LISTA RESOLVIDA DE PROBABILIDADE Prof. Neide Pizzolato Angelo 1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a ordem de nascimento. Enumerar os eventos; Solução Determinando o espaço amostral tem-se: 1° Filho
F
F
F
M
M
M
M
2° Filho
F
F
M
M
M
M
F
F
3° Filho
F
M
F
M
M
M
F
F
F
(a) ocorrência de dois filhos do sexo masculino; evento A ={ FMM, MFM, MMF} (b) ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino; evento B ={ FFM, FMF, MFF, FMM, MMF,MFM,MMM } (c) ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino; evento C ={MMM, FMM, MFM, MMF,FFM,FMF,MFF} (d) ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino; evento D ={ MMM} (e) ocorrência de somente crianças do sexo feminino. evento E ={ FFF} 2. Defina o espaço amostral associado a cada um dos seguintes experimentos aleatórios (a) Lança-se uma moeda 5 vezes até aparecer cara. Anota-se o n.º de lançamentos; Vamos usar C: cara
e K:coroa
2°
1°
3°
4°
5°
K K
C
6º
C C
K K K K
C
K K K
K K
K
C
(b) Investiga-se famílias com três crianças. Anota-se a configuração, segundo o sexo; 1° Filho
F
F
F
2° Filho
F
F
M
F
M
F
3° Filho
M
M
M
M
M
M
M
F
F
M
M
F
F
M
F
(c) Um fichário com 5 nomes, contém 3 nomes femininos. femininos. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome de mulher ser selecionado. Anota-se o n.º de fichas selecionado. Vamos considerar os nomes nomes femininos femininos A,B,C e o nomes masculinos masculinos D,E então: Podemos ir da melhor situação a pior situação, isto é, pode acontecer que os três primeiros nomes sejam femininos portanto não precisa retirar retirar mais nenhum mome mome 2° 3° 4° 5° 1° A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
Pode ser agora que apenas o primeiro nome seja masculino e os demais femininos, isto é, 1
1°
2°
3°
4°
D
A
B
C
D
A
C
B
D
B
A
C
D
B
C
A
D
C
A
B
D
C
B
A
E
A
B
C
E
A
C
B
E
B
A
C
E
B
C
A
E
C
A
B
E
C
B
A
5°
Note que pode acontecer, que os dois primeiros nomes sejam masculino, isto 1°
2°
3°
4°
5°
E
D
A
B
C
E
D
A
C
B
E
D
B
A
C
E
D
B
C
A
E
D
C
A
B
E
D
C
B
A
D
E
A
B
C
D
E
A
C
B
D
E
B
A
C
D
E
B
C
A
D
E
C
A
B
D
E
C
B
A
Dessa forma cobrimos todos os resultados possíveis . 3. Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostra S, expresse em termos de operações entre eventos: (a) A ocorre mas B não ocorre; A-B (b) Exatamente um dos eventos ocorre; ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) (c) Nenhum dos eventos ocorre.
A ∩ B
4. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: H: o freguês é homem; A: O freguês prefere salada; M: O freguês é mulher e B: O freguês prefere carne. Calcular: QUESTÃO ANULADA (ERRO DE VALOR DIGITADO NA QUESTÃO) 5. Três moedas são lançadas simultaneamente, determine a probabilidade de ocorrer: Primeiro, vamos definir o espaço amostral, usando o diagrama de árvore, conforme vemos a seguir
2
K K K K C C C C
K K C C K K C C
K C K C K C K C
Acima o espaço amostral do evento
Lembrando que probabilidade é igual nro de resultados favoráveis / total de resultados, logo: (a) nenhuma coroa; {CCC} 1/8 (b) uma cara; {CKK,KCK,KKC} 3/8 (c) no máximo uma cara; isto é, nehuma cara ou 1 cara={KKK,CKK,KCK,KKC} (1+3)/8 =1/2 (d) pelo menos duas caras; 2 ou mais caras {CCK,CKC,KCC,CCC} (1+3)/8 =1/2 (e) não mais de uma cara; não ter mais de 1 cara , ou seja nenhuma ou 1 cara {KKK,CKK,KCK,KKC} (1+3)/8 =1/2 (f) no mínimo duas caras; 2 ou mais caras {CCK,CKC,KCC,CCC} (1+3)/8 =1/2
6. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela: Homens Mulheres Usaram o hospital 100 150 Não usaram o hospital 900 850 (a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? Numero de pessoas que usam / numero de pessoas seguradas 250/2000 (b) O uso do hospital independe do sexo do segurado? A probabildade de uma mulher usar é 1000 mulhres/2000pessoas A probabildade de um mulher usar é 1000 homens/2000pessoas Logo o uso independe do sexo escolhido 7. Considere o lançamento de dois dados e associado a ele os eventos: A: “ Soma dos números obtidos igual a 9” B: “ O número do 1º dado maior ou igual a 4”
Enumere os eventos: (a) A
∪
B
( b) A ∩ B
(c)
A
(d) B – A 3
(a) A
∪
(c)
A
B
( b) A ∩ B
(d) B – A
8. Dos funcionários de uma empresa, 60% são do sexo masculino, 30% tem curso superior completo, e 20% são do sexo masculino e tem curso superior completo. Se um funcionário é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que seja do sexo masculino ou tenha curso superior completo? R:0,70 Considere M: masculino S: curso superior MS: Masculino e Superior P (M ∪ S) = P(M)+P(S)-P(M∩s)= 0,60 +0,30 -0,20 = 0,90 – 0,20=0,70 9. Suponhamos que uma organização de pesquisa junto a consumidores tenha estudado os serviços prestados dentro da garantia por 200 comerciantes de pneus de uma grande cidade, obtendo os resultados resumidos na tabela seguinte: Bom serviço dentro da garantia Vendedores de determinada 64 marca de pneus Vendedores de qualquer 42 marca indiscriminadamente
Serviço deficiente dentro da garantia 16 78
Selecionado aleatoriamente um desses vendedores de pneus, (isto é, cada vendedor tem a mesma probabilidade de ser selecionado), determine a probabilidade de: (a) escolher um vendedor de determinada marca ; R: 0,40 veja que temos (64+16) =80 vendedores de determinada marca e temos no total 200 vendedores, logo P(escolher um vendedor de determinada marca)= 80/200=0,4 (b) escolher um vendedor que presta bons serviços dentro da garantia; R:0,53 veja que temos (64+42)=106 vendedores vendedor que presta bons serviços dentro da garantia e temos no total 200 vendedores, logo P(vendedor que presta bons serviços dentro da garantia)= 106/200=0,53 (c) escolher um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia; R:0,32 temos 64 um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia e temos no total 200 vendedores, logo P(um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia)= 64/200=0,32 (d) sabendo-se que o vendedor escolhido é de determinada marca, prestar bons serviços dentro da garantia; R: 0,80 como temos um condição a ser cumprida então o espaço amostral muda de 200 para 80 total de vendedores de determinada marca, logo P(prestar bons serviços dentro da garantia / é de determinada marca) = 64/80=0,80 (e) um vendedor prestar bons serviços sob a garantia, dado que não é vendedor de uma única marca determinada. R: 0,35 4
como temos um condição a ser cumprida então o espaço amostral muda de 200 para 120 total de vendedores que não vendem uma determinada marca, logo P(prestar bons serviços dentro da garantia / não é de determinada marca) = 42/120=0,35 10. A probabilidade de que as vendas de automóveis aumentem no próximo mês (A) é estimada em 0,40. A probabilidade de que aumentem as vendas de peças de reposição (R) é estimada em 0,50. A probabilidade de que ambas aumentem é de 0,10. Qual a probabilidade de que aumentem as vendas de automóveis durante o mês, dado que foi informado que as vendas de reposição aumentaram? R: 0,20 Considera P(A) =0,40 P(R)=0,50 P(A ∩ R)=0,10 , como queremos P(A / R) , usamos a fórmula P( A / B )=P( A ∩ B )/P( B ) , que para estes valores fica P(A / R)=P(A ∩ R )/P( R ) = 0,10/0,50=0,20 11. As probabilidades de dois motoristas guiarem até em casa, independentemente, com segurança, depois de beber, são 0,25 e 0,20, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, após beberem numa festa, qual a probabilidade: Considere A: matorista 1 B: Motorista 2 (a) dos dois motoristas sofrerem acidentes? R: 0,60 P( A ∩ B )=P(A).P(B) = 0,25*0,20 = 0,05 (anulada resposta errada) (b) de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? R:0,40 P (A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A ∩B)= 0,25 +0,20 -0,05 =0,40
12. A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do outro B resolvê-la é 0,6. Qual a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la independentemente. R:0,92 Note que não é pedido a probabilidade de ambos os alunos resolverem a questão e sim da questão ser respondida ou seja se um ou outro aluno responder a questão será resolvida logo, como os eventos são independentes P(A ∩B)= 0,8*0,6=0,48 e como queremos P (A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0,8+0,6- 0,48=0,92
13. Suponha duas estações metereológicas A e B, em certa região. As observações mostraram que a probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4 .A probabilidade de ocorrência de chuva simultânea nas duas regiões é 0,25. Determine a probabilidade de (a) não ocorrer chuva em A; R:0,45 Como a não ocorrência de um evento é complementar da ocorrencia, então P(não ocorrer A) = 10,55 =0,45 (b) ocorrer chuva em pelo menos uma das duas regiões A ou B. R:0,70 P (A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A ∩B)= 0,55+0,40-0,25=0,70 14. Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um experimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas. (a) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para distinguir? Como ele não possui habilidade de distinguir, então ele irá acertar ou errar de forma totalmente ao acaso logo temos o seguinte espaço amostral, usando A: acertar o vinho e E: errar o vinho. 5
1° vinho
E
E
A
A
A
A
2° vinho
E
E A
E
A
A
A
E
E
3° vinho
E A
E
A
A
E
A
E
E
Logo a probabilidade de acertar os três vinhos é de 1 chance em 8 possiveis resultados , isto é, 1/8 (b) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa? A probabilidade de acertar os três com 90% de chance em cada um, significa que queremos P(acerta o vinho 1 e acertar o vinho 2 e acertar o vinho3)=P(A ∩A∩A)=P(A).P(A).P(A)= (0,9). (0,9). (0,9)=0,729 15. Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando problemas com probabilidades de 0,95 e 0,90. Determinar a probabilidade de que dado um problema, este seja detectado por somente um dos aparelhos. Como queremos que somente um aparelho detecte o problema então queremos que somente o alarme a detecte e o alarme B não, ou então apenas o B detecte e o aparelho A não, isto é, P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B) = P ( A) * P (B ) + P (A ) * P (B ) =
= P ( A) *(1 - P (B )) + (1 - P (A )) * P (B ) = = P ( 0, 95 ) * (1 - 0, 90) + (1 - 0, 95) * P (0, 90 ) = = ( 0,95 *0,10 ) + ( 0,05 *0,90 ) = 0,095 + 0,045 =0, 14 16. Numa classe de 35 alunos loiros ou morenos, 20 são homens, dos quais quatro são loiros. Dentre as mulheres há oito loiras. Sorteando-se ao acaso, um dos alunos dessa classe, qual é a probabilidade de se sortear: Podemos pensar numa tabela e preecher os dados da seguinte forma: loiros morenos total homens 4 20 mulheres 8 total 35 Agora usando a lógica temos que se 4 homens são loiros e o total de homens é 20 então 16 são morenos. Da mesma forma, se o total de alunos é 35 e 20 são homens então temos 15 mulheres e se das 15 mulheres 8 são loiras então 7 são morenas e finalizando, total de pessoas loiras são 12 e de morenas são 23. isto é: loiros morenos total homens 4 16 20 mulheres 8 7 15 total 12 23 35 Agora baseado na tabela acima podemos calcular o que se pede a seguir (a) uma mulher ∪ uma pessoa loira? P(uma mulher ou uma pessoa loira)= P(uma mulher) + P(pessoa loira) - P(uma mulher ∩ uma pessoa loira)= 15/35 + 12/35 - 8/35 = 19/35= 0,5419 (b) um homem moreno? P(um homem moreno)= 16/35 = 0,4571 (c) uma mulher morena ou um homem? P(uma mulher morena ou um homem)= P(uma mulher morena) + P(homem) = 7/35 + 20/35 27/35= 0,7714
6
