ANÁLISIS DE ERRORES PARA LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Con el auge cada vez mayor de la informática es evidente que los sistemas computacionales se han perfeccionado. En actualidad los dispositivos digitales (computadoras y calculadoras) pueden realizar un gran número de operaciones sin cometer “errores”, es decir decir trabajan lo más exacto posible. Pero a pesar de toda esta “perfección” al trabajar con estos sistemas o dispositivos, suele resultar que dichos procesos u operaciones den una respuesta equivocada, lo cual puede obedecer a errores de tipo humanos (fórmulas incorrectas, errores de lógica en los programas, tipográficos, etc.), etc.), errores subyacentes al diseño del método(truncamiento de fórmulas (series)) y errores inherentes inherentes al funcionamiento del dispositivo digital digital (Aritmética finita). finita). Cada vez que se apliquen métodos numéricos es pertinente procurar la minimización de los errores que se pueden presentar. Así que se debe conocer porque se presentan, que tanto se pueden tolerar y que tan buena son las aproximaciones que se obtengan.
METODOS NUMERICOS Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" "aprox imar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo objetivo principal principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento. Tipos de Errores Los errores numéricos se generan con el uso us o de aproximaciones para representar las operaciones ope raciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: Sean las variables : a = valor aproximado a* = valor real E = P* - P Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene un idades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
el valor absoluto = E E = | a*- a | •
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Y el error relativo como El valor relativo = E r Er = E/ a* El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
(Error porcentual) ERP = ER x 100 Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniendose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso. Solución: a) El error de medicion del puente es: EA = 10 000 - 9 999 = 1cm y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm b) El error relativo porcentual para el puente es de: ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01% y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10% por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo procentual del remache es mucho m´s grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.
Errores de Redondeo La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólose guardan siete cifras significativas, la computadora puede alamcenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo. Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos: Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Reglas de Redondeo Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones. (Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división) o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas. Ejemplos: Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo. 5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas 10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas 10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas 88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas 1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
Errores de Truncamiento Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimineto de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos nu méricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor Por ejemplo: La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Teorema de Taylor: () () ()( ) Otros Tipos de Errores Otros tipos de errores son el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los compuestos o resultados de un experimentos. Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.
¿Qué es un método numérico? Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.
1.1 Importancia de los métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es p osible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para e ntender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una co mputadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aprox imadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: · Cálculo de derivadas · Integrales · Ecuaciones diferenciales · Operaciones con matrices · Interpolaciones · Ajuste de curvas · Polinomios Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas. En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. * Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados. *Análisis. Es la formulación de la solución del prob lema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. *Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones. *Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. *Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. *Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el qu e es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora. Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secue nciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis Numérico. De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de errores, propio de qu ien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los textos de ``Métodos Numéricos" más que la de los textos de ``Análisis Numérico".
Raices de ecuaciones El cálculo de las raíces de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar par eso sean elaborado diversos métodos ya que al determinar las raíces de una ecuación también lograremos máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc. Un método consiste en graficar la función y ubicar el punto donde la grafica intercepta al eje de las abscisas o eje x. El punto ubicado x es el valor de la raíz donde f(x)=0. Pero el método grafico no es preciso por eso de elaboro otros métodos más efectivos capaces de ayudarnos en el campo de la ingeniería, pues son frecuentes en áreas de diseño, cálculos para la optimización de recursos y otros. Para el estudio podemos organizar los métodos de la siguiente manera: Métodos cerrados Como su nombre lo dice este método encierra la función en un intervalo donde dicha función cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios dealgoritmos el tamaño del intervalo. Teorema de Bolzano Método de la bisección Método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición Métodos abiertos A diferencia de los métodos cerrados estos solo necesitan un valor inicial, pues no encierran la raíz. En algunos casos la operación diverge (se aleja de la raíz) y otros converge (se acerca a la raíz) hallando de manera más efectiva la raíz. Método de punto fijo Método de Newton – Raphson Método de la secante Método de Brent Raíces múltiple Sistema de ecuaciones no lineales
