Formulario de Análisis Numérico ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
E A = valor exacto - valor absoluto = valor actual
- valor anterior
ER =
valor exacto - valor obtenido valor exacto
DESCARTES Contamos los cambios de signo de f(x) para raíces positivas; para las negativas contamos los cambios en f(x) (-1).
BISECCION (Método cerrado que localiza solo raíces reales) r eales) xi =
a+b 2
1. Dar f(x)
5. Aplicar el modelo
2. Tolerancia
xi =
3. Intervalo
a +b 2
no. iteraciones=
n ≥ n(b - a) - n2
6. ¿ f ( xi) ≤ T ? Si se cumple ya chingamos. Si no se cumple paso 7.
4. f(a)∙f(b)<
Se cumple seguimos. No se cumple, cambiamos límites. REGRESAR AL 7. ¿ f (a ) • f ( xi) > si= esa es la raíz PASO 5 Si se cumple → a = xi Si no se cumple → b = xi
Tabla
SERIES DE TAYLOR Y McLAURIN 1 = 1 - (x - 1) + (x - 1) 2 - (x - 1)3 + ( x - 1)4 - ... x 1 = 1 - x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ... -1 < x < 1 1+ x (x - 1)2 ( x - 1)3 (x - 1)4 nx = x - 1 + + ... 0 < x ≤ 2 2 3 4 x2 x3 x4 x5 x e = 1+ x + + + + ... -∞ < x < ∞ 2! 3! 4! 5! x3 x 5 x 7 x 9 senx = x + + ... -∞ < x < ∞ 3! 5! 7! 9! x 2 x 4 x 6 x8 cosx = 1 + + ... -∞ < x < ∞ 2! 4! 6! 8!
i
a
b
f(a)
f(b)
xi
f(xi)
f(a)
f(b)
xi
f(xi)
n
REGLA FALSA O FALSA POSICIÓN Mismas condiciones que bisección.
xi =
af (b ) - bf(a) f (b) - f(a)
NEWTON RAPHSON
i n
a
b
Localiza raíces reales y a veces complejas, método abierto alta velocidad de convergencia.
xi = xi - 1 -
f(xi - 1) f' (xi - 1)
Error xi - xi - 1 ≤ T No se aplica cuando f’(x)=
SECANTE
PUNTO FIJO i
(xi - 1 - xi - 2) f(xi - 2) f ( xi - 1) - f(xi - 2)
xi = ( xi - 1) -
Error = xi - xi - 1 ≤ T x 2 = ( x1 ) -
(x1 - x ο ) f ( x ο ) f(x1 ) - f(x ο )
y ahi te la llevas
xi-1
f(xi)
f’(xi)
xi
xi - xi - 1
n
Localiza raíces reales y consiste en transformar algebraicamente una función f(x) en arreglos g(x) esto es: x = g( x ) Seleccionamos uno a unos los arreglos y a partir de xo localizar su raíz Error xi - xi - 1 ≤ T
MÉTODO DE MUELLER Localiza raíces reales y complejos Valores iniciales
x2 =
+ 2a o - a1 ± (a12 - 4a 2a 2 )
1 2
Error
1. Obtener funciones de valores iniciales xo = f (xo) x1 = f (x1) x2 = f (x2) 2. Obtener diferencias divididas
f [ x 2 , x 1 ] = f [ x 2 , x 1, x o ] =
transforma r ↓ a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + ... + a1n x n = c 1
xi - xi - 1 ≤ T
f [ x 1, x o ] =
ELIMINACIÓN GAUSSANA
f 1 - f o
a 21x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = c 2 a31x1 + a 32 x 2 + a33 x 3 + ... + a3n x n = c 3 . . . an1x1 + an2 x 2 + an 3 x 3 + ... + ann x n = c n
x1 - x o f 2 - f 1 x 2 - x1 f [ x 2 , x 1 ] - f[x 1, x o ] x2 - xo
3. Obtener a2, a1, y ao.
n ↓
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + ... + a1n x n = c 1 a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = c 2 a33 x 3 + ... + a 3n x n = c 3
a 2 = f [ x 2 , x1, x o ]
.
a1 = f [ x 2 , x1 ] - (x 2 + x1 )a 2
.
ao = f 2 - x 2 ( f [ x 2 , x1 ] - x1a2 )
. ann x n = c n
4. Calcular denominador y utilizar el signo de mayor magnitud (mayor valor absoluto) entonces aplicamos el modelo. 5. Calcular error
GAUSS-SEIDEL Tenemos un sistema como el anterior ↑
Se obtienen los modelos despejando variables
Los coeficientes deben quedar en la diagonal
x1 = x1
actual
- x1
anterior
x2 = x2
actual
- x2
anterior
c 2 - a11x1 - a13 x 3 - ... - a1n x n a12
x3 = x3
actual
- x3
anterior
x3 =
c 3 - a11x1 - a12 x 2 - ... - a1n x n a13
JACOBI
xn =
c n - an1x1 - an2 x 2 - ... - ann-1x n-1 ann
Igual a gauss-seidel, con la diferencia de que los valores obtenidos en una iteración se utilizan hasta la siguiente.
x1 =
c 1 - a12 x 2 - a13 x 3 - ... - a1n x n a11
x2 =
NEWTON RAPHSON MULTIVARIABLE xi = xi - 1 -
f(xi - 1) f' (xi - 1)
despejando
tendriamos
que
ERROR
( xi - xi - 1)f' (xi - 1) = -f(xi - 1)
xi - xi - 1 ≤ t yi - yi - 1 ≤ T
si tenemos
dos ecuaciones la 1ra f ( x ), 2da g( x )
( xi - xi - 1)f' (xi - 1) + (yi - yi - 1)g' (yi - 1) = f(xi - 1, yi - 1) ( xi - xi - 1)g' (xi - 1) + (yi - yi - 1)f' (yi - 1) = -g(xi - 1, yi - 1) si
entonces
xi - xi - 1 = Δx
Δx f(xi - 1) + Δy f' (yi - 1) = f(xi - 1, yi - 1)
yi - yi - 1 = Δy
Δx g(xi - 1) + Δy g' (yi - 1) = -g(xi - 1, yi - 1)
PASOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
f(x, y), g(x, y) Valores iniciales Tolerancia Obtener derivadas Aplicar modelo Eliminar una de las 2 variables (suma, resta, sustitución, etc.) → Resolver el sistema de ecuaciones Encontrar valores de Δx y Δy Encontrar valores de x, y Calcular errores
PUNTO FIJO MULTIVARIABLE Aplicar criterio de convergencia
dg1 dx ∂ g1
dy
+ +
dg2 dx ∂ g2
dy
≤1 ≤1
Se despeja x y y respectivamente x= g1 (x, y) y= g2 (x, y)
VER SI CUMPLE Si se cumple se sustituyen los valores en g 1 y g2, sino, no es correcto.
