TALLER1 ANALISIS NUMERICO
EDUARDO RAFAEL OROZCO DE LA CRUZ. NESTOR JOSE OROZCO DE LA CRUZ.
ING. LEIDER SALCEDO GARCIA DOCENTE
FACULTAD DE INGENIERIA UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
SANTA MARTA D.T.C.H 2013
1. Pruebe que es una norma.
‖‖ ∑|| ‖‖
Sugerencia: Debe probar que
cumple con los cuatro axiomas de norma vectorial.
‖‖ || || || || || || || ‖‖ Axioma 1
Es claro que
por lo tanto
‖‖ ‖‖ ∑|| || ‖‖ ||‖‖ ‖‖ || |||| || || ||‖‖ ‖‖ ||‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ Axioma 2
Axioma 3
Axioma 4
Haciendo uso de la desigualdad de Minkowsky, se tiene que: , entonces
| | | | | | ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖
2.
Dada la matriz
determine
. Los valores característicos de
y
Solución: Determinación del polinomio característico
Hallando el determinante:
, , , , - ,- , Hallando los valores característicos de A,
Luego aplicándole división sintética al polinomio tenemos que:
Por lo tanto los valores característicos de A son:
Hallando el radio espectral.
*| || | ||+*| || |||+
|| || || || || || Consideraciones:
‖ ‖‖ ‖
3. Sea
una matriz invertible, definimos el número de condición de A como
0 1 ./
4. Dada la matriz
Solución
0 1
, donde
Pruebe usando la norma
que:
‖ ‖ *|| || || ||+ ‖ ‖ *+ ‖ ‖ *+ ‖ ‖ [ ] *|| || || ||+ ‖ ‖ *+ ‖ ‖ ‖ ‖ *+ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ( ) () ∏ ∏ Como
, entonces tenemos que:
5. Pruebe que
Sugerencia: tenga presente que
Si hacemos λ=0
donde
es un valor característico de
puede factorizarce como:
∏
√
7. Aplique el método de punto fijo para aproximar la raíz de la función , use el valor inicial e itere hasta que . Consigne los resultados obtenidos en una tabla. Trabaje con seis dígitos de precisión.
La raíz r de la función dada es un número tal que f(r) =0
Hallemos la función g de iteración:
√ √ √
= 0
g(x) =
El proceso iterativo se lleva a cabo por medio de la ecuación de iteración:
√
k-1
A continuación se presenta la tabla de iteraciones por el método de punto fijo:
| | | |
1
0.707107
0.133790
0.207107
0.292893
2
0.840897
0.076108
0.133790
0.159104
3
0.917004
0.040599
0.076107
0.082995
4
0.957603
0.020969
0.040599
0.042396
5
0.978572
0.010656
0.020969
0.021428
6
0.989228
0.005371
0.010656
0.010772
7
0.994599
0.002697
0.005371
0.005400
8
0.997296
0.001351
0.002697
0.002704
9
0.998647
0.000676
0.001351
0.001353
10
0.999323
0.000338
0.000676
0.000676
11
0.999661
0.000169
0.000338
0.000338
12
0.999830
0.000085
0.000169
0.000169
13
0.999915
0.000043
0.000085
0.000085
Luego de trece iteraciones k=13 el proceso iterativo se detiene ya que ER≤0,0001.
√
Si continuamos con el proceso la segunda columna converge al punto fijo de la función g(x) = también a la solución de la ecuación
√
y
–x = 0. De esta manera se puede decir que 0.999915 es un cero o
raíz aproximada (con seis dígitos de precisión) de la función dada.
8. Aplique el método de bisección para aproximar la raíz cubica de 8, usando el intervalo Itere hasta que
,-
.
. Consigne los resultados obtenidos en cada iteración en una tabla. Trabaje
con cuatro dígitos de precisión.
0. Aplique el Método de la Secante para resolver la ecuación
Termine cuando
Solución:
es:
. Comience con
. Consigne los resultados obtenidos de cada iteración en una tabla.
Trabaje con 4 dígitos de precisión.
La función
| | | | || ‖‖‖̅ ‖ n 1 2 3 4 5 6
0,6126 0,6534 0,6529 0,6529 0,6529 0,6529
0,8428 0,0009
0.1000 0,0407 0,0005
0.0000
