GREŠK E MJERENJA Osnovni zadatak mjerne tehnike je da se odredi prava (stvarna)
vrijednost mjerene veličine s određenom tačnošću u određenim okolnostima. Šta to konkretno znači? U predhodnoj definiciji navedeno je „pod određenim okolnostima“ to jest u lab oratoriji, radionici, industrijskoj hali ili vani na terenu. Jasno je i da moguća tačnost mjerenja ovisi o tim okolnostima. Navedeno je također "s određenom tačnošću", što znači da se svaka veličina neće uvijek mjeriti sa najvećom mogućom tačnošću, već samo onoliko tačno koliko je potrebno. Udaljenost između Sarajeva i Mostara ne treba mjeriti s tačnošću od ±1 m. Vjerojatno je vozaču svejedno da li je to 100 m više ili manje. Isto tako promjer osovine nekog stroja mora biti tačnije izmjerena npr. sa tačnošću ±10 μm. Zašto se ipak sve ne mjeri sa istom točnosti, razlog je jednostavan – što je greška mjerenja manja, to je mjerna oprema skuplja, a i samo mjerenje je skuplje i dugotrajnije.
U definici mjerenja se kaže da je osnovni zadatak odrediti pravu (stvar nu) vrijednost mjerene veličine. Šta je to prava vrijednost. Pomalo filozofski kaže se da je prava vrijednost neke veličine ona vrijednost koju ta veličina stvarno ima. To je u stvari teorijski pojam i nije je moguće praktično odrediti, tako da je ona praktično nepoznata. I uz primjenu najtačnijih metoda i uređaja, općenito, dolazi do izvjesnog odstupanja između stvarne vrijednosti mjerene veličine veličine i izmjerene vrijednosti. To odstupanje odstupanje se naziva greškom mjerenja. Pri tome, treba imati na umu da je bilo ko ji mjerni proces podvrgnut djelovanju slučajnih pojava koje su u većini slučajeva nepoznate. Zbog toga se svi mjerni procesi moraju tretirati kao “slučajno utjecani procesi”. Procjenjivanje (određivanje) stvarnih vrijednosti mjerene veličine sastoji se od dvije faze. Prva faza je sam postupak mjerenja u kojoj se dobijaju neobrađeni rezultati mjerenja, a u drugoj fazi se vrši analiza izmjerenih rezultata. Ove dvije faze su međusobno povezane, jer nivo složenosti prve faze „diktira“ kompleksnost analize rezultata mjerenja i obratno. Također, bitno je naglasiti da je neophodno vršiti obradu mjerenih rezultata čak i kod najjednostavnijih mjerenja.
Greške mjerenja, bez obzira na uzrok koji dovodi do greške, mogu se pod ijeliti na: grube greške, sistematske greške , i slučajne greške. Grube greške nastaju, uglavnom, nepažnjom ili neznanjem osobe koja vrši mjerenje, neadekvatnim rukovanjem mjernim sredstvom, netačnim očitavanjem mjernog sredstva ili računanjem mjerne vrijednosti. Grube greške mogu nastati i zb og neispravnosti mjernog sredstva ili pribora, kao i izborom neodgovarajućeg mjernog postupka ili zbog neuočavanja uzroka greške. Sistematske greške greške mjerenja nastaju zbog nesavršenosti mjernog postupka , mjernih sredstava, nesavršenosti mjernog objekta ili predvidivih utjecaja sredine i osobe koja mjeri. Većina sistematskih grešaka ima stalnu vrijednost, a time i određen predznak, a manji broj se m ijenja po predvidivom zakonu zakonu i to pri svim ponovljenim ponovljenim mjerenjima jedne fizikalne veličine. veličine. Sistematska greška greška mjerenja se definiše kao komponenta greške mjerenja koja, tokom niza mjerenja iste fizikalne veličine, ostaje stalna ili se mi jenja na predvidiv predvidiv način.
Zbog sistematskih grešaka rezultat mjerenja je uvijek netačan. Da bi se sistematske greške eliminirale treba: 1
odstraniti njihove uzroke pravilnim izborom mjerne metode i mjernih sredstava kao i obezbjeđivanjem referentnih uvjeta sredine, ili
odrediti i primjeniti odgovarajuće korekcije. Svako korektno obavljeno mjerenje pretpostavlja eliminiranje najveće g dijela sistematske greške, na jedan od dva navedena načina. Ako se ne izvrši elimin iranje sistematske greške rezultat mjerenja je netačan. Neminovno , jedan dio ovih grešaka ostaje prisutan, bilo zbog njihovog nepoznavanja, bilo zbog nedovoljno preciznih korekcija. Ovaj dio greške često se zove neisključena sistematska greška.
Može se predpostaviti da će kod primjene npr. odgovarajuće metode mjerenja otpora izmjerena vrijednost uvijek biti manja od tačne vrijednosti, a samim tim će i greška mjerenja uvijek imati isti predznak (biće negativna). Ovo je tipičan primjer sistematske g r eške mjerenja.
nastaju kao rezultat slučajnih procesa i kod svakog pojedinačnog mjerenja imaju različitu vrijednost i različit predznak. Ako ista osoba više puta mjeri istu vrijednost mjerene veličine pod istim uvjetima dobijaće se rezultati koji međusobno odstupaju jedan od drugog. Slučajne greške mjerenja nije moguće predvidjeti pa se ne mogu eliminirati, odnosno rezultat mjerenja se ne može korigovati.
Slučajne greške
Slučajna komponenta greške mjerenja se definiše kao komponenta greške mjerenja koja se tokom niza mjerenja iste fizikalne veličine mijenja na nepredvidiv način.
Uzrok nastanka slučajnih grešaka su mehanički nedostaci u mjernom instrument u, trenja u ležajevima, promjenljivi prelazni otpor kontakata, promjena u naponu napajanja, itd. Svi ovi uzroci djeluju istovremeno na različite načine i sa različitim intenzitetom pa se ne mogu predvidjeti. Dakle, slučajne greške se ne mogu korigovati, ali se njihov utjecaj može smanjiti. Za razliku od sistematske komponente greške mjerenja , koja rezultat mjerenja čini netačnim, slučajna greška taj rezultat čini nepouzdanim, ne obavezno i netačnim. Slučajne greške su predmet statističke analize. Za jednu određenu fizikalnu veličinu egzistira njena prava (stvarna) vrijednost. Tu vrijednost, čak i ako se eliminiraju sistematske grešk e nije moguće reproducibilno izmjeriti. To znači, ako se ponovi više puta mjerenje iste veličine, pod istim uvjetima rezultati pojedinačnih mjerenja, zbog prisustva slučajnih grešaka međusobno će se razlikovati. Tako dobijen pojedinačni
rezultat mjerenja predstavlja, u stvari, sumu stvarne vrijednosti mjerene veličine, sistematske komponente greške i slučajne komponente greške: xmj x stv x sis x sl (1.) Osnovni zadatak mjerenja fizikalne veličine može se predstaviti kao: 1. Sniž avanje sistematske greške, ili ukoliko se ona može odrediti, korigovanje izm jerene vrijednosti.
provesti korekciju rezultata mjerenja s obzirom na sistematske greške, odnosno moglo bi se reći da u mjernom rezultatu ne bi smjelo biti sistematskih grešaka. Termin „ne bi smjelo biti“ za razliku od termina „ne smije biti“ govori o činjenici da u mjernom rezultatu ne bi smjelo biti sistematske greške. Trebalo bi da su sistem atske greške korekcijom uklonjene iz mjernog rezultata. Razlog je vrlo jednostavan. Analizom mjerenja se ustanovi iznos i predznak samo onih sistematski h grešaka za koje se pouzdano može reći da su prisutne. To je npr. greška pokazivanja mjernog instrumenta koja je Dakle, treba
2
nastala kao rezultat utjecaja temperature, spojnih vodova, napona i/ili frekvencije, valnog oblika signala, itd. Uzroci za činjenje grešaka mj erenja koji se ne mogu utvrditi ili za koje se ne zna, ne analiziraju se kao niti njihov utjecaj na rezultate što znači da će greške , njima izazvane, ostati u mjernom rezultatu. Za to se jednostavno kaže: mjerni rezultat sadrži sistematske greške nepoznato g uzroka koje su uključene u rezultat mjerenja. 2. Za ovako kori govanu vr ij ednost tr eba odrediti područje unutar koga se sa određenom vjerovatnoćom, zbog djelovanja slučajnih grešaka, nalazi stvarna vri j ednost.
Slučajne greške, kao što im samo ime govori, su od slučaja do slučaja (od mjerenja do mjerenja) različite po iznosu i predznaku. Pošto su uvijek različite onda se nikakvom analizom ne mogu ustanoviti, kako što ih tačno izaziva, tako i njihov predznak i iznos. Zato se i kaže da se utjecaj slučajnih grešaka na mjerni rezultat može smanjiti samo ponavljanjem mjerenja. Z bog toga što u rezultatu ostaju sistematske greške zbog nepoznatog uzroka nema nikakvog smisla ponavljati mjerenja nekoliko stotina ili hiljada puta (to je preskupo i traje predugo).
Greške pojedinačnog mjerenja Po načinu kako se mjerne greške izražavaju razlikuju se apsolutne i relativne greške. Apsolutna greška mjernog instrumenta je razlika između izmjerene vrijednosti (rezultata mjerenja) i stvar ne vrijednosti mjerene veličine: x xmj x stv
(2.)
Stvarna vrijednost mjerene veličine x stv je teoretsk i pojam i nju nije moguće praktično odrediti pa se kao njoj najbliža, uzima vrijednost za koju je moguće predpostaviti da najmanje odstupa od stvarne vrijednosti, odnosno koja se sa praktičnog stanovišta , može smatrati kao tačna vrijednost xt . Tačna vrijednost xt nije jednoznačno defini r ana veličina, jer je u svakom konkretnom slučaju potrebno ocijeniti da li je odstupanje između stvarne i tačne vrijednosti zanemarivo (x stv x ) t . Sada se apsolutna greška mjerenja može odrediti kao: x xmj xt
(3.)
Apsolutna greška je algebarska veličina i pozitivna j e kada je izmjerena vrijednost viša od tačne vrijednosti, a negativna je kada je izmjerena vrijednost niža od tačne vrijednosti. Treba naglasiti da se ne smije mješati apsolutna greška mjerenja sa apsolutnom vrijednošću greške koja predstavlja modul greške i nije algebarska veličina. Na primjer, ako se izmjeri napon U mj = 12,5 V a „tačna“ vrijednost napona je U t = 12,7 V apsolutna greška mjerenja bi bila ΔU = – 0,2 V, a apsolutna vrijednost greške bila bi | ΔU | = |-0,2| = 0,2 V. Apsolutn a greška mater ij ali zovane mj er e je razlika između izmjerene vrijednosti i naznačene
(nazivne) vrijednosti mjerene veličine :
x xmj x NV ,
(4.)
gdje je x NV – vrijednost naznačena na materijalizovanoj mjeri. Jasno, ima i drugačijih tumačenja proračuna ove greške kod materijaliziranih mjera. Tako, neki autori misle da bi gre šku materijalizirane mjere trebalo računati tako da se od naznačene
vrijednosti oduzme „tačna vrijednost“. Jednostavan
primjer će pokazati da to n ije ispravno. Neka se analiziraju mjerni otpornici kao elektrotehnički elementi. Oni imaju na sebi naznačenu vrijednost , a uz nju i dozvoljena odstupanja.
3
Na otporniku je naznačeno 1000 5%. To znači da proizvođač garantira da će svi otpornici ove serije imati otpor najmanje 950 a najviše 1050 ( -5% do +5% 5% od 1000 iznosi 50 ). Neka se uzme da je mjerenje prilično tačno sa dozvoljenim odstupanjem (±50 Ω) i neka je ta izmjerena vrijednost 950 . To mjerenje je korektno jer je rezultat unutar dozvol jenih granica. Ovo je što se tiče apsolutne greške mjerenja. Međutim, procentualna greška je: p%
x NV x stv x stv
100%
1000 950 950
100
5000 950
5 ,263%
tj. krivo bi zaključili da otpor odstupa za više od +5% pa da je neispravan (a odstupa za dozvoljenih 50 ), a isto tako bi u slučaju , kada bi izmjerili da je iznos otpornika 1052 za ovu grešku na ovaj način neispravno izračunali da mu je p rocentualna greška: p%
x NV x stv x stv
100%
1000 1052 1052
100
5200 1052
4 ,943%
tj. i opet bi krivo zaključili da je ovaj otpornik ispravan jer o dstupa za manje od -5% (iako je neispravan jer odstupa za nedozvoljena 52 ).
vrijednost apsolutne greške: K x (5.) Da bi se smanjila grešk a mjerenja vrlo često se koristi korekcija, to jest ispravak. Korekcija je neki iznos koji se dodaje ili oduzima izmjerenoj vrijednosti mjerene veličine kako bi se smanjila grešk a mjerenja. Naravno, uz ove vrijednosti je uvijek obavezno prisutna mjerna je negativna Korekcija
jedinica. Relativna greška mjerenja je količnik apsolutne greške i tačne vrijednosti:
g
x
xt
(6.)
Relativna greška materijalizovane mjere je količnik apsolutne greške i vrijednosti mjerene veličine:
g
naznačene (nominalne)
x
x NV
(7.)
Relativna greška se najčešće izražava u procentima. Svedena relativna greška mjerenja je greška "svedena" na dogovorenu vrijednost i računa se kao:
%
x
DV
100
(8.)
je ona vrijednost koja je definisana propisima i ona je za instrumente Dogovorena vr ij ednost
sa nulom na početku skale jednaka mjernom opsegu. U tom slučaju je: x % 100 MO
(9.)
Za instrumente sa nulom izvan skale dogovorena vrijednost je jednaka razlici gornje i donje granice mjernog opsega. Za instrumente sa nulom unutar skale, dogovorena vrijednost je jednaka zbiru apsolutnih vrijednosti gornje i donje granice mjernog opsega.
4
Najveća dozvoljena greška mjernog sredstva je
najveća greška mjernog sredstva dozvoljena njegovom tehničkom specifikacijom datom od strane proizvođača, metrološkim propisima ili drugom regulativom vezanom za dato mjerno sredstvo.
U tehničkoj specifikaciji mjernog sredstva, koja je sastavni dio uputstva za rad date od strane proizvođača obavezno se navodi ova vrsta greške koja se često zove i garantovana greška mjernog uređaja. Time zapravo proizvođač garantuje da će se sva mjerenja koja se vrše ovim mjernim sredstvom, obavljati sa greškom manjom ili jednakom najvećoj dozvoljenoj grešci. Ova metrološka karakteristika za analogni mjerni instrument se najčešće daje u vidu klase tačnosti mjernog instrumenta. Granice grešaka analognih mjernih instrumenata koje odgovaraju indeksima klase tačnosti
definišu se kao najveća dozvoljena apsolutna vrijednost greške u procentima dogovorene vrijednosti, odnosno:
KT max max
xmax
MO
100
(2.10.)
Prema propisima pokazni mjerni instrumenti se svrstavaju u osa m klasa tačnosi i to: 0,05 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ;
1 ; 1,5 ; 2,5 ; 5
Iz predhodnog izraza se vidi da je za određenu klasu tačnosti apsolutna greška mjerenja konstantna, odnosno relativna greška je najveća u prvom dijelu skale. Većina proizvođača analognih mjernih instrumenata ne preporučuj e korištenje instrumenata u prvoj trećini skale, dok neki proizvođači to čak i ne predviđaju tehničkom specifikacijom instrumenta. Najveć a dozvolj ena mj er na grešk a digi taln og mj er nog in str umenta obično se izražava u obliku:
G X % PV Y % MO Z dig gdje su: X %PV
,
(2.11.)
– X procenata od pokazane vrijednosti (eng.. ”of reading”),
Y %MO – Y % procenata od mjernog opsega ili od kraja skale ( eng. ”of range” ili ”of end scale” ili ”full scale”), i Z dig
– Z vrijednosti zadnje cifre (digita) na displeju. Ponovljivost i reproducibilnost mjerenja
Ponovljivost i reproducibilnost mjerenja su dvije važne karakteristike mjernog procesa koje su u funkciji bliskosti uzastopnih rezultata mjerenja iste mjerene veličine. Definišu se kao: Ponovljivost mjerenja je bliskost slaganja rezultata više uzastopnih mj er enj a iste mj er ene veličine u kratkom vremenskom intervalu pri kojima su isti svi sli jedeći elementi : – izvršilac mjerenja, – mj esto mjer enj a, – metoda mjerenj a, – mj er no sr edstvo i – par ametr i okoli ne. Ponovljivost se može kvantitativno izraziti u obliku rasipanja rezultata mjerenja. Reproducibilnost mjerenja je bliskost slaganja rezultata mjerenja iste mjerene veličine, u slučaju kada se pojedinačna mjerenja vrše u promjenjenim uvjetima kao što su metoda mjerenja, izvršilac mjerenja, mjerno sred stvo, mjesto mj er enj a, par ametr i okoli ne i vri jeme.
Pri navođenju reproducibilnost i potrebno je navesti koji se od navedenih uvjeta mijenja. I ponovljivost se, kao i reproducibilnost može kvantitativno izraziti u obliku rasipanja rezultata
5
Tačnost i preciznost mjerenja Pojam tačnosti mjerenja se vrlo rijetko koristi kao kvantitativni parametar u mjerenju. Tačnost se koristi prvenstveno kao poredbeni pojam, na primjer uobičajeno je za jedno od dva mjerenja reći da je tačnije od drugog. Tačnost mjernog sredstva je sposobnost mj er nog sredstva da pokazuj e vr ijednosti koj e su bliske stvarnoj vrijednosti mjerene veličine, odnosno tačnost je bliskost slaganja rezultata mjerenja i stvarne vrijednosti mjerene veličine.
Tačnost mjerenja se izražava greškom mjerenja (najčešće relativnom). Preciznost mjernog sredstva je u suštitni funkcija ponovljivosti. Kako je ponovljivost ovisna prvenstveno od slučajnih grešaka, tako je i preciznost posl i jedica slučajnih razlika pa se njena procjena dobija statističkim metodama. Pr eciznost m jer nog sredstva j e sposobnost m jer nog sredstva da pokazuj e vri j ednosti koj e su
međusobno bliske, odnosno preciznost je bliskost međusobnog slaganja rezultata mjerenja.
Preciznost mjerenja se izražava standardnom devijacijom rezultata mjerenja (najčešće relativnom).
a)
b) c) Slika 2.1. Upoređivanje tačnosti i preciznosti
d)
Preciznost, odnosno „nepreciznost“ ne smije se zamjeniti sa pojmom tačnosti. Poboljšanje preciznosti nužan je uvjet za povećanje tačnosti. Uočavanje razlike između ovih pojmova najjednostavnije je objasniti preko slike 2.1. Na slici a je predstavljena visoka tačnost (tačna vrijednost bliska srednjoj vrijednosti) i visoka preciznost (uzak interval rasipanja rezultata mjerenja oko srednje vrijednosti). Na slici b je niska tačnost (veliko odstupanje tačne i srednje vrijednosti) i visoka preciznost (uzak interval
rasipanja rezultata mjerenja oko srednje vrijednosti). Slična analiza se može dati i za druga dva primjera (c i d ) na kojima je preciznost niska (širok interval rasipanja rezultata mjerenja oko srednje vrijednosti).
Statistička analiza rezultata mjerenja Ako se mjeri više puta ista konstantna mjerena veličina, uz predpostavku da su eliminirane sistematske greške, pod istim uvjetima i sa istim instrumentima, dobijaju se rezultati, koji će međusobno odstupati i rasipati se oko neke vrijednosti. Do rasipanja dolazi zbog slučajnih grešaka, koje nije moguće uzeti u obzir putem korek cije, jer se mi jenjaju po veličini i po predznaku.
6
Srednja vrijednost slučajne varijable
Ako se pojedinačni rezultati mjerenja označe kao x1 , x2 , x3 , … , xn-1 , xn apsolutne greške pojedinačnog mjerenja mogu se računati kao: x1 = x1 - xt
,
x2 = x2 - xt Iz predhodnog sistema jednačina se dobije :
...
xn = xn - xt
x1 + x2 + … + xn = x1 + x2 + … + xn – n x t
(12.) (13.)
odakle je tačna vrijednost mjerene veličine: xt
1 n
1
x1 x2 ... x n x1 x2 ... x n n
(14.)
Prvi član sa desne strane je aritmetička sredina rezultata mjerenja x pa se može pisati da je:
1
n
xi x (15.) n i 1 gdje je aritmetička sredina apsolutnih grešaka pojedinačnih mjerenja. Kako svaka apsolutna greška pojedinačnog mjerenja može imati sa podjednakom vjerovatnoćom pozitivnu i negativnu vrijednost to i može biti pozitivno i negativno sa podjednakom vjerovatnoćom. Može se pisati sada: xt x
xt x
(16.)
Prema Gausovoj teoriji slučajnih grešaka, polazi se od dvije predpostavke (aksioma): 1. Pri velikom broju ponovljenih mjerenja, jednako vjerovatno nastaju slučajne greške jednakih vrijednosti, ali suprotnog znaka.
Vjerovatnoća pojavljivanja malih grešaka veća je od vjerovatnoće pojavljivanja velikih grešaka. Na osnovu prve predpostavke može se zaključiti da će pri dovoljno velikom broju ponovljenih mjerenja granična vrijednost težiti nuli: 2.
lim 0
(17.)
n
To znači da je najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine pri višestruko ponovljenim mjerenjima, koja su jednako pouzdana, njena aritmetička sredina : xt x
1 n
n
x i 1
i
(18.)
Dakle, pri višestrukim mjerenjima konstantne fizikalne veličine aritmetička sredina rezultata mjerenja najbolja je aproks imacija tačne vrijednosti mjerene veličine. Srednja vrijednost je samo najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine, ali ne i prava vrijednost . Standardna devijacija pojedinačnog mjerenja
Ako je neki mjerni postupak precizniji onda se manje razlikuju poje dinačni rezultati mjerenja.
Za ocjenu preciznosti mjernog postupka služi standardna devijacija ili srednja kvadratna greška pojedinačnog mjerenja : s
1
n
x
n 1 i 1
x
2
i
(19.)
7
Što je manja standardna devijacija s to je mjerni postupak precizniji i obratno. Matematičari, koji rade s beskonačno velikim skupovima podataka , koriste u istu svrhu standardnu devijaciju pojedinačnog mjerenja pa tada srednja aritmetička vrijednost postaje očekivanje , a razlika između n – 1 i n je zanemariva, tako da se tada može pisati : n
s
Relati vna standardna devij acij a definiše
1 n
n
xi x 2
(20.)
i 1
se kao odnos standardne devijacije i aritmetičke
sredine, to jest:
s R (%)
s x
100
1
n
1
x n 1
x
i 1
x 100 2
i
(21.)
Da bi srednja vrijednost bila jednaka tačnoj vrijednosti mjerene veličine trebalo bi izvršiti beskonačno mnogo mjerenja. Pošto se u praksi uvijek vrši konačan broj mjerenja to izračunata srednja vrijednost odstupa od tačne vrijednosti za neku apsolutnu grešku . Nepouzdanost sr ednj e vri jednosti (tj. srednja kvadratna greška aritmetičke sredine ) je
procjena odstupanja srednje vrijednosti od stvarne vrijednosti mjerene veličine i računa se kao :
s x
s
n
n
1
x nn 1
i
i 1
x
2
(22.)
Ovaj podatak ima smisla samo za konačan broj n jer za slučaj kada n uvijek iznosi 0 što se vidi iz predhodne jednačine, a kako se taj rezultat zna i ne govori ništa novo (zato se i aritmetička sredina beskonačnog skupa podataka zove očekivanje, jer je to očekivana prava vrijednost, pa onda i to očekivanje ne može odstupati od te prave vrijednosti tako da mora biti jednako 0).
Relativna standardna devijacija aritmetičke sredine definiše se kao odnos standardne devijacije aritmetičke sredine i aritmetičke sredine, to jest: s R x (%)
s x x
100
1
1
x
nn 1
n
x i 1
x 100 2
i
(23.)
Posebni slučajevi računanja statističkih veličina
U praksi se često javljaju dva posebna slučaja, a koja nisu obuhvaćena predhodno obrađenom materijom.
Prvi slučaj je da rezultati mjerenja nisu međusobno ravnopravni, to jest da su neki od njih više, a neki manje pouzdani. Ovaj slučaj je karakterističan za mjerenja iste veličine, koja se obavljaju pod različitim uvjetima, a daju jedinstven rezultat.
8
Ako su pojedina mjerenja nejednako pouzdana potrebno je uvesti brojeve p1, p2,
… , pn, koji su mjera njihove različite pouzdanosti. Ovi brojevi se zovu težinski faktori i pouzdanijim mjerenjima pridodaje se veći težinski faktor, to jest veća vrijednost p. Ako se uzme da je preciznost mjerenja mjera pouzdanosti onda se iz poznate standardne devijacije si može odrediti težinski faktor koristeći slijedeću relaciju: pi
C si2
(24.)
gdje je C proizvoljno odabrana konstanta pogodna za računanje težinskih faktora.
Težinski faktori se određuju iz relacije: C p1 s12 p2 s 22 ... pn s n2 Aritmetička sredina nejednako pouzdanih rezultata mjerenja i
x
p1 x1 p 2 x2 ... p n xn p1 p 2 ... p n
n
1
pi xi
n
p i 1
(25.)
standardna devijacija su sada:
s
i
pi si2
n
p
i 1
n
1
2
i 1
i 1
(26.)
i
Drugi slučaj je kada se pri dobijanju velikog broja rezultata mjerenja javlja niz jednakih rezultata koji se mogu grupisati. Ovo daje pregledniju sliku rezultata i ujedno pojednostavljuje
postupak proračuna. Ako su rezultati mjerenja takvi da je frekvencija f i pojavljivanja pojedinih vrijednosti xi srednja vrijednost rezultata mjerenja se dobije kao:
x
f 1 x1 f 2 x2 ... f n xn f 1 f 2 ... f n
n
1 n
f i 1
f i xi i 1
(27.)
i
Standardna devijacija u ovom slučaju iznosi: s
1 n 1
n
f i xi x i 1
2
(28.)
Grafičko predstavljanje rezultata mjerenja Pri mjerenju kontinualne veličine skup m jerenja čini diskretni skup podataka koji se razlikuju za diferencijalno male priraštaje. Vrlo često se svi podaci grupišu u pogodno odabrane opsege mjerne vrijednosti (grupe) i odredi se frekvencija pojavljivanja rezultata mjerenja u datoj grupi. Najprikladniji način prikazivanja ovih rezultati je dijagram koji se zove histogram.
9
Histogram je grafički prikaz rezultata m jerenja u kome apscisa pokazuje skupove rezultata mjerenja unutar opsega mjerene veličine, a ordinata učestanost njihovih ponavljanja. Grupisanje rezultata u intervale histograma se vrši na ukupnom intervalu mjerenja R(x)=xmax - xmin,
(29.)
gde je xmax najveći, a xmin najmanji rezultat.
Pri crtanju histograma potrebno je odrediti optimalan broj mjernih intervala. Pri suviše velikom broju intervala histogram grubo i bez dovoljnog razlaganja prikazuje raspodjelu
rezultata. Ukoliko je broj intervala suviše veliki neki od intervala mogu ostati prazni, to jest javljaju se prekidi u prikazivanju raspodjele, a neki intervali mogu imati nerelano velike vrijednosti. Broj intervala (grupa) histograma se najčešće računa ovisno od broja mjerenja n kao: m
n 1
(30.)
Histogram mjerenja mora obuhvatiti sve izmjerene vrijednosti, a svaki pojedini rezultat mora da pripada samo jednom intervalu. Pri crtanju dijagrama na apscisu se nanose intervali
histograma, a na ordinatu učestanost ponavljanja ili relativna učestanost ponavljanja. Kako je teško praviti kvantitativne komparativne procjene različitih raspodjela učestanosti ako njihovi intervali nisu jednaki, u mjernoj praksi se sve ove raspodjele učestanosti normalizuju u odnosu na širinu intervala, tako da se rezultati mjerenja predstavljaju normalizovanim histogramom.
Kod normalizovanog histograma na ordinatu se nanosi normalizovana učestanost P i koja se dobije na sljedeći način. Ako je učestanost pojavljivanja rezultata mjerenja f i u i-tom intervalu širine x i =x i – x i- 1 tada se relativna učestanost f r i u i-tom intervalu dobije kao: f ri
f i n
(31.)
gdje je: n – ukupan broj rezultata mjerenja.
Normalizovana učestanost u u i-tom intervalu w i jednaka je: P i
f ri
xi
f i n xi
(32.)
Ova normalizovana
učestanost jednaka odnosu relativne učestanosti i širine in tervala naziva se gustoća relativne učestanosti rezultata mjerenja.
10
a) Normalizovani dijagram
b) gustoća raspodjele vjerovatnoće
Slika 2. Normalizovani histogram i gustoća raspodjele vjerovatnoće
vjerovatnoće rezultata mjerenja Osnovni parametri koji karakterišu v jerovatnoću rezultata merenja su : gustoća raspodjele vjerovatnoće m jerenja, i funkcija raspodjele vjerovatnoće rezultata m jerenja. Parametri
Neka se analizira šta se dešava sa histogramom u slučaju kada se broj rezultata mjerenja povećava i da u graničnom slučaju n → ∞, a da pri tome širina intervala histograma opada sve do graničnog slučaja u kome xi → 0. Očigledno je da tada histogram predstavlja kontinualnu funkciju f(x) koja je prikazana na slici 2.b. Ova nenegativna, realna i neprekidna funkcija
definisana je za svaki realan broj x i naziva se gustoća raspodjele vjerovatnoće rezultata mjerenja i određuje se kao: f ( x ) lim x 0
pri
P ( xi x xi x )
x
(33.)
čemu izraz P ( xi x xi x ) predstavlja vjerovatnoću da se rezultat mjerenja nalazi u
intervalu ( xi x xi x) .
Vjerovatnoća da se rezultat mjerenja nalazi u konačnom ntervalu x1 , x2 jednaka je sada: x2
P x1 x x2 f x dx
(34.)
x1
Svaka funkcija raspodjele je normalna, kao što je to slučaj i sa histogramom. To znači da je ukupna površina koju zatvaraju kriva i apscisa jednaka je jedinici, što se matematski može napisati kao:
11
f x dx 1
(35.)
Osim gustoće raspodjele vjerovatnoće mjerenja značajnu ulogu u analizi slučajnih veličina ima i funkcija raspodjele vjerovatnoće rezultata mjerenja koja predstavlja vjerovatnoću da rezultat mjerenja ima vrijednost koja je manja od neke veličine x i može se napisati kao: x
p x f x dx
(36.)
Funkcijom (36 .) izračunava se vjerovatnoć a da se neka mjerena vrijednost nalazi u intervalu (-∞ , x). Funkcija je definisana za svaki realni broj x, n eprekidna je i neopadajuća, a ima vrijednost od 0 do 1.
Funkcije raspodjele slučajnih varijabli , koje se susreću u tehničkoj praksi , pokazuju pretežno jedan karakterističan, zvonast oblik kao na Slici 3. Gaus je datu funkciju raspodjele p(x) analitički opisao kao:
f x
1 s 2
e
1 x x 2 s
2
(37.)
Ovako definisana funkcija raspodjele zove se normalna ili Gausova raspodjela vjerovatnoće rezultata mjerenja.
Osnovne osobine raspodjele su:
ove
funkcije
funkcija je pozitivna i neprekidna za svaku vrijednost x
simetrična u odnosu na aritmetičku sredinu x = x funkcija je
Slika 3. Gausova funkcija raspodjele vjerovatnoće
funkcija ima maksimum u tačci x = x jednak p( x )
1 s 2
funkcija ima dvije
prevojne tačke za x = x s površina ograničena krivom Gausa i apscisom jednaka je jedinici funkcija ima oblik zvona čija strmina ovisi od s (za manje s funkcija ima strmiji oblik). Vjerovatnoća P da će mjereni rezul tat biti u intervalu ( x1 , x2) određena je integralom: P ( x1 x x2 )
1 s
x2
e 2
1 x x
2 s
2
dx
(38.)
x1
12
Uvodeći kao smjenu bezdimenzionu promjenljivu Z
x x s
,
dx s dZ
dobije se standardizovana normalna funkcija raspodjele:
f ( z )
1 2
1
e
Z 2 2
(39.)
pa se sada relacija (38.) može pisati kao: 1
P ( x1 x x2 )
Z 2
e
1
Z 2 2
2 Z 1
dZ ,
(40.)
gdje su:
Z 1
x1 x
Z 2
,
x2 x
s s Dati integral je analitički nerješiv i njegove vrijednosti u ovisnosti od funkcije (vrijednosti) Z date su u tablicama i to obično za vrijednosti promjenjive Z od 0 do 3. U tabelama se obično daje vrijednost integrala: Slika 4. Normalizovana Gausova raspodjela
P Z
1
Z
e 2
1
Z 2 2
dZ
(41.)
0
Kako je ovako definisana funkcija neparna za negativne vrijednosti promjenljive Z vrijedi:
P Z 1 P Z
(42.)
Ako vrijednostima promjenljivih Z 1 i Z 2, iz tablica odgovara vjerovatnoća P(Z 1 ) i P(Z 2 ), tada je vjerovatnoća P da se rezultat mjerenja nalazi i intervalu (x1 , x2 ) jednaka: P P Z 2 P Z 1 (43.)
Slika 5. Kriva gustoće Gausove raspodjele
Područje pouzdanosti se defini ra kao područje unutar čijih granica se sa statističkom sigurnošću P može očekivati stvarna vrijednost mjerene veličine pod predpostavkom normalne raspodjele grešaka. Ako se unutar granica pouzdanosti nalazi 50% rezultata mjerenja (polovina rezultata
mjerenja) te granice se nazivaju vjerovatnom greškom mjerenja. Maksimalna greška proizilazi iz pravila 3 s, koje se dosta često susreće u literaturi, a u kojem se uvodi Z = 3, čemu odgovara vjerovatnoća od 99,73 % što praktično obuhvata sve rezultate 13
koji odstupaju za više od 3 s od aritmeričke sredine, onda se oni obično odbacuju, jer je njihov uzrok neka gruba greška. mjerenja pri normalnoj raspodjeli. Ukoliko se pojave i rezultati
Studentova – t raspodjela
Područje pouzdanosti se definiše kao područje unutar čijih granica se sa statističkom sigurnošću P može očekivati stvarna vrijednost mjerene veličine. Ovakve granice , koje neće biti prekoračene sa nekom vjerovatnoćom, nazivaju se granice pouzdanosti. Granice pouzdanosti su jednoznačno određene ako je istovremeno data i vjerovatnoća. U slučaju da je izvršen mali broj pojedinačnih mjerenja, područje pouzdanosti nije moguće odrediti pomoću normalne raspodjele. Tada se koristi Studentova – t raspodjela koja definiše područje pouzdanosti kao: x
t n
gdje je t faktor koji se daje u tabelama
s
,
(44.)
i čija vrijednost ovisi od odabrane statističke sigurnosti
i broja pojedinačnih mjerenja. Osnovna primjena studentove raspodjele je statistička analiza rezultata sa malim brojem mjerenja kada je primjena normalne raspodjele matematički nekorektna. Za veći broj mjerenja Studentova raspodjela praktično prelazi u normalnu raspodjelu, što je ostvareno već za n > 30. Studentova raspodjela daje šire područje pouzdanosti u odnosu na normalnu raspodjelu za istu vjerovatnoću. Ovo proširenje je utoliko veće što je broj mjerenja ma nji, a zahtjevana vjerovatnoća veća. Obrada rezultata posrednih mjerenja mjerena veličina koja je predmet interesovanja ne dobija direktno
U mjernoj praksi se često mjerenjem, već posredno preko mjerenja drugih veličina koje su sa njom povezane nekom funkcionalnom ovisnošću. Na primjer, neka se predpostavi da je veličina Y u funkcionalnoj ovisnosti od rezultata mjerenja x1, x2, ... , xn :
Y f x1 , x2 ,...,xn
(45.)
Kako je svaka od direktno mjerenih veličina xi poznata sa definisanom greškom, zadatak se svodi na određivanje greške indirektno mjerene veličine, na osnovi poznavanja grešaka pojedinih direktno mjerenih veličina. S istematska greška posredno mjerenih veličina
Ako su greške mjerenja veličina xi sistematske, odnosno ako se utjecaj slučajnih grešaka u odnosu na sistematske greške može zanemariti tada je potrebno odrediti sistematsku grešku posredno mjerene veličine Y . sistematske greške xi pojedinačnih rezultata mjerenja xi tada se može odrediti sistematska greška veličine Y kao razlika između veličine Y i dobijene mjerenjima i stvarne vrijednosti veličine Y s kao: Ako su poznate
Y Y i Y s f x1 x1 , x2 x2 ,..., xn xn f x1 , x2 ,..., xn
(46.) 14
Razvojem u Tajlorov red uz zanemarivanje
članova višeg reda , dobije se: f xi i 1 xi n
Y
(47.)
da parcijalne greške mogu biti različitog predznaka one se na taj način mogu djelimično, ili čak potpuno, kompenzirati. Sigurne granice grešaka se dobijaju kao: S obzirom
f xi xi
n
Y sig i 1
(48.)
Vidi se da su sve parcijalne greške u predhodnom izrazu uzete sa istim predznakom tako da ne može doći do kompenzacije pojedinačnih grešaka. Ovaj način određivanja grešaka se u praksi malo koristi jer on tretira najnepovoljniji slučaj koji je malo vjerovatan. Zato su ovako dobijene granice greške nepotrebno široke. U praksi se češće koriste statističke (vjerovatne) granice greške defini sane kao: Y stat
f xi 2 xi
n
i 1
(49.)
Ovako izračunate granice greške mogu ponekad biti i prekoračene, pa se zato kod njih može govoriti samo o njihovoj statističkoj sigurnosti. Relativna sistematska greška se računa kao: g Y (%)
Y
Y
100
(50.)
S lučajne greške posredno mjerenih veličina
Ako su mjerene veličine xi izmjerene sa slučajnom greškom tako da su poznate srednje vrijednosti x i standardne devijacije si pojedinačnih rezultata mjerenja najvjerovatnija vrijednost posredno mjerene veličine Y je: i
Y f ( x 1 , x 2 ,..., x n )
(51.)
Standardna devijacija indirektno mjerene veličine Y se tada dobija kao: sY
n
i 1
f 2 s x xi i
(52.)
odnosno relativno standardno odstupanje je: s ry (%)
sY Y
100
(53.)
15
ODREĐIVANJE JEDNAČINE OPTIMALNE PRAVE METODOM NAJMANJIH KVADRATA U mjernoj praks i
često treba odrediti odnose između dviju ili više mjernih veličina. Na primjer kalibracijom nekog instrumenta dolazi se do “ n” parova tačaka ulazne i izlazne veličine ( x1 ,y1), ( x2 ,y2), … , ( xk ,yk ), … , ( xn ,yn). Postupak je najjednostavniji ako između dv iju mjerenih veličina vlada linearan odnos. Tada za n izmjerenih vrijednosti parova ( x ,y i i) određuje linearna funkcija: y a x b
(54.)
Ta funkcija naziva se pravac regresije.
Pri rješavanju ovog problema predpostavlja se da postoje samo slučajne greške, dok se smatra da su sistematske greške otklonjene. Zbog neizbježnih grešaka redovnim mjerenjem dobijeni odnosi odstupaju od stvarnih odnosa, pa se traži rješenje kod kojeg je suma kvadrata odstupanja minimalna. Metoda najmanjih kvadrata predstavlja najbolji postupak za određivanje optimalne prave kroz skup eksperimentalnih tačaka. Neka se analiziraju
dva karakteristična
slučaja: a) slučajne greške postoje samo kod mjerenja izlazne veličine y dok su greške ulazne veličine x zanemarive, odnosno mjerenje ulazne veličine je znatno preciznije. b)
slučajne greške postoje samo kod mjerenja ulazne veličine x dok su greške izlazne veličine y zanemarive, odnosno mjerenje izlazne veličine je znatno preciznije.
Slučaj a) Ako između dvije mjerene veličine vlada linearan odnos tada se za n ponovljenih mjerenja može pisati: y1 a x1 b ; y2 a x2 b ; .... ; yk a xk b ; .... ; yn a xn b
(55.)
Slika 6. Optimalna prava po metodi najmanjih kvadrata
Greška k – tog mjerenja iznosi: k yk a xk b
(56.)
Prema Gausovoj teoriji slučajnih grešaka, prava će biti optimalna kada je suma kvadrata grešaka i minimalna. To jest: 16
y a x b 2
2
i
i
min
i
(57.)
Uvjet minimuma je da parcijalni izvodi predhodnog izraza po a i b budu jednaki nuli.
2 i 2 yi a xi b xi 0 a (58.)
2 i 2 yi a xi b 0 b
Iz predhodnog sistema jednačina dobija se da: a xi2 b xi xi yi (59.)
a xi b n yi
Rješavajući predhodne jednačine po a i b dobije se: a
n xi yi xi yi
2 i
;
n x xi 2 i
x y x x y b n x x
2
i
i
i
i
2
2 i
(60.)
i
Slučaj b) Ako se slučajne greške javljaju kod mjerenja ulazne veličine x, dok je mjerenje izlaza y precizno, jednačina: y a x b
,
(70.)
može se napisati kao: x
y
b
a1
1
a
a
a1 y b1
,
(71.)
gdje su:
a
; b1
b a
(72.)
Primjenjujući isti postupak kao u slučaju a) dobije se: a1
n xi yi xi yi n y yi 2 i
2
;
b1
y x y x y n y y 2 i
i
i
2 i
i
2
i
(73.)
i
Iz predhodnih relacija lahko se dobiju koeficijenti a i b:
17
n yi2 yi
2
a
n xi yi xi yi
;
y x y y x b n x y x y i
i
i
2 i
i
i
i
i
(74.)
i
18
