Licenciatura em Física Fenômenos Ondulatórios (FEOZ3) Professor Osvaldo Canato Júnior – 1º semestre de 2011 Questões – MHS
1. Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. a) Quais são a freqüência angular, a freqüência e o período do movimento resultante? b) Qual é a amplitude amplitude das oscilações? c) Qual é a velocidade máxima do bloco e onde ele se encontra quando tem essa velocidade? d) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco? e) Qual é a constante de fase do movimento? f) Qual é a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola? Resolução: a)
ω
=
k m
=
65 0, 68
= 9, 78 rad/s;
=
ω
υ
2π
=
9, 78 2π
= 1, 56 Hz;
T=
1 υ
=
1 1, 56
= 0, 64 s
b) A = xmáx = 11 cm c) v=-Aωsen(ωt + Φ) ⇒ vmáximo = Aω ⇒ vmáximo = 0,11.9,78 =1,1 m/s d) a = -Aω2cos(ωt +Φ) ⇒ amáximo = Aω2 ⇒ amáximo = 0,11. 9,782 = 11 m/s2 e) x = Acos(ωt +Φ) ⇒ 0,11 = 0,11cos (ω.0 +Φ) ⇒ cos (Φ) =1 ⇒ Φ = 0 rad f) x = 0,11cos (9,8t) 2. Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um sistema massa-mola é -8,5 cm. A velocidade do bloco v(0) nesse instante é – 0,920 m/s e a aceleração a(0) é +47 m/s2. a) Qual a freqüência angular do movimento? b) Quais são os valores da constante de fase fase e da amplitude? Resolução: a) a = - ω2x ⇒ 47 = -ω2.(-0,085) ⇒ ω2 = 47/0,085 ⇒ ω = 23,5 rad/s b) • x = Acos(ωt +Φ) ⇒ -0,085 = AcosΦ • (2) v=-Aωsen(ωt + Φ) ⇒ -0,92=-A23,5sen(Φ) • Multiplicando (1) por 23,5, elevando (1) e (2) ao quadrado e somando-as, temos: (-0,085.23,5)2 +(-0,92)2 = A2.23,52(sen2Φ +cos2Φ) ⇒ 3,99 + 0,85 = A2. 552,25 ⇒ A ≅ 0,094 m • Substituindo essa amplitude em (1), temos: -0,085 = 0,094cosΦ ⇒ cosΦ ≅ - 0,9 ⇒ Φ ≅ 1550. 3. Considere um sistema massa-mola composto por grande bloco de 2,72.105 kg que tenha sido projetado para oscilar em um trilho horizontal lubrificado com freqüência de 10 Hz e amplitude de 20 cm. a) Qual é a energia mecânica total desse sistema? b) Qual é a velocidade velocidade do bloco ao passar pelo ponto de de equilíbrio? Resolução: a) E = (1/2) kA2 = (1/2).m.ω2.A2 = (1/2).m.(2πν)2.A2 = (1/2).2,72.105. (2π10)2.0,22 ≅ 2,1.107 J b) v=-Aωsen(ωt + Φ) ⇒ vmáximo = Aω = 0,2. (2πν) = 12,56 m/s 4. (a) Mostre que x = Asen (ωt + δ) é solução da equação d2x/dt2 = - (k/m)x. (b) Determine a relação entre δ na expressão acima e Φ na equação x = Acos ( ωt + Φ). Resolução: a) • (1) x = Asen ( ωt + δ) ⇒ • (2) dx/dt = Aωcos(ωt + δ) ⇒ • (3) d2x/dt2 = -Aω2sen(ωt + δ) • Substituindo (1) e (3) na equação diferencial: -Aω2sen(ωt + δ) = - (k/m). Asen (ωt + δ) ⇒ solução satisfeita para ω = (k/m)1/2 b) Asen (ωt + δ) = Acos (ωt + Φ) ⇒ senδ = cosΦ ⇒ δ = Φ + 900 , ou seja δ e Φ são ângulos complementar complementares. es. 5. Dada a figura dessa questão: (a) Considere duas molas iguais de constante elástica 7580 N/m ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a freqüência de oscilação no piso sem atrito?
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(b) Considere duas molas diferentes, de modo que (i) se a mola da esquerda é removida, o bloco oscila com uma freqüência de 30 Hz e (ii) se a mola da direita é removida, o bloco oscila com uma freqüência de 45 Hz. Com que freqüência o bloco oscila se as duas molas estão presentes? Resolução: a) • O bloco está sujeito a duas forças elásticas de mesmo valor e sentido. Assim: • ma = -2kx ⇒ • a = -2(k/m)x ⇒ 2 • ω = 2(k/m) = 2(7580/0,245) ≅ 248,75 rad/s ⇒ • ν ≅ 248,75/2π ≅ 39,6 Hz b) • • • • • • • •
Nesse caso, as duas forças forças elásticas não têm o mesmo mesmo valor, embora estejam vinculadas vinculadas a um mesmo valor de deslocamento, deslocamento, x. Assim: ma = -k 1x-k 2x ⇒ a = -(k 1+k 2/m)x ⇒ 2 ω = (k 1+ k 2)/m ⇒ 2 2 2 ω = (ω1 /m+ ω2 /m)/m ⇒ 2 2 2 ω = ω1 + ω2 ⇒ 2 2 2 2 2 ν = ν1 + ν2 = 30 + 45 ⇒ ν = (2πν)2 = mω2 = m = 4π2m ν2 ⇒ (k 1 + k 2)/m ≅ 54,1 Hz
6. Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude xm, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? (c) Com qual deslocamento, em termos de amplitude, a energia do sistema é metade cinética e metade potencial? Resolução: a) e b) • x = Acos (ωt + Φ) ⇒ A/2 = Acos (ωt + Φ) ⇒ cos (ωt + Φ) = 0,5 ⇒ 2 2 2 2 2 • b) U = (1/2)kx = (1/2)k [Acos (ωt + Φ)] = (1/2)kA .0,5 = 0,25 [(1/2)kA ] = 1/4 E ⇒ • a) K = E – U = E – (1/4)E = 3/4 E c) U = (1/2)kx2 = (1/4)kA2 ⇒ x2 = A2/2 ⇒ x = A.2-1/2 7. A figura mostra, para três situações, os deslocamentos x(t) de um par de osciladores harmônicos simples (A e B) que são iguais em tudo, exceto na fase. Pra cada par, qual o deslocamento de fase (em radianos e em graus) necessário para deslocar a curva A e fazê-la coincidir com a curva B? Das várias respostas possíveis, escolha o deslocamento com o menor valor absoluto. Resposta: a) ∆ΦA = 1800 = π rad b) ∆ΦB = 900 = π/4 rad c) ∆ΦB = -900 = -π/4 rad 8. A figura mostra as curvas x(t) obtidas em três experimentos fazendo um certo sistema bloco-mola oscilar em um MHS. Ordene, em ordem decrescente, as curvas de acordo com (a) a frequência angular do sistema, (b) a energia potencial da mola no instante t = 0, (c) a energia cinética do bloco no instante t = 0, (d) a velocidade do bloco no instante t = 0 e (e ) a energia cinética máxima do bloco. Resposta: a) ω1= ω2 = ω3 b) U3 > U2 = U1 c) K 1 > K 2 > K 3 = 0 d) v1 > v2 > v3 = 0
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interceptar o eixo t? (Por exemplo, ele deve interceptar o eixo t no ponto A, ou, talvez, na região entre os pontos A e B?) (b) Se a velocidade do bloco é dada por v = - vmsen (ωt + φ), qual é o valor de φ? Suponha que é positivo e se não puder especificar um valor (como + π/2 rad) , forneça uma faixa de valores (como (como 0,φ <π/2). Resposta: a) Entre D e E b) 3π/2 < φ < 2π