Investigación Operativa I

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Pre acio:

a Asignatura de Investigación de Operaciones es de naturaleza practico – teórico, introduce en el análisis y planteamiento de los problemas complejos de ingeniería donde la optimización es un factor fundamental. Se formulan modelos matemáticos y se brindan las principales técnicas de caracterización y resolución de estos modelos. Se aprenderá a interpretar los resultados obtenidos con criterios económicos, a través del uso del análisis de sensibilidad, como paso previo a la aplicación real de la toma decisiones en las organizaciones. Se complementará con el uso de software especializado para la solución de los modelos matemáticos. Considerando el manejo holístico de la investigación de operaciones junto con las demás asignaturas de este ciclo, entonces se buscara generar sinergia para dar solución al problema según nuestra realidad social. Comprende cuatro unidades de aprendizaje:



UNIDAD I: La Investigación de Operaciones y la Programación Lineal.



UNIDAD II: Análisis de Sensibilidad de los modelos de Programación Lineal.



UNIDAD III: Modelos de transporte, Asignación y Redes.



UNIDAD IV: Programación de Proyectos y Programación no lineal.


Pre acio:

a Asignatura de Investigación de Operaciones es de naturaleza practico – teórico, introduce en el análisis y planteamiento de los problemas complejos de ingeniería donde la optimización es un factor fundamental. Se formulan modelos matemáticos y se brindan las principales técnicas de caracterización y resolución de estos modelos. Se aprenderá a interpretar los resultados obtenidos con criterios económicos, a través del uso del análisis de sensibilidad, como paso previo a la aplicación real de la toma decisiones en las organizaciones. Se complementará con el uso de software especializado para la solución de los modelos matemáticos. Considerando el manejo holístico de la investigación de operaciones junto con las demás asignaturas de este ciclo, entonces se buscara generar sinergia para dar solución al problema según nuestra realidad social. Comprende cuatro unidades de aprendizaje:



UNIDAD I: La Investigación de Operaciones y la Programación Lineal.



UNIDAD II: Análisis de Sensibilidad de los modelos de Programación Lineal.



UNIDAD III: Modelos de transporte, Asignación y Redes.



UNIDAD IV: Programación de Proyectos y Programación no lineal.


LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y LA PROGRAMACION LINEAL

Investigación de operaciones

Modelos de Programación Lineal

Método Simplex

Uso del Software

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELOS DE TRANSPORTE, ASIGNACIÓN Y REDES

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL

Modelos de transporte

Programación de Proyecto con tiempos de actividad conocidos

Métodos de solución de Modelos de Transporte

Programación de Proyectos con tiempos inciertos de actividades

Modelos de Asignación

Consideración de los intercambios de tiempo y costo

Modelos de Redes

Programación no lineal

Análisis de Sensibilidad de los términos Independientes en situación de maximización

Análisis de la solución por la computadora

Programación Lineal Entera

El Primal - Dual

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Analiza la realidad, capta y describe un problema,

representándolo en un modelo matemático como de redes, de transporte, de asignación de recursos, para realizar predicciones, demostrando coherencia y actitud crítica en sus planteamientos, valorando la importancia de las herramientas de optimización matemática y de la investigación de operaciones”


Índice del Contenido

I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1:La Investigación de Operaciones y la Programación Lineal 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01:Investigación de Operaciones b. Tema 02:Modelos de Programación Lineal c. Tema 03:Método Simplex d. Tema 04:Uso del Software 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2:Análisis de Sensibilidad de los modelos de Programación Lineal 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Análisis de sensibilidad de los términos independientes en situación de maximización b. Tema 02: Análisis de la solución por la computadora c. Tema 03: Programación Lineal Entera d. Tema 04: El Primal – Dual 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3:Modelos de Transporte, Asignación y Redes 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01 Modelos de Transporte b. Tema 02: Método de solución de modelos de transportes c. Tema 03: Modelos de Asignación d. Tema 04: Modelos de Redes 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4:Programación de Proyectos y Programación no lineal 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Programación de Proyecto con tiempos de actividad conocidos b. Tema 02: Programación de Proyectos con tiempos inciertos de actividades c. Tema 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo d. Tema 04: Programación no lineal 3. Lecturas Recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACI N V. SOLUCIONARIO

02 05-154 05- 42 06 06 06 06 06 06 07-38 07 15 22 29 39 39 40 42 43-71 44 44 44 44 44 44 45-68 45 51 58 63 69 69 71 73 74-114 75 75 75 75 75 75 76-108 76 85 95 103 109 109 112 114 115-147 116 116 116 116 116 116 117-151 117 130 137 143 148 148 149 151 152 153 154



Introducción

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y ejecute la optimización de los modelos matemáticos a través del método grafico. Método simples y el uso de los software adecuados de solución durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia Define, planifica y genera la optimización de los modelos matemáticos usando los diferentes métodos de solución.

c) Capacidades 1. Planifica sus metas de aprendizaje y analiza los diferentes métodos de solución de optimización de los modelos matemáticos .

2. Aplica y genera el óptimo del modelo matemático y utiliza el método gráfico. 3. Aplica y genera el óptimo del modelo matemático y el método simplex. 4. Aplica y genera la optimización del modelo matemático y utiliza el software Lingo, Tora, Glp.

d) Actitudes Disposición emprendedora. Respeto a las normas de convivencia. Sentido de Organización. Perseverancia en las tareas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad. La Unidad de Aprendizaje 1: La Investigación de Operaciones y la Programación Lineal; comprende los siguientes temas: TEMA 01: Investigación de Operaciones. TEMA 02: Modelos de Programación Lineal. TEMA 03: El Método Simplex. TEMA 04: Uso del Software.


TEMA 1

Planificar sus metas de aprendizaje y analiza los diferentes métodos de solución de optimización de los modelos matemáticos.


Desarrollo de los Temas a)

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Algunas Definiciones La investigación de operaciones puede definirse como un conjunto de métodos y técnicas científicas que, aplicados a problemas relacionados con la operación de sistemas, trataran de dar soluciones óptimas. En la actualidad, la Investigación Operativa se estudia como una ciencia de alta gerencia, ya que es una de las más útiles herramientas con las que cuenta un ejecutivo para buscar mejores soluciones a problemas que afectan a la organización como un todo. La Investigación Operativa, es caracterizada por el uso de los modelos matemáticos para proveer una guía a los gerentes para tomar decisiones efectivas dentro del estado actual de la información o en buscar información adicional si el conocimiento actual es insuficiente para alcanzar una decisión adecuada. (Bradley)

Departamento de Producción Su principal objetivo es lograr una mayor producción al menor costo posible, por eso desea poder hacer largas corridas de producción a fin de disminuir el costo asociado con el ajuste y adaptación del equipo a un nuevo producto.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Departamento de Ventas Su principal objetivo es aumentar las ventas, luego desea tener un inventario bastante variado para poder cubrir en forma inmediata cualquier pedido, hasta de productos de demanda muy eventual.

Departamento de Administración El Departamento de Administración desea reducir el inventario a un mínimo indispensable, lo cual choca con los deseos del Dpto. de producción y el Dpto. de ventas.

Departamento de Personal

Su principal objetivo es de mantener en alto la moral del personal, lo cual influye directamente en la productividad, y mantener un alto grado de entrenamiento.

b)

EL ANALISTA DE OPERACIONES Investigar los parámetros a emplear en el modelo existente para determinar su validez. Imaginación, para buscar soluciones lógicas a los múltiples problemas tanto como técnicos como administrativos. Habilidad para descubrir las condiciones importantes del problema. Conocimiento técnico en todas las etapas de la investigación para aplicar el modelo adecuado. Laboriosidad y sentido de responsabilidad. Facilidad de expresión oral y escrita. Habilidad para trabajar en equipos.


c) FASES DE ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA Construcción del modelo matemático Es una representación de algún ente (tal como Objeto, evento, proceso, sistema, imagen, etc.) que es empleado principalmente con propósito de predicción y control. Mediante la construcción del

modelo se

pretende

facilitar,

hacer

posible,

o

la

determinación de cómo cambios en uno o más de los aspectos, variables o propiedades del ente modelado, afectan los otros aspectos o al ente en su totalidad.

Obtención de la solución La

selección del procedimiento por emplear para

obtener

del modelo una solución al problema dependerá de

las

características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en Analíticos y Numéricos, muchas veces ninguno de los dos podrá aplicarse sin la ayuda de las técnicas de Montecarlo o Simulación en la evaluación de algunos términos de la ecuación.

d) MODELOS MATEMÁTICO La esencia de la Investigación Operativa es el enfoque de la construcción de modelos, el que es un intento para capturar los rasgos más significativos de la decisión que está bajo consideración por medio de la abstracción. Lo modelos que usa la Investigación Operativa, son matemáticos. Los modelos son representaciones simplificadas del mundo real.


A fin de que los modelos sean útiles para asistir en las decisiones gerenciales, ellos deben de ser simples para entenderlos y fácil de usarlos. Al mismo tiempo, ellos tienen que proporcionar una representación completa y realista del ambiente de decisión.

e) GUÍA PARA LOS GERENTES A través del esfuerzo del diseño del modelo, la Investigación Operativa, trata de proveer una guía a los gerentes, o en otras palabras trata de incrementar

la

comprensión

de

los

administradores de las consecuencias de sus acciones. Esto nunca es un intento para reemplazar o substituir a los gerentes, sino mas bien el propósito es soportar las acciones gerenciales. Es importante entonces reconocer la fuerte interacción requerido entre gerentes y modelos.

Los modelos pueden oportunamente y efectivamente explicar las muchas relaciones mutuas que pueden estar presentes dentro de las alternativas que están siendo consideradas y que pueden explícitamente evaluar las consecuencias económicas de las acciones restricciones impuestas por los recursos existentes y las demandas impuestas al uso de esos recursos.

Los gerentes de otro lado, podrán formular las preguntas básicas a ser contestadas por el modelo y luego interpretar los resultados del modelo en base a su propia experiencia e intuición, reconociendo las limitaciones del modelo. La

complementación

entre

las

habilidades

computacionales

superiores

proporcionadas por el modelo y las capacidades de discernimiento del gerente (el que toma las decisiones) es la clave para un enfoque exitoso de la Investigación de Operaciones.


f) CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

Ejercicio Operacional Si deseamos efectuar un ejercicio operacional que soporta esta decisión, ensayaríamos diferentes combinaciones de tipos de petróleo, directamente en el proceso de la refinería y observar las utilidades y costos resultantes asociados con cada alternativa de la mezcla.

Ventajas: Alto grado de realismo.

Desventajas: Costos altos de implementación. En muchos casos imposible de analizar.


Juego (Gaming) El proceso de la refinería podría ser representado por un modelo matemático o computacional, que podría asumir cualquier tipo de estructura. El modelo debe de reflejar con un grado aceptable de exactitud las relaciones entre las entradas y las salidas del proceso de la refinería. Posteriormente todo el personal que participa en estructurar el proceso de decisión en la gerencia de la refinería deberá interactuar con el modelo. El gerente de Producción establecerá planes de producción, el Gerente de Compras identificara precios y fuentes de crudos de petróleo y desarrollar programas de adquisición y así sucesivamente.

Ventajas: Se ha retenido algunas de las interacciones humanas del proceso real. El costo de procesar cada alternativa ha sido reducido. La velocidad de medición de la performance de cada alternativa ha sido aumentada.

Desventajas: Se pierde algún grado de realismo con respecto al ejercicio operacional, debido a que operamos en un mundo abstracto.

Simulación Son similares a los modelos de juego, excepto que todas las personas que toman decisiones han sido sacadas del proceso de modelaje. Al igual que el ejercicio operacional y juego, los modelos de simulación no generan alternativas ni producen una respuesta óptima a la decisión bajo estudio.


En el ejemplo: Programaríamos por adelantado un gran número de combinaciones de cantidades y tipos de petróleo crudo a ser usados y obtendríamos las utilidades asociadas a cada tipo de alternativa sin ninguna entrada externa de los tomadores de decisiones. Una vez que los resultados del modelo han sido producidos, nuevas corridas podrían ser llevadas a cabo, hasta que percibamos que hemos alcanzado un entendimiento adecuado de problema.

Modelo Matemático En este de modelo, el problema es representado totalmente en términos matemáticos, normalmente por medio de un criterio u objetivo que buscaremos maximizar o minimizar, sujeto a un grupo de restricciones que representan las condiciones bajo las cuales tienen que ser efectuadas. El modelo computa una solución óptima, que es, una que satisface todas las restricciones y nos da el mejor valor posible de la función objetivo. En nuestro ejemplo: el uso de un modelo analítico implica determinar como

objetivo la maximización de utilidades netas obtenidas de la operación de la refinería como una función de los tipos y cantidades de los petróleos crudos usados. Además la tecnología del proceso de la refinería, los requerimientos del producto final y las disponibilidades de crudo de petróleo deben ser representados en términos matemáticos para definir las restricciones de nuestro problema.

La solución del modelo será la cantidad exacta de cada tipo de petróleo crudo disponible a ser procesado que maximizará las utilidades netas dentro del grupo de restricciones propuestas. Los modelos analíticos, son normalmente los modelos menos costosos y más fáciles de desarrollar. Sin embargo ellos introducen el más alto grado de simplificación en la representación del modelo. Mucho del trabajo llevado a cabo por los científicos de investigación de Operaciones, ha sido orientado en el desarrollo de implementación de modelos analíticos.


TEMA 2

Aplicar y generar el óptimo del modelo matemático y utilizar el método gráfico.


a) Soluciones Geométricas Usualmente las gráficas no son el mejor método para resolver problemas de programación lineal del mundo real, ya que no podemos dibujar en más de 3 dimensiones. No obstante una solución gráfica para un problema de 3 ó menos dimensiones es efectiva. Este método consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a las condiciones de no negatividad), la región de soluciones factibles; y luego graficando sobre ellas la función objetivo, se ubica el programa ó programas óptimos.

b) Método Grafico Maximización Una Compañía manufacturera textil fabrica los productos 1,2; y es suficientemente afortunada como para vender todo lo que puede producir actualmente. Cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los 3 Dptos.; y la disponibilidad de una cantidad fija de horashombre por semana en cada Dpto.; tal como se muestra en el cuadro siguiente:

Tiempo de Manufacturación PRODUCTO

1 2 H – H disp/sem

DPTO A

DPTO B

DPTO C

2 2 160

1 2 120

4 2 280


El problema consiste en decidir qué cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto 1 es $ 1.00 y del producto 2 es $ 1.50. Sean X1 = número de unidades del producto 1 X2 = número de unidades del producto 2 Por lo tanto la programación lineal es: Max Z = x1 + 1.5x2 Sujeto a:

2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 )

x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 ) 4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 ) x1, x2 >= 0

------(4)

Si la restricción (1) fuese la ecuación: 2x1 + 2x2 = 160, Se representaría una recta en el plano cartesiano; pero como el signo es una desigualdad esto representa uno de los semiplanos en que queda dividido el plano cartesiano. Luego cuando se gráfica se tiene:

Gráfica de inecuaciones

2

X

80 70

2x1 + 2x2 = 160

X2

X1

0

80

80

0

60 50 40

Región 2x1 + 2x 2 < 160

30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80

X1


Cabe

recalcar

restricciones

que de

las no

negatividad hacen que de toda la zona rayada sólo nos interesa la que está en el primer cuadrante esto es debido a que   

y   

, luego

se tendrá:

Aplicando los mismos conceptos a la 2da y 3era. Restricción y superponiendo las 3 gráficos,

tenemos

que la zona en la cual

se

cumplen

simultáneamente las 3 restricciones es la región

sombreada

que se indica en la fig.

Analicemos la región sombreada, cualquier punto dentro de ella cumple simultáneamente con las 3 restricciones y con la no-negatividad. Ahora el problema consiste en maximizar la función:

Z = x1 + 1.5x2


Sobre la región sombreada de la fig. Anterior que representa a las restricciones del problema en estudio. Si hacemos x1 = x , x2 = y 

Z = x + 1.5y        ec.recta

 

y = mx + b

Procedamos a graficar esta función. Sea Z = 0, entonces la pendiente de la función es:

 

 

 

 

 

 

Por lo tanto, la función objetivo, Z representa una familia de rectas paralelas

con

pendiente m = - 1/1.5 = - 2/3, tal como se muestra


La recta x1 + 1.5x2 = 100 representa el máximo valor de la función Z; sujeta a las restricciones del programa lineal propuesto. Cualquier valor de Z > 100, no tendrá ningún punto común con la región sombreada. La recta Z = 100 y la región sombreada tienen en este caso un pto. Común cuyas coordenadas son x1 = 40 y x2 = 40

Soluciones factibles C1: (0,60)

C3: (70,0) C5: (40,40)

C2: (0, 0 )

C4: (60,20)

Región Factible: El conjunto de valores para las variables de decisión en un programa lineal que satisface todas las restricciones.

Solución Factible: Una solución en la que las variables de decisión son factibles (Cualquier punto, dentro de la región factible).

Solución Optima: El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la función objetivo (máx.). Y en caso de minimización el menor valor de la función objetivo.


Propiedad La utilidad máxima ocurre en un vértice del conjunto de soluciones factibles. Probar todos los vértices para ver cual aporta la mayor ganancia. Vértices

Z = x1 + 1.5x2

C1: (0,60) C2: (0, 0) C3: (70,0)

0 + 1.5 x 60 = 90 0 + 1.5 x 0

= 0

70 + 1.5 x 0 = 70

C4: (60,20)

40 + 1.5 x 20 = 90

C5: (40,40)

40 + 1.5 x 40 = 100 Respuesta


TEMA 3

Aplicar y generar el óptimo del modelo matemático y el método simplex.


a) PROCEDIMIENTO

Se procede a efectuar el balanceo de las reglas restricciones, para lo cual se recurre a las variables de exceso, holgura y artificial según se al el caso. Se construye el primer tablero del método simplex y en ella se registra: En la primera columna Xk las variables básicas según corresponde. En la columna Cj, se registra la contribución unitaria de cada variable básica anteriormente registrada. En la columna b, se registra el valor de los términos independientes (estos deberán ser positivos). En el tablero principal se registran los coeficientes de las variables de las restricciones balanceadas. En la cabecera de dicho tablero se registran las contribuciones de todas las variables. En el primer tablero, se calcula los valores del vector fila de contribuciones (Zj), el cual se obtiene de la suma de los productos parciales que corresponden por fila. Se deduce el vector de sensibilidad, el mismo que se obtiene de restar los valores Cj – Zj, lo cual indicara si se trata o no del tablero optimo.

Si se tratase de un caso de maximización, no deberá existir valores positivos; de los contrario elegimos el mayor de los valores positivos, el cual identificara al vector que ingresa o “vector ingresante”. En caso de minimización de

hallarse valores negativos, se selecciona al mayor de todos ellos, quien identifica al vector ingresante.


Luego se calcula el vector que sale o “vector saliente” para lo cual se divide los

valores del vector columna b entre los valores del vector ingresante y se selecciona como vector saliente a aquel que corresponda el menor valor positivo. Se construye el siguiente tablero y se determina los valores del vector antiguo (que corresponde a dicha posición), entre el pívot (el pívot es el valor que se halla en la intersección entre el vector que ingresa y el vector que sale, en el tablero anterior). Para calcular los valores de las demás filas del segundo tablero se aplica la siguiente forma: Elemento del vector antiguo – (semipivot * elemento del vector ingresante) El semipivot es aquel elemento que se halla en la intersección de la fila anterior y el vector ingresante. Luego se calcula para el segundo tablero el valor de la fila de contribuciones (Zj) y el vector de la fila de sensibilidad (Cj + Zj). Se continúa este proceso hasta que: No se tenga ningún valor positivo si se trata de maximización. No se tenga ningún valor negativo si se trata de minimización.

Del tablero óptimo se extrae el valor óptimo (bien sea un Zmax ó Zmin) y la contribución de las variables reales de la solución.


b) Método Simplex: Caso de Minimización

Min Z : 4X1 + 2X2 - 3X3 s.a. 4X1 - 2X2 - 3X3<= 5

X1

+ X3 = 12

-2X1 + X2 - X3>= 6

Balanceando

Minx Z : 4X1 + 2X2 - 3X3+ 0X4 + 0X5 + Mq1 + Mq2 s.a. 4X1 - 2X2 - 3X3+ X4

X1

+ X3 + q1

-2X1 + X2 - X3- X5

= 3

= 7 + q2 = 6


Ci 0

Xk X4

b

2

X1X2 X3

X5

X4

q1

q2

-2-3

0

1

0

5

4

M

q1 12

M

q2

Cj – Zj X4

1

1

Zj = 13M 0

4

2

X2 1

Zj = 12M+2 Cj – Zj

1

0

0

-1

0

-1

0

0

-M

0

M

4+M

2-M

-3

M

0

0

-5

1

0

-2

1

1

0 1 M 0

1 0

M

0

M 0

M 0

-M 0

q1 12

0

1

0

-2

7

M

–3

0 0

0 1

0

-2

1

-1

-1

0

0

1

M-4

2

M-2

-2

0

M

2

-M+8

-M-1

0

0

X4 67

5

0

-3

X3 12

1

0

2

X2 13

-1

1

2

0

0

0

-2+M

-2

1

5

2

1

0

0

1

0

0

-1

0

1

1

Zj = -10

-5

2

-3

-2

0

-1

2

Cj – Zj

9

0

0

2

0

M+1

M-2

Zopt = -10 X1 = 0 X2 = 13 X3 = 12


c)

Método Simplex: Caso de Maximización

Max Z : 2X1 + 3X2 - 2X3 s.a. 3X1 + 2X2 - X3<= 15

X1 + 4X2 + 3X3<= 12 -2X1 + X2 - 3X3<= 7

Balanceando

Max Z : 2X1 + 3X2 - 2X3+ 0X4 + 0X5 + 0X6 s.a. 3X1 + 2X2 - X3+ X4

X1 + 4X2 + 3X3 + X5

= 15

= 12

-2X1 + X2 - 3X3+ X6 = 7


2 Ci

Xk

0

X4 15

0

b

X5 12 0

X6

–2

0

X1

X2

X3 X5

3

2

-1

1 7

3

4

3

0 X4

X6

1 0

0

0 1

0 0

-2

1

-3

0

0

0

Zj = 0

0

0

0

0

0

0

Cj – Zj

2

3

-2

0

0

0

0

X4

9

10/4

0

-10/4

1

-2/4

0

3

X2

3

1/4

1

3/4

0

1/4

0

0

X6

4

-9/4

0

-15/4

0

-1/4

1

3/4

3

Cj – Zj

5/4

0

2 X1 36/10

1

0

3 X2 84/40

0

0 X6 484/40 Zj = 135/10

Zj = 9

Cj – Zj

9/4

0

-17/4

3/4

0

0

-3/4

-1

4/10

-2/10

0

1

4/4

-1/10

3/10

0

0

0

-6/4

9/10

-7/10

1

2

3

1

5/10

5/10

0

0

0

-3

-5/10 -5/10

0

Zopt = 135/10 = 13.5 X1 = 3.6 X2 = 2.1 X3 = 0

0


TEMA 4

Aplicar y generar la optimización del modelo matemático y utiliza el software Lingo, Tora, Glp.


a) Uso del LINGO LINGO es una herramienta simple que permite utilizar el de la optimización lineal y no lineal para formular grandes problemas concisamente, resolverlos, y analizar la solución. La optimización ayuda a encontrar la respuesta que satisface el mejor resultado. Frecuentemente, estos problemas involucraban el uso más eficiente de los recursos (dinero, tiempo, maquinaria, personal, etc.). Los problemas de optimización se pueden clasificar en lineales o no lineales, dependiendo de cómo las relaciones entre las variables.

La ventana inicial de LINGO.

poder

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de un modelo en LINGO. Supongamos que CompuQuick Corp. Produce 2 modelos de computadoras: Standard y Turbo. CompuQuick puede vender cada unidad Standard que produce a un precio de $100, y cada unidad Turbo por $150. La fábrica puede producir a lo sumo 100 computadoras Standard por día y 120 computadoras Turbo. CompuQuick tiene una capacidad de trabajo de 160 horas por día.

Las

computadoras Standard requieren 1 hora de labor, mientras que las Turbo requieren 2 horas.

El problema de CompuQuick es determinar la mezcla de

computadoras Standard y Turbo a producir cada día para maximizar el total de las ventas sin exceder el límite de producción y de trabajo. En general un modelo de optimización consiste en los siguientes 3 ítems:

1. Función objetivo 2. Variables 3. Restricciones La sintaxis para escribir la función objetivo en LINGO es:

MAX = 100 * STANDARD + 150 * TURBO; Nota: Cada línea en LINGO finaliza con un punto y coma. El punto y la coma son requeridos. El modelo no se resolverá si falta algún punto y coma. Las restricciones se introducen de la siguiente manera:

STANDARD <= 100; TURBO <=120; STANDARD + 2 * TURBO <= 160; Nota: Dado que la mayor parte de las computadoras no tienen una tecla de menor o igual, LINGO ha adoptado como convención utilizar el símbolo <= para representar. Como alternativa, se puede usar el símbolo < para expresar menor o igual. Lo mismo se usa >= ó > para expresar mayor o igual.


Una expresión puede abarcar más de una línea, por ejemplo:

MAX = 100 * STANDARD + 150 * TURBO; Se pueden introducir comentarios, que serán ignorados por LINGO, comenzando con un signo de exclamación (! y terminando con un punto y coma.

Los

comentarios también pueden ocupar varias líneas. Por ejemplo:

X= 1.5 * Y + Z / 2 * Y; ! Esto es Un comentario;

X= 1.5 * ! Esto es un comentario en el medio de una restricción; Y + Z / 2 * Y;

LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas, por lo que es lo mismo STANDARD que standard y que StAnDaRd.

Los nombres de las variables deben comenzar con un carácter alfabético (A-Z), los siguientes caracteres pueden ser alfabéticos, numéricos o subrayado (_). Los nombres pueden ser de hasta 32 caracteres de longitud.


Resolución del modelo. Para ordenar a LINGO a que resuelva el problema, se debe seleccionar el comando Solve del menú LINGO, o presionar el botón Solve de la barra de herramientas. Si no hay errores en la formulación del problema durante la etapa de compilación, LINGO invocará al módulo de resolución adecuado para buscar la solución óptima.

Ventana de estado. En esta ventana se puede monitorear el proceso de resolución y las dimensiones del modelo. El recuadro "Variables" muestra el número total de variables del modelo, las variables que son no lineales y las enteras. Una variable es considerada no lineal si es parte de una restricción no lineal en el modelo. Mientras más variables no lineales y enteras contenga el modelo, más difícil será resolverlo de forma óptima en un tiempo razonable. Los modelos lineales puros sin variables enteras tienden a resolverse más rápidamente.


La cuenta de variables no incluye las que LINGO determina como de valor fijo, por ejemplo: dadas las restricciones

X = 1; X + Y = 3; LINGO determina por la primera restricción que X está fija en 1, y, usando esta información, deduce que Y está fija en 2. X e Y serán entonces excluidas del modelo. En el recuadro "Constraints" se muestra la cantidad total de restricciones y el número de éstos que son no lineales. Una restricción es considerada no lineal si una o más variables aparecen de forma no lineal en la restricción. El recuadro "Nonzeros" muestra el total de coeficientes distintos de cero que aparecen en el modelo y el número de estos que aparecen en variables no lineales. El recuadro "Memory Used" muestra la cantidad de memoria que está utilizando LINGO para resolver el modelo. El recuadro "Elapsed Runtime" muestra el tiempo total utilizado para generar y resolver el modelo. El recuadro "Optinizer Status" muestra el estado actual del optimizador:

Campo

Descripción

State

Estado de la solución actual, puede ser "Global optimum", "Local optimum", "Feesible", "Unbounded", "Interrupted", "Undetermined"

Iterations Infeasibility

Número de iteraciones Cantidad de veces que es violada una restricción

Objetive

Valor actual de la función objetivo

Best IP

Valor de la función objetivo de la mejor solución entera encontrada (solo en modelos de programación entera)

IP Bound

Límite teórico de la función objetivo para modelos de programación entera.


Cuando LINGO termine de resolver el modelo, creará una nueva ventana con el título Solution Report , conteniendo

los detalles de la solución:

Informe de la solución.

¿Para qué utilizar un lenguaje de modelación? Una de las características más potentes de LINGO, es el lenguaje de modelación matemática. Este lenguaje permite expresar el problema de una manera

natural,

similar

matemática standard.

a

la

notación

Además de poder

ingresar cada término de cada restricción explícitamente, LINGO permite expresar una de restricciones similares en una sola sentencia compacta.

serie


Otra característica conveniente del lenguaje de modelación de LINGO, es la sección de datos. La sección de datos permite aislar los datos de la formulación del modelo. De hecho, LINGO puede incluso, leer los datos de una planilla de cálculo, de una base de datos o un archivo de texto.

Con los datos

independientes del modelo, es mucho más fácil hacer cambios, y hay menos oportunidad de cometer errores. El modelo de CompuQuick del ejemplo anterior, usa variables escalares, cada variable está explícitamente listada por nombre (STANDARD y TURBO) y cada restricción aparece explícitamente. En la mayor parte de los grandes modelos, será necesario trabajar con un grupo de varias restricciones y variables muy similares. Para esto, LINGO tiene la habilidad de manejar conjuntos de objetos, que permiten efectuar estas operaciones más eficientemente.

b) Uso del GLP Es una herramienta informática que permite graficar modelos matemáticos de P.L. de 2 variables, grafica la solución óptima. Es desarrollado bajo la supervisión del Profesor Jeffrey Moore, PhD de la Escuela de Negocios de la Universidad de Stanford.

Usando GLP

Etiquetas de tipo de variables para X, Y, ingreso para 6 restricciones y la función objetivo. (PAYOFF)

Escuela de Negocios de Stanford Graphic LP Optimizer (GLP) para graficar modelos de PL.

Area de graficación

5


Primero, obtenga un gráfico del grupo de restricciones, asignando los ejes.

Ingreso de restricciones y el límite de las disponibilidad de recursos usando +/-

Esta área representa la región factible.

6

Note que puede desplazar la línea de estricciones (drag) y observar que pasa con la regiónfactible.

Solo el lado derecho de la restricción (RHS) es variable.

7


c) Uso del TORA Max Z = x1 + 1.5x2 Sujeto a:

2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 )

x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 ) 4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 ) x1, x2 >= 0

------(4)


Lecturas Recomendadas



EL LIBRO: http://site.ebrary.com/lib/biblioucvsp



PROGRAMACIÓN LINEAL http://www.programacionlineal.net/

Actividades y Ejercicios

1. Ingresa al link “Método Simplex” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Dado el siguiente modelo matemático, resolver por el método simplex: Max Z = x1 + 1.5x2 Sujeto a:

2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 ) x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 ) 4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 ) x1, x2 >= 0

------(4)

Dado el modelo matemático del ejercicio 1, resolverlo usando el software LINGO. Recuerde que el software LINFO lo puede descargar e instalar gratuitamente de internet.


Autoevaluación

1) Una solución en la que las variables de decisión son factibles (Cualquier punto, dentro de la región. a. Solución Factible b. Región Factible c. Solución Óptima d. Solución Extrema e. Solución Parcial 2) El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la función objetivo. a. Solución factible b. Región Factible c. Solución Óptima d. Solución extrema e. Solución parcial 3) Nos permite graficar modelos matemáticos de P.L. de dos variables. a. Lingo b. Glp c. Tora d. Lindo e. Win QSB 4) Es el modelo más realista: a. Ejercicio Operacional b. Simulación c. Matemático d. Gaming e. Juego 5) Es el modelo más abstracto a. Gaming b. Matemático c. Ejercicio Operacional d. Simulación e. Juego

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) Es una herramienta simple que permite utilizar el poder de la optimización lineal y no lineal: a. Lingo b. Glp c. Tora d. Lindo e. Win QSB 7) El conjunto de valores para las variables de decisión en un programa lineal que satisface todas las restricciones. a. Solución Factible b. Solución Optima: c. Región Factible d. Propiedad e. Maximización 8) Su principal objetivo es de mantener en alto la moral del personal, lo cual influye directamente en la productividad, y mantener un alto grado de entrenamiento. a. Departamento de Administración b. Departamento del Personal c. Departamento de Producción d. Departamento de Ventas e. Departamento de Recursos Humanos 9) No es parte de la función del Analista de Operaciones: a. Laboriosidad y sentido de responsabilidad. b. Facilidad de expresión oral y escrita. c. Habilidad para trabajar en equipos d. Habilidad para descubrir las condiciones importantes del problema. e. Facilidad de trabajar individualmente y sin equipo. 10) El ……………………desea reducir el inventario a un mínimo indispensable, lo cual choca con los deseos del Dpto. de producción y el Dpto. de ventas a. Departamento de Administración b. Departamento de Marketing c. Departamento de personal d. Departamento de Ventas e. Departamento de Producción


Resumen

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa “hacer investigación sobre las operaciones”. Esto dice algo tanto del enfoque como del área de aplicación. Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refiere a la conducción y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. Hasta hace poco las decisiones siempre se tomaban basadas en la intuición. Sin embargo este proceso empezó a perder confiabilidad, por lo cual comenzaron a utilizarse en el siglo pasado modelos de programación matemática y se diseñaron técnicas similares como ayuda a la decisión gerencial. La revolución científica en las técnicas administrativas de principios de este siglo, iniciadas por Frederick Taylor, en la que sentó la base para la actualidad ciencia administrativa / investigación de operaciones. Con posterioridad a la guerra y ante el éxito aparente de los militares atrajo la atención de la industria que buscaba soluciones a problemas creados por la complejidad y especialización de las operaciones, herramientas formales para el desarrollo rápido de las empresas y empezaron a formar grupos de trabajo. Dos procesos, que ocurrieron en el periodo posterior a la segunda guerra mundial, condujeron a la investigación de operaciones como un par importante en el proceso de la toma de decisiones: En primer lugar el descubrimiento de George Dantzig en 1947 del método simple, para resolver problemas de programación lineal., y en 1957 Churman, Ackffy Arnoff publicaron el primer libro de investigación de operaciones. Con el advenimiento de las computadoras digitales se expandieron los campos de acción de los métodos cuantitativos y se crearon nuevos modelos. Dada la facilidad de obtención de resultados en crear y desarrollarse. Hoy en día los métodos cuantitativos son utilizados en el sector público y privado como elementos esenciales en el proceso de la toma de decisiones generales. Programación lineal, técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra; Función; Matemática). El desarrollo de computadoras electrónicas de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente en operaciones industriales y militares. La programación lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a partir de un conjunto de números dado, que maximizaran una forma poli nómica dada. La programación lineal utiliza un modelo matemático para descubrir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata de planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas alternativas de solución.



Introducción

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y ejecute el análisis post-optimo de los modelos matemáticos de programación lineal, durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia Desarrolla y aplica el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos de programación lineal.

c) Capacidades 1.

Planifica y aplica el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos.

2.

Planifica y utiliza el análisis de sensibilidad por computadora.

3.

Planifica y aplica la solución de modelos de programación entera.

4. Aplica y reconoce los modelos Primal - Dual.


e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad. La Unidad de Aprendizaje 2: Análisis de Sensibilidad de los modelos de Programación Lineal, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Análisis de Sensibilidad de los Términos Independientes en Situación de Maximización. TEMA 02: Análisis de la Solución por la Computadora. TEMA 03: Programación Lineal Entera. TEMA 04: El Primal - Dual.


TEMA 1

Planificar y aplicar el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos.


Desarrollo de los Temas

El análisis Post-optimo es también denominado Análisis de Sensibilidad, estudia las variaciones que se presentan en una solución optima en lo referente a los Términos Independientes, la Función Objetivo y la matriz Principal (esta última también denominada Matriz Tecnológica), tanto para los casos de maximización como los de Minimización

a) Análisis de sensibilidad de los términos independientes en situación de maximización Procedimiento Paso 1. Se calcula la solución óptima del modelo originalmente dado.

Paso 2. Se calcula el valor del término independiente modificado, mediante:

bi +/ - Δb = b’ Donde: b i = Es el término independiente original

de una

determinada restricción del modelo matemático. Δb = Es la cantidad en que se incrementa o disminuye el

término independiente. b’ = Es el término independiente modificado

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Paso 3. Se multiplica la matriz: B-1 con el vector modificado del término independiente:

B-1 b’ >= [ Ō ] entonces

Es Factible

De lo contrario se dice que no existe factibilidad.

Paso 4. En el supuesto caso de que no exista factibilidad, se identifica a aquel elemento de la matriz B-1 que lo está ocasionando ( la matriz B-1 es aquella que corresponde en el tablero optimo a la posición que ocupaba la matriz unitaria en el tablero Nº 01 del Método Simples), a dicho elemento identificado, se convierte en el Pívot y partir de esto, se efectúa la inversión de matrices para la matriz B -1; y continuamos con el proceso del Paso 4 las veces que sean necesarios, hasta obtener una solución factible, mediante la fórmula dada en el Paso 3.

Paso 5. Una vez que se obtiene la factibilidad a partir del Paso 3 o Paso 4 según el caso, se procede a calcular la solución optima del modelo dado con la variación propuesta del término independiente, mediante la f órmula:

Zmax = Ci ( B-1 b’ ) Y la participación de las variables, reales en dicho modelo modificado se obtiene de:

B-1 b’ EJEMPLO Max Z : 5X1 + 6X2 s.a. 2X1 + 3X2<= 30 3X1 + 2X2 <= 30


Para cuando: a) Considerar que b1 , pasa a ser 24 b) Considerar que b , pasa a ser b1=36 y b2=18 Balanceando Max Z : 5X1 + 6X2+ 0X3 + 0X4 s.a. 2X1 + 3X2+ X3= 30 3X1 + 2X2

5 Ci

Xk

b

6

X2X3

X1

0

X3 30

2

3

0

X 4

3

2

30

Zj = 0

0

Cj – Zj

0 6

6

X2 10

0

X4 10

2/3

0 1

0

Zj = 60

4

6

Cj – Zj

1

0

0

0

6

5/3

0

X4

0

1

+ X4= 30

1

0 0

0

3/3

0

-2/3 2

1 0

-2

0

6 X 2

6

0

1

3/5

-2/5

5 X1

6

1

0

-2/5

3/5

Zj =

66

5

6

8/5

3/5

0

0

-8/5

-3/5

Cj – Zj

Zopt = 66 X1 = 6

X2 = 6


a) B-1 b’ >= [ Ō ]

entonces

3/5 -2/5

24

Es Factible 12/5

= -2/5

3/5

30

6

Solución factible

>= 42/5

0

Se pasa al Paso 5 Zmax = Ci (B-1 b’ ) Zmax =

(C2 , C1 ) 12/5 42/5

Zmax = ( 6 , 5 ) 12/5

= 56.4

42/5 x1= 42/5 = 8.4

b) B-1 b’ >= [ Ō ] 3/5

-2/5

x2 = 12/5 = 2.4

entonces

36

Es Factible 72/5

= -2/5

3/5

18

0 not >=

-18/5

No factible 0

Entra X3 X4 X2 Sale

3/5 -2/5

X1 -2/5 X2

3/5

0 1/2

36

1

-3/2

18

X4

X2

0

1/2

X3

1

-3/2

9 =

X3

X3

0 >=

9

Solución factible 0


Se pasa al Paso 5 Zmax = Ci (B-1 b’ ) Zmax =

(C2 , C3 )

9 9

Zmax =

(6,0)

9

9 x1= 0

x2 = 9

= 54


TEMA 2

Planificar y utilizar el análisis de sensibilidad por computadora.


a) Planeación de la producción

Usando el software Lindo tenemos:


UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP b) Análisis 1. Plan óptimo de producción Q1 = 1300 unidades Q2 = 0 Q3 = 100 unidades Q4 = 800 unidades Q5 = 200 unidades

2. Cuanto es la utilidad máxima $ 54,400

3. Costos reducidos. Solo se le interpreta cuando son diferentes de cero. Costo reducido de Q2 = 11

Tiene dos significados: Primera interpretación: Se puede notar que el producto Q2 no conviene fabricar, para que sea conveniente su producción, su utilidad debe aumentar por lo menos 11 $/unidad.

Segunda Interpretación: Se sabe que el producto Q2 no debemos fabricar, si forzamos la producción de este producto, la utilidad total se reducirá en forma proporcional a 11, por cada unidad fabricada.

NOTA Siempre que hay un cero en el lado izquierdo o derecho, si no hay cero, el problema no tiene solución. Pero cuando hay varios ceros, significa que hay varias soluciones óptimas.


4. Slack or Surplus (variables de holgura y exceso). Variable de Holguras y Variables de exceso

a) Holgura 0 de la fila 2: Toda la materia prima ha sido utilizada, sobrando cero libras.

b) Holgura 300 de la fila 3: Significa que hay 300 pies cúbicos no utilizables del almacén. Solo se está utilizando 3700 pies cúbicos.

c) Variable de exceso 1900 en la fila 4: Se están entregando 1900 unidades adicionales a las empresas industriales, lo mínimo que pedían era 200 unidades y estamos entregando 2100 unidades (exceso de 1900 unidades).

d) Variables de exceso 0 de la fila 5: Se están entregando exactamente lo mínimo pedido (300 unidades) a las empresas comerciales, no entregamos ninguna unidad adicional.

e) En la fila 6 y fila 7 por ser restricción de igualdad.

5. Dual Price (Precios Duales). Se obtiene como sigue:

Unidad de la función del Primal Yi = -------------------------------------------------------------------Unidad del término derecho de la i_esima restricción del Primal

$ de utilidad Y1 = 3 ---------------------------Libras de materia prima $ de utilidad Y2 = 0 ---------------------------Pie cúbico de espacio $ de utilidad Y3 = 0 ---------------------------Producto comprado por empresas industriales


$ de utilidad Y4 = -14 ---------------------------Por producto comprado por las empresas comerciales $ de utilidad Y5 = 14 ---------------------------Hora Planta 1 $ de utilidad Y4 = 21 ---------------------------Hora Planta 2

6. Unidades de las variables duales. Sea:

bi = termino derecho de la i_esima restricción del primal Yi = Variable dual asociada a la i_esima restricción del Primal. M = Valor optimo de la función objetivo del primal. Si variamos el término derecho (bi) de la i_esima restricción del primal, en un cantidad d i , entonces: Si d i es positivo significa que estamos incrementando. Si d i es negativo significa que estamos disminuyendo. El nuevo valor óptimo es M - d i * Yi

i) Si aumentamos 50 libra de materia prima. ¿Cuál es la nueva utilidad? M + d i * Yi M = 5400 di = 50

Yi = 3 Entonces 5400 + 50(3) = $ 54,550


ii) Si se deterioran 80 libras de materia prima, como afecta esto a la utilidad. 54400 + d i * Yi = 54400 + (-80) (3) = $ 54160 En conclusión: Por cada libra adicional de materia prima, la utilidad aumenta en 3 $, y por cada libra que se disminuye la materia prima, la utilidad baja 3 $.

7. Rangos de sensibilidad. i) Rango de sensibilidad para el coeficiente de Q1 en la Función Objetivo Mientras la utilidad unitaria del producto 1 sea menor o igual que 26, el Plan de Producción optimo no cambia.

ii) Rango de sensibilidad para la materia prima (Fila2) Mientras la cantidad disponibles de materia prima este entre 5800 y 6400 libras, los precios duales no cambian. Van ha seguir siendo 3. Podemos comprar hasta 400 libras de materia prima o vender hasta 200 libras, sin alterar su precio dual.


TEMA 3

Planificar y aplicar la solución de modelos de programación entera.


La programación entera tiene que ver con la solución de problemas de programación matemática, en las cuales algunas o todas las variables, solo pueden tomar valores enteros no negativos.

a) Tipos de Modelos de Programación Lineal Entera Programa enteros puros Un modelo entero puro (PLE) es un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan valores enteros. Ejemplo:

MIN 6X1 + 5X2 + 4X1 S.A. 108X1 + 92X2 + 58X3 >= 576 7X1 + 18X2 + 22X3 >= 83 X1, X2, X3 >= 0 y Enteros

Programas Enteros Mixtos Se llama programación lineal entero mixto (PLEM), cuando un problema solo requiere que algunos variables tengan valores enteros, mientras que las otras pueden asumir cualquier numero no negativo (es decir, cualquier valor continuo).

Por ejemplo: MIN 6X1 + 5X2 + 4X3 S.A. 108X1 + 92X2 + 58X3 >= 576 7X1 - 18X2 + 22X3 >=

83

X1, X2, X3 >= 0 ; X1 y X3 Enteros


Programación Enteros 0 y 1 En algunos problemas, se restringe el valor de las variables a 0 y 1. Dichos problemas se llaman Binarios o Programas Lineales Enteros 0-1. Son de particular interés, debido a que se pueden usar las variables 0-1 para representar decisiones dicotómicas (si o no). Diversos problemas de asignación, ubicación de plantas, planes de producción y elaboración de cartera, son de programación lineal entera 0-1. Por ejemplo:

MIN 5X1 - 7X2 + 10X3 - 3X4 + X5 S.A. -X1 - 3X2 + 5X3 -

X4 - 4X5 >= 0

2X1 + 6X2 - 3X3 + 2X4 + 2X5 >= 4 -X2 + 2X3 + X4 -

X5 >= 2

XJ = 0 ó 1 donde (0: se rechaza, 1: se acepta)

b) Métodos de Programación Lineal Entera Método de Búsqueda Se inician partir de la idea directa de enumerar todos los puntos enteros factibles, El método de búsqueda más sobresaliente es la TÉCNICA DE RAMIFICAR Y ACOTAR, Comienza a partir del optimo continuo, pero “parte” sistemáticamente el

espacio de soluciones en subproblemas, suprimiendo partes que no contengan puntos enteros factibles. Ejemplo:

MAX X1 + 5X2 S.A. 11X1 + 6X2 <= 66 5X1 + 50X2 <= 225 X1, X2 >= 0 y Enteros

Resolver el problema, por el método gráfico o método simplex



Ramificar y Acotar VO de P1 <= 3.75 + 5(4.123) = 24.375 = U = MCSA Máxima Cuota Superior Actual VO de P1 <= 3

+ 5(4)

= 24

= F = MCIA Mínima Cuota Inferior Actual


TEMA 4

Aplicar y reconocer los modelos Primal Dual.

–


El método PRIMAL- DUAL constituye una técnica de solución complementaria en la Programación Lineal, generalmente su aplicación se da en la Teoría de Estrategia ó Teoría de Juegos, en la cual se busca optimizar entre 2 o más estrategas y determinar la probabilidad de éxito de cada caso, así como el valor de la información o el juego según se trate

a) Primal - Dual Dado un conjunto cualquiera de datos para un modelo de PL (Primal), podemos usar los mismos datos para formar un modelo de PL diferente (Dual). Para examinar la teoría de Dualidad en una forma satisfactoria, tenemos que desechar la restricción de que las variables de un modelo de PL sean no negativas.

Ejemplo (Modelo Primal) Max 3X1 + 4X2 - 2X3

Var. Duales

S.A. 4X1 - 12X2 + 3X3 <= 12

Y1

-2X1 + 3X2 + X3 <= 6

Y2

-5X1 +

X2 - 6X3 >= -40

Y3

3X1 +

4X2 -2X3 = 10

Y4

X1>=0 , X2<=0 , X3 NRS


b) Regla

El Núm. de variables del Dual es igual al número de restricciones del Primal. El número de restricciones del Dual es igual al número de variables del Primal. Los coeficientes de la Función Objetivo en el Dual será el vector de recursos del Primal. Si el primal es un modelo de maximización, el Dual será de Minimización. Si el Primal es un modelo de Minimización el Dual será de Maximización. Los Coeficientes de la 1ra función de restricción del Dual, son los Coeficientes de la 1ro variable en las restricciones de Primal, y en forma análoga para las otras restricciones. Los recursos de las restricciones duales son los Coeficientes de la función objetivo del Primal. El sentido de la i-ésima restricción Dual es = si y solo si la i-ésima variable del Primal no tiene restricción de signo (NRS). Si el Primal es un modelo de Max (Min), entonces, después de aplicar la regla anterior, se asigna a las restantes restricciones Duales el mismo (opuesto) sentido a la variable correspondiente del Primal. La i-ésima variable del problema DUAL no tendrá restricción de signo(NRS) si y solo si la i-ésima restricción del PRIMAL es una igualdad. Si el PRIMAL es un modelo de máx. (Min), entonces después de aplicar la regla anterior, asignar a las demás variables DUALES el signo contrario (el

mismo

signo)

que

correspondiente al PRIMAL.

la

restricción


Modelo Dual Núm. Variables Dual

=4

(Y1, Y2, Y3 y Y4)

Núm. Restricciones Dual = 3 Min 12Y1 + 6Y2 - 40Y3 + 10Y4 S.A. 4Y1 - 2Y2 - 5Y3 + 3Y4 >= 3 -12Y1 + 3Y2 + Y3 + 4Y4 <= 4 3Y1 + Y2 - 6Y3 - 2Y4 = -2 Y1>= 0 , Y2>= 0 , Y3 <= 0 , Y4 NRS

d) Ejercicios 1)

Hallar el Dual del siguiente Primal Max 3X1 + 4X2 S.A. -2X1 + 3X2 5X1 -

<= 6

X2 <= 40

X1 + X2 <= 7 X1>= 0 , X2>= 0 Dual Núm. Variables (D) = Num. Restricciones (P) = 3 Núm. Restricciones (D) = Núm. Variables (P) = 2 Min 6Y1 + 40Y2 + 7Y3 S.A. -2Y1 + 5Y2 + Y3 >=

3

3Y1 - Y2 + Y3

4

>=

Y1>= 0 , Y2>= 0 , Y3 >= 0


2)

Hallar el Dual del siguiente Primal

Min

X1 + 12X2 - 2X3

S.A. 4X1 + 2X2 + 12X3

<= 10

2X1 - X2 + 11X3 >= -2 X1<= 0 , X2 NRS , X3>= 0 Dual Num. Variables (D) = Num. Restricciones (P) = 2 Num. Restricciones (D) = Num. Variables (P) = 3 Max

10Y1 - 2Y2

S.A. 4Y1 +

2Y2 >= 1

2Y1 -

Y2

= 12

12Y1 + 11Y2 <= -2 Y1<= 0, Y2>= 0


3)

Hallar el Dual del siguiente Primal

Max

4X1 + 7X2 + 8X3

S.A. 4X1 + 2X2 + X3

<= 100

X1 + 3X2 + 7X3 <= 80 2X1 + 6X2 + 3X3

<= 50

X1 NRS, X2 NRS, X3NRS Dual Núm. Variables (D) = Núm. Restricciones (P) = 3 Núm. Restricciones (D) = Núm. Variables (P) = 3 Min

100Y1 + 80Y2 + 50Y3

S.A. 4Y1 +

Y2 + 2Y3 = 4

2Y1 + 3Y2 + 6Y3 = 7 Y1 + 7Y2 + 3Y3 = 8 Y1>= 0, Y2>= 0, Y3>= 0



 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones  DIALNET

http://dialnet.unirioja.es

Actividades y Ejercicios Ingresa al link “Dual de Primal” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

a) Hallar el Dual del Siguiente Primal Max 3X1 + 4X2 2X1 + 3X2 5X1 -

<= 6

X2 <= 40

X1 + X2 <= 7 X1>= 0, X2>= 0

Dual Núm. Variables (D) = Núm. Restricciones (P) = 3 Núm. Restricciones (D) = Núm. Variables (P) = 2 Min 6Y1 + 40Y2 + 7Y3 S.A. -2Y1 + 5Y2 + Y3 >=

3


Actividades y Ejercicios

b) Hallar el Dual del Siguiente Primal Min

X1 + 12X2 - 2X3

S.A. 4X1 + 2X2 + 12X3 2X1 -

<= 10

X2 + 11X3 >= -2

X1<= 0, X2 NRS, X3>= 0

Dual Núm. Variables (D) = Núm. Restricciones (P) = 2 Núm. Restricciones (D) = Núm. Variables (P) = 3 Max

10Y1 - 2Y2

S.A. 4Y1 + 2Y2 2Y1 -

Y2

>= 1 = 12

12Y1 + 11Y2 <= -2


Autoevaluación

1) No es un tipo de programación lineal entera. a. Entera Pura b. Entera Mixta c. Binaria d. Enteros 0 y 1 e. Entero real 2) No me permite realizar análisis de sensibilidad de modelos de programación lineal. a. Lindo b. Lingo c. Win QSB d. Tora e. Excel 3) Es una técnica que me permite resolver los modelos de programación lineal entera. a. Ramificar y acotar b. Solver c. Maximizar d. Minimizar e. Optimizar 4) Constituye una técnica de solución complementaria en la Programación Lineal, generalmente su aplicación se da en la Teoría de Estrategia ó Teoría de Juegos, en la cual se busca optimizar entre 2 ó más estrategias y determinar la probabilidad de éxito de cada caso, así como el valor de la información o el juego según se trate. a. Dual b. Primal c. Primal-Dual d. Modelar e. Optimizar 5) No es un componente de los modelos matemáticos. a. Función objetivo b. Restricciones c. Limitaciones d. Recursos e. Deseos


6) Se inician a partir de la idea directa de enumerar todos los puntos enteros factibles. a. Método de Búsqueda b. Ramificar y Acotar c. Método simplex d. Dual e. Primal 7) El método de búsqueda más sobresaliente es: a. Técnica de Ramificar y Acotar b. La técnica del método simplex c. TECNICA de programas lineales d. Técnica de los binarios e. Técnica con variables 8) Se llama programación lineal entero mixto……….. a. PEM b. PLEM c. PLM d. MEPL e. PLEN 9) El análisis Post-optimo es también denominado Análisis de …………. a. Sensibilidad b. Independización c. Limitación d. Matriz tecnológica e. Maximización 10) La programación entera tiene que ver con la solución de problemas de : a. Desarrollo de matrices b. Programación matemática c. Desarrollo de ecuaciones lineales d. Variables e. Enteros puros


Resumen

Toda solución a un problema de toma de decisiones se basa en determinados parámetros que se presumen como fijos. El análisis de sensibilidad es un conjunto de actividades posteriores a la solución que sirven para estudiar y determinar qué tan sensible es la solución a los cambios en las hipótesis.

Estas actividades también se denominan análisis de estabilidad, análisis what-if o de hipótesis, modelación de escenarios, análisis de especificidad, análisis de incertidumbre, análisis de inestabilidad numérica, inestabilidad funcional y tolerancia, análisis de post optimalidad, aumentos y disminuciones admisibles y muchos otros términos similares que reflejan la importancia de esta etapa del proceso de modelación. Por ejemplo, análisis de sensibilidad no es el término típico empleado en la econometría para referirse al método de investigación de la respuesta de una solución frente a perturbaciones en los parámetros.

En econometría, esto se denomina estática comparativa o dinámica comparativa, según el tipo de modelo en cuestión. Se puede hacer frente a las incertidumbres de una manera más "determinista". Este abordaje tiene distintos nombres tales como "modelación de escenarios", "modelación determinista", "análisis de sensibilidad" y "análisis de estabilidad".

La idea es generar, de manera subjetiva, una lista ordenada de incertidumbres importantes que supuestamente podrían tener un mayor impacto sobre el resultado final. Esto se lleva acabo antes de focalizarse en los detalles de cualquier "escenario" o modelo



Introducción

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y ejecute los modelos de Transporte, Asignación y Redes, durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia Aplica modelos de transporte, asignación, redes y comprende su importancia en la investigación de operaciones.

c) Capacidades 1. Planifica y reconoce la estructura de un modelo de transporte. 2. Diseña y aplica modelos de transporte. 3. Diseña y aplica modelos de asignación. 4. Aplica y reconoce los modelos de redes.


e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad. La Unidad de Aprendizaje 3: Modelos de Transporte Asignación y Redes, comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Modelos de Transporte TEMA 02: Métodos de solución de Modelos de Transporte TEMA 03: Modelos de Asignación TEMA 04: Modelos de Redes


TEMA 1

Planificar y reconocer la estructura de un modelo de transporte.


Desarrollo de los Temas

Definición y Aplicación del Modelos de Transporte El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1.

Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2.

El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

Fuentes a1

Unidades de oferta

a2

am

1

Destinos C11 : x11

2

1

2

m

n

Cmn : xmn

b1

b2

bn

Unidades de demanda


El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa representa la ruta por la cual cual se transporta la la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es es ai, y la demanda en el destino j es es b j. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es es Cij.

Si X i j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: Minimiza Z= i=1 m

n

 j=1

C ijX ij

Sujeta a: n j=1

X i j<= ai ,

m i=1 X I j>=

X i j >=0

bj ,

i=1,2,…, m j=1,2,…, n

para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino que satisfaga su demanda. El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total cuando menos igual a la demanda total

m

i=1

ai debe ser

n

 j=1

bj. Cuando la oferta total es es igual a la

demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:

X i j = ai,

i=1,2,..., m

X i j = bj,

j=1,2,..., n

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte.

b) Ejemplos Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar) MG Auto Company Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centros de distribución son: Denver

Miami

1 000

1 690

1 250

1 350

1 275

850

Los Ángeles

Detroit

Nueva Orleans

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:

Denver

Miami

80

215

100

108

102

68

Los Ángeles

Detroit

Nueva Orleans


Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j . Como la oferta total (= 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda (= 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante está equilibrado . Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32 Sujeto a: X 11

X 12

= 1 000 X 21

X 22

= 1 500 X 31

X 11

X 21 X 12

X 31 X 22

X ij

X 32

= 1 200 = 2 300

X 32

= 1 400

para todas las i y j

Un método más resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transp orte . Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C

i j

se resumen en la esquina noroeste de la celda de la

matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:


Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio) En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante (=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución. Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad

de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino. La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe,

no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver

Miami

Los Ángeles

80

215

1 000

Detroit

100

108

1 300

Nueva Orleáns

102

68

1 200

Planta ficticia

0

0

200


De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un

destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900 cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Destino Denver

Miami Ficticio

Los Ángeles

80

215

0

1 000

Detroit

100

108

0

1 500

Nueva Orleans

102

68

0

1 200

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un artículo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior.

2. Producción en el mes actual. 3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.


El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00 una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente. El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se p uede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:

Sistema de Transporte

Sistema de Producción

1. Fuente i

1. Periodo de producción i

2. Destino j

2. Periodo de demanda j

3. Oferta en la fuente i

3. Capacidad

de

producción

del

periodo i

4. Demanda en el destino j

4. Demanda del periodo j

5. Costo de transporte de la fuente i al 5. Costo de producto e inventario del destino j

periodo i al j


En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Periodo Demanda

1

2

3

4

Capacidad

1

4

4.5

5

5.5

50

2

6

4

4.5

5

180

3

8

6

4

4.5

280

4

10

8

6

4

270

Demanda:

100

200

180

300

El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es: Costo de producción en i ,

C i j =

i=j

Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j ij

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.


TEMA 2

Diseñar y aplicar Modelos de Transporte.


a) Método Noeoeste

P

Q

R

S

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

20

20

30

20

90

Determinar mediante el método Noroeste el costo mínimo y la asignación óptima. I

P

Q

A

20

-

B

-

C

-

R

S

Oferta

-

-

20 , 0

20

10

-

30 , 10 , 0

-

20

20

40 , 20 , 0

Dm 20

20

30

20

0

0

20

0

0

C = 20(5) + 20(2) + 10(3) + 20(1) + 20(2) + 20(2) = $230


Verificar Optimicidad 5

-

-

2

u1

u1 + v1 = 5

u1 = 1 , v1 = 4

-

2

3

-

u2

u2 + v2 = 2

u2 = 3

, v2 = -1

-

-

1

2

u3

u2 + v3 = 3

u3 = 1

, v3 = 0

v1

v2

v3

v4

u3 + v3 = 1

v4 = 1

u3 + v4 = 2 Degenerativo

CI =

u1 + v4 = 2

5

0

1

2

u1 = 1

7

2

3

4

u2 = 3

5

0

1

2

u3 = 1

v1

v2

v3

v4

4

-1

0

1

CI - CD = MD 5

0

1

2

7

2

3

4

5

0

1

2

-

5

3

5

2

3

2 3

5

3

4

2

1

=

0

-3

4

0

2

-4

-4

0

0 -1 0

0

No Óptimo

Método Auxiliar de la Casillas I

P

A

20-θ

B

θ

C

Q

R

S 10+θ

20

10-θ 20+θ

20-θ

θ = 10

C = 10(5) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 10(2) + 10(2) = $210

II

P

Q

R

S

A

10

-

-

10

B

10

20

-

-

C

-

-

30

10


Verificar Optimicidad 5

-

-

2

u1

u1 + v1 = 5

u1 = 1 , v1 = 4

3

2

-

-

u2

u1 + v4 = 2

u2 = -1

, v2 = 3

-

-

1

2

u3

u2 + v1 = 3

u3 = 1

, v3 = 0

v1

v2

v3

v4

u2 + v2 = 2

v4 = 1

u3 + v3 = 1 u3 + v4 = 2 5

4

CI = 3

2

1

2

u1 = 1

-1

0

u2 = -1 u3 = 1

5

4

1

2

v1

v2

v3

v4

2

1

0

1

CI - CD = MD 5

4

1

2

3

2

-1

0

5

4

1

2

-

5

3

5

2

3

2

3

5

3

4

1

2

=

0

1

-4

0

0

0

-4

-5

2

0

0

0

Q

R

No Óptimo Método Auxiliar de la Casillas II

P

Q

A

10-θ

B

10

C

θ

R

S 10+θ A

20 30

10-θ

θ = 10

C = 10(3) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 20(2) = $170

III -

P -

-

20

B

10

20

C

10

-

S

-

-

30

-


Verificar Optimicidad -

-

-

2

u1

u1 + v4 = 2

u1 = 1 , v1 = 2

3

2

-

-

u2

u2 + v1 = 3

u2 = 1

, v2 = 1

3

-

1

2

u3

u2 + v2 = 2

u3 = 1

, v3 = 0

v1

v2

v3

v4

u3 + v1 = 3

v4 = 1

u3 + v3 = 1 Degenerativou Degenerativo u3 + v4 = 2

CI =

3

2

1

2

u1 = 1

3

2

1

2

u2 = 1

3

2

1

2

u3 = 1

v1

v2

v3

v4

2

1

0

1

CI - CD = MD 3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

-

5

3

5

2

3

2 3

5

3

4

2

1

=

-2

-1

-4

0

0

0

-2

-3

0

-2

0

0

Óptimo Asignación

C min = $170

De

A a S = 20 u.

De

B a P = 10 u.

De

B a Q = 20 u.

De

C a P = 10 u.

De

C a R = 30 u. 90 u


b) Mínima Matriz

P

Q

R

S

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

20

20

30

20

90

Determinar mediante el método de la Mínima Matriz el costo mínimo y la asignación óptima.

I

P

Q

R

S

Oferta

A

-

10

-

10

20 , 10 , 0

B

20

10

-

-

30 , 20 , 0

C

-

-

30

10

40 , 10 , 0

Dm

20

20

30

20

0

10

0

10

0

0

C = 20(3) + 10(3) + 10(2) + 30(1) + 10(2) + 10(2) = $180


Verificar Optimicidad O ptimicidad -

3

-

2

u1

u1 + v2 = 3

u1 = 1 , v1 = 3

3

2

-

-

u2

u1 + v4 = 2

u2 = 0

, v2 = 2

-

-

1

2

u3

u2 + v1 = 3

u3 = 1

, v3 = 0

v1

v2

v3

v4

u2 + v2 = 2

v4 = 1

u3 + v3 = 1 u3 + v4 = 2

CI =

4

3

1

2

u1 = 1

3

2

0

1

u2 = 0

4

3

1

2

u3 = 1

v1

v2

v3

v4

3

2

0

1

CI - CD = MD 4

3

1

2

3

2

0

1

4

3

1

2

-

5

3

5

2

3

2 3

5

3

4

2

1

=

-1

0

-4

0

0

0

-3

-4

2

-1

0

0

No Óptimo Método Auxiliar de la Casillas I

P

A

Q

R

10-θ

B

20-θ

C

θ

S

II

10-θ

10-θ 30

10-θ

P

Q

R

A

-

-

-

B

10

20

-

-

C

10

-

30

-

θ = 10

C = 10(3) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 20(2) = $170

S 20



-

-

2

u1

u1 + v4 = 2

u1 = 1 , v1 = 2

3

2

-

-

u2

u2 + v1 = 3

u2 = 1

, v2 = 1

3

-

1

2

u3

u2 + v2 = 2

u3 = 1

, v3 = 0

v1

v2

v3

v4

u3 + v1 = 3

v4 = 1

u3 + v3 = 1 Degenerativou 3 + v4 = 2

CI =

3

2

1

2

u1 = 1

3

2

1

2

u2 = 1

3

2

1

2

u3 = 1

v1

v2

v3

v4

2

1

0

1

CI - CD = MD 3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

-

5

3

5

2

3

2 3

5

3

4

2

1

=

Optimo

Asignación

C min = $170

De

A a S = 20 u.

De

B a P = 10 u.

De

B a Q = 20 u.

De

C a P = 10 u.

De

C a R = 30 u. 90 u

-2

-1

-4

0

0

0

-2

-3

0

-2

0

0


c) Método de Vogel

P

Q

R

S

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

20

20

30

20

90

Determinar mediante el método de Vogel el costo mínimo y la asignación óptima.

P

Q

A

-

-

B

10

C Dm

R

S

Oferta

-

20

20 , 0

1

1

-

20

-

-

30 , 10 , 0

1

1

1

10

-

30

-

40 , 10 , 0

1

1

1

20

20

30

20

10

0

0

0

0

0

1

2

0

0

1

-

0

0

2

-

-

C = 20(2) + 10(3) + 20(2) + 10(3) + 30(1) = $170



-

-

2

u1

u1 +v1 = 2

u1 = 1 , v4 = 1

3

2

-

-

u2

u2 + v1 = 3

u2= 1

, v3 = 0

3

-

1

2

u3

u2 + v2 = 2

u3 = 1

, v2 = 1

v1

v2

v3

v4

u3 + v1 = 3

v1 = 2

u3 + v3 = 1 Degenerativou3 + v4 = 2

CI =

3

2

1

2

u1 = 1

3

2

1

2

u2 = 1

3

2

1

2

u3 = 1

v1

v2

v3

v4

2

1

0

1

CI - CD = MD 3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

Optimo Cmin = $170 Asignación De

A a S

= 20 u.

De

B a P

= 10 u.

De

B a Q

= 20 u.

De

C a P = 10 u.

De

C a R = 30 u. 90 u

-

5

3

5

2

3

2 3

5

3

4

2

1

=

-2

-1

-4

0

0

0

-2

-3

0

-2

0

0


TEMA 3

Diseñar y aplicar Modelos de Asignación.


a) Problemas de Asignación (Método Húngaro) Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro: Paso 1. - Empiece

por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la

matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna. Paso 2. -

Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o

verticales) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3. Paso 3. - Encuentre

el menor elemento no cero (llame su

valor k en la matriz de costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos

cubierto por dos

líneas. Regrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos. Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.


b) Ejemplos de problemas de asignación 1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo.

Los renglones se

refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos. Se supone que las calificaciones de un individuo son directamente proporcionales a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.

2. Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de asignación.

3. Una empresa cubre el territorio nacional con

dos

camiones

especialmente

equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas.

La empresa

ha dividido en cinco regiones geográficas. Se compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.


c) Método Húngaro (Situación Balanceada) PARTE I: CUANDO EXISTE RELACION BIUNÍVOCA

PASO 1: OBTENCIÓN DE CEROS A la matriz de costos, se procede a simplificarlo, para lo cual, seleccionamos para cada columna el menor valor de cada uno de ellos, para luego restárselo de la columna respectiva, esto permite obtener al menos un cero para cada columna. Luego para cada fila se obtiene el menor valor, el cual se resta a cada fila respectiva, de esta manera se obtiene al menos un cero en cada fila.

PASO 2: RELACIÓN BIUNÍVOCA Al tablero de costos simplificados que se hereda del paso 1 se procede a seleccionar a aquella fila que tenga la menor cantidad de ceros; en el caso de empates se selecciona a aquella fila a lo cual le corresponde el menor subíndice. Luego a la fila seleccionada se le marca mediante un check y se ingresa a ella buscando a aquella casilla que tenga el valor cero, ubicada esta procedemos a encuadrar o encasillar dicho cero y a partir de dicho cero encuadrado no imaginamos una cruz y aquellos ceros que estén comprendidos en la cruz imaginaria procedemos a tarjarlo mediante un aspa. Continuamos el proceso mencionado hasta cubrir todas las filas del tablero dado.


EJEMPLO Determinar el Costo mínimo y la asignación óptima de:


PARTE II: CUANDO NO EXISTE RELACIÓN BIUNÍVOCA

PASO 3: Se marca aquellas filas que no tengan ceros encuadrados, luego ingresamos por cada de dichas filas, buscando ceros tarjados y luego de ser ubicados estos, se procede a marcar la o las columnas que le corresponda. A partir de las columnas marcadas se reingresa al tablero buscando ceros encuadrados y luego de identificar a estos se marca las filas que les corresponde. A partir de cada fila marcada se trata de reingresar nuevamente al tablero repitiendo el procedimiento señalado en los párrafos anteriores hasta que se pierdan los ramales bien sea a nivel de columna o de fila.

PASO 4: Se procede a rayar aquellas filas que no están marcadas y aquellas columnas que si estén marcadas. Luego se busca el menor valor de aquellas casillas que tengan doble rayado (vertical y horizontal), este menor valor seleccionado se resta a aquellas casillas que no están rayadas, pero se le suma a aquellas que tienen doble rayado (se entiende que aquellas casillas que tienen un solo rayado permanecen igual).

NOTA: Luego de concluir el PASO 4 se aplica nuevamente la PARTE I del Método Húngaro, en la que se refiere al SEGUNDO PASO (se obvia el PRIMER PASO) y se debe continuar con el procedimiento indicado, cuantas veces sea necesario para alcanzar la Relación Biunívoca y obtener el Costo Optimo de Asignación.


Ejemplo Determinar el Costo mínimo y la asignación óptima de:



TEMA 4

Aplicar y reconocer los Modelos de Redes.


a) Teoría de Redes Es una técnica que permite resolver problemas que se pueden plantear mediante una red. Muchos problemas de programación Lineal se pueden formular mediante una red: Transporte, asignación, inventario, producción y distribución, procesos de producción, etc. Existen en Teoría de Redes, algoritmos mucho más efectivos que el método simplex. Existen softwares para resolver problemas de redes como: Optired, Tora, Invop, Win QSB, etc.

b) Características de una Red Una red está formada por arcos y nodos, los arcos pueden ser direccionados o direccionados

NODOS: Representan entidades. ARCOS: Representan conexiones entre las entidades NOTA: Por un tipo de red solo puede circular un único tipo de ítem (unidad de flujo)


c) Casos de redes

d) Tipos de Problemas de Redes


e) Árbol de Extensión Mínima Para una red con n nodos, un ARBOL DE ESTENSION es un grupo de (n-1) arcos que conectan todos los nodos de la red y que no contiene circuitos cerrados.

Problema Calcular el árbol de extensión mínimo

Problema Calcular el árbol de extensión mínimo


d) Problema de Ruta más Corta El problema de la ruta más corta se refiere a una red, en la que cada arco (i,j) tiene asociado un numero Ci,j que se interpreta como la distancia (o el costo, o el tiempo) que hay entre los nodos i y j. Una ruta o camino entre dos nodos es cualquier secuencia de arcos que los conecte. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (económicas ó rápidas) entre un nodo específico y todos los demás nodos de la red.

Algoritmo de Etiquetado PASO1. Considérense todos los nodos que están directamente conectados con el origen (es decir, mediante un solo arco). El componente de distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo de estos es la distancia desde el origen. El componente predecesor es el origen. Estas etiquetas serán temporales.

PASO 2. De entre todos los nodos con etiqueta temporal, se escoge uno cuyo componente de distancia sea mínimo y se señala para ser etiquetado como permanente. Todos los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan pronto como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente se va al paso 4.


PASO 3. Todo nodo que no tenga actualmente etiqueta permanente estará o bien sin etiqueta o con una temporal. Sea l el ultimo nodo etiquetado permanentemente, Considérese todas las etiquetas de los vecinos de l (es decir, directamente conectados a l mediante un solo arco). Para cada uno de esos nodos calculase la suma de su distancia a l más la componente de distancia de la etiqueta de l. Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta no está etiquetado, asegurase una etiqueta temporal que conste de esta distancia y de l como predecesor. Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambiase solo si la distancia recién calculada es menor que la componente de distancia de la etiqueta actual. En este caso, la etiqueta contendrá esta distancia y a l como predecesor. Regrese al paso 2.

PASO 4. Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada nodo de la red. También indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo. Para encontrar el camino más corto de un nodo dado comiéncese en él y retroceda al nodo predecesor. Continué este recorrido de retroceso hasta llegar al origen. La secuencia de nodos obtenidos forma la ruta más corta entre el origen y el nodo en cuestión.

Ejemplo Encontrar el conjunto de rutas óptimas, desde el origen H hasta los demás nodos busca minimizar la utilidad de los costos, asegurándose de que cualquier reparto futuro a las siete localidades diferentes, se haga a través de la ruta más corta.





INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES http://www.investigaciondeoperaciones.net/



INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES http://books.google.com.pe/books?id=H0Zz1He8vYC&pg=PA274&lpg=PA274&dq=introducci%C3%B3n+a+la+investigaci%C3%B3 n+de+operaciones&source=bl&ots=FkSZupSCLt&sig=f1niRPunHJ3_Lk7umnflxcIT2u M&hl=es&ei=vV3GTqDTLaXb0QGJweU1&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1 &sqi=2&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q=introducci%C3%B3n%20a%20la%20inve stigaci%C3%B3n%20de%20operaciones&f=false



MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS http://www.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/08_Teoria_Lineas_Espera.pdf

Actividades y Ejercicios 1. Ingresa al enlace “Extensión y Asignación ” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. 

Calcular el árbol de extensión mínimo




Calcular el árbol de extensión mínimo



Determinar el costo mínimo y la asignación optima, mediante el método Noroeste. P

Q

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

i. 20



R

20

S

30

20

90

Determinar el costo mínimo y la asignación optima, mediante el método de Mínima Matriz. P

Q

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

20

20

30

20

90

ii.

R

S




Determinar el costo mínimo y la asignación optima, mediante el método de Vogel. P

Q

A

5

3

5

2

20

B

3

2

3

5

30

C

3

4

1

2

40

iii. 20

R

20

S

30

20

90


Autoevaluación

1) Método Húngaro es un problema de: a. Transporte b. Colas c. Árbol de extensión d. Asignación e. Ruta corta 2) Es un método para resolver los modelos de transporte. a. Vogel b. Mínima matriz c. Noroeste d. Vogel y noroeste e. Simplex 3) No es un tipo de problema de redes. a. Árbol de extensión b. Problema de transporte c. Ruta más corta d. Problema de asignación e. Problemas de colas 4) Para una red con n nodos, es un grupo de (n-1) arcos que conectan todos los nodos de la red y que no contiene circuitos cerrados a. Transporte b. Asignación c. Flujo d. Árbol de extensión e. Colas 5) ¿Cuál es el método más eficiente, para resolver un problema de transporte? a. Húngaro b. Noroeste c. Mínima columna d. Vogel e. Balanceo


6) A que se refiere : Problema de Ruta más Corta a. Existe dificultades en el programa ejecutado. b. Se refiere a una red c. Se refiere a los nodos conectados d. Cuando está relacionado a un árbol de extensión e. Conexión de nodos en red 7) Una red está formada por: a. Arcos b. Nodos c. Ítem d. Arcos y nodos e. Árbol de extensión 8) ¿Qué busca el Modelos de Transporte? a. Determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. b. Determinar un plan de transporte de una mercancía de dos fuentes a varios destinos.

c. Determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos.

d. Determinar unos planes de transporte de varias mercancías de varias fuentes a varios destinos.

e. Determinar dos planes de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos.

9) En los Modelos de Transporte cuántos datos de modelos se presentan: a. Solamente un dato. b. Varios datos c. Dos datos d. Ningún dato e. Cuatro datos . 10) La matriz de costos del problema de asignación se llama: a. b. c. d. e.

Matriz de costos. Matriz de ingresos Matriz de presupuestos Matriz de costos reducidos Matriz de ingresos reducidos


Resumen

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total

Se han presentado varios métodos para obtener una solución al problema de transporte, asignación y redes. Una consideración muy importante que hay que tener en cuenta con cualquier método que se utilice, es que el problema de transporte y asignación no siempre puede aislarse y resolverse dentro de sus propios límites.

El transporte, la asignación, redes es tan sólo una parte de todo el sistema de distribución de una compañía. Es muy difícil resolver el mejor programa de transporte y asignación en términos de servicio y bajo costo. Esa área de la empresa requiere de una constante atención para incorporar los cambios que constituyan y una difícil tarea para cualquier grupo de investigaciones de negocios.

La Teoría de Redes es una técnica que permite resolver problemas que se pueden plantear mediante una red. Muchos problemas de programación Lineal se pueden formular mediante una red: Transporte, asignación, inventario, producción y distribución, procesos de producción, etc. Existen en Teoría de Redes, algoritmos mucho más efectivos que el método simplex. Existen software para resolver problemas de redes como: Opti red, Tora, Invop, Win QSB, etc.



Introducción

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y ejecute la Programación PERT-CPM Y La programación no Lineal durante su proceso de formación profesional contribuyendo a elevar su perfil.

b) Competencia Analiza y describe la Programación de Proyectos usando la técnica del PERT-CPM.

c) Capacidades 1. Conoce y Utiliza la teoría de la Programación del Tiempo. 2. Analiza y describe la Programación del Costo 3. Analiza y describe la sensibilidad de un Proyector. 4. Construye e interpreta mediante los modelos de programación no lineal.

d) Actitudes Aporta ideas en la solución de los problemas de programación del tiempo. Valora las etapas de la metodología de la técnica PERT-CPM. Se interesa por las diferentes modelos de programación de proyectos. Muestra responsabilidad y ética en la solución de las tareas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad. La Unidad de Aprendizaje 4: Programación de Proyectos y Programación No Lineal, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Programación de Proyecto con tiempos de actividad conocidos. TEMA 02: Programación de Proyectos con tiempos inciertos de actividades. TEMA 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo. TEMA 04: Programación no lineal.


TEMA 1

Conocer y utilizar la teoría Programación del Tiempo.

de

la


Desarrollo de los Temas a) Antecedentes

Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial. El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

b) Definición

El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Usos El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características:

1. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. 2. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.

3. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc., etc.

c) Diferencias entre PERT y CPM

Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. E1 PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. E1 CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinanticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.


La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados:

1. El estimado de tiempo más probable, m; 2. El estimado de tiempo más optimista, a; y 3. El estimado de tiempo más pesimista, b. La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.

 

T e Z

 Z  



a  4m  b 6

ba 6


El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica. Estas propiedades propiedades se demostrarán posteriormente. posteriormente. En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.

Metodología. El Método del Camino Crítico consta de dos ciclos:

1. Planeación y Programación. 1.1.- Definición del proyecto 1.2.- Lista de Actividades Actividades 1.3.- Matriz de Secuencias Secuencias 1.4.- Matriz de Tiempos 1.5.- Red de Actividades 1.6.- Costos y pendientes 1.7.- Compresión de la red 1.8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y económicos 1.9.- Matriz de elasticidad 1.10.- Probabilidad de retraso


2. Ejecución y Control. 2.1.- Aprobación del proyecto 2.2.- Ordenes de trabajo 2.3.- Gráficas de control 2.4.-

Reportes y análisis de los avances

Definición del Proyecto En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, disponibles, capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa que se debe desarrollar separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método del Camino Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y disponibles.

Lista de Actividades Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos interrelacionados interrelacionados en un proyecto total. En general esta información es obtenida de las personas que intervendrán en la ejecución del proyecto, de acuerdo con la asignación de responsabilidades y nombramientos realizados en la Definición del Proyecto. Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, tramites, estudios, inspecciones, dibujos, etc. En términos generales, se considera

Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de iniciación y terminación. Esta lista de actividades sirve de base a las personas responsables de cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecución.


Ejemplo: a. Jefes de mantenimiento y producción. 1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación. 2. Cálculo del costo y preparación de presupuestos. 3. Aprobación del proyecto. 4. Desempaque de las máquinas nuevas. 5. Colocación de las máquinas viejas y nuevas. 6. Instalación de las máquinas. 7. Pruebas generales. 8. Arranque general. 9. Revisión y limpieza de máquinas viejas. 10. Pintura de máquinas viejas. 11. Pintura y limpieza del edificio.

b. Ingeniero electricista. 1. Elaboración del proyecto eléctrico. 2. Cálculo de los costos y presupuestos. 3. Aprobación del proyecto. 4. Instalación de un transformador nuevo. 5. Instalación de nuevo alumbrado. 6. Instalación de interruptores y arrancadores.

c. Ingeniero contratista. 1. Elaboración del proyecto de obra muerta. 2. Cálculo de los costos y presupuestos. 3. Aprobación del proyecto. 4. Cimentación de las máquinas. 5. Pisos nuevos. 6. Colocación de ventanas nuevas. Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de una fábrica.


Matriz de Secuencias Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:

a. Por antecedentes b. Por secuencias.

Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos cuales actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las actividades tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser actividades iníciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).

En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la ejecución, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista. Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias iniciando con la actividad cero(0) que servira para indicar solamente el punto de partida de las demás. La información debe tomarse una por una de las actividades listadas, sin pasar por alto ninguna de ellas.

En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las indicaciones que le ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentación de la red. Estas anotaciones se hacen a discreción, ya que esta matriz es solamente un papel de trabajo.


Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer después una matriz de secuencias, pues es ésta última la que se utiliza para dibujar la red. Esta matriz no es definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores en relación con la existencia y disponibilidades de materiales, mano de obra y otras limitaciones de ejecución.

Matriz de Secuencias

Matriz de Tiempos En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo óptimo (o) y el tiempo pésimo (p).


El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la ejecución de las actividades, basado en la experiencia personal del informador. El tiempo óptimo (o) es el que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo. El tiempo pésimo (p) es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc. Debe contarse sólo el tiempo en que se ponga remedio al problema presentado y no debe contar el tiempo ocioso.

Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años, con la condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los tiempos anteriores servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT obteniendo un tiempo resultante llamado estándar (t) que recibe la influencia del óptimo y del pésimo a la vez.

t



o



4 M



6

Esto es, tiempo estándar igual al tiempo óptimo, más cuatro veces el tiempo medio, más el tiempo pésimo, y esta suma dividida entre seis(6). Esta fórmula está calculada para darle al tiempo medio una proporción mayor que los tiempos optimo y pésimo que influyen. Esta proporción es de cuatro(4) a seis(6).

p


Matriz de Tiempos

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se reunen en una sola llamada matriz de información, que sirve para construir la red medida.

Matriz de información

Red de Actividades

Se llama red a la representación gráfica de las actividades que muestran sus eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino crítico al método sino también a la serie de actividades contadas desde la

iniciación del proyecto hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso en todo el proyecto. Desde otro punto de vista, camino crítico es la serie de actividades que indica la duración total del proyecto. Cada una de las actividades se representa por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.


Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Se determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible, de iniciación o de terminación.

Costos y Pendientes En este paso se solicitaran los costos de cada actividad realizada en tiempo estándar y en tiempo óptimo. Ambos costos deben ser proporcionados por las personas responsables de la ejecución, en concordancia con los presupuestos ya suministrados por ellos. Dichos costos se deben anotar en la matriz de información. En el cuadro anterior vemos los presupuestos con el costo normal para las actividades realizadas en tiempo estándar y el costo límite para las actividades ejecutadas a tiempo optimo. Los totales de la columna de costo normal nos indican los costos directos del proyecto ejecutado en tiempos estándares, sin embargo los totales de costo límite no nos indican un costo real, ya que no será necesario que todas las actividades sean realizadas en tiempo óptimo, sino solo algunas de ellas.


TEMA 2

Analizar y describir la Programación del Costo.


a) Limitaciones de Tiempo Se debe determinar el tiempo normal de ejecución de la red y si no puede realizarse en el intervalo disponible, se deberá comprimir la red al tiempo necesario, calculando el costo incrementado. El tiempo óptimo de ejecución indicara si puede hacerse o no el proyecto dentro del plazo señalado.

b) Limitaciones de Recurso Es posible en cualquier proyecto se suscite el caso de tener recursos humanos o materiales limitados, por lo que dos actividades deben realizarse durante el mismo lapso con personal diferente o maquinaria diferente, no se pueda ejecutar y de esta manera no habría más que esperar que se termine una actividad para empezar la siguiente.

c) Limitaciones económicas Se determinara el costo óptimo para conocer si se puede hacer el proyecto con los recursos económicos disponibles. Si hay la posibilidad de realizarlo, se buscara el tiempo total más favorable para las necesidades y objetivos del proyecto; en caso contrario pues simplemente el proyecto deberá esperar hasta tener los recursos económicos mínimos para poder realizarlo.


Matriz de Elasticidad Para poder tomar decisiones efectivas y rápidas durante la ejecución del proyecto es necesario tener a la mano los datos de las probabilidades de retraso o adelanto de trabajo de cada una de las actividades, o sea la elasticidad de las mismas. Examinemos primero el procedimiento para calcular las holguras que nos proporciona la posibilidad de retrasar una actividad sin consecuencias para otros trabajos. Se llama holgura a la libertad que tiene una actividad para alargar su tiempo de ejecución sin perjudicar otras actividades o el proyecto total. Se distinguen tres clases de holguras:

a) Holgura total; no afecta la terminación del proyecto; b) Holgura libre; no modifica la terminación del proceso; y c) Holgura independiente; no afecta la terminación de actividades anteriores ni la iniciación de actividades posteriores. La holgura total es de importancia para el director del proyecto, quien tiene la responsabilidad de terminarlo a tiempo; la holgura libre le interesa al jefe de ejecución de un proceso con motivo de su responsabilidad sobre el mismo; y la holgura independiente es una información que le es de utilidad a la persona que coordinará los trabajos del proyecto. Para calcular las holguras se procede a medir la red aprobada en el sentido de avance, como primera lectura y después en sentido contrario como última lectura. La primera lectura se indicará en cada evento dentro de un círculo y la última lectura se indicará también en cada evento dentro de un cuadrado. Se comienza con el tiempo cero que se indica sobre el evento inicial y se va agregando la duración estándar de cada actividad, acumulándose en cada evento.


Cuando dos o más actividades convergen en un evento se tomará la duración mayor para hacer la indicación del evento. Por ejemplo, en las actividades 4 y 2

con duración de dos y seis días respectivamente, se anotará la duración mayor de seis, que sumada al tiempo cuatro anterior dará un tiempo de diez en el evento referido. Nótese estas mismas indicaciones en los eventos que se encuentran en los días 15, 19 y 21. Cuando se tiene una liga que indica terminación de proceso, se correrá hacia el evento inicial la misma cantidad acumulada en el evento final. Cuando la liga no indica terminación de proceso, sino únicamente continuidad entre dos procesos, las cantidades acumuladas no deben modificarse aunque la liga tenga fechas diferentes de iniciación y terminación. Luego se inicia la última lectura en el evento final, anotándose la misma cantidad de 21 dentro de un cuadrado; después se va restando la duración de cada actividad e indicando la diferencia en el evento siguiente. Cuando dos o más actividades convergen en un evento, debe anotarse en este la lectura menor de ellas. En los eventos iniciales de las ligas de fin de proceso debe aparecer la misma cantidad anotada en el evento final, pero en las ligas de continuidad se pondrá la cantidad menor de las actividades que convergen. P i

U i

P j

U j

a t En la figura se puede apreciar que en cada actividad de la red se encuentran cuatro lecturas; la primera y la última del evento i y la primera y la ultima del evento j . Donde: Pi Significa lo más temprano en que puede iniciarse la actividad. Ui Significa lo más tarde en que puede iniciarse. P j Significa lo más temprano en que puede terminarse. U j Significa lo más tarde en que puede terminarse.


La diferencia entre la fecha más temprana de iniciación y más tardía de terminación produce el intervalo de tiempo disponible de mayor duración y está en función del conteo del proyecto.

U j – P i = Intervalo del Proyecto

Al restar la duración t de este intervalo produce la holgura total: HT = U j – P i - T

La diferencia entre la fecha más temprana de iniciación y la más temprana de terminación indica el intervalo disponible en función del proceso,

P j – P i = Intervalo del Proceso

Y al restar la duración t de este intervalo queda la holgura libre: HL = Pj – Pi – t

La diferencia entre la fecha más tardía de iniciación y la más temprana de terminación indica el intervalo de tiempo más reducido posible y esta en función de las actividades anteriores y posteriores,

P j – U i = Intervalo de Actividad

Y al restar el tiempo t de este intervalo se obtiene la holgura independiente: HI = Pj – Ui - t


Las lecturas de los eventos y los resultados de la aplicación de las fórmulas de las holguras se pasan a la matriz de información. En la columna 6 se cambió el tiempo estándar t por el tiempo e de ejecución programado. El porcentaje de expansión (columna 15) se calcula dividiendo el número de días de holgura total entre el tiempo estándar de cada actividad. HT

%( E )



t

La clase de actividad (columna 16) se gradúa tomando el porcentaje anterior de menor a mayor, siendo las de porcentaje cero de clase cr ítica las que requieren la mayor atención y control. Los días que pueden comprimirse las actividades (columna 19) se obtienen restando el tiempo óptimo del tiempo estándar. El porcentaje de compresión (columna 20) es igual a los días comprimidos divididos entre el tiempo estándar de cada actividad.

%(C )

t 

o



t

La desviación estándar (columna 21) que representa la probabilidad de retraso o adelanto en promedio, es igual al tiempo pésimo menos el tiempo óptimo dividido entre 6. 

p



o



6

Por definición representa el 68% de seguridad. Si se desea una seguridad mayor en el resultado, de 95% se tomará el equivalente a dos desviaciones estándar y si se desea una seguridad del 99% en el tiempo de duración de la actividad se tomarán tres desviaciones estándar. De esta manera, podemos observar que la actividad 5 tiene un tiempo estándar de seis días y una desviación estándar de un día. Esto significa que se podrá ejecutar entre cinco y siete días con el 68% de seguridad; entre cuatro y ocho días con el 95% de seguridad; y entre tres y nueve días con el 99% de seguridad.


Mientras mayor sea el intervalo que se mencione para la ejecución, mayor será la seguridad de acertar. La desviación estándar del proyecto es igual a la suma de las desviaciones estándar del camino crítico:



(Pr y )    (CC )

Esta desviación será la probabilidad de retraso de todo el proyecto. Por supuesto es la misma probabilidad de adelanto del mismo. Si existen varios caminos críticos dentro del proyecto se tomará la desviación mayor de ellos como desviación estándar del proyecto. En el caso anterior el camino crítico está dado por: Esto significa que el proyecto se va a ejecutar entre 21 y 24 d ías.

21  4.17



25.17



25


TEMA 3

Analizar y describir la sensibilidad de un Proyecto.


a) Ejecución y control de los Procesos En virtud de que cada uno de los procesos componentes del proyecto es conducido por distintas personas que tienen la responsabilidad de iniciar y terminar sus actividades a tiempo, es necesario que tengan su gráfica de control en donde puedan observar tanto el avance de su proceso como su rendimiento. Se puede agregar en la parte superior un esquema de las secuencias de las actividades mostrando en dónde se encuentran las holguras totales, para que el responsable del proceso tenga una idea precisa de sus disponibilidades de tiempo. Necesitamos también un cuadro de avance del proceso con los siguientes datos y se llena de la siguiente manera:

A. Con la información original del supervisor: 1. Anotar el día de la información 2. Indicar el número de la actividad informada 3. Expresar, en tanto por uno, el avance de la misma. B. A continuación se procesan los datos anteriores en las columnas siguientes: 1. Tomar el porcentaje de la columna 9 del cuadro de avance del proyecto y anotarlo en esta columna.

2. Hacer la conversión con el factor (fa) calculado previamente. 3. Anotar el total acumulado de las actividades terminadas. 4. Suma de las columnas 5 y 6 que representan respectivamente el avance de la actividad en operación y el total acumulado de actividades terminadas en el proceso. Esta columna indica, por tanto, el total de avance en el proceso en el día de la información.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 5. Calcular el avance diario programado, dividiendo la unidad entre el número total de días de duración de las actividades componentes del proceso y acumular dicho resultado.

6. Dividir el avance logrado entre el avance programado para medir el rendimiento del proceso. Columna 7 entre columna 8. Veamos, en el ejemplo base, cómo se realizan las actividades del proceso A.

Proceso A Este proceso constar de cinco actividades que duran 15 días. Si recordamos que el valor de la unidad de avance del proyecto (D-a) es igual a

1.00 66

= 0.01515,

entonces este proceso representa el 15 x 0.01515 = 0.2272 (22.72%) de avance en el proyecto. Como esta cantidad 0.2272 representa el 100% de avance del proceso, entonces el factor de conversión del porcentaje de avance del proyecto a proceso (fa) será: 0.2272: 1.00 : : n : fa

fa =

1.00 0.2272

n = 4.39 n.

De esta manera, el porcentaje que aparece en la columna 9 del cuadro de avance del proyecto y transferido a la columna 4 del cuadro de avance del proceso, puede convertirse, con este factor, en el avance logrado en la actividad en función de este proceso. Este proceso A consta de cinco actividades con una duración de 15 días. Su unidad de avance programada será, por tanto, a

D-a =

1.00 15

= 0.0667

Como sólo se trabaja una unidad de avance por día, este será el avance acumulado diariamente que se programe en la columna 8 del cuadro de avance del proceso.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Proceso B Este proceso consta de cinco actividades de duración total de 17 días, por lo que su contribución al avance del proyecto es de 17 x 0.01515 = 0.2576. El factor de conversión (fa) del porcentaje de avance del proyecto al porcentaje de avance del proceso es:

Fa =

1.00 0.2576

= 3.88

La unidad de avance diario de este proceso será: D-a =

1.00 17

= 0.05882,

Qué acumulado servirá para hacer las anotaciones de la columna 8 del cuadro de avance del proceso.

Proceso C El proceso C, se compone de seis actividades con una duración total de 17 días y, por tanto, el factor de conversión (fa) y el factor de avance diario (D-a) programado son los mismos que los del proceso B anterior.

Fa =

D-a =

1.00 0.2576

1.00 17

= 3.88

= 0.05882,

La cuenta del avance programado se interrumpió al día 6 con 0.3533 hasta el día 11, en que continúa con la actividad 5.

Proceso D Este proceso D, con las actividades 9, 10 y 11 tiene, igual que los dos procesos anteriores, una duración de 17 días, por lo que los factores de conversión y de avance son los mismos. Fa = D-a =

1.00 0.2576 1.00 17

= 3.88

= 0.05882,


El cuadro de avance del proceso aparece en la tabla del cuadro de avance del proceso D.

b) Procedimiento de evaluación Cuando las actividades se adelantan en su ejecución a las fechas programadas, generalmente no modifican sus costos directos y en cambio sí disminuyen los costos indirectos. En términos generales podemos decir que benefician los resultados de los presupuestos al terminar las actividades antes de la fecha programada. También es sencilla la decisión para adelantar la actividad siguiente a aquella terminada con anticipación y sólo debe investigarse la posibilidad de hacerlo en cuanto a tener en ese momento los recursos humanos y materiales que se requieren. Tratándose de retardos, la evaluación y la decisión no son tan sencillas porque, por regla general, se modifican los costos, se trastornan las secuencias y se pierde la disponibilidad del tiempo, por lo que hay necesidad de tener un procedimiento de evaluación que permita determinar todas las consecuencias de un retraso en una actividad del proyecto. Los retrasos deben ser absorbidos por las holguras y en el caso de q ue no existan éstas, aquellos deben neutralizarse por medio de compresiones en las actividades.

c) Absorción por holgura Multiplicar el tiempo programado de ejecución e por el tanto por uno de la cantidad de trabajo que falte por realizar. El resultado es el tiempo que se requiere para terminar normalmente con la actividad. Al tiempo anterior se le resta el tiempo disponible y la diferencia representa el retraso, el cual debe ser absorbido por la holgura total. Si no es posible esto, debe procederse como sigue.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP d)

Absorción por compresión

Se multiplica el tiempo óptimo o por lo tanto por uno del volumen del trabajo pendiente de ejecutar. El producto representa el tiempo que se requiere para terminar la actividad en condiciones óptimas es decir, con la máxima aceleración. Si este tiempo es menor que el tiempo disponible, significa que no se retrasará el proyecto, pero si es mayor, la diferencia será la cantidad de tiempo que retrasará el proyecto, excepto que se pueda comprimir una actividad posterior a la actividad retrasada dentro del proceso.


TEMA 4

Construye e interpreta mediante modelos de programación no lineal.

los


Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.

a) Método de GOMORY Llamado método de corte, desarrollado por R.E. Gomory. Incluye un algoritmo fraccional, el cual se aplica al problema entero puro, y el algoritmo mixto, que está diseñado para el problema entero mixto. La idea del algoritmo de planos de corte, es cambiar el conjunto convexo del espacio de soluciones de tal manera que los puntos extremos apropiados lleguen a ser todos enteros.

Ejemplo Max 55X1 + 55X2 + 60X3 S.A. (1)

2X1

(2) (3) (4)

+ 3X3 <= 550 1.8X2 + 0.2X3 <= 440

2X1 +

2X2 +

2X3 <= 400

1.25X1 + 1.25X2 + 1.33X3 <= 360 Xj >=0 y Enteros


PASO 1 Se debe convertir las restricciones a expresiones enteras o discretas, antes de resolverlo por el método simplex. En nuestro caso tenemos que aplicarlo a las restricciones (2) y (4). Max 55X1 + 55X2 + 60X3 S.A. (1) 2X1

x10

+ 3X3 <= 550

(2) (3)

2X1 +

18X2 +

2X3 <= 4400

2X2 +

2X3 <= 400

x100 (4) 125X1 + 125X2 + 133X3 <= 36000 Xj >=0 y Enteros Aplicamos el método simplex revisado, para hallar el tablero óptimo. Entonces balanceamos las restricciones Max 55X1 + 55X2 + 60X3 S.A. (1) (2) (3) (4)

+ 3X3 + X4<= 550

2X1

18X2 + 0.2X3 2X1 +

2X2 +

2X3

125X1 + 125X2 + 133X3 Xj >=0 y Enteros

Tablero Óptimo

+ X5<= 4400 +X6<= 400 + X7<= 36000

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP PASO 2 Se debe de elaborar el Plano de Corte, para esto se investiga en el tablero Optimo, cual de la variables reales o básicas tienen la mayor cantidad fraccionaria (entre las variables reales); una vez que se le ha identificado se extrae dicho vector fila y se iguala al valor que figura en la columna b. Hecho esto, a cada uno de los coeficientes se le resta una cierta cantidad entera y se establece que el signo de relación, en nuestro cado debe ser mayor o igual que. Con la cual se obtiene el Plano de Corte.

Esta nueva restricción se incluye en el tablero óptimo


Sin embargo es necesario identificar a la variable que debe de figurar en nuestro tablero óptimo modificado que corresponde a la columna Xk; para lo cual se procede de la siguiente manera: Se identifica a las variables candidatas, que son aquellas que no figuran en el Tablero Optimo (en nuestro caso son X1, X4, X6 y X8); luego se procede a excluir entre las candidatas seleccionadas a aquellas que tengan coeficientes de participación negativa en la restricción que se ha añadido ( en nuestro cado

excluimos a las variables X4 y X6). Luego entre las candidatas que queden, analizamos para el vector de sensibilidad (Cj Zj), cual de ellas afecta menos a la Función Objetivo, es decir identificamos en la fila de Cj – Zj cual reduce menos

(en nuestro caso la que reúne esta ultima condición es la variable X1) Se calcula la solución óptima

Nota: No interesa que en la solución optima, figuren partes fraccionarias, lo que interesa es la solución de las variables reales.



 PROGRAMACIÓN NO LINEAL http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html



EL MÉTODO CPM CRÍTICAL PATH METHOD http://www.investigaciondeoperaciones.net/cpm.html

Actividades y Ejercicios 1.

En un documento en Word realice haga un resumen con sus propias interpretaciones sobre el tema tratado; Programación No Lineal. Envíalo a través de “Mi Resumen”.

2.

En un documento en Word realice dos ejercicios libres sobre el tema Consideración de los intercambios de tiempo y costo. Envíalo a través de “ T iemp o y Costo ”.


Autoevaluación

1) De todas las rutas de red, la ruta crítica a. b. c. d. e.

Tiene el tiempo esperado máximo Tiene el tiempo esperado mínimo Tiene el tiempo real máximo Tiene el tiempo real Tiempo determinado.

2) El tiempo de inicio más corto (TIP) para una actividad que abandona el nodo C (en el método AA) a. Es el mínimo de los tiempos de terminación más próximos para todas las actividades. b. Es igual al tiempo de terminación para la misma actividad. c. Depende de todas las rutas que van desde el principio. d. Es el máximo de los tiempos de terminación más próximos para todas las actividades que llegan al nodo C. e. No depende de ninguna ruta. 3) El tiempo de terminación más lejano (TTL) para una actividad que entra al nodo H (en el Método AA) a. Iguala al máximo de los tiempos de inicio más lejanos de todas las actividades que abandona el nodo h. b. Depende del tiempo de terminación más lejano del proyecto. c. Es igual al tiempo de inicio más lejano menos el tiempo de dicha actividad. d. Depende del tiempo de terminación más cercano del proyecto. e. Es igual al tiempo de dicha actividad. 4) La holgura para la actividad G a. Es igual al ttl para g – til para g b. Es igual al ttp para g – tip para g c. Es igual al til para g – tip para g d. Es igual al tti para g – til para g e. Es igual al til para g – tlp para g

5) La estimación de los tiempos esperados de actividad en una red PERT a. Hace uso de dos estimaciones b. Pone el menor coeficiente de ponderación en la estimación de tiempo más probable c. Está motivado por la distribución. d. Hace uso de tres estimaciones e. Pone el menos coeficiente de ponderación en la estimación de tiempo más probable.

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) ¿Qué buscaba El método CPM? a. El control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.

b. El control y el análisis de los costos de operación. c. La optimización de los costos de operación. d. El control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.

e. El control y la optimización de los costos de operación mediante la distribución adecuada de los ejercicios componentes del proyecto.

7) ¿De cuántos ciclos consta El Método del Camino Crítico? a. Un ciclo b. No tiene ciclos solo etapas c. Dos ciclos d. Tres ciclos e. Cuatro ciclos 8) No modifica la terminación del proceso: a. Holgura libre b. Holgura total c. Holgura independiente d. Holgura dependiente e. Holgura mixta 9) El método de corte fue desarrollado por: a. R.E. Gomory. b. Dupont c. Remington d. Rand e. Gommy 10) No interesa que en la solución óptima, figuren partes fraccionarias, lo que interesa es la solución de las…….. a. Variables b. Ecuaciones c. Variables reales d. Fracciones homogéneas e. Ecuaciones con radicales


Resumen

En proyectos como este tipo, los administradores deben programar y coordinar los diversos trabajos o actividades de tal manera que el proyecto se concluya a tiempo. En esta sección de aprendizaje hemos abordado los detalles de la programación de proyectos para un problema que involucra investigación y desarrollo de nuevos productos. Dado que muchas de las actividades de este proyecto nunca se han intentado, el administrador del proyecto desea tomar en consideración la incertidumbre en los tiempos de las actividades. También ampliamos nuestro análisis como agregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo de terminación del proyecto. Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinanticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticas o estocásticos. El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.


Glosario 

ACTIVIDADES CRÍTICAS: Actividades que aparecen en el camino crítico



CAMINO CRÍTICO: Es aquello perteneciente al holismo, una tendencia o corriente que analiza los eventos desde el punto de vista de las múltiples interacciones que los caracterizan. El holismo supone que todas las propiedades de un sistema no pueden ser determinadas o explicadas como la suma de sus componentes. En otras palabras, el holismo considera que el sistema completo se comporta de un modo distinto que la suma de sus partes. Es una herramienta simple que permite utilizar el poder de la optimización lineal y no lineal para formular grandes problemas concisamente, resolverlos, y analizar la solución.



HOLÍSTICO: La trayectoria más larga en una red del proyecto.



LINGO: MÉTODO DEL CAMINO CRÍTICO (CPM por sus siglas en ingles): Se conoce como software1 al equipamiento lógico o soporte lógico de un sistema informático; comprende el conjunto de los componentes lógicos necesarios que hacen posible la realización de tareas específicas, en contraposición a los componentes físicos, que son llamados hardware. Secuencia de nodos conectados, que lleva del nodo de inicio hasta el nodo de terminación.



TRAYECTORIA: Un procedimiento de programación de proyecto basado en redes


Fuentes de Información Bibliográficas:

HILLIER, Frederick & LIEBERMAN, Gerarld J. Introducción a la I nvestigación de Operaciones. 6ª ed. México: McGraw-Hill Interamericana Editores, 1996. 830 p. ISBN: 9701010221 (DIS/003/H54A) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. 6ª ed. México: Prentice-Hall Iberia, S. R. L., 1998. 916 p. ISBN: 9701701666 (DIS/003/T13N) MATHUR, Kamlesh & SOLOW, D. Investigación de Operaciones. El Arte de la Toma de Decisiones. España: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ISBN: 9688806986 (003/M28/E1) WINSTON, Wayne L. Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos. 1ª ed. México: Grupo Editorial Iberoamericana, S. A. de C. V. 1417 p. ISBN: 9706250298 (003/W71) BAZARAA, Mokhtar & JARVIS, Jhon J. Programación Lineal y Flujo en Redes. 2ª ed. México: Limusa, S. A. de C. V. 539 p. ISBN: 9681848675 (519/B28) EPPEN,G.D, Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, 5ª ed. México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ISBN : 970170270 ALVAREZ ALVAREZ, Jorge. Programación Lineal. América SR Ltda. 210 p.

Electrónicas: Programación Lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal http://personal5.iddeo.es/ztt/prob/B1_Prog_Lineal.htm

Problemas de Programación Lineal http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htm

Solución gráfica de problemas http://www.programacionlineal.net/resolucion_grafica.html

Investigación Operativa I

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