal. Solución: En matemáticas consiste en dar respuesta a una problemática hipotética o real. Sentido de un vector: Indica hacia dónde se dirige el vector en su línea de acción. Sucesión: Conjunto de términos ordenados de acuerdo a una regla de construcción. Término n-ésimo: En sucesiones, fórmula para determinar cualquier término de la sucesión. Vector: Segmento de recta orientado en el plano o el espacio. Vector unitario: Vector cuyo módulo es igual a la unidad. Variable: En matemática, es un símbolo, una letra que puede tomar un valor numérico en una expresión.


BIVLIOGRAFÍA:

- Álvarez, Guerrero. (2006). Fundamentos de Matemáticas ESPOL. Guayaquil. Poligráfica. - Galindo. (2015). Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito. Prociencia. - Galindo. (2012). Matemáticas Superiores. Quito. Prociencia. - Benalcázar (2014). Fundamentos de Matemática. Quito. Impresión digital. - Benalcázar (2014). Análisis Numérico. Quito.

Impresión digital.

- Blythe, Fensom. (2015); Estudios Matemáticos. Reino

Unido. Oxford.

- Brown, Carrell. (20139; Matemáticas Nivel Medio. Slovakia. Pearson. - Villafuerte, Oquendo. (2016) Matemática Bachillerato. Quito. Santillana - Calderón. (2016). Repositorio.continental. Perú. Recuperado de

http://repositorio.continental.edu.pe/handle/continental/1782


Manual Domini o Mate Matic o

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