MATRIKS LAPORAN PRAKTIKUM KALKULUS DASAR
Oleh : Rizal Bahroni 171810301073
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2017
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matlab mempunyai bermacammacam fungsi untuk menampilkan grafik, dimana setiap fungsi memiliki perbedaan dalam menskalakan me nskalakan garis sumbu. Setiap menerima inputan dalam bentuk vector atau matriks, matlab akan menskalakannya secara otomatis. Praktikum ini akan membahas mengenai matriks. Matriks pada perhitungan matematika
kadang
juga
membutuhkan
waktu
yang
lama
dalam
menyelesaikannya. Matriks juga memiliki jenis-jenis tertentu, misalnya matriks identitas, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks diagonal, matriks skalar,dan matriks simetris. Bermacam-macam matriks tersebut dapat diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan fungsi matriks pada matlab. Perhitungan matriks merupakan salah satu cara yang kompleks dalam menyelesaikan sebuah masalah, bisa dikaitkan dalam ilmu perekonomian yang mengandung banyak variable. Matriks juga dalam digunakan dalam memecahkan suatu masalah operasi penyelidikan, misalhnya penyelidikan masalah sumber minyak bumi dan lain sebagainya. Didalam dunia teknologi informasi telah berkembang sangat pesat apalagi teknologi yang berbasis Bahasa pemrograman, misalnya matlab, pada Matlab matriks dalap digunakan dan di input untuk menghasilkan operasi computer yang signifikan, dalam praktikum ini mari kita kupas apa itu matriks dan bagaimana menggunakan matriks pada software matlab.
1.2 Rumusan Masalah
1.
Bagaimana definisi dari Matriks pada MATLAB?
2.
Bagaimana cara menggunakan fungsi Matriks pada MATLAB?
3.
Bagaimana mengoperasikan matriks pada MATLAB?
1.3 Tujuan
1.
Mengetahui definisi mengenai matriks.
2.
Mengetahui cara menggunakan fungsi Matriks pada command windows di MATLAB.
3.
Mengetahui cara mengoperasikan matriks pada MATLAB.
1.4 Manfaat
1.
Dapat mengetahui definisi mengenai matriks.
2.
Dapat mengetahui cara menggunakan fungsi matriks pada MATLAB.
3.
Dapat Mengetahui cara mengoperasikan matriks pada MATLAB.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Matriks
Matriks merupakan kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk segi empat beraturan serta termuat diantara sepasang tanda kurung.Matriks dinyatakan dalam huruf besar A,B,P, atau huruf yang lain. unsur matriks : Jumlah baris = M Jumlah kolom = N Ordo atau ukuran matriks = m x n Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau di sebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut :
Matriks dapat didefinisikan juga sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris(Ruminta,2009). Matriks
banyak
dimanfaatkan
untuk
menyelesaikan
berbagai
permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks (wilson.2005).
2.2.
Operasi pada Matriks
Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya : 2.2.1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Jika A = (aij) m x n dan B = (bij) m x n , maka A + B = (aij) m x n + (bij) m x n = (aij + bij) m x n A – B = (aij) m x n – (bij) m x n = (aij – bij) m x n (Away,2010).
2.2.2. Perkalian Skalar dengan Matriks Jika skalara dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupkan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. Jika A = (aij) m x n maka k.A = k(aij) m x n = (kaij) m x n Dari operasi penjumlahan (pengurangan) dan perkalian skalar di atas didapat sifat-sifat asosiatif perkalian skalar terhadap penjumlahan (pengurangan). kA = A.k (komutatif perkalian) k (A + B) = k. A + k. B (asosiatif perkalian terhadap penjumlahan) k (A – B) = k. A – k. B (asosiatif perkaian terhadap pengurangan) (Subakti, 2003).
2.2.3. Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemenelemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian (Isiyanto, 2009).
2.3.
Transpose Matiks
Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan AT. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3 (Noviasri, 2010).
2.4.
Determinan Matriks
Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan (Noviasri, 2010).
2.5. Invers Matriks
Invers pada Matriks yaitu :
Misalnya diketahui
Sifat-sifat dari invers suatu matriks :
(Noviasri, 2010).
maka invers dari matriks A
BAB 3. METODOLOGI
3.1. Alat dan Bahan 3.1.1.Alat
1.
Notebok (Compaq CQ42)
3.1.2.Bahan
1.
Program MATLAB
2.
Buku Catatan
3.2. Prosedur Kerja
Program MATLAB dapat dioperasikan sesuai dengan prosedur kerja berikut : 1.
Hidupkan Notebook.
2.
Instal program MATLAB dengan doubel klik icon MATLAB pada desktop atau kanan pada icon MATLAB kemudian open.
3.
Program MATLAB siap digunakan.
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Praktikum kali ini menggunakan metode perhitungan matriks pada matlab. Perhitungan pada matlab ini sangat membantu mahasiswa utamanya dalam perhitungan matriks. Akan tetapi dalam memlakukan perhitungan matriks pada matlab menggunakan syntaks-syntaks khusus. Adapun penulisan syntaks untuk matriks adalah sebagai berikut : 1. Vektor Vektor merupakan suatu fungsi yang hanya terdiri dari baris atau 1 kolom saja. Jika terdiri dari baris dan kolom maka fungsi tersebut bukan vektor lagi melainkan merupakan matriks. Penulisan syntak tersebut pada matlab adalah sebagai berikut : >> vektor1=[3,5,7]
2. Definisi matriks Definisi matriks merupakan Baris x Kolom. Contohnya kita akan mendifinisikan matriks 3 x 3. Contohnya sebagai berikut : Matriks1 =
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Penulisan syntaks untuk matriks tersebut dapat menggunakan (spasi) (enter) atau (spasi)(;). Jika penulisan menggunakan enter bentukna hampir sama dengan bentuk matriks aslinya. Sedangkan untuk (;) artinya fungsinya sama tetapi
bentuknya berbeda dan semua syntak tersebut diawali dan diakhiri dengan kurung siku [ ]. Contoh penulisannya pada matlab adalah sebagai berikut : >>matriks1=[10 20 30 40 50 60 70 90 90] >>matriks2=[10 20 30; 40 50 60; 70 80 90]
Selain itu, kita juga dapat mendifinisikan matriks dengan tidak mengikuti aturan yang berurutan seperti diatas. Akan tetapi kita dapat mendifinisikannya dengan menentukan sendiri nilai per baris dan kolomnya dengan menuliskan variabel(baris,kolom)=nilai;variabel (baris, kolom)=nilai. Contohnya sebagai berikut : >>mat(1,1)=100;mat(2,1)=200;mat(2,2)=400
Pada baris ke-1 kolom ke-2 bernilai 0 dikarenakan pada syntaks tersebut tidak didefinisikan nilainya. Pada yang terakhir terjadi eror, dikarenakan dalam fungsi matlab tidak dapat membuat fungsi matrik dalam notasi kosong. Sehingga untuk menghindari eror tersebut syntak pada matlab harus diisi dengansuatu nilai. 3. Penggabungan Matriks dan Vektor Penggabungan matriks dan vektor dapat dilakukan dengan menuliskan variabel=[matriks 1 matriks 2]. Contoh penulisan pada command window untuk menggabungkan vektor 2 dan matriks 1 adalah sebagai berikut : >>gabung1=[vektor 2
matriks 1] perintah (space) artinya
fungsi yang
disebutkan duluan berada pada kolom pertama >>gabung2=[vektor 1;matriks2] perintah (;) artinya fungsi yang disebutkan duluan berada pada baris pertama
Selain itu fungsi tersebut juga dapat menggabungkan hasil dari penggabungan fungsi tersebut. Contohnya seperti gamabar berikut :
4. Length dan Size Fungsi length adalah untuk menentukan panjang dari suatu fungsi matriks atau vektor. Size merupakan fungsi untuk menentukan ordo matriks misalkan =
2
3
1
4
ordo dari matriks tersebut ada 2x2. Penulisan fungsi length dalam
matriks adalah length(nama vektor), sedangkan untuk fungsi size penulisannya pada matriks adalah size(nam matriks). Contohnya adalah seperti hasil SS berikut :
Fungsi tersebut terjadi eror dikarenakan pada pemanggilan untuk matrik1 tidak ada pada fungsi sebelumnya. Fungsi lain kita juga dapat mengetahui jumlah baris dan kolomnya dengan format seperti berikut : >>[jml_baris,jml_kolom]=size(gabung5) Hasilnya seperti gambar berikut :
5. Pemanggilan nilai matriks atau vektor Fungsi tersebut adalah untuk memanggil nilai suatu vektor pada baris atau kolom tertentu. Contoh penulisan pada vektor, vektor_ini(1) artinya dalah memanggil nilai vektor pada urutan pertama karena pada suatu vektor hanya terdiri dari 1 baris dan 1 kolom saja. Sedangkan pada suatu matriks conothnya penulisannya matrix(1,2) artinya adalah memanggil nilai matriks pada baris pertama kolom kedua. Conothnya sperti gamabar berikut :
Penulisan fungsi tersebut terjadi eror dikarenakan pada penulisan fungsi matrik (1,3) terdapat spasi. Sehingga penulisan fungsi yang benar adalah sebagai berikut :
Untuk memanggil nilai vektor kita juga dapat memanggil untuk nilai tertentu dengan tanda (:) artinya nilai vektor n sampai ke-n.
Maksud dari vektor_ini(1:3) adalah menghilangkan vektor pada kolom 4 dan 5.
Matrix tersebut terjadi eror karena pada penulisan syntaknya terjadi kesalahan yaitu kurang huruf T pada fungsi yang pertama.
Maksud dari nilai matrix tersebut adalah mengambil elemen kolom pertama dan kolom ke-3. 6. Matriks Khusus Matriks khusu merupakan beberapa fungsi pada matriks untuk membuat elemen-elemen khusus pada matriks. Contoh matriks khsusus adalah ones(n) adalah untuk membuat matriks satuan yang isisnya adalah angka 1 dengan ukuran nxn, selain itu juga terdapat zeros(n) yaitu untuk membuat matriks nol artinya smua elemennya berisi angka 0 dengan ukuran nx n. Contohnya seperti gambar berikut :
Penulisan syntaks untuk baris dan sesuai dengan yang kita inginkan dapat menuliskannya dengan ones(mxn) atau zeros (mxn) dimana m adalah baris dan n adlah kolom seperti gambar berikut :
7. Operasi penjumlahan dan pengurangan Untuk operasi penjumlahan dan penguranagan kita dapat menulis fungsi matriksnhya terlebih dahaulu. Setelah itu baru kita melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dengan cara a-b atau a+b. Contohnya adalah seperti gambar berikut :
BAB 5. PENUTUP
4.1.
Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari praktikum matriks pada fungsi MATLAB (Matrix Laboratory) yaitu Matriks didefinisikan dengan kurung siku ( [ ] ) dan biasanya dituliskan baris-per-baris. Tanda koma (,) digunakan untuk memisahkan kolom, dan titik-koma (;) untuk memisahkan baris. Kita juga bisa menggunakan spasi untuk memisahkan kolom dan menekan Enter ke baris baru untuk memisahkan baris. Selain itu matriks pada matlab juga menyediakan fungsi-fungsi khusus yang dapat mempercepat perhitungan pada matlab. Penjumlahan dan perkalian pada matriks harus mendefnisikan matriks yang akan dioperasikan.
4.2.
Saran
Berdasarkan kesimpulan pada praktikum ini diharapkan ketika sedang menuliskan perintah pada command windows, maka seluruh perintah yang telah ada harus diperhatikan secara teliti, cermat, dan harus mengetahui symbol perintah-perintah yang akan digunakan agar dapat menimalisir dalam kesalahan perhitungan dan terjadinya eror.
DAFTAR PUSTAKA
Away, A. (2010). Matlab Programming. Bandung : Informatika Bandung Isiyanto, Heri. 2009. Bank SoalMatematika. Jakarta : Gagas Media Noviasri, ST. 2010. Rumus Kunci Matematika. Jogjakarta : PT Niaga Swadaya Ruminta. 2009. Matriks persamaan linear dan pemrograman linear edisi ke-1. Bandung: Penerbit Rekayasa Sains. Subakti, I. 2003. Metode Numerik . Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh November. Wilson, Simangunsong, 2005. Matematika Dasar . Jakarta : Penerbit Erlangga.
LAMPIRAN
1. Definisi matriks dan vektor
2. Gabungan matriks A dan B
3. A. Ukuran masing vektor dan matriks pada no. 1
B. Jumlah masing-masing elemen vektor/matriks soal no 2
C. Perkalian per elemen dari A dan B kemudian nyatakan sebagai matriks D
D. Apakah = dan ( +)= 2+ ?
Pada hasil tersebut nilai AD ≠ DA, karena perkalaian adalah kolom dikalikan dengan baris sehingga ketika dibalik akan berpengaruh sangat besar terhadap hasil perkalian. Selain itu, pada matrix hasil akhirnya tidak sama dikarenakan operasi tersebut merupakan sifat assosiatif. Hasil pada persamaan ( +)= 2+ hasilnya adalah sama dikarenakan
operasi tersebut merupakan sifat distributif.
E. Jika =. Apakah
-1
= -1 dan =
?
Hasil tersebut beda dikarenakan perkalian berbeda dengan operasi penjumlahan dimana perkalian merupakan kolom dikalikan dengan baris. 4. Penyelesaian 3 Sistem Persamaan
