dr Rade Lazović
Nebojša Nebojša Nikolić
Literatura:
Đurica S. Jovanov Numerička analiza TEORIJA•ALGORITMI•PRIMERI TEORIJA•ALGORITMI•PRIMERI
Rade P. Lazović Numerička analiza PREGLED TEORIJE, PRIMERI, ZADACI
Web adresa
mata.fon.bg.ac.yu
Link: Numerička analiza
Definicija 1. Približan broj x realnog broja x je broj koji se “neznatno” razlikuje od x i koristi se u izračunavanjima umesto x . Definicija 2. Greška približnog broja x , kojim se zamenjuje tačan broj x je razlika
e x x x
Apsolutna greška je
x
x x
a granica apsolutne greške je broj
,
A x za koji je
x x A x .
Primer 1. Odrediti granicu apsolutne greške broja broja
3.142
kao aproksimacije
3.1415926553... .
3.1415926553 . . . 3.142 0.000407344... 0.0005
1
3
10
Ax
Granica apsolutne greške približnog broja se najčešće piše u obliku
1 j 10 2
2
Napomena: j
ili 110 , ( j ).
Definicija 3: Relativna greška približnog broja x je količnik r x
x
. x
Granica relativne greške je broj R x za koji važi r x R x .
Granica procentualne greške: 100 R x . Granica promilne greške: 1000 R x .
Primer 2: Neka je x 0.00005 približna vrednost za x 0.00004 , a y 100500 približna vrednost za y 100000. Koja od ove dve aproksimacije je bolja? Rešenje:
x x x 0.00001
y y y 500
r x
x
r y
x
y
y
0.00001 0.00005 500 100500
0.2
0.048.
Definicija 4: Cifra i približnog broja x je značajna cifra ako je različita od nule. Nula je značajna cifra ako se nalazi između cifara različitih od nule ili je desno u odnosu na sve značajne cifre. Primer 3: 1.253
0.3678 0.0004567
0.004030500
Zapis približnog broja:
n 1
n
x ( 1 10 2 10
n k 1
... k 10
...),
gde je 1 0, i {0,1,...,9}, (n, k ). Primer 4:
0.030570 3 10 0 10 5 10 7 10 0 10 2
3
4
5
6
Neka je:
n
x ( 1 10 2 10 Definicija 5: Značajna cifra A
x
1 2
1:
:
k
k
k
n 1
... k 10
... m 10
nm1
).
približnog broja x je sigurna cifra ako je nk 1
n k 1
10
,
(0 1).
je sigurna u užem smislu.
je sigurna u širem smislu.
Primer 5:
x 6.4281 , x 6.4257 .
x x 0.0024 0.005
1 2 10 2
Cifre 6,4 i 2 su sigurne u užem ( i širem ) smislu. Napomena: Veza između broja sigurnih cifara i granice relativne greške data je Teoremom 1.3.1 na strani 16.
ZAOKRUGLJIVANJE BROJEVA Neka je dat tačan broj: n
x ( 1 10 2 10
n 1
... m 10
n m 1
...).
Definicija 6: Postupak zamene broja x brojem x sa menjim brojem značajnih cifara naziva se zaokrugljivanje broja x . Pravila za zaokrugljivanje: Ako se broj x zamenjuje brojem x koji ima m cifara, to se čini na sledeći način: 1. Ako je m 1 10
nm
m 2 10
n m 1
...
1 n m 1 , 10 2
tada je
n
x ( 1 10 2 10
n1
... m 10
nm1
).
2. Ako je m 1 10
nm
m 2 10
n m 1
...
1 n m 1 , 10 2
tada je
n
x ( 1 10 ... ( m 1) 10
3. Ako je m 1 10
nm
m 2 10
n m 1
...
i ako je m parna cifra primenjuje se prvo, a ako je pravilo (pravilo parne cifre).
n m1
).
1 n m 1 10 2
m
neparna cifra drugo
Teorema: Greška zaokrugljivanja broja nije veća od
1 2
10
n m 1
.
Dokaz:
n
1. Nije došlo do povećanja. Tada je x ( 1 10 ... m 10
n m1
),
pa je
x x m1 10
nm
m 2 10
n m 1
4 10 nm 9 10 n m1 9 10 nm2 ...
...
4 10 nm 9 10 nm1 (1 10 1 10 2 ...) 4 10 nm 9 10 nm1
4 10
nm
10
nm
5 10
nm
1 2
10
1 1 10
1
n m 1
.
n
2. Došlo je do povećanja. Tada je x ( 1 10 ... ( m 1) 10
n m1
),
pa je
n
x x 1 10 .... m 10
n m 1
10
n m 1
n
( 1 10 .... m 10
n m 1
...)
10 nm1 ( m1 10 nm m 2 10 nm1 ...) 10 nm 10 ( m1 m 2 10 1 ...)
10
nm
10 6 4 10
nm
5 10
n m
1 2
10
n m 1
.
3. x x
1 2
10
n m1
(trivijalno).
■
Greške približne vrednosti funkcije
y f ( x1 ,..., xn )
y f ( x1 ,..., xn ),
Neka je xi xi A x , G ( x1 ,..., xn ) : xk xk A x , 1 k n .
i
k
Tada je: n
f
x
y y f ( x1 ,..., xn ) f ( x1 ,..., xn )
k 1
n
k 1
f xk
n
M xk xk
k 1
f xk
x x x ,..., x x x x x
1
1
1
n
k n
f
M Ax sup xG x
k
k 1
Ax
k
U praksi se obično koristi linearna aproksimacija greške: n
A y
k 1
n
f xk
x ,..., x A
1
n
xk
.
k
n
k
k
Greška zbira: z f ( x, y) x y f x
f y
1:
A z A x A y
Greška razlike: z f ( x, y ) x y f x
f
1,
y
1 :
A z A x A y
Greška proizvoda: z f ( x, y) xy f x
y,
f y
x:
A z y Ax x Ay
R z
A z
y A x x A y
z
x y
Greška količnika
x
A z
1 y
R x Ry
y
f
,
x
z f ( x, y) f
y
x y
2
:
y A x x Ay
y
2
y A x x A y
R z
y
x
y
2
R x R y
Obratan problem ocene greške
y f ( x1 ,..., xn ) n
A y
k 1
f xk
A x
k
Odrediti granice apsolutnih grešaka A x , (k 1,...,n) tako da granica apsolutne greške približne vrednosti funkcije bude manja od unapred zadate vrednosti :
k
n
f
x k 1
A x
k
k
Principi jednakih uticaja: f xk
A x
k
f x1
A x
k
n
Ax , k 2,..., n :
k
, (k 1,...,n)
f xk
Princip jednakih apsolutnih grešaka: A x A x ,
k
1
A x
k
( k 2,...,n ) :
n
f
i 1
xi
,
( k 1,...,n)
Principi jednakih relativnih grešaka: R x R x ,
k
1
n
A y
i 1
R x
k
(k 2,...,n)
f xi
i
f
n
i 1
k
A x
xi A x
n
xi
n
xi R x R x
i
k
,
xi
xk
n
xi i 1
i 1
f
f xi
,
(k 1,...,n).
f
x i 1
i
xi
