LIMIT LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR
oleh Veniola Forestryani 141810101035
LABORATORIUM LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UNIVERSITAS JEMBER 2014
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Limit dalam bahasa indonesia berarti batas. Konsep limit memang berhubungan dengan batas. Dalam bahasa matematika limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu. Pedekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat sangat kecil yang disebut dengan epsilon dan delta. delta. Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19 oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908. Notasi umum untuk limit adalah:
notasi tersebut dibaca “ limit dari f(x) ketika x mendekati a”. a ”.
dibuat sedekat mungkin ke Dimisalkan
dengan
membuat cukup
dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a, maka dapat dikatakan bahwa limit
bila mendekati adalah yang dapat ditulis dengan: Penerapan limit dalam kehidupan sehari-hari dapat diaplikasikan dalam bidang kedokteran, contohnya yaitu untuk menghitung kerusakan dari jantung, yang hasilnya ditampilkan oleh USG, ritme-ritme detak jantung pada kasus cardiac carest berirama. Hal tersebut membuat seorang dokter harus menganalisa dimana letak kerusakan pada jantung dengan hanya melihat data dari hasil USG tanpa mengkhitung banyaknya sel-sel yang terdapat dijantung. Dalam hal ini, fungsi limit dibutuhkan untuk menebak dimana luas area jantung yang rusak.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas pada praktikum kali ini adalah: 1. Bagaimana variable-variabel pada aplikasi MATLAB yang berhubungan dengan „limit‟ limit‟?
2. Bagaimana cara mengoperasikan „limit‟ pada MATLAB dengan benar? 3. Bagaimana menyelesaikan persoalan limit dengan MATLAB ? 1.3 Tujuan Praktikum
Adapun tujuan praktikum pada praktikum kali ini adalah: 1. Mampu
mengetahui
variable-variabel
pada
aplikasi
MATLAB
yang
digunakan pada operasi limit 2. Mampu mengolah operasi limit dalam MATLAB dengan benar 3. Mampu menyelesaikan persoalan limit dengan MATLAB
1.4 Manfaat
Manfaat yang didapatkan dari praktikum kali ini yaitu praktikan dapat mengoperasikan „limit‟ pada aplikasi MATLAB dan memanfaatkannya untuk kehidupan sehari-hari.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Limit
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Dimisalkan f(x) dibuat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a, maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L yang dapat ditulis dengan:
Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variable fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri (disebut limit kiri) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan). Suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan limit kanannya sama. Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada (Heri, 2005). 2.2 Teorema Limit
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka: 1. lim k k xa
2. lim x a xa
Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya 3.
lim limk f (x) = k x a f (x)
xa
Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu. 4.
lim
x a
[f (x) ± g (x)] =
lim
xa
f (x) ±
lim
xa
g (x)
Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing -masing limit fungsi. 5.
lim
xa
v [f (x) . g (x)] =
lim
xa
f (x) .
lim
xa
g (x)
Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.
f ( x) lim x a g ( x)
lim f ( x)
lim g ( x)
6.
x a
x a
, dimana
lim
xa
g(x) ≠ 0
Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tak boleh sama dengan nol. 7.
lim
xa
lim [f (x) ]n = [ x a f (x)]n
Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.
8.
lim n f ( x)
n
x a
lim
xa
lim
xa
f (x)
lim f ( x)
x a
0
dimana
untuk n bilangan genap
f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil
Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu (Robiyatun, 2012).
2.3 Limit Fungsi Trigonometri
Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: 2.3.1
Limit fungsi sinus
lim
1.
x 0
lim
2.
x 0
x
1
1
sin x sin x x
lim
3.
x 0
lim
4.
x 0
lim
4.
lim
x
→
ax
x
1
lim
x 0
→
x 0
1
1
tan x tan x
x
x 0
lim
3.
sin ax
ax a 0 sin bx b
1
sin ax
bx
a b
Limit fungsi tangens
lim
2.
sin ax
x0
2.3.2
1.
ax
ax tan ax
1
tan ax 1 0 ax
lim
x
ax a 0 tan bx b
lim
→
x
lim
→
x 0
tan ax
bx
a b (Sudrajat, 2000).
2.4 Menghitung Limit Fungsi
MATLAB memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh:
>> syms x; >> f=x^3+3*x^2-4*x+10; x 3+3x2-4x+10 >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf) ans = ½
(Supardi, 2010).
BAB 3. METODOLOGI
3. 1 Alat dan Bahan
Adapun alat dan bahan yang digunakan pada prakti kum pengenalan matlab kali ini adalah: 3.1.1
Alat
a. Laptop. Intel(R) Core(TM) i3-3110M CPU @ 2,40 GHz 2,40 GHz 3.1.2
Bahan
a. MATLAB 7.8.0 (R2009a). 3.2 Prosedur
Adapun prosedur pengaktifan pada praktikum pengenalan MATLAB kali ini adalah: 1. Hidupkan computer atau laptop. 2. Install program MATLAB. 3. Buka Program MATLAB dengan double klik icon MATLAB pada desktop atau klik kanan pada icon MATLAB kemudian open. 4. Aplikasi MATLAB R2009a siap untuk digunakan.
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil 4.1.1 Limit Fungsi, Limit Kanan, dan Limit Kiri
Gambar 4.1
Gambar 4.2
4.2 Pembahasan
Berdasarkan percobaan pada praktikum kali ini didapatkan hasil bahwa dasar-dasar pengoperasian limit fungsi pada MATLAB antara l ain :
Limit dari mendekati a
dimana nilai x
Limit dari dimana nilai x mendekati a dari kanan Limit dari dimana nilai x mendekati a dari kiri Tabel 4.1
Operasi perhitungan limit fungsi pada Gambar 4.1 dapat dilakukan dengan mendefinisikan variabel, seperti:
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Langkah selanjutnya yaitu dengan memasukkan suatu fungsi pada MATLAB seperti: >>
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi limit kanan pada MATLAB seperti:
>> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Limit kanan dalam persoalan ini artinya yaitu limit dari
dimana nilai x
mendekati 2 dari kanan. Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi limit kiri pada MATLAB seperti:
>> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Limit kiri dalam persoalan ini artinya yaitu limit dari
dimana nilai x
mendekati 2 dari kiri. Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi limit pada MATLAB seperti:
>> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Limit dalam persoalan ini artinya yaitu limit dari dimana nilai x mendekati 2. Apabila hasil dari limit fungsi kanan, limit fungsi kiri, dan limit fungsi adalah sama, maka fungsi pada limit tersebut disebut fungsi kontinu. Apabila hasil dari limit fungsi kanan, limit fungsi kiri, dan limit fungsi berbeda, maka fungsi pada limit tersebut bukanlah fungsi kontinu. Pengoperasian limit pada MATLAB dapat dilakukan dengan langsung memasukkan fungsinya seperti pada Gambar 4.2. Contoh pengoperasian perhitungan limit fungsi pada Gambar 4.1 dapat dilakukan dengan mengetikkan:
>> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari praktikum limit kali ini adalah: 1. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari t itik tertentu. 2. Limit dalam matematika yang telah terdefinisi pada MATLAB yaitu meliputi, limit kiri, limit kanan, dan limit yang berkaitan dengan bilangan kompleks.
5.2 Saran
1. Gambar 5.1 Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.1 saat praktikum dilaksanakan. Kesalahan terdapat pada kekurangan tanda kurung pada akhir syntax. Seharusnya penulisan „' diapit oleh dua tanda kurung, sehingga penulisan menjadi '
'.
2. Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.1 saat praktikum dilaksanakan. Kesalahan terdapat pada tanda „‟. Apabila ingin menambah suatau catatan, tanda yang digunakan yaitu „ ‟, sehingga penulisan menjadi „ ‟.
DAFTAR PUSTAKA
Heri, Robertus. 2005. Buku Ajar Kalkulus I. Semarang : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro Semarang. Robiyatun, Alifah. 2012. Sinar(Siswa Rajin Belajar). Klaten: Sinar Mandiri Sudrajat, Asep. 2000. Prestasi Matematika 2. Bandung: Ganeca Axact Supardi, N.I. 2010. Praktikum 13 Penyelesaian Persamaan Aljabar . Bengkulu: Universitas Bengkulu
LAMPIRAN TUGAS
1. Mendefinisikan
Mendefinisikan
√
Jawaban Soal No 1 a.
()=lim
b.
()=lim ∞
c.
()=lim √
2. Uji kekontinuan fungsi-fungsi berikut di titik -1, 1 , 1/2, dan -1/2 Definisi f(x),g(x),c(x),d(x)
√
Limit f(x) mendekati 1
Limit f(x) mendekati -1
Limit f(x) mendekati (1/2)
Limit f(x) mendekati (-1/2)
g(x) mendekati 1
g(x) mendekati -1
g(x) mendekati ½
g(x) mendekati -½
⟦ ⟧ c(x) mendekati 1
c(x) mendekati ½
c(x) mendekati -1
c(x) mendekati -½
()
d(x) mendekati 1
d(x) mendekati -1
d(x) mendekati ½
d(x) mendekati -½
