FEPOL 2010-2012
RESUMEN SEGUNDO PARCIAL
-
DIFERENCIACION NUMÉRICA o Primera derivada Segunda derivada o
-
INTEGRACIÓN NUMERICA Fórmulas de Newton-Cotes: o Método del Trapecio Método de Simpson Cuadratura Gaussiana o
-
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO’S) EDO’s de Primer orden o o Sistemas de EDO’s EDO’s de orden Superior o
-
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP’S) o o o
Elíptica Parabólica Hiperbólica.
Pág. 1
FEPOL 2010-2012
DIFERENCIACION NUMÉRICA A pesar que derivar una función es bastante sencillo, se plantearon métodos numéricos para la diferenciación con el objeto de resolver ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. Los métodos de diferenciación de ecuaciones se basan en el desarrollo de Taylor de la función a diferenciar.
Aproximación Numérica de la Primera derivada Para el cálculo de la primera derivada de una función las fórmulas se derivan de la siguiente expresión:
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula progresiva fórmula progresiva::
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula centrada: centrada:
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula regresiva: regresiva:
Aproximación Numérica de la Segunda derivada
Para el cálculo de la segunda derivada de una función se emplea la siguiente expresión:
La cual es una fórmula de diferencias centradas centradas que considera valores de h (incrementos para la variable independiente)
Considere la tabla de datos de la posición de una partícula en función del tiempo t en segundos x x(t)
0.1 3.46
0.2 4.42
0.3 4.99
0.4 4.65
0.5 3.72 Pág. 2
FEPOL 2010-2012
DIFERENCIACION NUMÉRICA A pesar que derivar una función es bastante sencillo, se plantearon métodos numéricos para la diferenciación con el objeto de resolver ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. Los métodos de diferenciación de ecuaciones se basan en el desarrollo de Taylor de la función a diferenciar.
Aproximación Numérica de la Primera derivada Para el cálculo de la primera derivada de una función las fórmulas se derivan de la siguiente expresión:
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula progresiva fórmula progresiva::
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula centrada: centrada:
Con un valor de
y h (
) iguales se obtiene la fórmula regresiva: regresiva:
Aproximación Numérica de la Segunda derivada
Para el cálculo de la segunda derivada de una función se emplea la siguiente expresión:
La cual es una fórmula de diferencias centradas centradas que considera valores de h (incrementos para la variable independiente)
Considere la tabla de datos de la posición de una partícula en función del tiempo t en segundos x x(t)
0.1 3.46
0.2 4.42
0.3 4.99
0.4 4.65
0.5 3.72 Pág. 2
FEPOL 2010-2012
Utilizando todos los datos y con el menor error posible determine la aceleración de la partícula en cada uno de los instantes dados Solución: La aceleración es la segunda derivada de la función. Así para los valores centrales los resultados serán los siguientes:
Para el cálculo de la aceleración en t=0.1 y t=0.5 seg. es necesario encontrar los valores de la primera derivada para luego volverlos a derivar
Ahora se tiene la siguiente tabla: x v(t)
0.1 11.55
0.2 7.65
0.3 1.15
0.4 -6.35
0.5 -12.25
Para la cual aplicamos nuevamente la primera derivada y así obtener la aceleración a t=0.1 y t=0.5 seg.
Pág. 3
FEPOL 2010-2012
Finalmente los resultados obtenidos se muestran a continuación: x a(t)
0.1 -26
0.2 -39
0.3 -91
0.4 -59
0.5 -51
Considere la tabla de datos de la posición de una partícula en función del tiempo t en segundos x x(t)
1.2 3.46
1.29 4.42
1.30 4.99
1.31 4.65
1.40 3.72
Utilizando todos los datos y con el menor error posible determine la velocidad de la partícula en cada uno de los instantes dados Solución: La velocidad es la segunda derivada de la función. Pero no se pueden usar las formulas simplificadas debido a que los incrementos para la variable independiente (valores de h) son distintos: Es necesario aplicar entonces la fórmula general p ara así encontrar la primera derivada.
Para j=0 (Fórmula Progresiva)
Para j=1 (Fórmula Centrada)
Pág. 4
FEPOL 2010-2012
Para j=2 (Fórmula Regresiva)
x v(t)
1.2 -31.03
1.29 52.38
1.3 11.5
1.31 -31.63
1.4 10.96
INTEGRACION NUMÉRICA Suele ser complicado encontrar el valor de una integral
∫
por medio de técnicas
analíticas, de ahí la importancia de los métodos numéricos para integrar.
Fórmulas de Newton-Cotes
Estos métodos reemplazan a la función por el polinomio de interpolación de Lagrange. De acuerdo al desarrollo que se le dé a la aproximación resultante se derivan los métodos de: Trapecios, Simpson, Regla de los 3/8, entre otros. En general no conviene generar métodos de Newton-Cotes de grados más altos debido a la característica oscilante de polinomio de interpolación de Lagrange. Los métodos más usados son el del Trapecio y el de Simpson, pero con una ligera variación, que consiste en subdividir el intervalo sobre el cual se va a integrar en pequeños sub-intervalos para aplicar en éstos el método. Así se tienen las llamadas fórmulas generalizadas. La fórmula generalizada de los trapecios es la siguiente:
∑ + Pág. 5
FEPOL 2010-2012
La fórmula generalizada de Simpson es la siguiente:
∑ ∑ , √
Aproximar el perímetro de la región ubicada en el primer Cuadrante, acotada por los ejes coordenados y la curva C:
;t
Utilice El método de los
trapecios con n=8
Solución: La longitud de curva de una función paramétrica está dada por:
* * √ ∑ +
Para realizar la aproximación se debe conocer el valor de ‘h’ y se tabulan los datos a emplear en la aproximación.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.732050 1.743003 1.776822 1.818971 1.870828 1.921286 1.963046 1.990462 2
Pág. 6
FEPOL 2010-2012
⁄ ⁄ √
Calcular con la fórmula compuesta de Simpson con
, la integral impropia:
Estimar también el error del resultado obtenido.
Solución: Para problemas de integrales indefinidas antes de proceder con la aplicación del método se deben eliminar las indeterminaciones (evaluando los límites en la función a integrar), por lo que suele ser necesario aplicar un cambio de variable y particionar el intervalo sobre el cual se va a integrar. Si sólo se realiza el cambio de variable la integral resultante es la siguiente:
* * √ * √
Evaluando los límites en esta nueva integral se puede notar que la indeterminación aun persiste, por ello se dividen el intervalo de integración de la forma mostrada
√ √ √
Pág. 7
FEPOL 2010-2012
Para la primera integral no hay problemas de indeterminación, en cambio en la segunda aún está presente este problema, a esta integral se le aplica entonces el cambio de variable anteriormente propuesto, obteniéndose ahora:
√ √
Se procede ahora si a calcular la aproximación para esta última integral.
√ ∑ ∑ + i 0 1 2 3 4
1
0.99805257 0.97014250 0.87157553 0.70710678
√ √ √
Haciendo una analogía de la integral calculada recientemente con la primera integral, se puede notar que son idénticas, por esto su aproximación será la misma.
Pág. 8
FEPOL 2010-2012
√
El error es la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.
| | √ | |
El valor exacto se lo encuentra resolviendo la integral.
Cuadratura Gaussiana Las fórmulas de Newton-Cotes requieren de puntos igualmente espaciados lo cual puede ser una desventaja debido a que no aprovecha las características de la función. Por lo cual se han desarrollado fórmulas con el mismo número de puntos (pero no igualmente espaciados) para encontrar el valor numérico de la integral de una manera más precisa, éstas fórmulas se denominan cuadratura Gaussiana. Para el empleo de éste método se utiliza el siguiente cambio de variable:
Con el cambio de variable realizado el problema se inicial se convierte en lo siguiente:
∑
Para la cual ya se tienen tabulados los valores de Nombre Fórmula de 2 puntos, grado 2 ó con 2 nodos Fórmula de 3 puntos, grado 3 ó con 3 nodos
n
2 3
y
1,1
√ √ ,
Pág. 9
FEPOL 2010-2012
Calcule el valor de la siguiente integral usando el método de cuadratura gaussiana con n=3.
√ ∑
Solución: Primero se aplica el cambio de variable
,
,
Integración Doble. Los métodos numéricos empleados para el cálculo de integrales simples pueden generalizarse sin ningún inconveniente para integrales múltiples.
Se pueden emplear los métodos nombrados anteriormente de forma única o combinados, para el cálculo sobre regiones
Pág. 10
FEPOL 2010-2012
Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:
∬
Donde R es la región acotada por:
Usar n=m=4
Solución: Para problemas de integrales dobles se debe conocer la región sobre la cual se está integrando. En este caso esa región es una circunferencia cuyo radio es 3 y que se encuentra centrada en el origen. Planteando nuevamente la integral
Se determinan los incrementos para cada variable.
La variable ‘y’ en cambio estará acotada por la parte superior e inferior de la circunferencia. Así para cada valor de habrá un incremento de ‘y’
Evaluando para
;
Evaluando para
;
Evaluando para
;
Pág. 11
FEPOL 2010-2012
Por simetría se puede notar que
∑ ∑ + Pág. 12
FEPOL 2010-2012
x
-3 -1.5 0 1.5 3
27 3.375 0 3.375 27
y
27 6.084367 0 6.084367 27
27 6.75 0 6.75 27
27 6.084367 0 6.084367 27
27 3.375 0 3.375 27
√ √
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO’S) EDO’s de Primer orden
Se trata de resolver el problema de la forma:
en
Se particiona
con
;
;
Los métodos a utilizar para resolver este tipo de ejercicios son de dos tipos: -
Métodos de Taylor de orden n Métodos de Runge-Kutta de orden n Pág. 13
FEPOL 2010-2012
Métodos de Taylor de orden n: Desarrollando la función desconocida y en serie de Taylor alrededor de manipular la expresión y despreciando el error se l lega a:
, después de
La cual se denomina fórmula de Taylor de orden n. En la misma cada aproximación se obtiene a partir de la anterior y se desprecia el residuo en cada paso, es previsible que el error vaya aumentando con cada aproximación. Particularizando lo anteriormente planteado se tiene: Con n=1 ( Método de Euler ).
Con n=2 ( Método de Taylor de orden 2).
Nota: En general no es recomendable desarrollar métodos de Taylor de orden mayor a 3, puesto que la fórmula respectiva involucraría el cálculo de derivadas de órdenes mayores para la función f, lo cual puede tornarse complicado al tratar con dos variables.
Resolver la ecuación diferencial usando el método de Euler:
a) Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada b) Escribir la tabla de resultados para Solución: Desarrollando el polinomio de Taylor para n=1 (Euler):
Se establece la función
despejando
, teniendo entonces:
Pág. 14
FEPOL 2010-2012
Particularizando el algoritmo:
Realizando el cálculo para
Siguiendo con el proceso iterativo y resumiendo estos valores en una tabla, se logra: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0.8 0.69184075 0.60974725 0.53078359 0.44716690 0.35773352 0.26459861 0.17151673 0.08289747 0.00312236
Pág. 15
FEPOL 2010-2012
Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor de orden dos:
No olvide establecer todos los pasos necesarios para establecer el algoritmo Solución: Desarrollando el polinomio de Taylor para n=2:
* * Siendo:
Se puede notar que se necesita la primera derivada de la función.
y del enunciado se tiene:
Reemplazando esto en
, ésta queda expresada de la siguiente manera:
Si se particulariza el algoritmo
* * * * *
Calculando el valor numérico para
* * ** * , Pág. 16
FEPOL 2010-2012
* * i 0 1 2 3 4 5
0 0.22 0.486932253085 0.807841588113 1.19133367385 1.64844257686
Métodos de Runge-Kutta de orden n: El método de Runge-Kutta de orden ‘n’ permite resolver una ecuación deferencial con una precisión equivalente al método de Taylor del mismo orden, pero con la ventaja de que no involucra el cálculo de derivadas de la función. Entre los más utilizados s encuentran los métodos de Ru nge-Kutta de orden dos y de orden cuatro. El algoritmo del método de Runge-Kutta de cuarto orden es el siguiente:
* *
Resolver el siguiente problema de valor inicial
2 y
2
4x
2
dx xydy 0 , y(1) 2 , 1 x 2
Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden: a) Escriba el algoritmo para la función específica f ( x, y) . b) Escriba la tabla de resultados para h 0.2 .
Pág. 17
FEPOL 2010-2012
Solución: Lo primero es llevar el problema planteado a la forma conocida:
⏟
Ahora se plantea el algoritmo generalizado para este problema:
Calculando los valores para la primera iteración se tiene:
Pág. 18
FEPOL 2010-2012
i 0 1 2 3 4 5
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
---1.2 -1.38865646 -1.60114634 -1.82090974 -2.04364234
---1.28391608 -1.48716431 -1.70426629 -1.92618989 -2.15018447
---1.29379830 -1.49913330 -1.71605041 -1.93727972 -2.16049766
---1.38938959 -1.60237681 -1.82209699 -2.04469048 -2.26870097
-2 -3.29080306 -4.78474114 -6.49538727 -8.42747718 -10.58309659
Resolver el siguiente problema de valor inicial 1
1 x y ' xy x 1 x , y(0) 2 , 0 x 2 2
2
Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden: Escriba el algoritmo para la función específica f ( x, y) . Escriba la tabla de resultados para h 0.1. Solución: Convirtiendo el problema anterior a la forma conocida, se tiene:
Particularizando el algoritmo de Runge-Kutta de orden 4 para este problema:
*
Pág. 19
FEPOL 2010-2012
i 0 1 2 3 4 5
* ) * ( ) +
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
--0 0.03035442 0.06294684 0.10063731 0.14789890
--0.01502506 0.04615496 0.08081125 0.12246944 0.17702782
--0.01506271 0.04627620 0.08104944 0.12290484 0.17784964
--0.03035416 0.06294509 0.10063180 0.14788429 0.21291510
2 2.01508828 2.06144859 2.14266527 2.26587697 2.44430512
Sistemas de EDO’s
Se trata de resolver un problema de la forma:
en
Pág. 20
FEPOL 2010-2012
Los algoritmos para la resolución de este tipo d e problema son los siguientes: Euler:
Taylor 2:
Runge-Kutta de orden 4:
Resolver el siguiente sistema de edo’s con el método de Runge Kutta 4
Use h= 0.2 Solución:
Primero se deben reconocer cada una de las funciones: Pág. 21
FEPOL 2010-2012
Usando Runge-Kutta de orden 4
Para j=0
Para i=1
* * * * * Para i=2
Para i=1
Para i=2
Para i=1
Para i=2
Pág. 22
FEPOL 2010-2012
* Para i=1
Para i=2
Las aproximaciones son:
A continuación se muestra el resumen de los resultados Aproximaciones:
Valores de Iteración 1 2 3 4 5
0 0 1
0.2 -0.24264666 0.996908
0.4 -0.58073340 0.97159058
0.6 -1.02713653 0.89065123
0.8 -1.58874548 0.70701709
1.0 -2.26205361 0.35978064
j 1 -0.2 0 -0.28791093 -0.00970586 -0.39046479 -0.04645867 -0.50355755 -0.12325638 -0.61915251 -0.25419927
2 -0.24 -0.002 -0.33573144 -0.02319612 -0.44486540 -0.07759658 -0.56158767 -0.17904814 -0.67564784 -0.34169791
3 -0.2438 -0.0024 -0.33916446 -0.02463074 -0.44719168 -0.08031661 -0.56181150 -0.18311025 -0.67254750 -0.34678249
4 -0.28828 -0.009752 -0.39081767 -0.04654490 -0.50383981 -0.12335101 -0.61929780 -0.25423168 -0.72430551 -0.4522589
Pág. 23
FEPOL 2010-2012
EDO’s de orden Superior
Se trata de resolver una ecuación del tipo:
en
La estrategia es convertir a esta ecuación diferencial de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden. Se aplica el cambio de variable:
Finalmente el problema se torna en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, de la forma:
La ecuación de un movimiento angular está dada por y’’+10sen(y)=0; 0 t 1; y(0)=0; y’(0)=0.1. Empleando el método de Runge-Kutta de 4º orden generalizado y un paso de 0.20, aproximar la solución de la ecuación en t =0.40 Solución: Aplicando el cambio de variable se tiene:
Pág. 24
FEPOL 2010-2012
Derivando ambos lados se logra:
Con el problema convertido en un sistema de edo’s de primer orden se emplea lo anteriormente explicado:
Para j=0
Para i=1
* Para i=2
Para i=1
Para i=2
Pág. 25
FEPOL 2010-2012
Para i=1
*
Para i=2
Para i=1
Para i=2
Las aproximaciones son:
A continuación se muestra el resumen de los resultados Aproximaciones:
Valores de Iteración 1 2
0 0 1
0.2 0.01866668 0.08066720
0.4 0.03011612 0.03023238
j 1 0.02 0 0.01613344 -0.03733120
2 0.02 -0.01999966 0.01240031 -0.05346044
3 0.01800003 -0.01999966 0.01078739 -0.04972857
4 0.01600006 -0.03599812 0.00618772 -0.05889965
Nota: Las aproximaciones de la ecuación diferencial de segundo orden son las respuestas de la aproximación de es decir 0.01866668 y 0.03011612
Pág. 26
FEPOL 2010-2012
Resolución numérica de problemas con valores en la frontera Se plantea u problema de la siguiente forma:
;
Estos problemas están asociados a múltiples aplicaciones físicas, en particular la deflexión de vigas sujetas en los extremos sobre las cuales se ejerce una carga uniforme. Se particiona
con
;
Usando las aproximaciones de la primera derivada y despreciando el residuo se puede llegar a un sistema de ecuaciones con incógnitas, cuyo planteamiento matricial es el siguiente:
Siendo la matriz A:
[]
Pág. 27
FEPOL 2010-2012
Resuelva la siguiente ecuación diferencial, use h=0.2
Solución: Se debe llevar el problema a la forma conocida para hacer una semejanza con la forma general e identificar que para el presente ejercicio son -1 y
. Las condiciones de frontera son y respectivamente.
Los datos a evaluar se los obtiene de la siguiente forma:
Planteando el sistema:
, valores
,
Pág. 28
FEPOL 2010-2012
[ ] [ ]
Resolviendo el sistema se tiene:
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EDP Elíptica Se trata de resolver el problema de distribución de calor en una región plana Ω
La función
es conocida para todo elemento de frontera Ω.
La principal aplicación física es que esta ecuación permite determinar la temperatura en cualquier punto interior de una placa, conociendo cual es la temperatura en los puntos frontera de la placa. Se particiona la región Ω (la cual no necesariamente será rectangular) en intervalos iguales para la variable y para la variable Para los incrementos se usan las siguientes variables: .
y
Pág. 29
FEPOL 2010-2012
* *
Usando el método de DIFERENCIAS CENTRADAS se denota el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas
Resolver la siguiente ecuación elíptica:
En el eje x tomar h=1/4, y en el eje y k=1/3.
Solución: Observando los datos se puede notar que la región sobre la cual se trabaja es una región cuadrada y la función
Los puntos donde se desea conocer los resultados son obtenidos así:
* * * ,
Pág. 30
FEPOL 2010-2012
* * ⁄⁄ ,
Se desea saber la temperatura en los siguientes puntos:
* * * * * *
Y conociendo las condiciones de frontera:
* * * * * * * * * *
Planteando el sistema de ecuaciones
* * * * * * * *
Para i=1, j=1
ec (1)
Para i=2, j=1
Pág. 31
FEPOL 2010-2012
* * * * * * * * * * * * ec (2)
Para i=3, j=1
ec (3)
Para i=1, j=2
ec (4)
Para i=2, j=2
ec (5)
Para i=3, j=2
Pág. 32
FEPOL 2010-2012
ec (6)
Planteando lo anterior de manera matricial:
[ ]
Finalmente se obtiene:
La placa plana mostrada en la figura está construida con cierto metal, y se ha determinado que la temperatura en los bordes de la placa es la que se indica en la figura. Además se tiene que el término no homogéneo asociado a la ecuación elíptica
, respectiva es f(x,y)=20 . El problema consiste en determinar la
temperatura en los puntos del interior de la malla que se muestra en la figura. Determinar el algoritmo en diferencias finitas que resuelve el problema. Plantear el sistema de ecuaciones lineales que resuelve el problema. Utilice el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones generado. Pág. 33
FEPOL 2010-2012
La temperatura se mantiene constante a 100°C
2.5
La temperatura se incrementa linealmente de 0°C a 100°C
0
1.5 La temperatura se incrementa linealmente de 0°C a 100°C
Solución: Ha pesar de no tratarse de una placa de forma rectangular el planteamiento para la solución de este problema sigue siendo el mismo. Se desea saber la temperatura en los nodos interiores de la placa:
* * * * Pág. 34
FEPOL 2010-2012
Y conociendo las condiciones de frontera:
* * * * * * * * * *
Planteando el sistema de ecuaciones
* * * *
Para i=1, j=3
ec (1)
Para i=2, j=2
ec (2)
Para i=2, j=3
*
Pág. 35
FEPOL 2010-2012
* ⁄ ‖ ‖ ec (3)
Para i=2, j=4
ec (4)
Planteando lo anterior de manera matricial:
La matriz A es diagonal estrictamente dominante, así que el sistema puede ser resuelto por un método iterativo. Utilizando el método de Gauss-Seidel y con se tiene:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
1 65.666666 75.145833 81.173177 82.303304 82.515202 82.554933 82.562383
1 34 43.479166 49.506510 50.636637 50.848536 50.888267 50.895716
1 38.916666 63.026041 67.546549 68.394144 68.553068 68.582867 68.588454
1 78.479166 84.506510 85.636637 85.848536 85.888267 85.895716 85.897113
77.479166 24.109375 6.027343 1.130126 0.211898 0.039731 0.007449
Pág. 36
FEPOL 2010-2012
EDP Parabólica
En las ecuaciones elípticas las variables
son espaciales.
En las ecuaciones parabólicas se tiene una variable espacial y otra temporal, en la denominada ecuación de difusión.
La función
representa la temperatura en el punto de la barra en el instante .
Esta ecuación representa la difusión de calor en una barra de longitud, en el tiempo.
En los extremos de la barra en cualquier instante la temperatura de la barra es la misma. En el instante inicial se conoce exactamente la temperatura de la barra.
[ ] Se particiona con
y el tiempo con
Al usar el método de DIFERENCIAS PROGRESIVAS se emplea el siguiente algoritmo:
Donde:
y,
,
con
[] [ ]
Pág. 37
FEPOL 2010-2012
Dada la ecuación:
Siendo,
Aproximar
para t=0.3, con h = 0.25 y k = 0.1
Solución: Los puntos que se desea evaluar se los obtiene de la siguiente manera:
Ahora se encuentra el vector inicial:
Teniendo el vector inicial se puede comenzar el proceso iterativo:
La matriz A es de (n-1) x (n-1)
,
Donde
ejercicio
es el coeficiente que acompaña a
. Se calcula ahora el valor
Se tiene ahora la matriz A
con
luego de quedar igualado a
, para este
,
Pág. 38
FEPOL 2010-2012
Retomando el planteamiento algorítmico:
, para t=0.1seg
, para t=0.2seg
, para t=0.3seg
EDP Hiperbólica Al igual que en las ecuaciones parabólicas se tiene una variable espacial y otra temporal, a este tipo de ecuación se le conoce también como ecuación de la onda.
La función
representa la forma de la cuerda.
Los extremos de la cuerda están sujetos en cualquier instante ‘t’.
En el instante inicial se conoce exactamente la forma de la cuerda. Se particiona con
y el tiempo con
Pág. 39
FEPOL 2010-2012
Al usar el método de DIFERENCIAS PROGRESIVAS se emplea el siguiente algoritmo:
Donde:
teniendo,
[] []
y
,
con
[]
Dada la ecuación hiperbólica.
Aproximar
para t=0.8, con h = k = 0.2
Solución: La cuerda tiene longitud 1m y los puntos en los que se desea saber la posición en cada instante se los obtiene de la siguiente manera:
Al ser ‘h’ el incremento para la variable espacial ( x) y conocer las condiciones de frontera los valores restantes resultan de , teniendo asi:
Pág. 40
FEPOL 2010-2012
Antes de avanzar con el procedimiento se deben reconocer cada una de las funciones, así:
[ ] [ ]
Ahora se encuentra la posición inicial de la cuerda en cada punto obtenido anteriormente.
Se procede después a encontrar
:
, para t=0.2seg
Con lo realizado se puede plantear el algoritmo para encontrar cada posición a diferentes instantes de tiempo.
La matriz A es de (n-1) x (n-1)
,
El valor
es el coeficiente que acompaña a
este ejercicio
. Se calcula ahora el valor
con
luego de quedar igualado a
, así para
,
Pág. 41
