1 INTEGRALES IMPROPIAS. IMPROPIAS.
1. Calcular Calcular las siguiente siguientess integrales integrales:: +∞
(a)
e
x
−
sen x dx
0
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
e
x
−
(Cos[x] + Sen[x Sen[x]) − 12 e x(Cos[x (F ( F (x) − F (0)) F (0)) = 0 − (−1/2) = 1/ 1/2
sen x dx = dx = ejercicio =
La integral buscada buscada es l´ım
x→+∞
−
1
(b)
x ex dx
−∞
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
x ex dx = dx = ejercicio = e = ex ( 1 + x + x))
La integral buscada buscada es l´ım
x→−∞
− (F (1) F (1) − F ( F (x)) = 0 − 0 = 0
+∞
(c)
cos x dx
1
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
cos x dx = dx = sen x
La integral buscada es divergente divergente ya que no existe l´ım sen(x sen(x) x→+∞
+∞
(d)
dx x2
4
−4
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
x − 2 = ejercicio = 1/ 1/2 ln x −4 x + 2 dx
2
La integral buscada buscada es l´ım (F ( F (x) x→+∞
+∞
(e)
1
F (4)) = 0 − 1/2ln(1/ 2ln(1/2) = − F (4))
dx x
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
dx x
= ln x
||
La integral buscada es divergente divergente ya que l´ım F ( F (x) = + x→+∞
−2
(f) (f )
−∞
∞
dx x2
Soluci´ on on Calcula Calculamos mos una una primitiv primitiva a de la funci´ funci´ on on F ( F (x) =
dx
1 = ejercicio = x2 x
−
La integral buscada buscada es l´ım (F ( F ( 2) x→−∞
F (x)) = 1/ 1/2 − 0 = 1/2 − − F (
ln 2 2
≈ 0,3466
2 2. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de primera especie: +∞
(a)
1 dx 2e + 1
x
1
Soluci´ on Utilizamos el criterio de comparaci´ on con la integral exponencial: +∞
0
≤
1
1 dx x 2e + 1
+∞
≤
1
1 1 dx = x 2e 2
+∞
1
1 dx ex
+∞
1 dx es convergente (es la integral exponencial con t = ex 1 tambi´en es convergente.
Como
+∞
(b)
1
−1 < 0) la integral a estudiar
x dx x3 + 2
Soluci´ on Utilizamos el criterio de comparaci´ on con la p-integral: +∞
0 +∞
Como
1
≤
1
x dx 3 x +2
+∞
≤
1
x dx = x3
+∞
1
1 dx x2
1 dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar es convergente. x2
Tambi´en pod´ıamos haber utilizado el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite ya que x 3 x3 l´ım x + 2 = l´ım 3 =1 1 x x x +2 x2 →∞
→∞
+∞
1 dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar tiene el mismo x2 1 car´acter y tambi´en es convergente. Como
+∞
(c)
1
x3 dx e2x + 1
Soluci´ on Utilizamos el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite, compar´ andola con la integral exponencial para t =
−1 < 0
x3 2x + 1 ex x3 e l´ım = l´ım 2x =0 1 x x e +1 ex →∞
Como la integral exponencial para t =
→∞
−1
< 0 es convergente la integral a estudiar tambi´ en es
convergente. +∞
(d)
2
√ x x+ 1 dx 4
Soluci´ on Utilizamos el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite, compar´ andola con una p-integral x x2 x4 + 1 l´ım = l´ım =1 1 x x x4 + 1 x
√
→∞
→∞
√
3 +∞
1 dx es divergente (es la p-integral con p = 1) la integral a estudiar tiene el mismo car´ acter x 2 y tambi´en es divergente. Como
+∞
(e)
1
senx dx x2
Soluci´ on Estudiamos su convergencia absoluta +∞
+∞
sen x x dx = 2
1
+∞
|sen x| dx ≤ x2
1
1
1 dx x2
Como esta integral es convergente la integral a estudiar es absolutamente convergente y, por tanto, convergente +∞
(f)
−∞
1 dx x2 + 1
Soluci´ o n Esta integral es +∞
−∞
1 dx = 2 x +1
0
1 dx + 2 x +1
−∞
+∞
1 dx x +1 2
0
Como ambas integrales son convergentes (ejercicio) la integral a estudiar es convergente +∞
(g)
x3 dx
−∞
Soluci´ o n Esta integral es +∞
0
3
x dx =
−∞
+∞
3
x dx +
x3 dx
0
−∞
Como ambas integrales son divergentes (ejercicio) la integral a estudiar es divergente 3. Calcular, si es posible: 1
(a)
−1
dx √ x 5
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y dividimos la integral en dos 1
−1
dx = 5 x
√
0−
−1
dx + 5 x
√
1
0+
dx √ x 5
Si estas dos integrales son convergentes, como la funci´ on es impar, tienen valores opuestos y la integral 1 dx es cero. S´olo queda por estudiar si es convergente 5 x 0+
√
La integral es convergente ya que si calculamos una primitiva F (x) =
dx 5
5x4/5 tiene l´ım F (x) = l´ım =0 x 0+ x 0+ 4 →
→
Obs´ ervese que es una r-integral para cero con r = 1/5, por tanto convergente. e
(b)
ln x dx x 0+
√
4/5
√ x = ejercicio = 5x4
Se
4 Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y si calculamos una primitiva F (x) =
√ x dx = ejercicio = 2√ x(ln(x) − 2)
ln x
Se tiene que la integral buscada es l´ım (F (e) x→0+
− F (x)) = −√ e − 0
1
(c)
xlnxdx
0+
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y si calculamos una primitiva F (x) =
x2 x ln x dx = ejercicio = (2ln(x) 4
− 1) Se tiene que la integral buscada es l´ım (F (1) − F (x)) = (−1/4) − 0 = −1/4 x →0+
4. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de segunda especie: 1
(a)
ln x dx 2 0+ x
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y, al ser negativa en el intervalo de integraci´on, analizamos su opuesta. Para ello, vamos a utilizar el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite
l´ım
− lnx x
x→0+
2
1 x2
= l´ım
x→0+
− ln x = +∞
1
1 dx es divergente, la integral a estudiar es divergente 2 0+ x
Como (b)
π
senx dx 4 0+ x
2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integraci´on, por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite sen x sen x 4 l´ım x = l´ım =1 1 x 0+ x 0+ x x3 →
Como
π
1 dx es divergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es divergente 3 0+ x
2
2−
(c)
1
→
x
(2
− x) dx 2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 y es positiva en el intervalo de integraci´on, por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite x l´ım
x→2−
(2
2
− x) 1 (2 − x)
2
= l´ım x = 2 x→2−
5 2−
Como
1
(2
1
gente 1
(d)
0+
− x) dx es divergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es diver2
√ xdx+ x 2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integraci´on, por lo que podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite
√ x 1+ x 2
l´ım
1 x
x→0+
1
Como
0+
= l´ım
x→0+
√ x x+ x = 1 2
dx √ es divergente y ambas tienen el mismo car´ acter, la integral a estudiar es divergente x
5. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias: +∞
(a)
0+
e
−x
√ x dx
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 por lo que separamos la integral entre cero y + , por ejemplo en uno:
∞
+∞
0+
1
e
−
0+
e
x
1
−
√ x dx =
e
0+
x
−
√ x dx +
+∞
1
e
x
−
√ x dx
x
√ x dx podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite e l´ım
x→0+
1
Como
0+
x
−
√ x √ 1x
−
= l´ım e x→0+
x
=1
√ 1x dx es convergente y ambas tienen el mismo car´acter, la integral a estudiar es
convergente +∞
e
−
x
√ x dx podemos utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite
1
l´ım
x→+∞
x
e
−
e
−
√ x x
= l´ım
x→+∞
√ 1x = 0
+∞
Como
e
1
+∞
(b)
2+
√ x − 2 dx x −4 2
x
−
dx es convergente la integral a estudiar es convergente
6 Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y + , por ejemplo en x = 3:
∞
+∞
2+
3
2+
√ x − 2 √ x − 2 √ x − 2 dx = dx + dx x −4 x −4 x −4 3
2
+∞
2
2+
2
3
√ x − 2 dx es convergente (ejercicio) x −4 √ x − 2 dx es convergente (ejercicio) x −4 2
+∞
2
3
Por tanto, la integral a estudiar es convergente +∞
(c)
1 √ dx x x −1 2
1+
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y + , por ejemplo en x = 2:
∞
+∞
1+
2
1+
√ − 1 dx =
+∞
1 2 1+ x x
√ − 1 dx +
2
1 √ dx x x −1 2
1 √ dx es convergente (ejercicio) x x −1 2
+∞
2
2
1 x x2
1 √ dx es convergente (ejercicio) x x −1 2
Por tanto, la integral a estudiar es convergente sen( x1 ) dx 3 x 0+ 1
(d)
√
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente
sen( ) 0≤ √ x dx ≤ 1
1
1
x
0+
1
(e)
sen
0+
1 x
3
0+
√ 1x dx convergente 3
dx
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente
+∞
(f)
0+
1
1
0+
0+
1 0≤ sen x dx ≤
√ xx ++ 116x dx
dx convergente
5
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 0 por lo que separamos la integral entre x = 0 y + , por ejemplo en x = 1:
∞
+∞
0+
x + 1 dx = x5 + 16x
√
1
0+
x + 1 dx + x5 + 16x
√
+∞
1
√ xx ++ 116x dx 5
7 1
0+
√ xx ++ 116x dx es convergente (ejercicio) 5
+∞
√ xx ++ 116x dx es convergente (ejercicio) 5
1
Por tanto, la integral a estudiar es convergente 6. Descomponer las siguientes integrales en suma de una integral de primera especie y otra de segunda especie, estudiar el car´acter de ambas y deducir si la integral dada es convergente o no lo es: +∞
(a)
√ 16x √ x − 2 dx 4
3
2+
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y + , por ejemplo en x = 3:
∞
+∞
3
2+
2+
+∞
4
3
√ 16x √ x − 2 dx 4
3
3
√ 16x √ x − 2 dx es convergente (ejercicio) √ 16x √ x − 2 dx es divergente (ejercicio) 4
3
+∞
3
3
4
3
2+
√ 16x √ 16x √ x − 2 dx = √ x − 2 dx +
4
3
Por tanto, la integral a estudiar es divergente +∞
(b)
√ x5x− 4 dx 3
2+
2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y + , por ejemplo en x = 3:
∞
+∞
2+
3
2+
√ −
3
2+
5x dx + 3 x2 4
√ −
+∞
√ x5x− 4 dx 3
3
2
√ x5x− 4 dx es convergente (ejercicio) 3
+∞
3
5x dx = 3 x2 4
2
√ x5x− 4 dx es divergente (ejercicio) 3
2
Por tanto, la integral a estudiar es divergente +∞
(c)
7 √ dx x x −1 3
1+
4
2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y + , por ejemplo en x = 3:
∞
+∞
1+
3
1+
7 4 x3 x2
√ − 1 dx =
3
1+
7 4 x3 x2
√ − 1 dx +
7 √ dx es convergente (ejercicio) x x −1 3
4
2
+∞
3
7 √ dx x x −1 3
4
2
8 +∞
7 √ dx es convergente (ejercicio) x x −1
3
3
4
2
Por tanto, la integral a estudiar es convergente +∞
(d)
2
√ x4x− 1 dx 4
1+
2
Soluci´ o n La funci´ on a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y + , por ejemplo en x = 3:
∞
+∞
√ −
1+
3
4x2 dx = 4 x2 1
3
4x2 dx + 4 x2 1
√ −
1+
+∞
3
2
√ x4x− 1 dx 4
2
2
√ x4x− 1 dx es convergente (ejercicio)
4
2
1+ +∞
4x2 dx es divergente (ejercicio) 4 x2 1
√ −
3
Por tanto, la integral a estudiar es divergente 7. Demostrar que las siguientes integrales impropias son convergentes: 1−
(a)
0
√ 11− x dx
Soluci´ on Es la r-integral para x = 1 con r = 1/2 por tanto es convergente.
(b)
π
2
0+
√ 1senx − cosx dx
Soluci´ on Si hacemos el cambio de variable t = cos x tenemos una r-integral para x = 1 con r = 1/2, por tanto es convergente: t = cos x
π
2
0+
dt = sen xdx sen x dx = = 1 cos x x = 0 t = 1
− ↔ x = π ↔ t = 0
√ −
0
−
1−
1 dt = 1 t
√ −
1−
0
√ 11− t dt
2
1
(c)
0+
√ x(xdx+ 1)
Soluci´ o n Es la integral de una funci´ on positiva que est´ a acotada por la r-integral para x = 0 con r = 1/2 por tanto es convergente 1
0
≤
0+
dx x(x + 1)
√
1
≤
0+
dx √ x
8. Aplicar el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite para integrales impropias de primera especie para estudiar la convergencia de la siguiente integral y utilizar la definici´ on para calcularla: +∞
0
Soluci´ on
dx x2 + 4
9 Para aplicar el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite, consideramos la p-integral con p = 2 1 x2 x + 1 l´ım = l´ım 2 =1 1 x x x +1 x2 2
→∞
+∞
Como
2
→∞
1 dx es convergente y la integral a estudiar tiene el mismo car´acter tambi´en es x2
convergente. Para utilizar la definici´ on, calculamos una primitiva de la funci´ on dx F (x) = = ejercicio = 1/2ArcTan[x/2] x2 + 4 b dx La integral buscada es l´ım = l´ım (F (b) F (0)) = (π/4) 2 b + b + 0x + 4
→
∞
→
∞
−
− 0 = π4
9. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias seg´ un el valor del par´ametro α: +∞
(a)
0
xα dx; con α > 0 1+x
Soluci´ on Si al aplicar el criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite, consideramos la p-integral con p = 1
−α
xα x l´ım 1 + x = l´ım =1 1 x x x + 1 x1 α →∞
→∞
−
Como p = 1 +∞
(b)
αe
− α con α > 0 tenemos p < 1 y por tanto es divergente
−
αx
dx; con α > 0
0
Soluci´ on Es proporcional a una integral exponencial convergente (t = gente
−α < 0), por tanto es conver-
