Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
Análisis numérico numérico I Guía de ejercicios Curso 8 Sassano – Sarris Sarris - García
P á g i n a | 2 Guía 1 - Errores 1. Si
son los valores que tienen dos magnitudes y son los valores medidos de dichas magnitudes, obtener para cada una de ellas: a- El error absoluto, el error relativo y una cota para el error relativo b- Obtener el e con estos datos: r ( ab)
c- Calcular el
e
d- Obtener él
r ( ab) e
con los datos de b.
r (a.b)
cuando
.
Redondear los resultados con 2 decimales.
2. Si el resultado de medir cierta longitud con una regla graduada en milímetros es
.
Dar una cota para el error absoluto de y dar una cota para el error relativo de x. 3. Suponga que el resultado de una operación dio
a- ¿Es posible afirmar que que tiene t=4 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta. b- ¿Es posible afirmar que tiene t=3 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta. Si es así, diga cómo se debe expresar.
4. Calcular el error absoluto de z por medio del método de la suma de las derivadas parciales,
siendo: abc-
5. ¿Con cuantas cifras decimales se debe usar a
resulte
para que
?
6. ¿Con cuantas cifras decimales se debe usar a
resulte
en la expresión
en la expresión
para que
?
7. Calcular, si es posible, con tres decimales correctos el resultado de la siguiente expresión: correctamente redondeado y redondeado a dos decimales. ¿Cuál debe ser el error de para que se cumpla la condición que ? 8. Calcular, si es posible, con 4 decimales correctos el resultado de
, con
correctamente redondeado y . ¿Cuál debe ser el error de para que se cumpla la condición que la expresión del sea menor o igual a la cota del error por redondeo del resultado en el ejercicio anterior?
9. Con el formato
, donde b es la base numérica en que se expresan las variables, constantes y resultados, m es la cantidad de dígitos de la mantisa en que se expresa el numero, n es la cantidad de dígitos que tiene el exponente, red/trunc indica que una de estas opciones se erigirá para expresar el resultado ( : es redondeo y : es truncamiento), representar los siguientes sig uientes números:
473.39; 47.79; 5.04 (Hacerlo solo en notación notación científica. Ejemplo: 781.61 = 0.782 x 1003 )
P á g i n a | 3 Guía 2 - Ecuaciones no lineales
1. Dada la función
, hallar una de las raíces entre [-2.5; -0.5] por el método de la bisección, trabajando a 5 (cinco) decimales, con una tolerancia de 10-5. Informar la cantidad de pasos que lleva terminar las iteraciones.
2. Las siguientes ecuaciones tienen una raíz en el intervalo
Determinarlas con un error menor que 0.02 por el método de la bisección
3. Sea
, se desea encontrar la primer raíz positiva de . a- Hallar un intervalo de partida para utilizar el método de la bisección. b- Estimar el número de aproximaciones necesarias para hallar la raíz con una tolerancia para el error absoluto de 0.02. Calcular la raíz. c- Si la tolerancia de 0.02 es sobre el error relativo, ¿cuántas aproximaciones se requieren? d- Sabiendo que la raíz buscada a 5 decimales es obtener conclusiones sobre la performance del método. 4. Aplicar el método del punto fijo para encontrar la raíz o su mejor aproximación de la
función en el intervalo I= [1.5; 2] con 6 decimales y tolerancia de 10-6 ¿Cuántas iteraciones se necesitan? Hacer gráficos de g(x), la función identidad y los sucesivos términos de la sucesión generada 5. La ecuación e
X/4
= x tiene dos raíces reales. a- Verificar que sólo una de ellas puede obtenerse con el método de punto fijo en la forma xk/4 x k+ 1 = e . Explicar porqué no puede obtenerse la otra raíz de esta manera. b- Obtener una aproximación a la raíz que sí puede obtenerse con ese esquema iterativo con un error menor que 10 -3. Representar gráficamente la marcha hacia el punto atractor verificando que es en escalera. 6. ¿Hay raíz en la función
? Fundamentar.
7. Se desea hallar la primera raíz positiva de la ecuación
con el método de Newton
Raphson . a-Plantee el método iterativo correspondiente para el problema de punto fijo planteado. b-Estudie las propiedades de convergencia del método propuesto. Encuentre explícitamente un intervalo de convergencia. c-Encuentre el cero buscado con una tolerancia para para el error relativo de .
8. Estudiar la convergencia del método de Newton Raphson aplicado a la ecuación
Elegir como valor inicial y calcular aproximaciones de la raíz con precisión sucesivamente creciente. 9. Determinar la raíz no nula de la ecuación
, usando el método de Newton Raphson con 4 decimales significativos. Verificar las condiciones de convergencia del método en el intervalo elegido.
P á g i n a | 4
10. Determinar la raíz de la ecuación
, usando el método de Newton Raphson
con 5 decimales significativos.
11. Aplicar el método de Newton Raphson para determinar una raíz compleja de la ecuación
; comenzar las iteraciones con
12. Sea la ecuación
a- Aplicar el método de Newton Raphson con . Detener el proceso cuando se obtengan 2 decimales significativos. b- Aplicar el método de Newton Raphson para el caso de raíces múltiples y las mismas condiciones del punto a. 13. Hallar la raíz negativa de la función
, utilizando el método de Newton Raphson y aritmética de 4 digitos. Estimar el error que se comete en cada iteración. 14. Considerar la ecuación e x = sin( x ).
a- Verificar que esta ecuación tiene infinitas soluciones reales negativas. ¿Qué puede concluirse de la distancia entre soluciones consecutivas muy alejadas de x = 0? b- Usando el método de Newton obtenga aproximaciones con error menor que 10 -6 para las tres raíces más cercanas a x = 0. 15. Se desea hallar la raíz negativa de la función
dígitos de precisión. Utilizar el método de Newton Raphson, partir de verificar que la convergencia es lineal.
y no superar las 10 iteraciones,
16. Aplicar el método de la secante para hallar la raíz no nula de
tolerancia del 0.1%
con 6
con una
17. Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones con el método de la secante con 5
decimales significativos:
18. Solucionar por medio del método de la régula falsi el problema del punto 1. Indicar cuál
método es el mejor. 19. Dada
buscar la raíz o su mejor aproximación, en el intervalo [3 ; 4.5] , con 4 decimales , y tolerancia de10-4, finalizando en caso de que no termine en n=8 pasos. ¿Conviene solucionar por Newton Raphson o por otro método?
20. Usando el método de Newton Raphson, hallar la raíz negativa de
Luego comparar con los otros métodos: bisección, régula falsi , secante y punto fijo. ¿Cual método es mejor? Trabajar a 4 decimales, con tolerancia de .
21. La función
tiene 2 ceros en el intervalo . Uno es x=0, se desea hallar el otro. Para ello se utiliza un método de punto fijo basado en la función de iteración . Las figuras muestran en el intervalo . a- Hallar, un intervalo que contenga al cero buscado como único cero de . Mostrar que en dicho intervalo el método propuesto converge.
P á g i n a | 5
b- Hallar el cero con una tolerancia del 1% para el error relativo entre dos pasos consecutivos. c- hallar el orden de convergencia del método y la constante asintótica del error.
22. Dada la profundidad h y el periodo T de una ola, su longitud de onda l surge de la relación
de dispersión
, donde
es la pulsación, g es la aceleración de la
gravedad y es el numero de onda. Conociendo y h=4m, se desea calcular cual es la longitud de onda correspondiente a un ola con T= 5 seg. a- Utilizar un método de punto fijo para calcular la solución b- Utilizar el método de Newton Raphson para calcular la solución con 4 dígitos de precisión. Partir del resultado obtenido en a-
23. Para un tiro oblicuo considerando el amortiguamiento viscoso del aire (fuerza resistente de
módulo proporcional a la primera potencia de la velocidad) el alcance L satisface: AL + B ln(1 - C L) = 0 Determinar el alcance L (con error relativo menor al 1%) para los siguientes casos: a) A = 2; B = 10; C = 0.1 b) A = 4; B = 10; C = 0.1.
P á g i n a | 6 Guía 3 - Interpolación
1. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula
de Lagrange: X
0
1
2
4
y
1
1
2
5
2. Hallar los valores de
a partir de la siguiente tabla, por interpolación de Lagrange y de Newton con tres dígitos significativos.
X
1,00
1,00000
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,02470
1,04881
1,07238
1,09544
1,11803
1,14017
3. Calcular f(3) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla: X
1
2
4
5
f(x)
0
2
12
21
a- Tomar los puntos 1,2 y 4 luego los puntos 2,4 y 5 b- Repetir a pero usando el polinomio de Lagrange c- Aproximar por un polinomio de grado 3. 4. Calcular f(0) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla: X
0,1
0,2
0,4
0,8
f(x)
64987
62055
56074
43609
Notar que la formula de interpolación se utiliza para extrapolar. 5. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula
de Newton: x
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
y
5.10
5.79
6.53
7.45
8.46
6. Encontrar el polinomio de grado 4 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula
de Newton. x
1
2
3
4
5
y
1
-1
1
-1
1
7. Hallar un polinomio Q de grado 3 tal que: Q(0)=0, Q´(0)=1, Q(1)=3, Q´(1)=6 8. Se conocen los siguientes datos acerca de la función f(x):
f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5, f´(0)=0 y f´(2)=4 a- Hallar el polinomio interpelante que verifica esa tabla mediante el método de Hermite. b- Hallar la función Spline de orden 2 que verifica esas condiciones. 9. Aproximar
en x=0,9 con los siguientes datos:
x
f(x)
f´(x)
0.8
0.22363362 0.65809197
2.1691753 2.0466965
1.0
10. Hallar el polinomio interpolante de grado 2 para
Lagrange, utilizando los nodos:
por medio de la formula de
P á g i n a | 7
Graficar la curva y su aproximacion. Analizar los errores para x=0.5 y x=1/3 11. Un coche que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos
obtenidos se dan en la siguiente tabla. Utilice un polinomio de Hermite para predecir la poscion del coche y su velocidad cuando t=10 segundos. Tiempo (seg)
0
3
5
8
13
Distancia (m) Velocidad (m/s)
0 22,5
67,5 23,1
114,9 24
186,9 22,2
297,9 21,6
12. Se desea hallar una funcion polinómica para aproximar a la funcion
, en el intervalo . a- Tabular f(x) en los nodos x=0, 0.5, 1 y 2 y hallar el polinomio interpolante por el metodo de Newton, trabajar con 5 digitos. b- Agregar el nodo x=1.5 para hallar una expresion aproximada para el error. Utilizarla para estimar el error en x=0.1, 0.3, 1.2, y 1.7 c- Comparar los errores estimados en el punto anterior con los valores correctos, calculados como diferencia entre el valor correcto de f(x) y el obtenido por medio del polinomio interpolante. 13. Se tiene la función X
0
f(x)
1
, de la cual se proveen los siguientes valores: 0,5
1
2
1,64872
2,71828
7,38906
a- Estimar f(0.25) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos
y
b- Estimar f(0.75) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos
y
c- Estimar f(0.25) y f(0.75) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos
d- Estimar los errores de truncamiento de los cálculos realizados en los punto a, b y c en base a la formula:
Compararlos con los valores exactos calculados a partir de los valores reales de la función f(0.25)=1.28403 y f(0.75)=2.11700 e- Indicar qué aproximaciones resultaron más precisas y por qué.
14. Se desea hallar una función de interpolación polinómica para aproximar la función en el intervalo a- Construir un polinomio por interpolación de Hermite en los nodos trabajar con
cuatro decimales. Estimar el error cometido en la construcción del polinomio. b- Estimar el error cometido en 0.2, 0.5, 1 utilizando el punto extra en la tabla de interpolación de Hermite. 15. Se desea interpolar una Spline cubica para una función tabulada en 4 nodos. Explicar
cuantas son las incógnitas y cuales las ecuaciones que completan el planteo del problema.
P á g i n a | 8 16. Construya el trazador cubico libre con los siguientes datos:
a-
b-
x
f(x)
8.3 8.6
17.56492 18.50515
x
f(x)
0.1 0.2 0.3 0.4
-0.62049958 -0.28398668 0.00660095 0.24842440
17. Los datos del ejercicio anterior se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los trazadores cúbicos construidos en el ejercicio anterior a fin de aproximar . Calcule
el error. a- b-
18. Un trazador cubico sujeto S de la función f está definido en el intervalo por:
Dadas
, encuentre a, b, c y d.
19. Un trazador cubico natural S está definido por:
Si S interpola los datos (1,1), (2,1) y (3,0) obtener: B, D, b y d
P á g i n a | 9 Guía 4 - Ajuste
1. Aproximar los datos con un polinomio de grado 2, por cuadrados mínimos y graficar la
solución X
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Y
1,0000
1,2840
1,6487
2,1170
2,7183
a- Calcular los errores para cada dato de la tabla. b- Calcular el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2, en los nodos 0, 0.5 y 1. – cGraficar la solución y calcular los errores para cada dato de la tabla. d- Comparar los resultados obtenidos y determinar cual solución aproxima mejor a la curva en el intervalo . e- Comparar los resultados obtenidos con la función en los puntos: 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, calcular los errores y obtener conclusiones
2. Determinar las líneas rectas que aproximan la curva
, según los siguientes métodos,
comparar los resultados y calcular los errores en x=1. Utilizar 3 decimales. a- Cuadrados mínimos sobre la siguiente tabla:
-1
-0.5
0
0.5
1
0,368
0,607
1
1,649
2,718
b- Tomando la línea tangente a en el punto medio del intervalo , es decir, la aproximación de Taylor de primer orden. c- Tomando la línea tangente a en el punto medio del intervalo , es decir, la aproximación de Taylor de primer orden. 3. Se tiene la siguiente tabla de datos: x
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
y
3,8
3,7
4,0
3,9
4,3
4,2
4,2
4,4
4,5
4,5
a- Encontrar una función lineal que aproxime estos datos por cuadrados mínimos. Utilizar esta curva para suavizar los datos. b- Repetir el punto anterior con una función cuadrática. c- Comparar los resultados. 4. Obtener una formula del tipo: x
1
y
7
a partir de los siguientes datos:
2
3
4
11
17
27
5. Dada la siguiente colección de datos, elegir una curva de aproximación y analizar los errores
respecto de los valores dados: x
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
y
5,10
5,79
6,53
7,45
8,46
P á g i n a | 10 6. Construir las aproximaciones indicadas, calcular los errores y obtener conclusiones:
a- Aproximación polinómica de grado 1 b- Aproximación polinómica de grado 2 c- Aproximación polinómica de grado 3 d- Aproximación de la forma : e- Aproximación de la forma Para las siguientes tablas: a-
x
Y
b-
4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1
102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72
x
y
0.2 0.3 0.6 0.9 1.1 1.3 1.4 1.6
0.050446 0.098426 0.332770 0.726600 1.097200 1.569700 1.848700 2.501500
P á g i n a | 11
7. Para 5 instantes de tiempo se observaron los siguientes valores de un parámetro físico: t
-2
-1
0
1
2
u
u-2
u-1
u0
u1
u2
Mostrar que, si los datos se ajustan por una parábola
, la aproximación en t=0 es:
8. Hallar el polinomio aproximante de segundo grado para la función: intervalo . Graficar la función y su aproximación.
en el
9. El nivel de agua en el Mar del Norte está determinado principalmente por la marea llamada
M2, cuyo periodo es de aproximadamente 12 horas. Se han realizado las siguientes mediciones: T(horas)
0
2
4
6
8
10
H(t)(m)
1,0
1,6
1,4
0,6
0,2
0,8
a- Ajustar la serie de mediciones usando el método de los cuadrados mínimos y la función:
b- Calcular errores que permitan estimar la precisión de la aproximación realizada en a c- Utilizar ahora la función:
Repetir b para la nueva función aproximante. Comparar y obtener conclusiones.
P á g i n a | 12
Guía 5 - Sistemas de ecuaciones lineales
1. Resolver el sistema
utilizando eliminación de Gauss sin pivoteo, donde:
2. Calcular la inversa de la matriz A resolviendo el sistema , utilizando eliminación de Gauss, siendo I la matriz identidad y X la matriz inversa de A. ¿Qué es lo que se obtiene si se utiliza pivoteo?
3. Dada la siguiente descomposición LU de la matriz A efectuada utilizando pivoteo parcial:
a-Resolver el sistema de ecuaciones A.x=b, siendo:
b- Obtener la matriz A y verificar la solución obtenida en a 4. Considera la matriz A definida según:
Considerar el sistema Ax=b donde:
Resolver el sistema utilizando eliminación de Gauss con pivoteo parcial operando con 5 decimales. Investigar las características de la matriz y obtener conclusiones.
5. Dada la matriz A del problema anterior y
Resolver Ax=b aplicando la descomposición LU de A, trabajando con 5 decimales y redondeo. Obtener conclusiones.
P á g i n a | 13
6. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
a- Obtener la solución numérica utilizando dos algoritmos: eliminación de Gauss con pivoteo parcial y eliminación de Gauss con pivoteo total. b- Estimar el número de condición de la matriz de los coeficientes. c- En base a los resultados obtenidos en los puntos a y b, indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y por qué: i) El primer algoritmo está mal condicionado. ii) El segundo algoritmo está mal condicionado. iii) El problema está mal condicionado 7. Describir como se simplifica el algoritmo del metodo de eliminacion de Gauss para el caso particular en que la matriz de coeficientes es simetrica definida positiva. 8. Dado el siguientes sistema de ecuaicones lineales donde la matriz A es no singular:
a- Establecer cuando el metodo de Jacobi diverge b- Demostrar que si el metodo de jacobi converge el metodo de Gauss seidel lo hace mas rapido. 9. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
a- Resolverlo por el metodo de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias para garantizar la convergencia. Trabajar con 5 digitos de precision. b- Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a- en terminos de la norma de la matriz de iteracion. 10. Resolver el siguiente sistema utilizando el metodo de Gauss-Seidel, iterando hasta que la maxima diferencia entre dos valores sucesivos de x, y o z sea menor que 0.02. Indicar si esto ultimo significa que la solucion obtenida esta en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solucion exacta.
11. Resolver el siguiente sistema utilizando el metodo de Gauss-Seidel:
P á g i n a | 14
12. Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:
Mostrar que el sistema se permanece poco denso cuando se lleva a la forma triangular utilizando el metodo de eliminacion de Gauss. Hallar la solucion por Gauss y luego por GaussSeidel. 13. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
a- Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia utilizando el metodo de Gauss-Seidel. b- resolverlo iterando hasta obtener una precision de 3 digitos significativos, sin exceder un maxiomo de 5 iteraciones. c- Determinar como influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de la primera ecuacion sobre los valores calculados de x, y, z.
14. Dado el sistema método de Gauss-Seidel.
, construir un algoritmo que halle el vector solución mediante el
15. Resolver por el método SOR el sistema de ecuaciones del punto 1. 16. Sea el siguiente sistema:
¿Qué método usaría para resolverlo y por qué?
17. El siguiente código en Octave implementa la aproximación a la solución de un sistema de 5 ecuaciones lineales con 5 incógnitas con un método iterativo: e = 1; x = zeros(1,5); y = zeros(1,5); k = 0;s = 10^(-3); while e > s y(1) = (5 + x(2))/10; y(2) = (4 + x(1) + x(3))/10; y(3) = (4 + x(2) + x(4))/10; y(4) = (4 + x(3) + x(5))/10; y(5) = (5 + x(4))/10; f=abs(y(1)-x(1)); for i =2:5 if abs(y(i)-x(i))>f f=abs(y(i)-x(i)); end
P á g i n a | 15
end e = f; x = y; k = k +1; end
a- ¿Cuál es el sistema de ecuaciones y cuál el método iterativo? Justifique su respuesta. b- ¿Cuál es el criterio de parada y como está implementado? ¿Cuáles son los significados de las variables e y k? Nota: zeros(n,m) genera una matriz nula de n filas por m columnas.
18. El siguiente código implementa una aproximación a la solución de un sistema de ecuaciones lineales: xn1=1;xn2=1;xn3=0;xn4=0; i=0;e=1; tol=0.01; while (e >tol) i=i+1;x1=xn1; x2=xn2; x3=xn3;x4=xn4; xn1=(13 - x2 + x3 - x4)/4; xn2=(-8 - x1 + x3 + 2 x4)/(-5); xn3=(-2 - 2* x1 + x2 - 2 x4)/(-6); xn4=(-5 - x1 + x2 - x3)/(8); e=max([abs(xn1-x1) abs(xn2-x2) abs(xn3-x3) abs(xn4-x4)]); end
a- Escriba el sistema de ecuaciones lineales. ¿Qué método está implementado? ¿Será convergente el procedimiento? Explique. b- Modifique algunas líneas del código para que quede implementado el otro tipo de método iterativo presentado en este curso. Haga dos pasos de este otro método con su calculadora y presente su respuesta en una tabla redondeando a dos decimales pero operando con toda la precisión de su calculadora.
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Guía 6 - Sistemas de ecuaciones no lineales
1. Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:
Resolverlo por el método de Newton con:
2. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, trabajar con 4 decimales, partiendo de
3. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, trabajar con 4 decimales, partiendo de
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el método de Newton trabajando con tres dígitos significativos, partiendo de la aproximación
5. Repetir el ejercicio anterior usando el método del descenso más rápido.
6. Resolver el siguiente sistema no lineal usando el método de Newton, partiendo de . Realizar 3 iteraciones:
7. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, hasta obtener una precisión tal que (tomar la norma infinito) , es el error absoluto entre dos iteraciones consecutivas
P á g i n a | 17
Guía 7 - Diferenciación e integración numérica
1. Usar las formulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar l as
aproximaciones con que se completan las siguientes tablas x
f(x)
0.5 0.6 0.7
0.4794 0.5646 0.6442
x
f(x)
0.0 0.2 0.4
0.00000 0.74140 1.3718
2. Los datos del ejercicio 1) se tomaron de las siguientes funciones. Calcular los errores reales y
obtener una cota para el error a- b- 3. Se tiene la siguiente tabla de valores para la función seno: x
0.920
0.950
1.00
Sen(x)
0.79560
0.81342
0.84147
a-Estimar el valor de la derivada de la función en x=1 utilizando dos aproximaciones en diferencias en atraso y luego obtener un valor más preciso por extrapolación de Richardson. b-Construir una formula de aproximación en diferencias de segundo orden para la derivada en x=1, y utilizarla para hallar un nuevo valor. c-Discutir sobre la precisión de los valores hallados en los puntos anteriores. Estimar el error v ‘’
valor de cos(1).
4. Calcular la siguiente integral utilizando las formulas del trapecio y de Simpson con pasos , respectivamente:
Obtener conclusiones sobre la precisión obtenida. 5. Integrar la función
entre los argumentos 1.00 y 1.30, según las formulas del trapecio
y de Simpson. Obtener conclusiones sobre la precisión obtenida. 6. Integrar la función X
0
sen(x)
0,0000
entre 0 y a partir de la siguiente tabla
π/2
π/6
π/4
π/3
5π/2
π /2
0,2587
0,5000
0,7071
0,8660
0,9659
1,0000
P á g i n a | 18
Usar el método del trapecio y el método de Simpson. Comparar los resultados con el valor exacto. 7. Integrar la función
significativos.
8. Evaluar la integral
precisión.
entre 0 y 0.8 por el método de Romberg con 5 dígitos
mediante el método de Romberg hasta obtener 4 dígitos de
9. Hallar una fórmula de cuadratura para la integral
utilizando 4 nodos
equiespaciados e interpolación polinomial sobre el intervalo. Utilizar el método de los coeficientes indeterminados. Si M es una cota superior para , hallar una estimación del error por truncamiento en términos de M. 10. Evaluar la integral:
utilizando la formula de Simpson con un error no
mayor a 0.01. Sabiendo que la regla de Simpson aplicada a un intervalo genérico (x i-1; xi+1) es:
Donde , se pide: a- Obtener una expresión para acotar el error de truncamiento global sobre todo el intervalo de integración. b- Utilizando la expresión hallada en el punto anterior, determinar un paso h que garantice la cota de error establecida y efectuar el cálculo utilizando este valor de h. c- Compara el resultado de la integración numérica con el valor exacto de la integral y verificar que la diferencia esta acotada por el error estimado. 11. Evaluar la integral:
a- Utilizar el método de Romberg comenzando con el paso . Trabajar con 5 decimales de precisión. Afinar el paso de cálculo no más de 2 veces. b- Calcular la influencia de los errores en los valores del integrando sobre los valores obtenidos por la Regla del Trapecio. c- El valor exacto de la integral es:
Dar una explicacion de la alta precision obtenida con la Regla del Trapecio.
12. Integrar usando la regla del trapecio simple la función
entre 2 y 5 con un
incremento h de 0.2 Repetir usando el método de Romberg para las filas que usted crea necesarias y que acerquen con un error relativo menor a 10 -6 el resultado con respecto al valor analítico de la integral.
13. Repetir el punto 12 para la función
entre 3 y 6
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14. Integrar por método de Gauss las funciones del punto 12 y del punto 13 en los intervalos
dados con n hasta el valor de 5. Comparar errores.
15. Integrar por método de Gauss la función
Hacerlo con n hasta 5.
con x en el intervalo [0.80, 2].
16. Integrar mediante la regla de Simpson compuesta la función del punto 13, comparar con el
resultado analítico. Usar h=0.5.
17. Integrar mediante la regla de Simpson compuesta la función
con incremento de h de 0.05. Comparar con el valor exacto.
entre 1 y 2.5
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Guía 8 - Ecuaciones diferenciales
1. Resolver usando el metodo de Euler, el siguiente problema de valores iniciales:
Hacer una tabla comparando los valores en las iteraciones. Usar solucion para t=0.6
2
Obtener las
2. Idem con el metodo de Runge Kutta del punto medio 3. Ídem con el método de Runge Kutta de orden 4. 4. Resolver usando el método de Runge Kutta de orden 4 el siguiente problema de valores
iniciales, con los pasos del ejercicio 1.
5. Resolver usando el método de Euler y Runge Kutta del punto medio los siguientes
problemas de valores iniciales: abc-
6. Responder: ¿Qué hecho justifica el uso de métodos multipasos respecto a los de un solo
paso como los hasta ahora empleados? 7. Resolver por el método de Adams Bashforth el problema del punto 4. 8. Resolver por el método de Adams Moulton el problema del punto 4. 9. Comparar en una tabla los resultados obtenidos al resolver el ejercicio 4 con los métodos
usados en el mismo ejercicio y en los ejercicios 7 y 8. Saque conclusiones.
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Guía 9 - Ecuaciones diferenciales de segundo orden y problemas de valores de contorno
1. Considere el siguiente problema de valor inicial:
Realizar dos pasos del método de Euler con h=0,1 2. Considere el siguiente PVI:
Realizar dos pasos del método de Euler con h=0,1
3. Considere el siguiente problema de valor inicial
La función f (t ) viene dada en la siguiente tabla de valores: tk f(tk)
0,0 1,0
0,1 1,0
0,2 2,0
0,3 2,0
O,4 0,0
0,5 0,0
a. Obtenga el sistema de ecuaciones en diferencias que resulta cuando se utiliza el método de Euler para aproximar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente al problema de valor inicial considerado. b. Obtenga la aproximación a y (tk ) con ese método para k tomando los valores de 0 a 6 si se elige el paso h = 0.1. Presente una tabla redondeando los resultados en dos decimales pero operando en su calculadora con la máxima precisión 4. Resolver el siguiente problema de valores de contorno utilizando el método del tiro:
5. Se tiene el siguiente problema con valores de contorno:
a. Hallar la función ϕ que expresa a x(6) en función de x´(1) (Sugerencia: La solución general de la ecuación de segundo orden es ) b. Con el valor obtenido para x´(1) en el ítem a hallar una aproximación de la solución exacta de x(t) usando un paso h=1.
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6. Resolver el siguiente problema por el método del tiro, usando el paso h que crea
conveniente:
7. Sea el siguiente problema:
Resolver el problema para un paso de cálculo h = 1/2 y h =1/3,
8. Obtener una aproximación de la curva que debe tener una cuerda para que una bolilla se
desplace desde el punto de coordenadas (1; 7) hasta el punto (0; 1) en el menor tiempo posible. Se propone plantear dicho problema físico en la forma del siguiente problema de valor de contorno:
