Investigación Operativa i

Instituto Tecnológico Superior Vida Nueva

4 CRÉDITOS

1. Datos informativos:

Carrera/s

Administración de Empresas

www.istvidanueva.edu.ec Tecnológico Vida Nueva

Nivel

4

http://campus.istvidanueva.edu.ec/ 1

2. Índice 1.

Datos informativos: ..................................................................................... 1

2.

Índice........................................................................................................... 2

3.

Introducción ................................................................................................. 4

4.

Prerrequisitos .............................................................................................. 5

5.

Evaluación inicial ......................................................................................... 5

6.

Orientaciones generales para el estudio ........................... ............. .......................... ........................ ............ 11

7.

Desarrollo de contenidos........................................................................... 13 I.

Unidad: Teoría de Redes y Grafos ........................................................ 21 Objetivos ................................................................................................... 21 Contenidos ................................................................................................ 21 Grafo ...................................................................................................... 21 Arcos incidentes a un nodo ................................................................... 22 Recorrido de grafos ............................................................................... 22 Clasificación De Grafos ......................................................................... 23 Ciclos y Circuitos ................................................................................... 25 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 28 Evaluación ................................................................................................. 30 Recursos ................................................................................................... 31

II.

Unidad: Programación Lineal ................................................................ 32 Objetivos ................................................................................................... 32 Contenidos ................................................................................................ 32 La programación matemática ................................................................ 32 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 43 Evaluación ................................................................................................. 64 Recursos ................................................................................................... 72

III.

Unidad: Programación Dinámica .......................... ............. .......................... .......................... .................. ..... 73

Objetivos ................................................................................................... 73 Contenidos ................................................................................................ 73 Generalidades ....................................................................................... 73 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 78 Evaluación ................................................................................................. 80 Recursos ................................................................................................... 80

2. Índice 1.

Datos informativos: ..................................................................................... 1

2.

Índice........................................................................................................... 2

3.

Introducción ................................................................................................. 4

4.

Prerrequisitos .............................................................................................. 5

5.

Evaluación inicial ......................................................................................... 5

6.

Orientaciones generales para el estudio ........................... ............. .......................... ........................ ............ 11

7.

Desarrollo de contenidos........................................................................... 13 I.

Unidad: Teoría de Redes y Grafos ........................................................ 21 Objetivos ................................................................................................... 21 Contenidos ................................................................................................ 21 Grafo ...................................................................................................... 21 Arcos incidentes a un nodo ................................................................... 22 Recorrido de grafos ............................................................................... 22 Clasificación De Grafos ......................................................................... 23 Ciclos y Circuitos ................................................................................... 25 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 28 Evaluación ................................................................................................. 30 Recursos ................................................................................................... 31

II.

Unidad: Programación Lineal ................................................................ 32 Objetivos ................................................................................................... 32 Contenidos ................................................................................................ 32 La programación matemática ................................................................ 32 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 43 Evaluación ................................................................................................. 64 Recursos ................................................................................................... 72

III.

Unidad: Programación Dinámica .......................... ............. .......................... .......................... .................. ..... 73

Objetivos ................................................................................................... 73 Contenidos ................................................................................................ 73 Generalidades ....................................................................................... 73 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje .................................................. 78 Evaluación ................................................................................................. 80 Recursos ................................................................................................... 80

IV.

Unidad: Flujos Óptimos de una Red-Transporte y Asignación ............ 81

Objetivos ................................................................................................... 81 Contenidos ................................................................................................ 81 Modelo particular de programación lineal. ......................... ............ .......................... .................... ....... 81 Estrategias de enseñanza enseñanza – aprendizaje ......................... ............ ......................... ...................... .......... 82 Prueba De Optimalidad ......................................................................... 87 Evaluación ................................................................................................. 97 Recursos ................................................................................................... 98 8.

Evaluación final ......................................................................................... 99

9. Bibliografía .............................................................................................. 102 10. Anexos................................................................................................. Anexos................................................................................................. 103 11.

Glosario ............................................................................................... 105

Investigación Operativa I

Introducción

3. Introducción

La primera actividad de Investigación Operativa se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país. El nombre de Investigación Operativa fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la planificación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación Operativa a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias. Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación Operativa como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de Investigación Operativa fue el Método Símplex de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig. Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperación de las personas interesadas tanto en el área académica como en el área industrial.

Tecnológico Vida Nueva

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Prerrequisitos

Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación Operativa fue el desarrollo de la computadora digital que, con sus tremendas capacidades de velocidad de cómputo y de almacenamiento y recuperación de información, permitió al individuo que tenía que tomar decisiones hacerlo con rapidez y precisión. Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigación Operativa con sus grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día. Actualmente la Investigación Operativa se está aplicando en muchas actividades. Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planificación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización. 4. Prerrequisitos 

Aprobar la materia de Algebra

5. Evaluación inicial

Resuelva los sigu ientes ejercicios: 1. Restar -2a5b - ab5 + 6a3b3 - a2b4 - 3b6 de 8a4b2 + a6 - 4a2b4 + 6ab5


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Evaluación inicial

2. De x5-9x3+6x2-31 restar -11x4+31x3-8x2-19x

3. Factorizar: 1- 14x2y + 49x4y2


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Evaluación inicial

4. Factorizar 16x2 – 8xy + y2

5. Dividir -m7 + 5m6n + 14m5n2 + 20m4n3 – 13m3n4 – 9m2n5 + 20mn6 -4n7 entre n3 + 3m2n – 5mn2 – m3


Página 7


Evaluación inicial

6. Factorizar (3a4 – 5b2 )2

7. Factorizar (x2 + y2)(x2 – y2)


Página 8


Evaluación inicial

8. Factorizar (1 – 3ax)(3ax + 1)

9. Dividir m2 – 11m +30 entre m - 6


Página 9


Evaluación inicial

10.

Dividir 11a3 – 3a5 – 46a2 + 32 entre 8 – 3a2 – 6ª

11.

Desarrolle: (n – 4)3


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12.

Orientaciones generales para el estudio

grafique la función: y = x2 - 5x + 4

6. Orientaciones generales para el estudio

Señor(a)(ita) estudiante: Para el desarrollo del proceso de aprendizaje, usted puede contar con el apoyo de todos los docentes de la carrera de Administración, quienes se encuentran dispuestos a colaborarle de la mejor manera para lograr que usted adquiera de mejor manera los conocimientos necesarios para su desarrollo profesional. El (la) estudiante para su aprendizaje debe utilizar el módulo de estudio, la bibliografía recomendada, la tutoría presencial, Internet y la información complementaria que requiera. El (la) estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en las actividades de aprendizaje, mediante al análisis y aplicación en los ejercicios propuestos y a desarrollarse, conocimientos que se reflejan en los dos trabajos que debe presentar en el semestre. Para el desarrollo de la presente asignatura, recuerde que consta de 4 créditos, que equivale a 64 horas en la modalidad Presencial, Tecnológico Vida Nueva

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Orientaciones generales para el estudio

en la modalidad semi presencial corresponde a 32 horas de tutorías llevadas presencialmente distribuidas en 6 fines de semana y las 32 restantes corresponden a trabajo autónomo, para lo cual se le recomienda que distribuya 1 hora diaria para la revisión de los temas analizados en la tutoría y la realización de las tareas o trabajos autónomos enviados por el docente. En esta guía encontrará además autoevaluaciones las cuales deben ser elaboradas de la manera más honesta, de esta manera usted podrá confirmar la adquisición de los conocimientos necesarios para seguir con su carrera. Además se le recomienda:     

Planificar adecuadamente las actividades diarias. Escoger un lugar apropiado para el estudio. Leer y entender en orden el contenido del módulo. No seguir adelante sin haber entendido el tema anterior. Analizar en forma detenida los ejercicios resueltos en el módulo a fin de comprender su metodología. Preparar una serie de inquietudes para que el tutor le ayude en su solución.

Recuerde que usted cuenta con el apoyo sus tutores, no dude en solicitar su ayuda


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Unidad: Teoría de Redes y Grafos

7. Desarrollo de contenidos

Investigación Operativa

A menudo se utiliza el término de Investigación de Operaciones para referirse a la Investigación Operativa. Hablar de “Investigación de Operaciones” es utilizar la Investigación Operativa para "hacer investigación sobre las operaciones” que tienen lugar en los

distintos campos de las organizaciones humanas. Es muy notable el rápido crecimiento del tamaño y la complejidad de las organizaciones (empresas) humanas que se ha dado en estos últimos tiempos. Tal tamaño y complejidad nos hace pensar que una sola decisión equivocada puede repercutir grandemente en los intereses y objetivos de la organización y en ocasiones pueden pasar años para rectificar tal error. También el ritmo de la empresa de hoy implica que las decisiones se tomen más rápidamente que nunca, pues el hecho de posponer la acción puede dar una decisiva ventaja al contrario en este mundo de la competencia. La palpable dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la búsqueda de una herramienta o método que le permita tomar las mejores decisiones de acuerdo con los recursos disponibles y los objetivos que persigue. Tal herramienta recibió el nombre de Investigación de Operaciones. De la definición de Investigación Operativa, como veremos en el siguiente apartado, podemos resaltar los siguientes términos: organización, sistema, grupos interdisciplinarios, objetivo y metodología científica. Una organización puede entenderse como un sistema, en el cual existen componentes; canales que comunican tales componentes e información que fluye por dichos canales. En todo sistema las componentes interactúan unas con otras y tales interacciones pueden ser controlables e incontrolables. En un sistema grande, las componentes se relacionan de muchas maneras, pero no todas son


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importantes, o mejor dicho, no todas las interacciones tienen efectos importantes en las componentes del sistema. Por lo tanto, es necesario que exista un procedimiento sistemático que identifique a quienes toman decisiones y a las interacciones que tengan importancia para los objetivos de la organización o sistema. Uno de esos procedimientos es precisamente la Investigación de Operaciones. Una estructura por la que no fluye información no es dinámica, es decir, no podemos considerarla como un sistema. Por lo tanto, podemos decir que la información es lo que da "vida" a las estructuras u organizaciones humanas. Los objetivos de toda organización serán siempre alcanzar el liderazgo en su rama, controlando la eficiencia y efectividad de todas sus componentes por medio de métodos que permitan encontrar las relaciones óptimas que mejor operen el sistema, dado un objetivo específico. Ante el tremendo avance que se ha dado en casi todas las ciencias en las últimas décadas, ya no es factible querer saber un poco de todo, sino más bien especializarse en alguna rama de la ciencia. Los problemas que se presentan en las organizaciones no se pueden resolver fácilmente por un solo especialista. Por el contrario, son problemas multidisciplinarios, cuyo análisis y solución requieren de la participación de varios especialistas. Estos grupos interdisciplinarios necesariamente requieren un lenguaje común para poder entenderse y comunicarse, donde la Investigación Operativa viene a ser ese puente de comunicación. El enfoque de la Investigación Operativa sigue las pautas del método científico. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema y sigue con la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo Tecnológico Vida Nueva

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suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Esta hipótesis se verifica y modifica mediante las pruebas adecuadas. Entonces, en cierto modo, la Investigación Operativa incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la Investigación Operativa se ocupa además de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones positivas y claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. La contribución al enfoque de Investigación Operativa proviene principalmente de: i) La estructuración de una situación de la vida real como un modelo matemático, logrando una abstracción de los elementos esenciales para que pueda buscarse una solución que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones. Esto implica tomar en cuenta el problema dentro del contexto del sistema completo. ii) El análisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de procedimientos sistemáticos para obtenerlas. iii) El desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática si es necesario, que lleva al valor óptimo de la medida de lo que se espera del sistema (o quizá que compare los cursos de acción opcionales evaluando esta medida para cada uno). El modelo matemático trata de responder al problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se optimice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Optimizar es la acción de llevar una cierta magnitud a su óptimo, o sea, a su máximo o a su mínimo, según se trate de algo que se Tecnológico Vida Nueva

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considera beneficioso o perjudicial, en cuyos casos respectivos se utilizan también los nombres de maximizar o minimizar. Se optimiza todo tipo de magnitudes para las que se estima o valora que tienen estados preferibles a otros y se quiere alcanzar el de mayor utilidad o satisfacción. Una clasificación de modelos especialmente importante es el modelo de programación lineal, en el que las funciones matemáticas que aparecen tanto en la función objetivo como en las restricciones, son funciones lineales. Es posible construir modelos específicos de programación lineal que se ajustan a diversos tipos de problemas. Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayuda a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interrelaciones simultáneamente. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas poderosas, además de los ordenadores, en el análisis del problema. La herramienta de cálculo que supone el ordenador junto a paquetes de Investigación Operativa facilita la solución de muchos problemas. Definición de Investigación Operativa

La Investigación Operativa o Investigación Operacional se puede definir como: "La aplicación del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización".


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Metodología de la Investigación de Operativa

El proceso de la Investigación Operativa comprende las siguientes fases: 1. Formulación y definición del problema. 2. Construcción del modelo. 3. Solución del modelo. 4. Validación del modelo. 5. Implementación de resultados. Veamos estas fases: 1. Formulación y definición del problema. En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución adecuada. 2. Construcción del modelo. En esta fase, el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de datos pasados o estimados por medio de algún método estadístico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.


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Como ejemplo de modelos, tenemos Determinístic os

Programación dinámica

Probabilísticos Programación estocástica Gestión de inventarios Fenómenos de espera (colas) Teoría de juegos

Programación no lineal

Simulación

Programación matemática Programación lineal Programación entera

Programación multiobjetivo Modelo de transporte Modelos de redes

Heurísticos Annealling (recocido) simulado Búsqueda tabú

Algoritmos genéticos Redes neuronales artificiales Algoritmos bioinspirados

3. Solución del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo ante cambios en las especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace debido a que los parámetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas. 4. Validación del modelo. La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método común para probar la validez del modelo es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero, como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos a cambios posibles del Tecnológico Vida Nueva

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sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo. 5. Implementación de resultados. Una vez que hayamos obtenido la solución o soluciones del modelo, el siguiente y último paso del proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del sistema. Si el modelo utilizado puede servir a otro problema, es necesario revisar, documentar y actualizar el modelo para sus nuevas aplicaciones. Estructura de los modelos empleados en la Investigación Operativa El enfoque de la Investigación Operativa como construcción de modelos constituye una herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. Así, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su desempeño. La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situación real es que nos permite analizar tal situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el modelo es como si fuera "un espejo" de lo que ocurre. Los modelos más importantes para la Investigación Operativa son los modelos simbólicos o matemáticos, que emplean un conjunto de símbolos y funciones para representar las variables de decisión y sus relaciones para describir el comportamiento del sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo, el cual es una representación aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las computadoras de alta velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas. Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos. Estos son: 1) variables y parámetros de decisión, 2) restricciones y 3) función objetivo. 1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y Tecnológico Vida Nueva

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función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos. 2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles. 3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión. La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones. Concepto de optimización

Una característica adicional, que se mencionó como de pasada, es que la Investigación Operativa intenta encontrar la mejor solución, o la solución óptima, al problema objeto de estudio. En lugar de contentarse con sólo mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado, esta "búsqueda del óptimo" es un aspecto muy importante dentro de la Investigación Operativa.


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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I


I. Unidad: Teoría de Redes y Grafos Objetivos 

Analizar los sistemas productivos mediante el estudio de las redes y grafos para mejorar el proceso productivo

Contenidos Grafo

Un grafo G es una dupla G = (X, U), donde X es un conjunto finito y no vacío de elementos llamados vértices y U es el conjunto cuyos elementos se componen de subconjuntos de X de cardinalidad dos (2), llamados aristas. Los vértices de X se llaman usualmente x1, x2, x3, …, xn, y se representan como puntos, las aristas u1, u2, u3, …, un, se dibujan como líneas. Grafo orientado: Un grafo G* es orientado, cuando sus aristas tienen asignadas direcciones, o sea cuando existe una relación de precedencia entre los elementos. Sus puntos se llaman nodos, y sus líneas arcos. En estos casos U es una familia depares ordenados resultantes del producto cartesiano de X.

Ejemplo:

X2 X1

X3

G*= ({x1,x2,x3},{x1.x2},{x3,x1},{x3,x2}) En realidad, no existen dos especies de grafos, orientados y no orientados, sino que todos los grafos son orientados, pero por razones conceptuales, es poco cómodo considerar las líneas orientadas para los problemas de naturaleza no orientada. Tecnológico Vida Nueva

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Cada vez que apliquemos un concepto orientado en un grafo G = (X,U) ese concepto deber ser considerado como aplicable de hecho, en un grafo orientado G* al que le corresponde la orientación en los dos sentidos de cada arista. Orden es el número de vértices del grafo, el cardinal del conjunto X de vértices: |X|

Arcos incidentes a un nodo

Si un vértice x es extremidad inicial de un arco u = (x,y) y x≠y , diremos que el arco es incidente a x hacia el exterior. I+(x)={y / (x,y) U}. I(x) ={y / (y,x) U}

∈

∈

El número de los arcos incidentes hacia el exterior se llama semigrado exterior de x y se nota d+(x) = |I+(x)| De igual forma se define arco incidente a x hacia el interior y semigrado interior de x. Este último se nota como d-(x)=|I-(x)|. Grado de x, es la suma del semigrado exterior e interior de x. O sea, es el número de arcos con una extremidad en x. d(x) = d+(x) + d-(x) Si todos los vértices tienen el mismo grado, el grafo al que pertenecen se llama grafo regular.

Recorrido de grafos

Cadena: concepto no orientado

Es una secuencia de aristas de G, tal que cada arista de la secuencia tiene un extremo común con el arco precedente y otra con el siguiente. Largo de una cadena, es el número de aristas de la secuencia. Cadena elemental, es aquella que no repite vértices. Cadena simple, es aquella que no repite aristas. Tecnológico Vida Nueva

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Camino (concepto orientado) Es una cadena u = {u1, u2,..., uq} en la que para todo ui (con i  q) el extremo terminal de ui coincide con el extremo inicial de ui+1.

Las definiciones de largo de un camino, camino elemental y camino simple son análogas a las de cadenas, con la salvedad de la orientación. Sendero, es un camino elemental (que no repite nodos). Vía, es un camino cuyos arcos se pueden recorrer en su sentido directo o contrario.

Clasificación De Grafos

Multigrafo, es un grafo no orientado con múltiples aristas entre pares de nodos. Grafo simple, es un grafo sin bucles, sin múltiples aristas entre pares de vértices. Grafo completo

Para todo par de vértices de G, existe por lo menos una arista que los une. Por lo tanto, un grafo completo de n vértices es aquel que tiene sus n vértices mutuamente adyacentes. n-clique, es un grafo completo simple de n vértices. Se nota Kn

K5


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⊂

Subgrafo de G = (X,U) engendrado por el conjunto A X , es un grafo cuyos vértices pertenecen al conjunto A y cuyas aristas son aquellas de G que tienen las dos extremidades en A.

⊂

Grafo parcial de G = (X,U) engendrado por V U , es el grafo G' = (X,V) cuyos vértices son los mismos de G y cuyas aristas son las que conforman el conjunto V U

⊂

Subgrafo parcial de G, es un subgrafo de un grafo parcial de G.

Grafo bipartito, es un grafo cuyo conjunto de vértices puede ser particionado en dos clases X1 y X2 de tal forma que dos vértices de la misma clase no sean jamás adyacentes. Se nota G = (X1, X2, U) X1: Conjunto de personas

X2: Conjunto de profesiones

K 2,3

Grafo bipartito completo, es aquel en el que para todo elemento de X1 y todo elemento de X2 existe por lo menos un arco que los liga. Un grafo simple bipartito completo con p elementos en X1 y q elementos en X2 se nota Kp,q. Grafo Regular, es aquel en el que todos sus vértices tienen el mismo grado. Grafo Ponderado G = (X, U, W) donde (X, U,) es un grafo y W es una función W: U → Z+ (Z+: enteros positivos) .


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∈

Si u U, w(u) es llamado el peso de la arista u. Estos pesos corresponden, según la aplicación, a costos, capacidades u otras propiedades de las aristas o arcos. Cuando se desea asignar valores negativos o reales a los pesos de las aristas, se debe tener especial cuidado en la elección de los algoritmos ya que la correctitud de los mismos puede depender de la restricción a Z+. Grafo Conexo, es aquel en el que para cada par de vértices de G, existe una cadena que los une. En grafos orientados se definen 2 conceptos a) Débilmente conexo: si existe una cadena (sin tener en cuenta la orientación) que une cada par de nodos distintos. b) Fuertemente conexo: si para cada par ordenado de nodos x e y, existe un camino que va de x a y. Una componente conexa de un grafo G, es un subgrafo de G engendrado por los vértices que pueden unirse a un vértice xi dado, mediante una cadena (puede ser todo el grafo G). Ciclos y Circuitos

Ciclo, es una cadena simple, cuyos dos vértices extremos, inicial y terminal, coinciden (no tiene en cuenta la orientación). Si queremos describir la orientación en un ciclo designamos como: u+ = {ui : ui orientada en el sentido del ciclo} u - = {ui : ui orientada en el sentido contrario al ciclo} Ciclo elemental, es un ciclo donde no se repite ningún vértice (salvo el primero que coincide con el último). Lo notamos uE= (u1,...,un). Propiedad 1: Todo ciclo uc es una suma de ciclos elementales sin aristas comunes. Propiedad 2: Un ciclo es elemental si y solo si es un ciclo minimal (es decir que no se pueden deducir otros ciclos por supresión de aristas). Tecnológico Vida Nueva

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INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

Unidad Uni dad:: Teoría de Redes y Grafos Graf os

Seudociclo, es una cadena donde los extremos coinciden pero que una misma arista puede figurar más de una vez (también consecutivamente) Cociclo del conjunto de vértices A, es el conjunto de aristas aristas incidentes a A, del tipo I(A) no vacío y particionado en dos clases I+(A) y I-(A) Ciclo Euleriano es aquel que incluye todas las aristas del grafo una sola vez, conteniendo cada vértice por lo menos una vez. Cadena Euleriana, es aquella que recorre todas las aristas una sola vez ( = simple) tocando todos los vértices del grafo. Todo multigrafo multigrafo que posee un ciclo Euleriano es conexo y todos sus vértices tienen grado par a

c

d

b f

e

g

h i

j n

k

l

m

o

A partir del siguiente ejemplo daremos una idea del mecanismo utilizado por Euler para demostrar que la conexidad y el grado par de todos los vértices de un multigrafo, son condiciones necesarias y suficientes para garantizar la existencia de un ciclo Euleriano. Tenemos este grafo que es conexo cone xo y sus vértices tienen grado par.


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INVEST INVESTIGACI IGACIÓN ÓN OPERATIVA OPERATIVA I

Unidad: Unid ad: Teoría de Redes Redes y Grafos

1) Primero se comienza por trazar un camino simple desde un vértice, p. ej. a. Supongamos que recorremos recorremos a-d-j-n-o-k-l-h-f-e-ba-d-j-n-o-k-l-h-f-e-ba. Volvimos a a. a

b e

d

h

f

k j n

l o

La propiedad del grado par, significa que siempre podemos abandonar cada vértice al que entramos, excepto a. Es decir que cualquier cadena que tracemos tracemos desde a debe volver a a, formando un ciclo. 2) Las restantes aristas del grafo inicial, conforman un grafo no conexo, pero todos sus vértices mantienen el grado par, ya que al retirar el ciclo encontrado, se redujo cada grado en una cantidad par. Cada subgrafo conexo posee un ciclo Euleriano: d-c-i-j-k-e-d y g-m-h.

h-

Estos dos ciclos pueden ser insertados en el ciclo encontrado en los vértices comunes d y h respectivamente, originando un ciclo Euleriano a-d-c-i-j-k-e-d-j-n-o-kl-h-g-m-h-f-e-ba-d-c-i-j-k-e-d-j-n-o-kl-h-g-m-h-f-e-b-a, a, en el Grafo original. Teorema E.1: Un multigrafo (no orientado) G = (X,U) (X,U) posee un ciclo Euleriano si G es conexo y todos sus vértices vértices son de grado grado par. Una Cadena Euleriana Euleriana es una cadena cadena que recorre recorre todas las aristas del grafo una sola vez incluyendo todos los vértices. Corolario E.2: Un multigrafo posee una cadena Euleriana, si es conexo y tiene exactamente dos vértices de grado impar. Tecnológico Vida Nueva

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INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

Unidad Uni dad:: Teoría de Redes y Grafos Graf os

Se puede demostrar observando lo que sucede al agregarle una arista cuyas extremidades sean los dos vértices de grado impar. El concepto de ciclo Euleriano es utilizado en la planificación de redes de alta tensión entre varias ciudades. Estrategias de enseñanza – aprendizaje

Ejemplo de grafos 1. Problema del camino entre dos puntos. El siguiente es un ejemplo de cómo modelar una porción del universo, su problemática y como resolverla. Supongamos que un hombre debe pasar a la otra orilla de un río llevando consigo una oveja, un repollo y un lobo. El inconveniente que se le plantea es que sólo puede cruzar con uno de ellos a la vez y sospecha que si deja solos a la oveja con la repollo ó con el lobo, la oveja se comerá al repollo ó el lobo se comerá a la oveja. Teniendo en cuenta estas restricciones, el sujeto dibuja sobre la arena de la orilla un grafo y aplicando aplicando alguna heurística o algún algoritmo conocido, encuentra el camino que debe seguir para llegar a la otra orilla con su carga intacta. Utilice el siguiente procedimiento: 0) Dibuja el grafo: Existen 4 elementos que situaciones en cada orilla, ellos son:

determinan las

H – Hombre C – Repollo L – Lobo O – Oveja 1) Enumera las situaciones en una de las orillas comenzando por H,C,L,O. 2) Luego las ordena considerando: a) se encuentra el hombre en esa orilla o no: H vs noH. b) pasaje o secuencia de una situación a otra. (obs. que no se puede pasar de una situación en la que esté el hombre a otra en la que también esté) Tecnológico Vida Nueva

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3) Por último busca en el grafo un camino del estado inicial al estado final. DESARROLLO DEL EJERCICIO


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Evaluación Responda a las preguntas:

1. ¿Qué es un grafo? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ___________________________________________________ 2. ¿Que es un subgrafo? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 3. Grafique un grafo de 4 vértices

4. Explique que son los nodos ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________ 5. Defina lo que es una cadena ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ __________________________________________________ Tecnológico Vida Nueva

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6. Explique la diferencia entre un grafo simple y un grafo completo ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________

7. ¿Qué es un grafo bipartito? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ____________________________________________________

Recursos 

Calculadora  Modulo  Campus virtual  Tutoriales


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Unidad: Programación Lineal

II. Unidad: Programación Lineal Objetivos 

Resolver problemas mediante programación lineal para la optimización de los recursos de la empresa.

Contenidos La programación matemática

Es un conjunto de técnicas y procedimientos desarrollados para resolver problemas de optimización, entendiéndose por optimización el proceso de maximizar o minimizar una función conocida como la función objetivo del problema, la cual debe estar formada o constituida por variables conocidas como variables de decisión, las cuales siempre as encontraremos afectadas por un conjunto de limitaciones o restricciones. El modelo matemático de un problema de optimización generalmente tendrá la siguiente presentación: Ejemplo 1:  

Maximizar: G = x + 2y Bajo las siguientes restricciones: 3x + y ≥ 5 x – 2y = 3 o o o

x ≥ 0; y ≥ 0

Ejemplo 2:  

Minimizar: C = 3x + y + 2z Bajo las siguientes limitaciones: 2x – y + z ≥ 3 x – 2y + z ≤ 5 o o o

x≥0

o

y>2

todos los modelos matemáticos son de optimización como podemos ver cada modelo contiene una función objetivo formada por variables de decisión las cuales se hallan afectadas directamente por un conjunto de limitaciones o restricciones, además podemos Tecnológico Vida Nueva

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notar que la función objetivo siempre es una ecuación, las limitaciones pueden ser ecuaciones o inecuaciones. Resolución de un problema de programación lineal Para resolver un modelo matemático de programación lineal, contamos con 3 métodos fundamentalmente, de los cuales estudiaremos el método gráfico y método simplex en esta unidad.

Camino Tabular Método Simplex Camino extrictamente algebraico

Problema de programación lineal Método Gráfico

Grafico lineal

Método gráfico

Para ilustrar el método gráfico de la programación lineal para la resolución de un modelo matemático, utilizaremos el siguiente ejemplo:  

Minimizar: Z = 2x + y Bajo las siguientes limitaciones: x+y≥8 2x – y ≤ 3 o o o o

x≥0 y≥0


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Primer paso

Resolver el sistema de inecuaciones formado o generado por el conjunto de limitaciones del modelo.

Las limitaciones x ≥ 0 e y ≥ 0. se conocen como limitaciones de no negatividad y en el grafico no hace falta ni siquiera representarlas por que inmediatamente nos damos cuenta que lo que nos dicen estas es que siempre la solución estará en el primer cuadrante del plano cartesiano SEGUNDO PASO La región solución del sistema de inecuaciones se conoce en la programación Matemática como la REGIÓN FACTIBLE del problema. en cual sus vértices contienen a los máximos y a los mínimos siempre v cuando la región sea con vértices salientes. En nuestro ejemplo podemos ver que la región factible solo tiene los 2 vértices VI Y V2. por qué en la parte superior va hacia el infinito y no tenemos vértices.


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TERCER PASO Reemplazamos las coordenadas de cada uno de los vértices en la función objetivo para determinar en cuál de estos se encuentra el mínimo que buscamos: V er t i c e s

(0.8 )

Función objetivo Z= 2x + y Z= 0-8 Z= 8

( 11/3 , 13/3.)

Z= 2( 11/3)Z=

M Í N I M O VALOR

13/3

35/3

Z= 11,67

CUARTO PASO Interpretamos la solución diciendo: El mínimo para Z se obtiene con x = 0 e y = 8 Programación lineal Método simplex 



se basa en las operaciones del análisis matricial, mediante un conjunto de iteraciones sucesivas que van acercando la solución al optimo buscando. en cada iteración se realizan tantas operaciones elementales sean necesarias para lograr trasladarnos por la región factible del problema aproximándonos hacia el optimo

Ese método se caracteriza por su aplicabilidad a problemas que contiene 2 o rabies sin importar cuán grande sea este número, lógicamente mientras grande sea este número se requiere la ayuda de un computador y un programa diseñado para resolver este tipo de modelos matemáticos.


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El proceso que aplica este método se basa o se fundamenta en las operaciones fundamentales del análisis matricial. Mediante un conjunto de iteraciones sucesivas que van acercando la solución al óptimo buscado. En cada iteración se realizan tantas operaciones elementales sean necesarias para lograr trasladarnos por la periferie de la región factible del problema aproximándonos hacia el óptimo. El proceso desarrollado por este método se ilustra así: Ejercicio ilustrativo: Maximizar:

P = 3X+ 5Y

Bajo las limitaciones: X ≤ 4 2Y ≤ 12 3X + 2Y ≤ 18 X ≥ 0 Y≥0 PRIMER PASO: A partir del modelo original del problema escribimos el denominado MODELO ESTÁNDAR del problema. Modelo Estándar que debe cumplir las siguientes condiciones: •

Contiene una función objetivo

•

las limitaciones se presentarán como ecuaciones


Maximizar:

P = 3X + 5Y

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Esto se logrará sumando una variable denominada de holgura (h) si la limitación es del tipo ≤, o restando una variable de exceso (e) si la limitación es del tipo ≥. Las limitaciones de no negatividad no es necesario considerarlas porque el método Simplex ya las considera implícitamente. •

Así en nuestro ejemplo tendremos: X + h1 = 4 2Y + h2 =12 3X + 2Y + h3 = 18 • Los miembros derechos de las ecuaciones es necesario que

siempre sean positivos, en el caso de que aparezca algún negativo se deberá cambiarle de signo multiplicando por -1 a toda la ecuación. SEGUNDO PASO Escribimos nuestro modelo estándar como un sistema de ecuaciones bien estructurado, esto quiere decir que todas las variables de cada ecuación deben estar a la derecha y cada variable debe tener su columna propia. Así: P

- 3X

- 5Y

X

+h1 2Y

3X

= 0

+ 2Y

= 4 +h2

= 12 +h3

= 18

Estos 2 pasos realizados constituyen lo que se conoce como la preparación del modelo para el Simplex.


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A partir de este momento podemos seguir uno de los 2 caminos siguientes: El camino estrictamente algebraico y el camino tabular En este momento exactamente cuando entramos al Simplex. Camino estrictamente algebraico Partimos desde el modelo estándar presentado de una forma bien estructurada: Aplicamos la denominada PRUEBA DE OPTIMALIDAD. que consiste en determinar si el valor que se encuentra en el miembro derecho de la función objetivo P es el óptimo que buscamos, para dar respuesta a esta interrogante miramos los coeficientes de las variables entrantes en la función objetivo y decimos que; si todos los coeficientes son positivo o ceros hemos llegado al óptimo buscado cuando se trata de maximización. El caso de minimización analizaremos más adelante. En nuestro ejemplo podemos ver claramente que el valor de P es igual a cero es el máximo buscado por que los coeficientes de las variables íes X e Y tienen los coeficientes negativos - 3 y -5 respectivamente. P

- 3X +X + 3X

- 5Y + 2Y + 2Y

+ H1

+ H2

=0 =4 = 12 + H3 = 18

Como no hemos llegado al óptimo entonces procedemos a realizar la primera iteración. Determinando primero la columna de la variable entrante actual mediante el criterio que dice que: La variable entrante actual será aquella que tiene el coeficiente más negativo en el caso de maximización. En nuestro ejemplo la variable entrante actuales Y. por lo tanto reservamos su columna, así: Tecnológico Vida Nueva

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P

- 3X +X + 3X


- 5Y

+ H1

+ 2Y + 2Y

+ H2

=0 =4 = 12 + H3 = 18

Determinamos la fila de la variable saliente actual, tomando en cuenta que variables salientes se considerarán las variables de holgura y el exceso, las cuales hemos introducido en proceso de generación del modelo estándar. El procedimiento de determinación de la variable saliente actual dice; dividir cada uno de los miembros derechos de las limitaciones para el coeficiente correspondiente en la columna de la variable determinada como entrante Actual; y. la fila de la variable saliente actual será aquella que contiene el 12/

2=

18/

2 =

6

menor valor, entonces la variable saliente actual es h2

9 Columna de la variable entrante actual

P

- 3X +X + 3X

- 5Y + 2Y + 2Y

+ H1

+ H2

=0 =4 = 12 + H3 = 18

Fila de la variable entrante actual

En la intersección de la columna de la variable entrante actual con la fila de la variable saliente actual debemos obtener un 1(uno) positivo (pívot). Aplicando la operación elemental de tipo II del análisis matricial.


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En nuestro ejercicio, la operación elemental del tipo II necesaria será la siguiente: F3 ( ½: )

F3

Luego de la aplicación de esta operación elemental en nuestro sistema tendremos: P

- 3X +X + 3X

- 5Y + 1Y + 2Y

+ H1

+½H2

=0 =4 =6 + H3 = 18

Utilizando este pívot. Debemos hacer ceros a todos los elementos que se encuentran en su misma columna, mediante operaciones elementales del tipo III del análisis matricial. Así para nuestro caso las operaciones elementales necesarias serán: F3(5) + F1

FI

F3(-2) + F4

F4

Aplicando estas operaciones en, nuestro sistema de ecuaciones tendremos

P

- 3X +X + 3X

+ 1Y


+ H1

+5/2h2 +½H2 -H2

= 30 =4 =6 + H3 = 6 Página 40



En este momento hemos terminado la primera iteración, entonces debemos aplicar nuevamente la prueba de optimalidad para saber si ya hemos logrado el óptimo buscado, (en este caso para saber si el valor de 30 obtenido para P es el máximo que buscamos), entonces miramos todos los coeficientes de las variables entrantes en la función objetivo, como todavía existe un coeficiente negativo para la variable X, quiere decir que no hemos llegado todavía al óptimo que buscamos. Iniciamos la ejecución de la segunda iteración, en la cual se repetirán exactamente los mismos pasos de la primera iteración, como podemos ver a continuación: Determinación de la variable entrante actual: P

- 3X +X + 3X

+ 1Y

+ H1

+5/2h2 +½H2 -H2

= 30 =4 =6 + H3 = 6

2. Determinación de la variable saliente actual: P

- 3X +X + 3X

+ 1Y

+ H1

+5/2h2 +½H2 -H2

= 30 =4 =6 + H3 = 6

Obtención del pívot F4(l/3)

F4


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P

- 3X +X + 1X

+ 1Y

+ H1

+5/2H2 +½H2 +1/3H2


= 30 =4 =6 + 1/3H3 = 2

Obtención de ceros en la columna del pívot: F4(3) + F1

F1

F4(-l) +F2

F2

P

0 0 0 + 1X

0 0 + 1Y 0

+3/2H2 + H1 +1/3H2 +½H2 +1/3H2

+H3 = 36 -1/3H3 = 2 =6 + 1/3H3 = 2

Aquí termina la segunda iteración y aplicamos la prueba de optimalidad para determinar si el valor obtenido para P es el máximo buscado. Al mirar los eficientes de las variables entrantes observamos que todos se han hecho ceros por lo tanto se ha logrado determinar el óptimo. Si algún coeficiente todavía fuera negativo tendríamos que continuar con las iteraciones. Pasamos entonces a interpretar la solución, diciendo: El máximo para P es 36 y se obtiene con X = 2 e Y = 6.


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Estrategias de enseñanza – aprendizaje RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SITUACIONES REALES

La importancia de la Programación Matemática y en sí de la Investigación de operaciones radica en que es una herramienta que nos permite resolver problemas de situaciones reales en cualquiera de los campos de desenvolvimiento del ser humano. por eso no tiene caso enumerar los campos de aplicación de la Investigación de Operaciones porque su aplicabilidad se la encuentra en todo. Método gráfico

Disponemos1 de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

Tipo A Tipo B 210000

inversión rendimiento x 0,1x y 0,08y 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

1 http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm


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R1 R2 R3 R4

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 OX)

r2

(paralela

a

OY)

r3(paralela

a

r4

x y 0 210000 210000 0

x y 130000 0

x 0

y 60000

x 0 130000

y 0 65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E


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A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D) 2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo T. Vienesa T. Real

Nº x y

Bizcocho 1.x 1.y 150

Relleno 0,250x 0,500y 50

Beneficio 250x 400y

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):


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Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para x 0 200 Para x 0 150

0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200 Y 100 0 x + y =150 Y 150 0

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY Al eje Ox

x=125 y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) es redundante (es decir “sobra”) Se observa que la restricción y Resolviendo el sistema: , por reducción obtenemos y=50, x=100


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Otro vértice es el punto C(100, 50) Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x 0 200

Y 0 -125

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice más alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices Tecnológico Vida Nueva

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La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos f(125,0)=31.250 f(125,25)=31.250+10.000=41.250 f(100,50)=25.000+20.000=45.000 f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo. Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x ,y Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1

r2

x

y

8

0

x

0

r3

r4

y

x

y

x

y

10

0 0

9 9

0 10

8 0

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo. Tecnológico Vida Nueva

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Teniendo en cuenta las restricciones (la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4 por reducción

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4 Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima. Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico). 4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? Solución Organizamos los datos en una tabla: Tecnológico Vida Nueva

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I días Mina A Mina B

x y

Alta calidad 1x 2y 80

Unidad: Programación Lineal Calidad media 3x 2y 160

Baja calidad

Coste diario

5x 2y 200

2000x 2000y

La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son: La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible). r1

r2

que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r2

r3

que nos da el punto (20, 50)


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no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible. En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico) Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)=2000.100=200000 C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000 C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo C(80, 0)= 2000.80 =160000 r1

r3

5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones


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La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20). Por tanto: 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000 6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. Solución Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P. Turista Primera Total

nº x y 5000


Ganancia 30x 40y 30x +40y

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La función objetivo es: f(x, y)=30x +40y

Las restricciones: La región factible:

Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente) El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)


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Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B) Para ilustrar la forma como la Programación Matemática enfrenta un problema de una situación real, utilizaremos un ejemplo ilustrativo. 6.- Un señor tiene un bus y una camioneta. No puede trabajar en ambos a la vez. El bus produce una ganancia de 40 dólares por hora, la camioneta 20 dólares por hora. Por la situación económica el señor tiene que trabajar por lo menos 12 horas al día. El bus consume 2 dólares de combustible por hora en cambio la camioneta consume I dólar por hora y solo cuenta con 20 dólares diarios para el combustible de los 2 autos. Además el bus por su modelo no le permite trabajar más de 6 horas diarias. Determinar el número de horas que deberá trabajar con cada uno de los autos - para obtener la máxima ganancia por día Solución

Según la metodología de la Investigación Operativa, los pasos que debemos desarrollar para resolver un problema de una situación real son los siguientes Primer paso Formulamos el problema de acuerdo con los siguientes criterios: Identificamos las variables de entrada. Bajo la consideración de que las variables serán las incógnitas del problema o lo que nos piden encontrar. •

En nuestro problema las variables serán entonces:  

Número de horas a trabajar con el bus diariamente ► Número de horas a trabajar con la camioneta diariamente ►


X Y

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Identificamos la función objetivo, con el criterio que la función objetivo será aquello que vamos a optimizar. Entonces en nuestro caso tendremos: •



La ganancia

G = 40X + 20Y

restricciones o limitaciones, considerando todo lo que afecta a la elevación de horas diariamente para trabajar en los 2 autos. Tendremos: • Identificamos las

X + Y >= 12 2X + Y<=20 X <= 6 SEGUNDO PASO Elaboramos el modelo matemático del problema. así el modelo matemático de nuestro problema tendría la siguiente presentación: Maximizar: G = 40X + 20Y Bajo las limitaciones: X-Y >= 12 2X - Y <=20 X >= 6 X >= 0' Y>=0


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TERCER PASO Resolvemos el modelo matemático utilizando cualquiera de los 2 métodos estudiados. Ciertamente el método grafico lo utilizaremos siempre y cuando nuestro modelo matemático contenga solo 2 variables de entrada caso contrario debemos utilizar -en lo posible el método Simplex, que. Como sabemos se aplica para problemas con 2 o más variables de entrada. En nuestro ejemplo por ser un modelo con 2 variables aplicaremos el método gráfico. Como se puede ver a continuación: Resolviendo el sistema de inecuaciones tomado por el conjunto de limitaciones: Transformamos por un momento las inecuaciones en ecuaciones y representamos las rectas correspondientes en el piano cartesiano para luego sombrear las regiones de inecuación para encontrar la región factible. Así: X + Y = 12 2X + Y = 20 X=6 x 0 12


y 12 0

x 0 10

y 20 0

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A Región factible B

D C

X=6

X + Y = 12 2X + Y = 20

Determinando los vértices de la región factible. En Lino de los cuales se encontrara el Optimo que buscamos. El procedimiento inmediato es resolver el tema de ecuaciones que se forma en cada vértice con las ecuaciones de las rectas que lo originaron. así: VERTICES A 2X +Y = 20 X=0 2(0) + Y =20 Y = 20

VERTICES B X + Y = 12 X=0 0 + Y = 12 Y = 12

VERTICES C X=6 X + Y = 12 Y = 12 – 6 Y=6

VERTICES D X=6 2X + Y = 20 12X + Y = 20 Y=8

Determinando el vértice que contiene el Óptimo buscado: Vértices

A (0,20) B(0,12) C (6.6) Tecnológico Vida Nueva

Función objetivo G = 40X+ 20Y G -40(0)+ 20(20) G = 400

M XIMO VALOR

G= 40(0) + 20( 12.) G = 240 G = 40(6) + 20 (6) Página 57



G = 240 + 120 G = 360 G = 40(6) + 20(8) G = 240 + 160 G = 400

D(6,8)

MÁXIMO VALOR

Podemos ver que 2 vértices contienen el máximo. Entonces el problema contiene 2 alternativas de solución. CUARTO PASO Interpretando la solución diremos El Sr. debe trabajar 6 horas diarias en el bus y 8 horas diarias en la camioneta para obtener la máxima ganancia. O solamente 20 horas diarias en la camioneta. Se puede ver que se trata de un caso especial muy interesante. Donde el problema requiere de la toma de decisión para dar una alternativa de solución apropiada; se deberá considerar en este caso la conveniencia de trabajar 14 horas utilizando la camioneta y el bus. Ante la conveniencia de trabajar 20 horas en un solo auto yendo en contra de las necesidades vitales de descanso. Camino tabular

Este camino como su nombre nos indica, se ejecuta organizando los datos en una tabla, para ilustrar el procedimiento utilizaremos un ejercicio anterior el cual dice: Maximizar:

P = 3X + 5 Y


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Bajo las limitaciones: X≤4 2Y≤12 3X + 2Y ≤ 18 X≥0 Y ≥ 0 Al igual que al proceder por el camino estrictamente algebraico, debemos obtener el modelo estándar y a este organizarlo como un sistema bien estructurado, esto quiere decir que los 2 primeros pasos son los mismos sin importar por cual camino voy a ir. Esto es: Modelo estándar X + h1 = 4 2Y + h2 =12 3X + 2Y + h3 = 18 Modelo presentado como un sistema bien estructurado P

- 3X +X + 3X

- 5Y + 2Y + 2Y

+ H1

+ H2

=0 =4 = 12 + H3 = 18

Desde este punto cambiamos el camino de resolución, considerando las siguientes sugerencias:


Página 59



Armamos una tabla con 3 columnas, ubicando en la parte superior a manera de encabezado todas las variables del sistema sin excepción de ninguna, en la primera columna escribimos solo la función objetivo y las variables salientes y en la columna de la derecha se escriben las soluciones, así P H1 H2 H3

P

X

Y

H1

H2

H3

Solución

1 Llenamos los espacios de la tabla con los coeficientes de todas las variables en el sistema del modelo estándar, así: P 1 0 0 0

P H1 H2 H3

X -3 1 0 3

Y -5 0 2 2

H1 0 1 0 0

H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1

Solución 0 4 12 18

Desde aquí avanzamos exactamente con las iteraciones tal cual se hizo en el camino estrictamente algebraico. Así:

P H1 H2 H3 P H1 Y H3 P H1 Y H3

P 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

X -3 1 0 3 -3 1 0 3 -3 1 0 3

Y -5 0 2 2 -5 0 1 2 0 0 1 0


hl 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

h2 0 0 1 0 0 0 1/2 0 5/2 0 1/2 -1

h3 0 0 0 1 0 o 0 1 0 0 0 1

Solución 0 4 12 18 0 4 6 18 30 4 6 6 Página 60


P H1 Y X P H1 Y X

1 0 0 0 1 0 0 0

-3 1 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0


5/2 0 1/2 -1/3 3/2 1/3 ½ -1/3

0 0 0 1/3 1 -1/3 0 1/3

30 4 6 2 36 2 6 2

Como podemos ver el proceso es igual al aplicado en el camino estrictamente algebraico, solo que acá los datos son procesados en la tabla. Tal como Terminamos la resolución del problema con el procedimiento anterior, diremos que: El máximo valor para P se obtiene con X = 2 e Y =6 Problema ilustrativo: La fábrica elabora pantalones y camisas, la ganancia que obtiene por cada pantalón es de 6 dólares y 5 dólares por cada camisa, se necesita 2 metros de lela para los pantalones y 1.5 metros de tela para cada camisa. Debido a las limitaciones en la producción de la fábrica no puede manufacturar más de 10 artículos por día y no puede usar más de 18 metros de tela diariamente. Si la fábrica puede vender todos los pantalones y camisas que produce. Encuentre el número de artículos de cada tipo que debería producir diariamente para retener la máxima ganancia. Solución: Como en todos los problemas anteriores resueltos, consideramos y aplicamos las diferentes fases para la resolución de un problema de optimización, así: Tecnológico Vida Nueva

Página 61



Formulación del problema

1. variables de entrada: N de pantalones elaborados diariamente

►X

N de camisas elaboradas diariamente

► Y

2. Función objetivo: La ganancia

G = 6X + 5Y

3. Limitaciones: X+Y ≤ 10 2X+1.5Y ≤ 18 X ≥ 0 Y ≥ 0 Elaboración del modelo matemático del problema Maximizar : G = 6000X + 5000Y Bajo las limitaciones : X+Y ≤ 10 2X+1.5Y ≤ 18 X ≥ 0 Y ≥ 0


Página 62



Resolución del modelo matemático

Modelo estándar X + Y + H1 = 10 2X + 1.5Y + H2 + 18 Modelo organizado para ingresar al simplex G

- 6000X +X + 2X

- 5000Y Y +1.5Y

+ H1

+ H2

=0 = 10 = 18

TABLA SIMPLEX

F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3

G H1 H2 G H1 X G H1 X G Y X G Y X

X -6000 1 2 -6000 1 1 0 0 1 0 0 3 0 0 1

Y H1 H2 Solución -5000 0 0 0 F3x1/2=f3 1 1 0 10 10/1=10 1,5 0 1 18 18/2=9 -5000 0 0 0 F3x6000+F1=F1 1 1 0 10 F3x-1+F2=F2 1,5/2 0 ½ 9 -500 0 3000 54000 F2x4=F2 0,5/2 0 0 1 1,5/2 0 5/2 9 -500 0 3000 54000 F2x500+F1=F1 1 4 -2 4 F2x0,75+F3=F3 1,5/2 0 ½ 9 0 2000 2000 56000 OPTIMO 1 4 -2 4 0 -3 -1 6


Página 63



Interpretación de la solución

La máxima ganancia obtiene la fábrica produciendo 6 pantalones y 4 camisas diariamente. Método simplex

REVISE EL VIDEO: VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=nwepfwI3Gyg PARA COMPLEMENTAR AL APRENDIZAJE SOBE EL MÉTODO SIMPLEX.

Evaluación

1. Realice un resumen sobre el origen de la Investigación de Operaciones: 2. Realice un resumen sobre la metodología de la Investigación de Operaciones. 3. Describa las características de un problema de programación matemática lineal 4. Describa los pasos para resolver un modelo matemático de programación lineal por el método gráfico. Resuelva los siguientes ejercicios 5.- Encuentre el valor mínimo de C= 2X + Y sujeto a las siguientes restricciones: X>= 1 X<=4 X-3Y<= -2 6.- Obtenga el máximo valor de P = X + 4Y sujeto a las siguientes restricciones: Y - X <= 0 X<=4 Y >= 0 Tecnológico Vida Nueva

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X + 2Y <= 6 7. Escriba la condición necesaria para poder resolver un problema de optimización mediante el método gráfico. 8. Escribir en sus propias palabras un resumen de cada uno de los pasos que se deben seguir para resolver un problema de optimización por el método gráfico y. las consideraciones importantes a tenerse en cuenta en cada paso 9. Calcule el valor máximo de P = 2X - 3Y sujeto a las siguientes restricciones: Y-X<=2 X - Y <= 4 0 <-= X <= 3 Y >=0 10. Solucione los siguientes problemas 1 Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón. con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la. Tienda 8 dólares por libra, la carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32% de grasa v le cuesta 6 dólares por libra ¿ Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25%. 2 Un laboratorio farmacéutico desea preparar 2 clase de tabletas vitamínicas. El primer tipo de tabletas contiene: 1 miligramo de vitamina B1. 1 miligramo de vitamina B2 Mientras que el segundo tipo de tabletas contiene: Tecnológico Vida Nueva

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1

miligramo de vitamina B1.

2

miligramo de vitamina B2


La ganancia que se obtiene por cada tipo de tabletas es la siguiente: 2 centavos de dólar por cada tableta del primer tipo. 5 centavos de dólar por cada tableta del segundo tipo. En la producción de 2 frascos de tabletas, uno de cada tipo, el laboratorio no .sea utilizar más de 100 miligramos de vitamina Bl y 150 miligramos de vitamina B2. Cuantas tabletas debe contener cada frasco para obtener la máxima Ganancia? Nos proponemos realizar una alimentación económica para ganado, esta alimentación debe contener obligatoriamente cuatro tipos de componentes nutritivos A. B, C y D. La industria alimenticia produce precisamente dos alimentos M y N que contienen esos componentes. L n Kilogramo de alimento M contiene 100 gr. de A. 100 gr. de C y 200 gr. de D: un kilogramo de alimento N contiene 100 gr. de B. 200 gr. de C y 100 gr. Je D Un animal debe consumir diariamente cuando menos: 0.4 Kg. De A. 0.6 Kg. De B. 2 Kg. De C y 1.7 Kg. De D. El alimento M Cuesta 10 dólares el Kg. Y el N cuesta 4 dólares el Kg. Que cantidad de alimento M y N se debe utilizar diariamente por animal para poder realizar la alimentación en la forma menos costosa. Una compañía de papel opera con dos fábricas que elaboran tres clases diferentes de papel. Existe una cierta demanda para cada clase y la compañía tiene un contrato de suministro de 16 toneladas del papel más ligero, 5 del mediano y 20 del más pesado. El costo diario para operar con la fábrica 1 es de 1000 dólares y con la segunda es de 2000 dólares. En un día de operaciones, la fábrica 1 produce 2 toneladas del papel ligero. 1 del mediano y 7 del pesado. Por cuantos días deberá operar la compañía en cada una de las Tecnológico Vida Nueva

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fábricas con el objeto de minimizar el costo al cumplir con esos contratos. Dos refinerías producen tres tipos de gasolina de diferente octanaje A. B y C. Las refinerías operan de tal manera que siempre se produce en proporción fija los diferentes tipos de gasolina. L refinería I produce 1 unidad de A. 3 unidades de B y 1 de C por tanda, mientras que la refinería II produce 1 unidad de A. 4 de B \ 5 de C por tanda. El precio por tanda ara la refinería I es de 300 dólares de 500 para la refinería II. Un comerciante necesita 100 unidades de A. 340 unidades de B y 150 de C. De qué manera debe hacer su pedido para minimizar el costo. Un dietista está diseñando una dieta para cada uno de los pacientes, la dieta debe incluir dos vegetales A y B Suponer que cada ración de 10 gramos de A contiene 2 unidades de hierro y 2 de vitamina B12. Mientras que cada ración de 10 gramos del vegetal B contiene 1 unidad de hierro y 5 de vitamina B12 El número de calorías de cada porción de 10 gramos de los vegetales A y B es 5 y 3 respectivamente. Si el paciente necesita por lo menos 20 unidades de hierro y 36 de vitamina B12 en su dieta. Cuantos gramos de cada vegetal deberá incluir el dietista para satisfacer las necesidades de hierro y vitaminas mientras se minimiza el número de calorías en la dieta. Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un tónico, cada frasco debe -tener al menos 32 unidades de vitamina A. 10 de B y 40 de C. emplea el aditivo X a un costo de 20 ctvos. de dólar por onza y el cual contiene 16 unidades de A. 2 de B y 4 de C, un aditivo Y a un costo de 40 ctvs. de dólar contiene 4 unidades de A. 2 de B y 14 de C. Cuántas onzas de cada aditivo se necesita para minimizar el costo?.


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Unidad: Unidad : Programaci Prog ramación ón Lineal Li neal

Bolt Company fabrica 2 tipos de pernos hechos a mano y para fines especiales, los de TIPO I y los del TIPO II. El tornero A produce pernos del TIPO I a razón de 1 cada 2 minutos y el del TIPO II a razón de 1 cada 4 minutos. El tornero B produce pernos del TIPO I a razón de 1 cada 3 minutos y 1 por minuto del TIPO II. Las ganancias sobre cada perno de TIPO I son de 10 dólares y las de cada unidad del TIPO II de 14 dólares El tiempo máximo que pueden dedicar los torneros a la producción de los pernos es de 3 horas diarias, determinar el número de pernos de cada tipo que se debe producir para obtener el máximo beneficio. Un carpintero elabora mesas y sillas, el costo en la elaboración de una mesa es de 20 dólares y el de la silla es de 15 dólares. El tiempo que se demora en cada mesa es de 2 horas, y el de cada silla es de 1 hora y solo me de 10 horas diarias y no puede elaborar más de 8 muebles diarios. Cuantas mesas y sillas debe elaborar para minimizar los costos Un plantel avícola se dedica a la crianza de dos tipos de aves, en la sección A se encuentran los pollos de campo, mientras que en la sección B se Encuentran los pollos de incubadora, la crianza de cada pollo de campo le cuesta 10 dólares mientras que la crianza de los de incubadora le cuesta 15 dólares, por motivos de espacio el plantel puede tener como máximo 10.000 pollos entre las 2 secciones y para la crianza solo cuenta con 200.000 dólares. Tomando en cuenta que los pollos de la sección A se venden a 25 dólares y los de la sección B a 20 dólares, determinar cuántos pollos de cada tipo se deben vender semanalmente para obtener la máxima ganancia. Una estación local de televisión, se enfrenta a un problema. Sabe que el programa A. con 20 minutos de música y l minuto de comerciales tiene un auditorio de 30.000 televidentes, mientras que el programa B, con 10 minutos de música y 1 minuto de d e comerciales Tecnológico Vida Nueva

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es visto por 10.000 televidentes. El patrocinador insiste en que sus comerciales se transmitan por !o menos 6 minutos por semana, y la estación no puede brindar más de 80 minutos de música por semana. Cuántas veces debe transmitirse cada programa, a la semana, para obtener el máximo número de televidentes. Dos máquinas producen el mismo artículo. La máquina A produce 10 artículos por hora, mientras que la máquina B produce 12 por hora. Se deben producir por lo menos 420 artículos cada 40 horas semanales, pero las maquinas no pueden trabajar al mismo tiempo. Si el costo por hora de operar la maquina A es de 20 dólares y el de la máquina B es de 25. Determine cuantas horas por semana debe operar cada máquina para satisfacer las necesidades de producción pr oducción a un costo mínimo.13. Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos 4 sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que mesas. El precio de venta es de 135 por mesa y 50 por silla. Determinar la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que maximice el ingreso total diario de la fábrica y comente el significado de la solución obtenida. Un Banco asigna un máximo de $ 20.000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El Banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se saldan en períodos de tres años, el monto de los préstamos para automóviles debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que


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los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. Cómo deben asignarse los fondos? Una Compañía tiene un contrato para recibir 60 000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar la libra de las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomates enlatados Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere I Ib. de tomates frescos en tanto que una de puré requiere sólo I/3 Ib. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2 000 cajas de jugo y 6 000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $18 y $9. respectivamente. Genere un programa de producción para esta. compañía. Una planta ensambladura de impresoras produce modelos matriciales e inyección a tinta, en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:

Minutos por unid ad Estación de trabajo

Matric Matricial ial

Inyecci Inyección ón a tinta tint a

1

6

4

2

5

5

3

4

6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que dispone diariamente para las estaciones 1. 2 y 3. Respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblaran de impresoras matriciales y de Tecnológico Vida Nueva

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impresoras de inyección a tinta a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados( inactivos) en las tres estaciones. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de chips. Cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 unidades de chips. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente electrónica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas de la misma componente. La disponibilidad diaria máxima de la componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es de $30 y $20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de chip. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas, tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

Producto 1 2

Minutos por unidad Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 10 6 8 5 20 15

Ganancia $2 $3

Determinar la combinación optima de los dos productos. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1.000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $ 5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por Tecnológico Vida Nueva

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la radio. Determinar la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. Una compañía elabora dos tipos de productos A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 libras. Los productos A y B utilizan esta materia prima a los índices o tasas de 2 Ib/unidad y 4 Ib/unidad, respectivamente. .El precio de venta de los dos productos es de $20 y $40 por unidad. Determinar la asignación óptima de la materia prima a los dos productos. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia. Recursos 



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Unidad: Programación Dinámi ca

III. Unidad: Programación Dinámica Objetivos 

Desarrollar modelos matemáticos de programación dinámica para la optimización de los recursos

Contenidos Generalidades2

La programación Dinámica: técnica Dividir y Conquistar, la programación dinámica es una técnica para resolver problemas, a partir de la solución a subproblemas y la combinación de esas soluciones. • Como la

técnica Dividir y Conquistar, la Programación dinámica es aplicable cuando los subproblemas no son independientes (en cuyo caso Dividir y Conquistar hace mucho trabajo repetido). • A diferencia de la

• Un algoritmo que sigue

esta técnica resuelve cada subproblema una sola vez y guarda su respuesta en una tabla, evitando así volver a calcular la respuesta cada vez que el subproblema aparezca. técnica es típicamente aplicada para resolver problemas de optimización: • Esta

? Problemas con muchas soluciones. ? Cada solución tiene asociado un valor ? Se busca una solución con un valor ´optimo (máximo o mínimo), entre las muchas soluciones con valor ´optimo que pueden existir. Programación Dinámica Discreta3 El problema

2 (Lopez, 3

2003)


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Sea G = (V, E) un grafo dirigido y acídico donde cada arco u — ti tiene asociado un costo Cuv ϵ R. y donde el costo de un camino se computa sumando los costos de las ramas que lo componen. El hecho de que sea acíclico implica que todo camino finaliza en un vértice del que no sale ninguna flecha, al que lamamos terminal. Dado un vértice cualquiera, u ϵ V. el problema consiste en hallar un camino de costo mínimo que parta de u y finalice en un vértice terminal. Un camino con estas características se lama camino óptimo que parte de u. Esta formulación matemática sirve de modelo para diversos problemas. El ejemplo más sencillo es el de una red de carreteras que conectan una localidad de origen con otra de destino, pasando por varias localidades intermedias. En este caso, el costo de un tramo de ruta podría ser su longitud. Es a partir de este ejemplo que el problema suele presentarse con el nombre de problema del camino más corto. Debe tenerse en menta que tanto V como E pueden tener una enorme cantidad de elementos, por lo que la búsqueda de un camino de costo mínimo representa un auténtico problema. Por otra como veremos luego en un ejemplo, una política codiciosa a corto plazo, que tome-en cada nodo la rama que resulte menos costosa. no conduce, generalmente, a la construcción de un camino de costo mínimo. Antes de encarar la resolución problema, observemos que, puesto que existen finitos caminos, debe existir al menos uno de costo mínimo. Es decir: nuestro problema tiene solución. El planteo con Programación Dinámica Sea V0 el conjunto de todos los vértices terminales de G. consideremos ahora el grafo G — V0 que resulta de eliminar de G lo. Vértices de V0 y las ramas que inciden en ellos. Sea ahora V1 el conjunto de los vértices terminales de G – V0. Análogamente, definimos:


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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I Vi :


= conjunto de los vértices termínales de

  (⋃−1 =  )

Puesto que la cantidad de vértices es finita, existe un n para el cual =  como   concluimos que  =1 es una partición de V. Por otra parte:

  ⋃ ,

 ∩  ≠ 0   ≠ ,

{ }

Ahora bien, si

es un camino óptimo partiendo del vértice u, entonces, necesariamente.

Es un camino óptimo partiendo del vértice v. Es decir: las colas de un camino óptimo son a su vez, óptimas. Esta brillante, y aparentemente sencilla, observación recibe el nombre de Principio de Optimalidad y es la clave de la Programación Dinámica. Veamos cómo, a partir de ella, se llega a la solución del problema. Sea f: V —-> R la función que asigna a cada vértice u € V el costo de un camino óptimo que parte de dicho vértice. El principio de optimalidad puede expresarse en términos de esta función, que es una incógnita de nuestro problema. En efecto, si como antes, v es el nodo que sigue a u en un camino óptimo:

Además. Para cualquier otro w tal que u —> w tendremos: Tecnológico Vida Nueva

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Lo cual nos conduce a establecer la siguiente ecuación funcional:

Consideramos ahora la política óptima, esto es, la función p : V \ V0 —> V \ Vn que asigna a cada vértice u el nodo v que le continúa en un camino óptimo: es decir, p (u) es el argumento que realiza el mínimo en la ecuación funcional Está función podría no estar bien definida, si para algún u existiera más de mi camino óptimo. Sin embargo, si esto ocurriera, podríamos elegir arbitrariamente alguno de los vértices posibles, resolviendo el inconveniente. Cabe aclarar que para algunos problemas puede determinarse un criterio específico para esta elección. Así planteado el problema, nuestro objetivo es hallar para todo u € V los valores f(u) y p(u). La función f nos da el costo del camino mínimo, mientras que p nos permite construirlo, de la siguiente manera: u — p(u) = u1 — p(u1) = u2 —> ... —> p(uk-1) = uk € V0 La ecuación funcional nos permite encontrar f y p recursivamente y de atrás para adelante; en primer lugar tenemos:


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El planteo recursivo no sólo permite hallar una solución del problema sino que constituye la base para el diseño de un algoritmo de implementación bastante sencilla.


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Estrategias de enseñanza – aprendizaje

EJEMPLO ILUSTRATIVO Consideremos el grafo de la Figura 2 El problema es hallar el camino óptimo desde el vértice inicial 1 hasta el terminal 7, donde los valores en las flechas indican el costo c(u. v)de ir de un vértice u a otro v. Sean f y p las funciones definidas anteriormente. Figura 2: Hallar el camino del mínimo costo. En primer lugar, podemos definir los Vi fácilmente: V0 = {7}, V, = {5,6}, V2 = {4}, V3 = {2, 3}, V4 = {1} Entonces, procedamos a calcular las funciones recursivamente, comenzando por el vértice terminal:

Notar que f(1) = 7 nos proporciona el costo del camino óptimo. El camino, propiamente dicho se obtiene con la función p: 1 -> p(1) = 3 –> p(3) = 4 -> p(4) = 5 -> p(5) = 7 Comparemos este algoritmo a otro, por ejemplo, un algoritmo codicioso, es decir uno que comenzando desde el primer vértice, elija el próximo siguiendo la rama del costo menor inmediato. En ese caso obtenemos: 1

2

4

5

7

Cuyo costo es 8, o sea mayor al mínimo. Otra manera ele resolver este problema sería usando fuerza bruta, es decir, numerar lodos Tecnológico Vida Nueva

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los posibles caminos que parten del 1 y elegir el menor. Veamos que esto requiere excesivos cálculos. Para esto, deberíamos enumerar todos los caminos, 1—► 2 —► 5 —► 7, 1 —► 3 —► 4 —► 6 —► 7, etc. En total son 8, 4 de 3 ramas y 4 de 4. A cada uno de estos habría que calcular su costo, es decir, la suma de las ramas que lo componen. Para los caminos que tiene 3 ramas harán falla 3 sumas y 4 para los de 4. En total hacen 28 sumas. Luego de tener todos, hay que comparar los 8 números y quedarse con el menor, usando el algoritmo merge sort se necesitarían, en el peor de los casos, 24 comparaciones (Con el bubble sort, que es el algoritmo básico para la comparación se necesitarían 28 comparaciones). Lo que hace un total de 52 operaciones básicas. Con el algoritmo de programación dinámica hicimos 9 sumas y 6 comparaciones. Es decir 15 operaciones básicas, más de un 70% menos. A medida que crece la complejidad del problema más se ve el poder de la programación dinámica.


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Evaluación

Realice el desarrollo por programación dinámica. Una fábrica que produce N artículos debe cargar un contenedor con algunos de sus productos, pudiendo poner en él diferentes cantidades de cada uno. Cada unidad del producto i tiene un peso p¡ € Z y un valor v¡ € Z. El peso total de la carga no puede superar el límite P € Z. El problema consiste en hallar las cantidades que

deben cargarse de cada producto de manera que el valor total de la carga sea máximo, y su peso no supere el límite. Para la resolución supondremos que la cantidad disponible de cada artículo es ilimitada. Recursos 



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Unidad: Flujos Óptimos de una RedTransporte y Asignación

IV. Unidad: Flujos Óptimos de una Red-Transporte y Asignación Objetivos 

Elaborar redes de trabajo para transporte mejorando los tiempo y los recursos

Contenidos

En este capítulo se presenta el modelo de Transporte y Asignación, como un

Modelo particular de programación lineal.

El modelo de transporte tiene como objetivo encontrar el costo menor de transportar desde varios puntos de origen a varios puntos de destino cubriendo la oferta o recursos y la demanda. Se debe tomar en cuenta en este modelo que si la oferta es mayor que la demanda las restricciones asociadas a los destinos debe ser del tipo “ ≤ ” y las asociadas a la oferta deben ser “ = ”, pero si la

demanda es mayor que la oferta los nodos de origen deberán ser los que tienen las restricciones “≤” y los destinos “ = ”, por último si

la oferta total y la demanda total son iguales todas las restricciones deberán ser “ = ”.

Aunque existen varios métodos para resolver un problema de transporte se debe empezar con una solución inicial, utilizando el método más tradicional conocido como “aproximación de Vogel”, y

luego con el proceso recurrente de optimización del problema de transporte, pero en el texto guía no se desarrollan estos métodos por lo que se los debe resolver como se indica en el mismo, planteándolo como modelo de programación lineal y resolviéndolo mediante la función Solver. La Asignación es una variante o caso especial del Modelo de Transporte. En este caso se quieren asignar actividades o recursos a personas, máquinas o tareas o viceversa, con el objetivo que el Tecnológico Vida Nueva

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costo total sea el menor. La particularidad de este modelo es que la oferta y la demanda es “1” en cada nodo de origen o destino Estrategias de enseñanza – aprendizaje

Ejemplo de un problema de transporte4 Una ensambladora de PC tiene 2 fábricas, una en Quito y Otra en Guayaquil, la de Quito produce 2000 PC y Guayaquil 3000 PC. Se cuenta con 3 centros de distribución en Ambato, Cuenca y Tulcán, los que requieren 2000 PC, 1000 PC y 2000 PC respectivamente. El costo por kilómetro de transporte de cada PC es de 1 USD, sabiendo que las distancias son

Cuenca Quito 250 Guayaquil 300

Ambato 400 500

Tulcán 300 800

Se desea minimizar el costo total de la distribución de los PCs. ESQUEMA DEL PROBLEMA DEMANDA Latacunga Quito Baños Guayaquil Riobamba 4 (Sanguano,

2005)


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X11: X12: X13: X21: X22: X23:


Número de cajas que transporta de Q - L Número de cajas que transporta de Q - B Número de cajas que transporta de Q - R Número de cajas que transporta de G - L Número de cajas que transporta de G - B Número de cajas que transporta de G – R

Modelo matemático del problema Minimizar

CT= X11*25000 + X12*40000 + X13 *30000 + X21 * 50000 X22 *30000 + X23*80000 BAJO LAS LIMITACIONES X11 + X12 + X13 ≤ 2000 X21 + X22 + X23 ≤ 3000 X11 +X21 ≥ 2000 X12 +X22 ≥ 1000 X13 +X23 ≥ 2000 X11, X12, X13, X21, X22, X23 ≥ 0


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Ejemplo ilustrativo

Cuatro expendedores de gasolina A, B, C y D requieren 50.000, 40.000, 60.000 y 40.000 galones de gasolina respectivamente. Es posible satisfacer las necesidades a partir de las localidades 1, 2 y 3 que disponen de 80.000, 100.000 y 50.000 galones respectivamente. Los costos en dólares de transportar 1.000 galones de gasolina desde cada una de las localidades hasta cada uno de los expendedores se presenta en la siguiente tabla. A

B

C

D

1

70

60

60

60

2

50

80

60

70

3

80

50

80

60

Se requiere:  

Obtener el modelo matemático del problema Determinar las cantidades de gasolina que deben enviarse desde cada localidad hasta cada expendedor de manera que los requerimientos de los distribuidores sean satisfechos y los costos totales de transporte sean mínimos.

Solución

Para resolver este problema ilustrativo utilizaremos el método de la esquina noroeste.


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Modelo Matemático Del Problema De Transporte Minimizar

CT=X11*70+X12*60+X13*60+X14*60+X21*50+X22*80+X23*60+X2 4*70+X31*80+X32*50+X33*80+X34*60 Bajo las limitaciones X11+X12+X13+X14 <= 80.000 X21+X22+X23+X24 <=100.000 X31+X32+X33+X34<= 50.000 X11,X21,X31>= 50.000 X12,X22,X32>= 40.000 X13,X23,X33>=60.000 X14,X24,X34>= 40.000 X11,X12,X13,X14,X21,X22,X23,X24,X31,X32,X33,X34>=0 Aplicamos El Método De La Esquina Noroeste

Como primer paso debemos elaborar la tabla inicial del transporte, que para nuestro ejemplo tiene la siguiente presentación:

A

B

C

D

OFERTAS

70

60

60

60

80.000

50

80

60

70

100.000

80

50

80

60

50.000

1 2 3 DEMANDAS

50.000

40.000

60.000

40.000

230.000

190.000

Antes de iniciar con la asignación de las cantidades a ser enviadas o transportadas siempre tendremos que verificar si el problema está Tecnológico Vida Nueva

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balanceado, en el caso de que no esté balanceado debe procederse a balancearlo primeramente. Se dice que un problema de transporte está balanceado cuando cumple que:

∑  ∑ Nuestro ejemplo no está balanceado, entonces balanceamos el problema y encontramos la primera solución. El balanceo se realiza adicionando una fuente o destino ficticio con la cantidad que falte para cumplir con la regla anterior, los costos en cada una de las rutas ficticias que aparecen seria de cero.

A

B 70

1

(-) 5

D

(+)

OFERTAS

60

60

60

0

8

80

60

70

0

10

60

0

5

(-) 1

6

80

3

50

80

3 DEMANDAS

FICTICIO

(+) 3 50

2

C

1 5

4

6

4 4

4

Primera Solución

Entregar 50.000 galones desde 1 hacia A Entregar 30.000 galones desde 1 hacia B Entregar 10.000 galones desde 2 hacia B Entregar 60.000 galones desde 2 hacia C Entregar 30.000 galones desde 2 hacia D Entregar 10.000 galones desde 3 hacia D Tecnológico Vida Nueva

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23



Con un sobrante de 40.000 en 3

CT = 50(70)+30(60)+10(80)+60(60)+30(70)+10(60)+40(0) CT = 12.400 Se ha encontrado una primera solución, pero no sabemos todavía si esta es la óptima solución que estamos buscando, entonces aplicamos las pruebas (degeneración y optimalidad) de las cuales la prueba de optimalidad me dirá si esta solución es la mejor. Realizamos la prueba de degeneración y la prueba de optimalidad: Prueba de degeneración. Esta prueba dice: Si: # de asignaciones < n + m – 1 => el problema es degenerado. Donde n es el número de filas en la tabla y columnas.

m

es el número de

En nuestro ejemplo tendremos los siguientes valores: 7 <

3+5-1

7 <

7

Falso

Prueba De Optimalidad

Para la aplicación de la prueba de optimalidad utilizaremos dos tablas auxiliares, dentro de las cuales realizamos las operaciones que a continuación se detallan:


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Vj Ui 70 90 80

0 70 90 80

-10 60 80 70

-30 40 60 50

-20 50 70 60

-80 -10 10 0

A la primera tabla se pasan los costos e las celdas que tiene asignación en la tabla inicial de transporte. A continuación generamos los valores Ui y Vj haciendo que se cumpla la operación siguiente: Cij = Ui + Vj

Utilizando la misma expresión matemática llenamos todos los casilleros de la tabla primera. Inmediatamente pasamos a llenar la segunda tabla con los resultados de restar los costos de la tabla inicial del transporte menos los costos en la tabla auxiliar primea pero solo con las celdas que no tienen asignación.

20 -40 0

-20

10

10 -10

30

Analizamos los resultados de esta tabla y si aparece algún valor negativo diremos que no hemos llegado todavía al óptimo buscado. En nuestro ejemplo la solución no es la óptima, entonces pasamos a obtener una siguiente solución, de acuerdo con el siguiente procedimiento: Ubicamos en la tabla auxiliar anterior el valor más negativo, si existen dos o más iguales tomamos indistintamente cualquiera de Tecnológico Vida Nueva

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ellos, la ubicación de este se pasa a la tabla inicial, siendo esta celda la que dará inicio a la formación de un circuito para el movimiento de las asignaciones, este circuito debe cumplir que contiene vértices de 90° y en cada vértice debe existir una asignación. A cada vértice le damos un signo iniciando con un + en la tabla inicial y los restantes irán alternados entre – y +. Nos ubicamos en las celdas con signos negativos e identificamos la de menor asignación, y este valor será el que asume o se reste a cada vértice dependiendo del signo mismo. Este proceso se aplica y ejecuta en la siguiente tabla: A

B 70

(-) 4

1

60

D 60

4 80

(+)1

60 6

80

50

80 1

5

60

0

OFERTAS 8

70

0

10

60

0

5

(-)3

3 DEMANDAS

FICTICIO

(+)

50 2

C

4

6

4 4

4

De donde se obtiene una segunda solución que debe ser obviamente mejor que la anterior.


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23



Segunda Solución

Entregar 40.000 galones desde 1 hacia A Entregar 40.000 galones desde 1 hacia B Entregar 10.000 galones desde 2 hacia A Entregar 60.000 galones desde 2 hacia C Entregar 30.000 galones desde 2 hacia D Entregar 10.000 galones desde 3 hacia D Con un sobrante de 40.000 en la fuente 3 Esta segunda solución genera un costo total de transporte: CT = 40(70)+40(60)+10(50)+60(60)+30(70)+10(60) CT = 12.000 Nuevamente aplicamos la prueba de optimalidad para determinar si esta nueva solución es la mejor que buscamos. Prueba De Optimalidad

Procedemos de la misma forma que en la iteración anterior para el llenado de las tablas auxiliares en esta prueba:


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Ui 70 50 40

0 70 50 40

Unidad: Flujos Óptimos de una RedTransporte y Asignación Vj -10 60 40 30

10 80 60 50

-20 40 20

40

20 90 70 60

-30

-40 30 10 0

-30 -10

30

Al fijarnos en la tabla auxiliar segunda vemos nuevamente que la solución no es la óptima que buscamos, entonces pasamos a obtener una tercera solución aplicando los mismo pasos anteriores.

A

B 70

1

(-) 1

60 4

60

0

OFERTAS 8

60

70

0

10

80

60

0

5

60

(+)4

FICTICIO

3

80 (-)6

80

50

3 DEMANDAS

D

(+)

50 2

C

1 5

4

6

4 4

4

23

Tercera Solución

Entregar 10.000 galones desde 1 hacia A Entregar 40.000 galones desde 1 hacia B Entregar 30.000 galones desde 1 hacia D Entregar 40.000 galones desde 2 hacia A Entregar 60.000 galones desde 2 hacia C Entregar 10.000 galones desde 3 hacia D


Página 91



Con un sobrante de 40.000 en la fuente 3 CT = 10(70)+40(60)+30(60)+40(50)+60(60)+10(60) CT = 11.100 Prueba De Optimalidad Ui 70 50 70

Vj -10 60 40 60

0 70 50 70

10 80 60 80

20 60 70 60

-40 0 -20 0

-20 10

40 -10

30

20

La solución no es la óptima, entonces pasamos a obtener una cuarta solución

A

B 70

1

60

60

FICTICIO

OFERTAS

60

0

8

60

70

0

10

80

60

0

5

(+)3 80

5

6 80

3 DEMANDAS

D

(-)4 50

2

C

50 (+)

5


(-)1 4

6

4 4

4

23

Página 92



Cuarta Solución

Entregar 40.000 galones desde 1 hacia B Entregar 10.000 galones desde 1 hacia C Entregar 30.000 galones desde 1 hacia D Entregar 50.000 galones desde 2 hacia A Entregar 50.000 galones desde 2 hacia C Entregar 10.000 galones desde 3 hacia D Con un sobrante de 40.000 en la fuente 3 CT = 40(60)+10(60)+30(60)+50(60)+10(60)+50(50) CT = 10.900 Prueba De Optimalidad

Vj Ui

0

-10

10

20

-40

60

50 50 50

60 60 60

60 60 60

60 60 60

0 0 0

60 60

20 30

20 -10

10 20

La solución no es la óptima, entonces pasamos a obtener la quinta solución. Tecnológico Vida Nueva

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A

B 70

1

C 60

(-)3

D 60

1

50 2


60 4

80

5

FICTICIO 0

8

(+)

60

70

0

10

80

60

0

5

5 80

3

50 (+)1

DEMANDAS

OFERTAS

5

(-)4 4

6

4

4

23

Quinta Solución

Entregar 30.000 galones desde 1 hacia B Entregar 10.000 galones desde 1 hacia C Entregar 40.000 galones desde 1 hacia D Entregar 50.000 galones desde 2 hacia A Entregar 50.000 galones desde 2 hacia C Entregar 10.000 galones desde 3 hacia B Con un sobrante de 40.000 en la fuente 3 CT = 30(60)+10(60)+40(60)+50(50)+50(60)+10(50) CT = 10.800


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Prueba de optimalidad Vj Ui

0

-10

10

20

-40

60

50

60

60

60

10

60

50

60

60

60

10

50

40

50

50

50

0

20 20 40

30

10 10

-10 -10

La solución no es la óptima, entonces pasamos a obtener la sexta solución.

A

B 70

C 60

1

70

80

60

0

60

5

60 4

80

OFERTAS 8 10

5 80

3 DEMANDAS

60

FICTICIO 0 3 0

1 50

2

D

50 4

5

5

1 4

6

4

4

23

Sexta solución:

Entregar 10.000 galones desde 1 hacia C Entregar 40.000 galones desde 1 hacia D Entregar 50.000 galones desde 2 hacia A Entregar 50.000 galones desde 2 hacia C Entregar 40.000 galones desde 3 hacia B


Página 95



Con un sobrante de 30.000 en 1 y 10.000 en 3 CT = 10(60)+40(60)+50(50)+50(50)+40(50) CT = 10.500 Prueba De Optimalidad

Vj Ui

0

-10

10

20

-40

60

50

50

60

60

0

60

50

50

60

60

0

60

50

60

60

60

0

20 30

10 30 20

10 0

Según esta prueba de optimalidad, la sexta solución es la óptima, entonces muestro problema tiene ya la forma de realizar el transporte de los combustibles al menor costo y este se presenta en la sexta solución.


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Evaluación

1. Investigar los métodos del costo mínimo y de Vogel, para la resolución de problemas de transporte. 2. Una compañía de renta de autos tiene problemas de distribución debido a que los acuerdos de renta permiten que los autos se entreguen en lugares diferentes a aquellos en que originalmente fueron rentados. Por el momento hay dos lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso, respectivamente y cuatro lugares (destinos) en los que se requieren 9, 6, 7 y 9 autos respectivamente. Los costos unitarios de transporte entre los lugares son los siguientes:

Origen 1 Origen 2

Destino 1 45 14

Destino 2 17 18

Destino 3 21 19

Destino 4 30 31

Resuelva el problema de transporte para el programa del costo mínimo. 3. Aplique el método del costo mínimo y de Vogel para la resolución del método anterior. 4. Una aerolínea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de tres proveedores. Las necesidades de la aerolínea para el próximo mes en cada uno de los tres aeropuertos a los que da servicio son 100.000 galones en el aeropuerto 1, 180.000 en el aeropuerto 2 y 350.000 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios (centavos por galón) que se dan en el siguiente cuadro.


Página 97


Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3


Aeropuerto Aeropuerto Aeropuerto 1 2 3 92 89 90 91

91

95

87

90

92

Recursos 



Página 98


Evaluación final

8. Evaluación final

1. Maximizar

Z = 2x + 3y + 6z

Bajo las limitaciones: 2x + 3y + z <= 10 x + v + 2z <= 8 2y - 3z <= 6 x. y. z >= 0 2

Maximizar Z = l0x + 12y

Bajo las limitaciones: x + 2y

<= 12

3.x + 2y <= 24 x. y >= 0 3. Maximizar

P = 3x + 4y + 5z

Bajo las limitaciones: x+y+ z

<= 8

3x + 2y + 4z <= 24 x. y. z >= 0 4. Maximizar P = 12x + 10y + 5z Bajo las limitaciones: 2x + y + z <= 10 3x + 5y + z <=45 Tecnológico Vida Nueva

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Evaluación final

2x + 5y + z <=40 x. y. z >= 0 Una Compañía de novedades llamada VICOR ha determinado que las ganancias por tres tipos de recuerdo ( A. B. C) que desea producir son $6. $5 y $4. Para fabricar una pieza A se necesitan 2 minutos en la máquina I. 1 minuto en la máquina II y 2 minutos en la máquina III. Para una pieza B se necesita 1 minutos en la máquina I. 3 minutos en la máquina II y 1 minuto en la máquina III. Para una pieza C se necesitan 1 minuto en la máquina I. y 2 minutos en las máquinas II y III. Existen 3 horas disponibles en la maquina I. 5 horas en la maquina II y 4 horas disponibles en la máquina III para fabricar estos recuerdos diariamente. ¿ Cuántas unidades de cada tipo debe fabricar al día la compañía para maximizar la ganancia?. La compañía LACROSSE elabora dos modelos de enrejado para chimenea de hierro forjado, el modelo A y el modelo B. La producción de un enrejado modelo A requiere 20 libras de hierro forjado y 20 minutos trabajo mientras que un enrejado del modelo B requiere 30 libras de hierro forjado y 15 minutos de trabajo. La ganancia por un enrejado A es de $6 y $8 por un enrejado B. Se dispone de 7200 libras de hierro forjado y 100 horas de trabajo por semana. Debido a una holgura de producción de la semana pasada, el dueño ha decidido que no debe fabricar más de 150 unidades del modelo A esta semana. Cuántos enrejados de cada modelo debe fabricar para maximizar las ganancias? Una compañía fabricante de muebles para oficina está introduciendo al mercado una nueva línea de escritorios ejecutivos, elaborados con una madera de nogal especial. En un principio, se lanzaran al mercado tres modelos. A. B y C. Cada escritorio del modelo A requiere 1 hora para producción. 1 hora para montaje y 1 hora para acabados; por último cada escritorio del modelo B requiere 1.5 horas para producción. 1 hora para montaje y 1 hora Tecnológico Vida Nueva

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Evaluación final

para acabados; cada escritorio del modelo C requiere 1.5 horas para producción. 0.75 horas para montaje y 0.5 horas para acabados. La ganancia unitaria es: A. $26: B. $28 y C. $24. Las cantidades totales de tiempo disponible en los departamentos de producción, montaje y acabados en el primer mes de producción son 310, 205 y 190 horas, respectivamente. Para maximizar las ganancias de la compañía. .Cuántos escritorios de cada modelo deben producirse en este mes. Un vivero desea añadir árboles frutales y orientales a sus cultivos existentes. Por cada árbol frutal obtiene una ganancia de 6 dólares y por los arbustos orientales 7 dólares. Cada árbol ocupa 2 metros cuadrados y el arbusto 3 metros cuadrados para exhibición, el tiempo de exhibición es 2 minutos para el árbol y 1 minuto para el arbusto, las restricciones son máximo 12 metros cuadrados para exhibición y de 8 minutos. Determinar el número de árboles y arbustos se deben exhibir para maximizar las ganancias. Abel se dedica a la cría de patos y gansos. Él es demasiado flojo para mantener a más de 30 aves en total y sin embargo desea obtener la máxima ganancia posible. El costo de cría de cada pato y de cada ganso es de 1000 y de 1500 respectivamente, y solo cuenta con 40 000 para cubrir dicho costo. Si desea ganar 1500 por cada pato y 2000 por cada ganso. ¿Cuántos animales de cada especie debe cuidar para obtener la máxima ganancia? Una compañía minera trabaja con 2 minas, la una produce 20 toneladas de mineral A y 30 de B por día la segunda 15 de A y 35 de B. El A se vende a 17 dólares la tonelada y a 34 la tonelada de B. Se puede vender a lo más 630 toneladas de B mensualmente y todo lo de A. No hay espacio para almacenar B y se trabaja con una mina a la vez y no deben trabajar más de 20 días al mes. Cuántos días por mes para cada mina debe programar la compañía para obtener el máximo ingreso por la venta del mineral


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Bibli ogr afía

9. Bibliografía 

Lopez, J. C. (2003). Programacion Dinamica. Colombia.



Marruete, M. (Julio de 2006). Programación Dinamica. Argentina.



Sanguano, V. (2005). Investigación Operativa. Quito, Pichincha, Ecuador: Universidad Tecnologica America.



Sasieni, M. (2007). Investigación de Operaciones. Mexico: AID.


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10.

Anexos

Anexos


Página 103



Anexos

Página 104

Investigación Operativa i

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