FUERZAS INTERNAS EN VIGAS
“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmación, de co rregir errores”. errores”.
Julius Robert Oppenheimer
Rockefell er Center, Center, Nueva York
1
7.1 DEFI FIN NIC ICIÓ IÓN N DE VIG IGA A Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra. otra.
h L L >>> b , h
b
2
7.1 DEFI FIN NIC ICIÓ IÓN N DE VIG IGA A Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra. otra.
h L L >>> b , h
b
2
V
Tipos de ap apoy oyos: os:
H
H
M
V Mó v i l
Fijo
R
Rótula
Em p o t r am i en t o
Tipos de ca carga rgas: s: P1
Q
W2 (tn/m)
P2
P3 (tn)
W1
Cargas repartidas Cargass concentradas Carga
m1
m 2 (t (tnn- m)
Momentos concentrados o p ares
Para Para determi determinar nar las reacci reaccione ones, s, pu puede eden n sustituirse sustituirse las cargas cargas repartidas repartidas por cargas cargas concentradas equiva equivalentes. lentes. Para calcular las fuerzas internas en una viga, se puede puede ha hacer cer esa sustituci sustitución ón pero pero con especial cuidado .
Vigas está estáticame ticamente nte dete determinadas rminadas (ISOSTÁTICA): Cuando se pueden determinar las reacciones de los apoyos utilizando las ecuaciones ecuaciones del equilibrio equilibrio estático.
Vigas está Vigas estáticame ticamente nte indete indeterminada rminadass (HIPERESTÁTICA): Cuando el número de las reacciones excede el número de ecuaciones de equilibrio; para determinar las reacciones será necesario usar ecuaciones basadas en la deformaciónde deformación de la viga.
VigadeGalileo
3
L : luz (distancia entre apoyos) L
Vi ga gas es tá tát ic ic am am en en te te d et et er er mi mi na nad as as
Vi ga gas es t át át ic ic am en en te te i nd nd et er er m in in ad ad as as
Nota 01: Una estructura es estable cuando puede soportar cualquier sistema de carga, resistiendo sus elementos elementos en forma elástica la aplicación aplicación de las cargas. Estabilidad exte Estabilidad externa rna:: Número de reacciones mayores a dos, no concurrentes en un punto, ni paralelas.
Estabilidad Estabilida d inte interna rna:: Referido a los elementos que conforman la estructura, siendo necesario necesario que las deformaciones sean pequeñas. pequeñas.
4
Nota 02: Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio estático, estático , cuando ante la acción de fuerzas externas, externas, la l a estructura permanece en en estado de reposo. r eposo. El equilibrio estático se puede aplicar a toda una estructura en sí, como también a cada una de sus partes o componentes. Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio dinámico, dinámico , cuando ante la acción de cargas generadas por sismo, viento, motores, etc., la estructura responde (se deforma) con un movimiento o vibrac vibración ión (acele ( aceleración) ración) controlado de cada una de sus partes; mas no así sus soportes o apoyos.
7.2 7. 2 FU FUER ERZA ZA CO CORT RTAN ANTE TE Y MO MOME MEN NTO FL FLEC ECT TOR EN VI VIGAS GAS Se preten pretende de dete determina rminarr las fue fuerzas rzas inte internas rnas que mantie mantiene nenn junt juntas as las diversas partes de una viga. En esta parte presentaremos lo que han denominado “Fuerza Cortante” y “Momento Flector” en en cualquier sección de la viga.
Y
Y
P
e
P
Y
P
P
Y
X
X
h
X
X
X
X
X
X
b
Y
Y
Y
a
Y
b
c
5
Caso
a :
Si las cargas están contenidas en el plano de simetría de la sección, entonces se produce flexión y fuerza cortante.
P
X
X
X
b
Y
R2
R1
P
X
h
Caso b :
Y
Y
Y
Si la carga es excéntrica, entonces, adicionalmente, se produce momento torsional. e Y
Y
P
P
X
X
h
X
X
b
Y
Y
6
Caso
c :
Si la carga es centroidal e inclinada, entonces se produce cortante y flexión en dos planos ( X e Y).
P
P
Y
Y X
X
h
X
X
b
Y
Y
Caso d :
Si la carga es inclinada en el plano longitudinal, entonces, adicionalmente a la fuerza cortante y flexión, se producen fuerzas axiales en la viga (tracción y compresión). Y
Y
P
P
X
X
X
h
X
b
Y
Y
P
Compresión Axial
Tracción Axial
7
FUERZAS INTERNAS EN BARRAS DE UN RETICULADO:
C
F
A
F
C B
F
F F
A
F
F
F
B
F
F F
F
FUERZAS INTERNAS EN UNA PLACA EN FORMA DE “L” :
Q M
B
D A
P
V
C
P
P
V Q
M
P
Si cortamos un elemento que está en equilibrio, para que cada subsistema o subelemento se mantenga en equilibrio, debe “haber” en la sección del corte fuerzas internas que generen acciones opuestas a las que se producen las fuerzas externas.
8
FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA:
Tenemos una viga como la que se muestra en la figura (apoyada en sus extremos y con cargas concentradas).
b a
P1
Y
P2
P3
1
X
1 R1
R2
X
Si hacemos el corte 1-1 a la viga, a una distancia “X” metros del apoyo izquierdo, para mantener el equilibrio aparecerán los efectos internos que se indican: V y M.
(x-a) (x-b)
P1
P2
M
1 1
R1
El objetivo es determinar el valor de esas fuerzas internas.
V
Efectos internos
X
(Si consideramos el equilibrio en la zona izquierda del corte, entonces habrá que tener en cuenta las fuerzas internas del lado derecho del corte).
Apl icando las ecuacion es de equilibrio en el sub sistema:
(+) F y = 0 +
M1-1 = 0
:
R1 – P1 – P2 – V = 0 V = R1 – P1 – P2
Fuerza cortante
: -R1 (x) + P1 (x-a) + P2 (x-b) + M = 0
(en el lugar del corte)
M = R1 (x) – P1 (x-a) – P2 (x-b)
Momento flector
Fuerza cortante (V):
Suma algebraica de las fuerzas verticales situadas a un lado de la sección en estudio.
Momento flector (M):
Suma algebraica de los efectos de momento producido por las fuerzas externas situadas a un lado de la sección en estudio.
9
C
A
F
F
F
B
F
F
F
B D C
A
P
P
Q M V
V
M
P
P
Q
CRITERIO DE SIGNOS: X
Cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre una viga, tienden a cortar o doblar a la viga como se muestra, se considera el signo indicado.
dx L
+
-
dx
dx
Momento
Momento
positivo
negativo
10
X
dx L
Cortante
Cortante
positivo
negativo
X dx L
dx
Parte izquierda
M
dx
Parte derecha
T
M
C T
C
M
Momento positiv o
V
V
+
V
V
Cortante positivo
Q
M
Momento negativo
+ Normal positiva
-
Cortante negativo
Q Q
-
Q
Normal negativa
11
7.3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
1. Cálculo de las reacciones en los apoyos. 2. Determinación del corte y momentogenérico para toda la viga. V
3. Diagrama de fuerza cortante:
o
+ -
X
+
X
M
Diagrama de momentoflector:
o
7.4 RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR W (Tn/m) 1
2
a
R1
b
R2
L (m) X
i w
d V dx
:
Vb Va
d M dx
:
Mb Ma
xx ba w dx
ii
v
xxba v dx
(Área bajo la curva de cargas entre los puntos “a” y “b”).
(Área bajo la curva de fuerza cortante entre los puntos “a” y “b”).
12
Ecuación (i):
La variación en la fuerza cortante entre dos puntos es igual a menos el área comprendida bajo la curva de carga entre los mismos dos puntos. Válida sólo para cargas repartidas, las cargas concentradas mostrarán cambios bruscos (discontinuidades en la curva o función).
Ecuación (ii):
El área entre dos puntos bajo la curva de fuerza cortante es igual a la variación en el momento flector entre estos mismos puntos. Aplicable para cargas repartidas y concentradas pero no para pares (momentos concentrados). También muestra que la fuerza cortante es n ul a en los puntos donde el momento flector es máximo, facilitando la determinación de las secciones en la que la viga podría f allar debido a la flexión.
7.5 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR PROBLEMA 1: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector en la viga mostrada.
300 Lb/pie
A
2 000 Lb-pie
B 10 pies
5 pies
5 pies
13
P = (300 Lb/pie) (10 pie) = 3000 Lb 1
300 Lb/pie
2 000 Lb-pie
2
Cálculo de reacciones: +
3
MA = 0 : RB = 1 133,33 Lb
+ FY = 0 : R A
1
A
2
10 pies
B
RB
5 pies
3
5 pies
V
Cálculo de las fuerzas internas: corte 1-1:
X
RA = 1 866,67 Lb
+
0 x 10 (izq.)
1 866,67
(Lb)
300 (x)
X/2
300 Lb/pie
+
1
X
-
V 1
- 1 133,33
R A
M
X
(Lb-pie)
+
3 666,7
1
M1-1 = RA x – 300 x2/2
300 Lb/pie
2 000 Lb-pie
2
R A
1
A
10 pies
2
corte 2-2:
X = 0 V1-1 = 1 866,67 Lb X = 10 V1-1 = -1 133,33 Lb
X = 0 M1-1 = 0 X = 10 M1-1 = 3 666,7 Lb-pie
+
10 x 15 (izq.)
3
B
RB
5 pies
300 (10)
3 5
5 pies
(X – 5)
2
X
V
X
V1-1 = RA – 300 x M
300
Lb
M
pie
1 866,67
2V
(Lb)
R A X
+
X
- 1 133,33
M
-
(Lb-pie)
+ 3 666,7
V2-2 = RA – 3 000 = -1 133,33 Lb
- 2 000
X
M2-2 = RA x – 3 000 (x – 5)
X = 10 M = 3 666,7 Lb-pie X = 15 M = -2 000 Lb-pie
14
300 Lb/pie
1
2 000 Lb-pie
2
3
corte 3-3: R A
1
A
2
10 pies
B
5 pies
RB
0 x 5
(derch.)
+
3 5 pies
X
M V3
X
2 000 Lb-pie
V
1 866,67
3
(Lb)
X
+
X
-
V3-3 = 0
- 1 133,33 - 2 000
M
-
(Lb-pie)
X
M3-3 = – 2 000 Lb-pie
+ 3 666,7
300 Lb/pie
R A
V
2 000 Lb-pie
A
B 10 pies
5 pies
RB
Determinación del momento máximo: M máx
V
d M0 dx
x 6,22 pies
Mmáx M X 6,22
5 pies
V11 1866,67 300 x
1 866,67
(Lb)
+
X
6,22
- 1 133,33
T
1 866,67 (6,22)
C
300 2
(6,22) 2
Mmáx M X 6,22 5 807,4 Lb pie
- 2 000
M
-
6,22
(Lb-pie)
+ C
3 666,7
5 807,4 (M máx)
X
NOTA: Si la curva de cargas es una línea recta horizontal, la de las fuerzas cortantes será una línea recta oblicua (1er. grado), y la de los momentos flectores será una parábola (2do. grado). Estas dos últimas curvas son siempre un grado y dos grados, respectivamente, mayores que la curva de la carga.
T
15
PROBLEMA 2: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
Rótula 2 tn/m
A
D
C
B
2m
2m
3m
Rótula 1
2
2 tn/m
A
D R A
2m
B
1 2m
RB
C
2
RC
3m
Cálculo de reacciones: RA = 2 tn RB = 11,67 tn RC = 0,33 tn
X
Cálculo de fuerzas internas: 0 x 4
corte 1-1
2x
+
V1-1 = 2 - 2x
X/2 2 tn/m
(izq.)
1 M
1V
R A X
M1-1 = 2 x – 2 x (x/2)
X = 0 V = 2 tn X = 1 V = 0 X = 2 V = - 2 tn X = 4 V = - 6 tn
X = 0 M = 0 X = 1 M = 1 tn-m X = 2 M = 0 (Rótula) X = 4 M = - 8 tn-m
16
Rótula 1
2 tn/m
2
corte 2-2: 0 x 3 A
D R A
2m
B
1
RB
2m
2x
RC
3m
X/2
X
V
M V
5,67
RC 0
X
X - 0,33
-
-2
2 tn/m
2
2
+
0
M
V2-2 = 2 x - RC
-6 -8
(tn-m) 0
+
+
C
2
X
(tn) 2
(derch.)
X
0
+
1
X = 0 V = - 0,33 tn X = 3 V = 5,67 tn
M2-2 = – 2 x (x/2) + RC (x)
0
0,027
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 8 tn-m
PROBLEMA 3: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn-m
4 tn-m
A
B
2m
3m
1m
17
PROBLEMA 4: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn/m
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m A
B
2m
1 2 tn/m
2
3
1m
4
2m
1m
2m
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m
1
X 2m
A
2
3
4
R A
B
5
Por Simetría: RA = RB = 6 tn
RB 1m
2m
1m
Cálculo de reacciones:
2m
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 2 (izq.)
2x
+
x/2
2 tn/m
1
M
V=-2x
3 tn-m 1V
X
M = 3 – 2x (x/2)
X = 0 V = 0 X = 2 V = - 4 tn
X = 0 M = 3 tn-m X = 2 M = - 1 tn-m
19
corte 2-2:
+
2 x 3 (izq.) x/2
2x 2 tn/m
V = - 2x + 6 2
3 tn-m
X = 2 V = 2 tn X = 3 V = 0
M
M = 3 + 6 (x-2) – x2
2 V
X = 2 M = - 1 tn-m X = 3 M = 0
6 tn x-2
X
corte 3-3:
+
3 x 5 (izq.) 6 tn
V=-6+6=0
x – 1.5
2 tn/m
3
3 tn-m
M
3 V
6 tn
M = 3 + 6 (x-2) – 6 (x – 1,5) = 0
x–2
X
corte 5-5:
0 x 2 (derch)
+
2x 5
M
V = + 2x
x/2
2 tn/m
V
3 tn-m
M = + 3 - 2x (x/2)
5
X = 0 V = 0 X = 2 V = 4 tn
X
X = 0 M = 3 tn-m X = 2 M = - 1 tn-m 4
2 tn/m
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m A
4
R A
corte 4-4:
2 x 3 (derch) 2x
x/2
M
2m
+ V = + 2x - 6
2m
RB
1m
5 X
2m
X = 2 V = - 2 tn X = 3 V = 0
2 tn/m
4
V 3 tn-m 4 x–2
1m
B
M = 3 – 2x (x/2) + 6 (x – 2)
X = 2 M = - 1 tn-m X = 3 M = 0
6 tn X
20
1 2 tn/m
2
3
4
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m 1
X
A
2m
DFC V (tn)
2
R A
1m
3
2m
B
4
RB
1m
5
X
2m
4
2 0
0
X 0
-2
-4 -1
-1
DMF M
X
(tn-m)
3
3
PROBLEMA 5: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn-m
1 tn/m
A
1m
1 tn/m 2m
2m
4 tn
B
1m
21
1
2
1 tn/m
2 tn-m
3
4
4 tn
1
A
B
3
2
R A
1m
2m
4
RB
1 tn/m 2m
1m
M A 0 : R B 3,375 tn
F Y 0 : R
X
Cálculo de reacciones:
A
1,625 tn
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 1
+
(izq.)
V = -x
X = 0 V = 0 X = 1 V = - 1 tn
M = - x (x / 2)
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 0,5 tn-m
1(x) x/2 1 tn/m
1
1V
X
corte 2-2:
+
1 x 3 (izq) x/2
1(x) 1 tn/m
2
V = RA - x = 1,625 - x
X = 1 V = 0,625 tn X = 3 V = - 1,375 tn
M = RA (x-1) – x (x/2)
X = 1 M = - 0,5 tn-m X = 3 M = - 1,25 tn-m
X = 3 V = - 1,375 tn X = 5 V = 0,625 tn
M
2V
R A
M
x–1
X
corte 3-3:
+
3 x 5 (izq)
1(3) x – 1.5
V = RA – 3 + (x-3)
1 tn/m
3
R A
V
1 tn/m
(x -3)
3 x 3 2
x-3 x-1
M
x 3 M = RA (x-1) – 3 (x – 1.5) + (x-3)
2
X = 3 M = - 1,25 tn-m X = 5 M = - 2 tn-m
X
22
1
1
1 tn/m
A
R A
1m
2
3
2 tn-m
2
3
B
2m
4 tn
corte 4-4:
RB
1 tn/m 2m
4
1m
X
X 4
DFC
+
0 x 1 (derch)
4
M
4 tn
4
V
4 4
V 0,625
(tn)
0,625
X
0
0 -1
- 1,375
V = + 4 tn
-4
DMF M
- 2,196
(tn-m)
-2
- 1,2 - 0,5
M = – 4 (x)
- 0,305
0
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 4 tn-m
0
PROBLEMA 6: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
5 tn/m 4 tn/m
6 tn
4 tn
A
2m
B
1m
1m
2m
3m
2m
23
5 tn/m 1
4 tn/m
1
A
R A
2m
2
3
2
3
4
1m
2m
1m
6 tn
4
4 tn
5
6
M B 0 : R A 18,26 tn
6
RB
3m
Cálculo de reacciones:
B
5
F Y 0 : R B 16,24 tn
2m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 2 (izq.)
+
4x 1
M = - 4x ( x / 2 )
x/2
4 tn/m
2
V = RA - 4x M
2 V
R A
X = 0 V = 0 X = 2 V = - 8 tn X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8 tn-m
+
2 x 3 (izq)
4x
M
1V
X
corte 2-2:
V = - 4x
x/2
4 tn/m
X = 2 V = 10,26 tn X = 3 V = 6,26 tn
M = RA (x - 2) – 4x ( x / 2)
x–2
X = 2 M = - 8 tn-m X = 3 M = 0,26 tn-m
X = 3 M = 0,26 tn-m X = 4 M = 6,52 tn-m
X
corte 3-3:
+
3 x 4 (izq)
12 tn
x – 1.5
4 tn/m
V = RA – 12 = 6,26 tn 3
V
R A
3
M
M = RA (x - 2) – 12 (x – 1,5)
x–2
X
24
corte 4-4:
+
4 x 6 (izq) x – 1.5
12 tn
6 tn
4 tn/m
V = RA – 12 – 6 = 0,26 tn
x-4
M
4
R A
M = RA (x-2) – 12 (x-1,5) – 6 (x-4)
V
X = 4 M = 6,52 tn-m X = 6 M = 7,04 tn-m
4
x–2
X
corte 5-5:
+
6 x 9 (izq) x – 1.5
12
2 (X6) 2
tn
6 tn
4 tn/m
V = RA - 12 - 6 - 4 -
X 6 3
4 tn
M
5
X = 6 V = - 3,74 tn X = 9 V = - 8,24 tn
(x –6)
M = RA (x-2) - 12 (x-1,5) - 6 (x-4) - 4 (x-6) -
V
R A
(x 6) 2 2
x-6 5
5 tn/m
x–4
x-6
x–2
(x
x 6 6) 2 . 3 2
X = 6 M = 7,04 tn-m X = 9 M = - 8,66 tn-m
x-6 5m
X
5 tn/m 1
4 tn/m
corte 6-6: 0 x 2 (derch.)
+ 1
A
2
3
2
3
4
6 tn
4
4 tn
5
R A 2m
(x)(x) 2
(5 –x) x 6
1m
(5 - x)
5 tn/m
V = (5 - x) x + x
2
2
6
x 2
x x2 2 M = - (5 - x) x x 2 2 3
2x 3
B
6
RB 1m
2m
3m
2m
X
x
M V
6
5
X = 0 V = 0 X = 2 V = 8 tn
X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8,66 tn-m
X Nota: Para analizar una carga trapezoidal, se puede emplear:
25
5 tn/m 1
4 tn/m
1
DFC
3
2
3
4
1m
2m
A
R A
2m
X
2
1m
6 tn
4
4 tn
5
6
B
5
RB
3m
6
2m
X
10,26 8
6,26
V (tn)
0,26 0
0 - 3,74
DMF
-8
- 8,24
-8
- 8,66
M (tn-m) 0
0 0,26 6,52 7,04
PROBLEMA 7: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
4 tn
4 tn/m
3 tn-m
Rótula
2m
3m
4m
26
4 tn
1
4 tn/m
2
3 tn-m
3
Cálculo de reacciones:
MB
1
Rótula
2
RA = 5,67 tn RB = 14,33 tn
RB
3
MB = 25,32 tn-m
R A 2m
3m
4m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:
+
0 x 2 (izq.) 4T
1
1
M
V = - 4 tn
V
M=-4x
X
corte 2-2: 4 tn
V = - 4 + 5,67 = 1.67 tn
M
2
X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8 tn-m
+
2 x 5 (izq)
3 tn-m
M = - 4x + 5,67 (x – 2) + 3
X = 2 M = - 5 tn-m X = 5 M = 0
V = - 4 + 5,67 – 4 (x – 5)
X = 5 V = 1,67 tn X = 9 V = - 14,33 tn
V 2
5,67 x-2
X
corte 3-3:
4 (x - 5) 4 tn
+
5 x 9 (izq) x 5 2
3 tn-m 3
M
V 3
5.67
x-5 x–2
x 5 M = - 4 (x) + 3 + 5,67 (x - 2) – 4 (x – 5) 2
X = 5 M = 0 X = 9 M = - 25,32 tn-m
X
27
4 tn
1
3 tn-m
1
2
4 tn/m
3
MB Rótula
2
RB
3
R A 2m
3m
4m
X DFC 1,67
V (tn)
-4 - 14,33
DMF
- 25,32
M
-8
(tn-m)
-5
- 0.5
0
0 0,35
PROBLEMA 8: Hallar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de la siguiente viga:
2 tn
3 tn
2 tn/m
3 tn
4 tn-m
A
B 3 tn/m
1m
3m
4m
2m
28
1
2 tn
1
2
3 tn
A
3
2 tn/m
2
B
3
R A 3m
3 tn
4m
Cálculo de reacciones:
4
RB
3 tn/m
1m
4
4 tn-m
M A 0 : R B 1,29 tn
F Y 0 : R A 3,71 tn
2m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 1 (izq.) 2 tn
1
+
M
V = - 2 tn V
1
M = - 2x
X
corte 2-2:
3 tn
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 2 tn-m
+
1 x 4 (izq)
2 tn
(x 1) 2 x 1 3 3
M
2 (x 1) 3
1
V = RA - 2 - 3 -
(x 1) 2 3
V 1
R A
M = RA (x - 1) - 2x - 3 (x - 1) -
x–1
X
corte 3-3:
2 x 6 (derch)
4 tn-m
3
M V 3 (x 2) 4
3 x 2 3
RB
3 (x 2)2 8
x–2
X
3 tn
X = 1 V = - 1,29 tn X = 4 V = - 4,29 tn
(x 1) 2 (x 1) . 3 3
X = 1 M = - 2 tn-m X = 4 M = - 8,86 tn-m
+
V = 3 - RB 3 x 2 2 8
M = - 3 (x) + RB (x - 2)
3 8
X = 2 V = 1,71 tn X = 6 V = - 4,29 tn
x 2 2
x 2 4 3
X = 2 M = - 10 tn-m X = 6 M = - 8,86 tn-m
29
corte 4-4:
+
0 x 2 (derch)
V = + 3 tn
3 tn
4
M V
M = - 3 (x)
4
X = 0 M = 0 X = 0 M = - 6 tn-m
X
NOTA:
Para 2 x 6 (derch) V
d dx
- 3 RB
M
M
2 tn
2
3 tn
1
A
(x 2) 2 0
2 tn/m
2
R A 1m
8
x 4,138
- 12,44 tn-m
X 4,138
1
3
3
3
B
3 tn
4
RB
3 tn/m 3m
4
4 tn-m
4m
2m
X
X
DFC
3,00
V 1,71
(tn) - 1,29 -2 - 4,29
- 12,44
DMF M (tn-m)
- 8,86
- 10 -6
-2 0
30
PROBLEMA 9: Determinar las cargas a las cuales debe estar sometida la siguiente viga, si el diagrama de fuerza cortante es el que se muestra. Asimismo, trazar el diagrama de momento flector.
A
B
1m
2m
2m
5m
5m
V=−
12.5
DFC V
1 2
x − 10 + 12.5
6.3
(kN) 0 −1.2 − 3.7
−5
V=− −15
1 2
x − 10 − 1.2
−13.7
V=−
12.5
DFC V
1 2
x − 10 + 12.5
6.3
(Kn) 0
−1.2 −3.7
−5
V=− −15
1 2
x − 10 − 1.2
−13.7
La fuerza cortante en x = 0 es - 5 kN Por tanto existe una carga puntual en x = 0 de 5 kN (↓)
Desde x = 0 a x = 1 m la fuerza cortante varía linealmente, entonces hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente, m = - 10 kN/m con dirección (↓).
5 kN 10 kN/m
A
1m
B
2m
2m
5m
5m
31
V=−
12.5
DFC V
1 2
x − 10 + 12.5
6.3
(Kn) 0 −1.2 −3.7
−5
V=− −15
1 2
x − 10 − 1.2
−13.7
En x = 1 (apoyo fijo) se ve un “salto” de 21.3 kN ( ↑), que corresponde al valor de la reacción
5 kN
Desde x = 1 a x = 3 la fuerza cortante es constante, entonces no hay cargas en ese tramo
En x = 3 se ve un salto de 10 kN ( ↓), debido a una carga puntual
Desde x = 3 a x = 5 hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente m = - 5 kN/m con dirección (↓)
10 kN 5 kN/m
10 kN/m
A
B 21.3 kN
1m
2m
2m
5m
5m
V=−
12.5
DFC V
1 2
x − 10 + 12.5
6.3
(Kn) 0 −1.2 −3.7
−5
V=− −15
2
x − 10 − 1.2
−13.7
De x = 5 a x = 10, derivamos la ecuación de V : = − − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 5 kN/m ( ↑) en x = 5 a 0 kN/m en x = 10
5 kN
1
En x = 10 (apoyo móvil) se ve un “salto” de 13.7 kN ( ↑), que se debe al valor de la reacción
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN/m
A
B 21.3 kN
1m
De x = 10 a x = 15, derivamos la ecuación de V : = − − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 0 kN/m en x = 10 a - 5 kN/m (↓) en x = 15
2m
5 kN/m 2m
13.7 kN 5m
5m
32
5 kN
10 kN 10 kN/m 2
1
5 kN/m
3
A
B 2
1
3
2m
5
4
5 kN/m
21.3 kN 1m
13.7 kN
2m
5m
5m
X
5 kN/m
5
4
X
Cálculo de fuerza internas (Momento Flector): corte 1-1: 0 x 1 (izq.)
+
M = - 5 x - 5 x2
corte 2-2: 1 x 3 (izq.)
+
M = + 6.3 x - 16.3
corte 3-3: 3 x 5 (izq.)
+
M = - 2.5 x2 + 11.3 x - 8.8
corte 4-4: 5 x 10 (derch)
+
M = + 0.167 x3 - 2.5 x2 + 13.7 x - 68.5
corte 5-5: 0 x 5 (derch)
+
M = + 0.167 x3 - 2.5 x2
5 kN
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN/m
A
B 5 kN/m
21.3 kN 1m
2m
2m
13.7 kN 5m
5m V=−
12.5
DFC V
1 2
x − 10 + 12.5
6.3
(Kn)
0 −1.2 −3.7
−5
V=− −15
1 2
x − 10 − 1.2
−13.7
- 41.7
DMF M (Kn/m)
- 14.8 - 10 0 2.6
33
PROBLEMA 10: Hallar el valor de las cargas “W (tn/m)”, “P (tn)” y “M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si:
La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m,
la fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn, y
el momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m.
P
P
W
Rótula
M A
B
W 2L
L
L
Tenemos 4 incógnitas: “W (tn/m)”, “P (tn)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO: La
fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m.
(parte derecha)
P = 12 tn
+
M
DEL DATO: La
= 12 tn - m
fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn.
(parte izquierda)
+
R A = 8 tn
(
)
34
DEL DATO: El
momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m. (parte derechadel apoyo B)
Mapoyo B = - 30 = 12 - 12 ( L ) - W L 2
POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:
+
F
v
F
Tomando
(
verticales
L 3
)
0
W L 2 = 252 - 72 ( L )
+ ...... ( I)
(para no incluir en la ecuación los momentos concentrados)
0 = - 8 + W ( 2L ) - 12 + RB - 12 - W ( 2L ) 2
RB = 32 tn
(
)
2
Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo (parte derecha de la rótula)
Mrótula = 0 = 12 - 12 ( 2L ) + 32 ( L ) - W ( 2L ) ( L )
+
W L 2 = 12 + 8 ( L ) ...... ( II)
2
Igualando las expresiones ( I) y ( II) : 252 - 72 ( L ) = 12 + 8 ( L )
Reemplazando en ( I) o en (II) :
L = 3 m
W = 4 tn / m
NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”
35
PROBLEMA 11: Hallar el valor de las cargas “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)” y “M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si:
La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn,
el momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m, y
la reacción en el apoyo A, B y C es 0.83 tn ,10,25 tn y 13,42 tn, respectivamente.
W 2
W 1 Rótula M
2M A R A
B
W L
C
RB
1
2L
RC
L
2L
Tenemos 4 incógnitas: “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO: La
fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn. (parte izquierda de la rótula)
Vrótula = -1,17 = 0,83 – W1 L
W1 L = 4
+
...... ( I)
2
Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo. Mrótula = 0 = M + 0,83 L – W1 L 2
(
2L ) 3
Reemplazando el valor de ( I), tenemos: M = L
...... ( II)
2
36
DEL DATO: El
momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m. (parte derechadel apoyo B)
Mapoyo B = 27,67 = - 2 M + 13,42 ( 2 L ) – ( W2 ) ( 2L ) L
POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:
+
F
v
Tomando
F
verticales
0
+
...... ( III)
(para no incluir en la ecuación al momento externo M)
0 = 0,83 - W1 L + W1 ( 2L ) + W1 L - 10,25 - W2 ( 2L ) + 13,42 2
2
W1 L - W2 L = - 2
Reemplazando el valor de ( I), tenemos: W2 L = 6
...... ( IV)
Reemplazando el valor de ( II) y (IV) en la expresión ( III) : 27,67 = - 2 L + 13,42 ( 2 L ) – ( 6 ) ( 2 L )
L = 2 m
2
Reemplazando en ( II) :
M
Reemplazando en ( I) :
W1 = 2 tn / m
Reemplazando en ( IV) :
W2 = 3 tn / m
= 1 tn - m
NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”
37
PROBLEMA 12: Determinar la longitud “L 1” (en función de L), de manera que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( M máx ). Asimismo indicar el correspondiente valor del M máx (en función de W y L).
W
A
B
L1
L1 L
1
W
2
1 A
2
L1
B
RB
R A
Por Simetría: RA = RB = W L / 2
L1
( L –2 L 1 )
Cálculo de reacciones:
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:
V
+ W L1
+
+ X
-
- W L1
+
X = 0 V = 0 X = L 1 V = - W L 1
V = - W x
+ W ( L / 2 -L 1 )
-
0 x L 1 (izq.)
M = - W x (x/2)
X = 0 M = 0 X = L 1 M2 = - W ( L 1 )2 / 2
- W ( L / 2 - L1 )
corte 2-2:
L 1 x L / 2 (izq.)
M
-
V = - W x + W L / 2
+
X
+
X = L 1 V = W (L / 2 - L 1 ) X = L / 2 V = 0
M = - W x ( x/2 ) + W L / 2 ( x - L 1 )
X = L 1 M = - W ( L 1 )2 / 2 X = L / 2 M1 = W ( L )2 / 8 - W (L ) (L 1 ) / 2
38
Momento máximo positivo: Para el sistema tenemos:
M1 = W ( L )2 - W (L ) (L 1 ) 8
Momento máximo negativo:
2
M2 = - W ( L 1 )2 2
Notamos que el momento f lector máximo (M máx), es el mayor momento entre M 1 y M 2. Debemos minimizar estas dos expresiones (al mismo tiempo), a fin que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( M máx).
L1
L1
Se observa que al querer minimizar M 1, incrementamos M 2, y al querer minimizar M 2 incrementamos M 1. Entonces, el menor valor que podría tener M 1 y M 2; se dará cuando estos sean de igual magnitud. Es decir, debemos establecer la relación: W ( L )2 - W (L ) (L 1 ) 8
2
=
W ( L 1 )2
l M 1 I = l M 2 I
L 1 = 0,207 ( L )
2
Para calcular el valor del momento flector máximo de la viga ( M máx), bastará con reemplazar L 1 ( = 0,207L ), en la expresión de M 1 o M 2: M máx =
M2 = W ( L 1 )2 = W ( 0,207 L )2 2
Mmáx = 0,0214 W ( L )2
2
39
PROBLEMA 13: Si la viga homogénea AB pesa 120 lb y la viga homogénea CD pesa 800 lb, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de las vigas:
80 lb/pie B
A
300 lb
D
C
3 pies
7 pies
6 pies
Cálculo de Reacciones:
120 lb 5 pies
5 pies
Viga AB: B
A
300 lb
R1
R2
F Y 0 : R 2 780 lb
3 pies
7 pies
Viga CD:
800 lb 4,5 pies
4,5 pies
80 lb/pie 1 200 lb
MB 0 : R 1 1 200 lb
780 lb
M
MD 0 : M 10 200 lb - pie
F Y 0 : R 3 1 460 lb
D
C
R3 3 pies
6 pies
40
Cálculo de Fuerza Internas: Viga AB:
A
B
V = - 300 – 12 x
780 lb
1 200 lb
300 lb X
X
x M = - 300 x – 12 x 2
3 pies
7 pies
+
0 x 7 (izda.)
120/10 lb/pie
X = 0 V = - 300lb X = 7 V = - 384lb
X = 0 M = 0 X = 7 M = - 2 394lb-pie
+
0 x 3 (dcha.) V = + 780 + 12 x
x M = - 780 x – 12 x 2
X = 0 V = 780 lb X = 3 V = 816 lb
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 2 394lb-pie
Viga CD: 800/9 lb/pie
0 x 3 (izda.) 80 lb/pie
1 200 lb
780 lb
V = - 1 200 – 88.9 x
10 200 lb-pie D
C
1 460 lb
X
3 pies
+
x M = - 1 200 x – 88.9 x 2
X = 0 V = - 1 200 lb X = 3 V = - 1 466,7lb
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 4 000 lb-pie
6 pies
3 x 9 (izda.)
+
V = - 1 200 + 780 – 88,9 x – 6,7 (x – 3) 2
x (x 3) M = - 1 200 x + 780 (x – 3) – 88,9 x – 6,7 (x – 3) 2 3 2
X = 3 V = - 686,7lb X = 9 V = - 1 460 lb
X = 3 M = - 4 000 lb-pie X = 9 M = - 10 200 lb-pie
41
80 lb/pie B
A
300 lb
D
C
V
6 pies
3 pies
7 pies 816
(Lb)
-300
780
-384
V
- 1 200
- 686,7 - 1 466,7
M
- 1 460
- 2 394
(Lb-pie) 0
0
- 10 200
M
- 4 000
0
7.6 PÓRTICOS ISOSTÁTICOS Un pórtico es una estructura reticular formada por elementos (vigas y columnas) conectados entre si mediante uniones rígidas (conexión vigacolumna), diseñado para soportar las fuerzas externas aplicadas en sus elementos. Las vigas y columnas de un pórtico no pueden girar independientemente en sus zonas de encuentro (conexión viga-columna), por lo que, en una conexión, las fuerzas internas de los elementos (fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores) se transmiten de un elemento a otro. Otras conexiones sólo permiten la transmisión de determinados esfuerzos. La más frecuente es la rótula, que impide la transmisión de momentos flectores.
42
Eje de barras sin cargas
θ
Eje de barras deformadas
θ θ
θ
Para el cálculo de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de un pórtico isostático, se propone el siguiente procedimiento: i. Calcular las reacciones en los apoyos ( FX = 0, FY = 0, MA = 0). A: Punto en que podamos eliminar el mayor número de reaccionesincógnitas .
ii. Diagrama de cuerpo libre para cada una de sus vigas y columnas. iii. Las fuerzas en la base de las columnas son las reacciones. iv. Los valores en la parte superior de las columnas pueden obtenerse de la estática. v. Dibujar los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector (se sugiere dibujar los diagramas como si se estuviera “situado” al interior del pórtico).
43
PROBLEMA 14: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:
3m
6m 100 kN
B
C
3m 50 kN 3m A
Cálculo de Reacciones: Cy Ax
M A 0 : C Y 50 kN
F Y 0 : FX 0 :
A Y 50 kN A
X
50 kN
Ay
Diagrama de cuerpo libre: Columna AB: 50 kN
0 x 3 (izda.)
150 kN-m B
+
0
N = - 50 kN V = + 50 kN M = + 50 x
3m 50 kN 3m
3 x 6 (izda.) X
A
50 kN
+
N = - 50 kN V = + 50 - 50 = 0 M = + 50 x - 50 (x - 3) = 150 kN-m
50 kN
45
3m
Viga BC:
100 kN
50 kN B
0
6m
0 x 3 (izda.)
C
+
N = 0 V = + 50 kN
150 kN-m
50 kN X
M = + 50 x + 150
X
+
0 x 6 (dcha.)
N = 0 V = - 50 kN M = + 50 x
DFN
DFC
DMF
(kN)
(kN)
(kN-m)
+ 50
0 5 1
+
+ 150
- 50 0 5 -
0 5 1 +
0 5 +
+ 300
PROBLEMA 15: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:
3m
3m
500 kg 200 kg/m B
C 3m 400 kg
600 kg-m
6m
3m A
D
300 kg/m
46
Cálculo de Reacciones:
M A 0 : D Y 1 050 kg
F Y 0 :
A Y 650 kg
FX 0 :
A
X
500 kg
Ax Ay
Dy
Diagrama de cuerpo libre: 650 kg 600 kg-m
Columna AB:
400 kg B
+
0 x 6 (izda.)
N = - 650 kg V = + 25 x2 - 300 x + 500
6m
M = + (25/3) x3 - 150 x2 + 500 x
X
A
500 kg
300 kg/m 650 kg
Columna CD:
1 050 kg 1 800 kg-m 400 kg
0 x 3 (dcha.)
C
+
N = - 1 050 kg V = 0
3m 400 kg
600 kg-m
M = 0
X
3m
3 x 6 (dcha.)
+
N = - 1 050 kg
D
V = + 400 kg M = - 600 - 400 (x - 3)
1 050 kg
3m
Viga BC:
3m
0 x 3 (izda.)
500 kg
+
200 kg/m 400 kg 600 kg-m
V = - 200 x + 650 400 kg
B
C
650 kg X
1 050 kg
N = - 400 kg M = - 100 x2 + 650 x - 600
1 800 kg-m
3 x 6 (izda.)
+
N = - 400 kg V = - 200 x + 150 M = - 100 x2 + 150 x + 900
47
DFN
DFC
(kg)
(kg)
+ 650 + 50 0 0 4
- 400
-
1 0 5 0
0 5 6 -
+ 4 0 0
- 450 - 1 050
0 0 5 +
- 1 800
DMF
1 8 0 0
- 600
(kg-m) 0 0 6 -
+ 450 6 0 0
7 , 6 6 4 +
0
PROBLEMA 16: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:
3m
3m
2 tn/m B
C Rótula
4m
A
D
3 tn/m
48
Cálculo de Reacciones: 2 tn/m B Rótula
A Ax
3 tn/m
D
Ay
M A 0 : D Y 7,33 tn
M D 0 : A Y 4,67 tn
DERECHA M RÓTULA 0 : D X 3,25 tn
C
Dx
FX 0 :
Dy
A
X
2,75 tn
Diagrama de cuerpo libre: 4.67 tn 5 tn-m
Columna AB:
3.25 tn B
0 x 4 (izda.)
+
N = - 4,67 tn V = + (3/8) x2 - 3 x + 2,75
4m
M = + (1/8) x3 – 1,5 x2 + 2,75 x
X
A 3 tn/m
2.75 tn
4.67 tn
7.33 tn
Columna CD:
13 tn-m 3.25 tn
0 x 4 (dcha.)
C
+
N = - 7,33 tn V = + 3,25 tn
4m
M = - 3,25 x
X
D 3.25 tn 7.33 tn
Viga BC: 3m
3m
0 x 6 (izda.) 2 tn/m 3.25 tn
3.25 tn 5 tn-m
B
C
4.67 tn
+
N = - 3,25 tn V = - 2 x + 4,67 M = - x2 + 4,67 x - 5
13 tn-m
7.33 tn
X
49
DFN
DFC
(tn)
(tn)
+ 4,67
5 2 , 3 -
- 3,25 7 , 3 3
7 6 , 4 -
- 7,33
+ 3 ,2 5
5 7 , 2 +
- 13 -5
DMF (tn-m) 1 3
+ 0,45
5 -
8 3 , 1 +
0
0
PROBLEMA 17: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:
3 tn
3m
3 tn
2 tn/m
2 tn/m B
Rótula
C
3 tn
6m
A
1,5 m
D
1,5 m
1,5 m
1,5 m
50
Cálculo de Reacciones: 3 tn
3 tn
2 tn/m
3m
2 tn/m Rótula
B
6m
tn
M D 0 : A Y 8,49 tn
DERECHA M RÓTULA 0 : D X 2,916
tn
D Dx
Ax Ay 1,5 m
M A 0 : D Y 14,48
C
3 tn
A
1,5 m
1,5 m
1,5 m
FX 0 :
A
X
0,084
tn
Dy
Diagrama de cuerpo libre: 8,49 tn 0,50 tn-m
Columna AB:
3 tn
B
2,916 tn
+
0 x 6 (izda.)
N = - 8,49 tn V = + 0,084 tn
6m
M = + 0,084 x
X
A
0,084 tn
8,49 tn
14,48 tn 17,50 tn-m 2,916 tn
Columna CD:
C
+
0 x 6 (dcha.)
N = - 14,48 tn
6m
V = + 2,916 tn
X
M = - 2,916 x D 2,916 tn
14,48 tn
Viga BC: 3 tn
2 tn/m
3 tn
3m 2,916 tn
2,916 tn B
C
0,50 tn-m
17,50 tn-m 14,48 tn
8,49 tn
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
51
