2.1 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS
La fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se habla de interacción). • La fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. • Fuerza, es el nombre con el que se denomina a la interacción mecánica entre dos cuerpos, las cuales pueden ser de contacto directo o gravitacionales, al punto de contacto se llama punto de aplicación de la fuerza, la línea de acción de una fuerza concentrada es la línea que pasa por el punto de aplicación y es paralela a la fuerza. • La fuerza es cualquier acción o influencia que puede modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo. Esto quiere decir que una fuerza puede dar aceleración a un cuerpo, modificando la velocidad, la dirección o el sentido de su movimiento.
De acuerdo a su posición, las fuerzas se dividen en las siguientes: Fuerza externa: Dado un cuerpo o sistema de cuerpos se denominan fuerzas externas a las fuerzas que realizan otros cuerpos o sistemas sobre el cuerpo o sistema analizado. Las fuerzas externas entre dos sistemas o cuerpos son siempre iguales y de sentidos opuestos de acuerdo con la reciprocidad indicada por la 3ª Ley de Newton. Fuerza Interna: Dado un cuerpo o sistema de cuerpos se denominan fuerzas internas a las fuerzas que mutuamente se ejercen entre sí las diferentes partículas del cuerpo o sistema. Las fuerzas internas son iguales y opuestas dos a dos de acuerdo con la 3ª Ley de Newton, por lo que analizando el cuerpo o sistema globalmente la suma de todas sus fuerzas internas es nula
Como ejemplo de fuerzas internas y externas, se ha representado un sistema constituido por dos bloques de masas m1 y m2. Entre ambos hay rozamiento, mientras que entre el suelo y el bloque 1 no hay rozamiento. Sobre el bloque inferior se ejerce una fuerza F.
Las fuerzas representadas en verde son fuerzas externas y las fuerzas representadas en rojo son fuerzas internas. Si el sistema se define tomando solamente uno de los dos bloques, entonces todas las fuerzas que actúan sobre él serían externas. Puesto que, según lo visto al introducir la tercera ley de Newton, toda fuerza va acompañada de su reacción, dónde están entonces las reacciones de las fuerzas externas aplicadas sobre el bloque 1 de la figura anterior.
2.2 PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental. Permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido permanecerán inalterables si una fuerza F, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza F’ de igual magnitud, dirección y sentido, que actúa sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la misma línea de acción.
2.3
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras Un esquema del cuerpo en cuestión y de las fuerzas que actúan sobre él representadas como vectores. La elección del cuerpo es la primera decisión importante en la solución del problema. Por ejemplo, para encontrar las fuerzas que actúan sobre una bisagra o un alicate,es mejor analizar solo una de las dos partes, en lugar del sistema entero, representando la segunda mitad por las fuerzas que ejerce sobre la primera. Para diseñar un elemento estructural o mecánico es necesario conocer la carga que actúa dentro de él para asegurarnos de que el material puede resistir esta carga. Las cargas internas pueden determinarse por el método de secciones, seccionando o cortando imaginariamente una sección perpendicular al eje de la viga. Las cargas internas que actúan sobre el elemento quedarán expuestas y se volverán externas en el diagrama de cuerpo libre de cada segmento. Los componentes de la fuerza (N) que actúa en perpendicular a la sección transversal se denominan fuerza Normal. Los componentes de la fuerza (V) que es tangente a la sección transversal se llama fuerza cortante. El momento de par (M) se conoce como momento flector. El esquema del cuerpo debe llegar solo al nivel de detalle necesario. Un simple esbozo puede ser suficiente y en ocasiones, dependiendo del análisis que se quiera realizar, puede bastar con un punto. Todas las fuerzas externas se representan mediante vectores etiquetados de forma adecuada. Las flechas indican la dirección y magnitud de las fuerzas y, en la medida de lo posible, deberían situarse en el punto en que se aplican. Solo se deben incluir las fuerzas que actúan sobre el objeto, ya sean de rozamiento, gravitatorias, normales, de arrastre o de contacto. Cuando se trabaja con un sistema de referencia no inercial, es apropiado incluir fuerzas ficticias como la centrífuga. Se suele trabajar con el sistema de coordenadas más conveniente, para simplificar las ecuaciones. La dirección del eje x puede hacerse coincidir con la dirección de descenso de un plano inclinado, por ejemplo, y así la fuerza de rozamiento sólo tiene componente en esa coordenada, mientras que la normal sigue el eje y. La fuerza gravitatoria, en este caso , tendrá componentes según los dos ejes, mg \sin(\theta)\, en el x y mg \cos(\theta)\, en el y, donde θ es el ángulo que forma el plano con la superficie horizontal.
El diagrama de cuerpo libre refleja todas las suposiciones y simplificaciones que se han hecho para analizar el problema. Si el cuerpo en cuestión es un satélite en órbita y lo primordial que se desea es encontrar su velocidad, un punto puede ser la mejor opción. Los vectores deben colocarse y etiquetarse con cuidado para evitar suposiciones que condicionen el resultado. En el diagrama ejemplo de esta entrada, la situación exacta de la fuerza normal resultante que la rampa ejerce sobre el bloque solo puede encontrarse después de analizar el movimiento o de asumir que se encuentra en equilibrio
El diagrama de cuerpo libre del bloque sobre el plano inclinado es una aplicación sencilla de estos principios: Todos los soportes y estructuras se han sustituido por las fuerzas que ejercen sobre el bloque: mg: peso del bloque. N: Fuerza normal del plano sobre el bloque. Ff: fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano. Los vectores muestran la dirección y el punto de aplicación. Se acompaña del sistema de referencia que se ha usado para describir los vectores.
Este es un ejemplo de un diagrama de cuerpo libre. En donde se miran sus dos vectores claramente y como la partícula está en equilibrio.
2.4 MOMENTO DE UNA FUERZA
En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o sencillamente momento. Ocasionalmente recibe el nombre de torque a partir del término inglés (torque), derivado a su vez del latín torquere (retorcer).
El momento de una fuerza
aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado
por el producto vectorial del vector
por el vector fuerza; esto es,
Donde es el vector que va desde O a P. Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores y . El término momento se aplica a otras magnitudes vectoriales como el momento lineal o cantidad de movimiento , y el momento angular o cinético, , definido como
El momento de fuerza conduce a los conceptos de par, par de fuerzas, par motor, etc.
Definición de una fuerza con respecto a un punto.
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar una aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).
Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales, en los que todas las fuerzas y demás magnitudes vectoriales son coplanarias, el cálculo de momentos se simplifica notablemente. Eso se debe a que los momentos serían perpendiculares al plano de coplanariedad y, por tanto, sumar momentos se reduciría a sumar tan sólo sus componentes perpendiculares al plano, que son magnitudes escalares. Si se considera una fuerza aplicada en un punto P del plano de trabajo y otro punto O sobre el mismo plano, el módulo del momento en O viene dado por:
Siendo el módulo de la fuerza, el brazo de momento, es decir, la distancia a la que se encuentra el punto O (en el que tomamos momento) de la recta de aplicación de la fuerza, y el suplementario del ángulo que forman los dos vectores. La dirección de un momento es paralela al eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer la dirección se utiliza la regla de la mano derecha.
2.5 DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA EN UNA FUERZA Y UN PAR
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par Descomposición de una fuerza Resulta útil para resolver muchos problemas descomponer una fuerza en otras dos en la dirección de los ejes de coordenadas, cuyos efectos sumados sean iguales a la propia fuerza. Las proyecciones sobre los ejes son sus componentes. Aplicando la definición de seno al ángulo que forma el vector con el eje x (en un triángulo rectángulo el seno es el cateto opuesto al ángulo dividido por hipotenusa), y de coseno, podemos calcular las Componentes:
Fx = F cos α ; Fy = F—sen α Conocidas las componentes de F sobre los ejes, no sólo conocemos la orientación (el ángulo con el eje x define su dirección), sino que podemos hallar su módulo por medio del Teorema de Pitágoras. Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto A definido por el vector De posición r como se muestra en la figura. Si se desea que la fuerza actúe en el punto O, aunque F se puede mover a lo largo de su línea de acción (principio de transmisibilidad), no es posible moverla al punto O, que no se encuentra sobre la línea de acción original de la fuerza, sin modificar el efecto que F tiene sobre el cuerpo rígido. Sin embargo, pueden unirse dos fuerzas al punto O, una igual a F y otra igual a – F , sin modificar el efecto que la fuerza original tiene sobre el cuerpo rígido. Como una consecuencia de esta transformación, ahora una fuerza F se aplica en O; las otras dos fuerzas forman un par con un momento MO = r x F. Por tanto, cualquier fuerza F que actúe sobre un
Cuerpo rígido puede ser trasladado a un punto arbitrario O siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto a O.El par tiende a impartirle al cuerpo rígido el mismo movimiento de rotación alrededor de O que la fuerza F ocasionaba antes de que fuera trasladada al punto O. El par se representa por el vector de par MO que es perpendicular al plano que contiene a r y a F. Como MO es un vector libre, puede ser aplicado en cualquier lugar; sin embargo, por conveniencia, usualmente el vector de par se fija en O, junto con F, y se hace referencia a la combinación obtenida como un sistema fuerza – par. Para resolver muchos problemas sobre fuerzas, tanto gráfica como analíticamente, hay que saber descomponer una fuerza en otras dos orientadas según los ejes de coordenadas (x e y), cuyos efectos sumados sean iguales a la fuerza que estamos descomponiendo.
En los sistemas de fuerzas estudiados anteriormente conocíamos las componentes (F1 y F2) y calculábamos la resultante (R). En la descomposición de fuerzas, conocemos la resultante (R) y nos interesa conocer sus componentes (F1 y F2 sobre las coordenadas x e y) .La descomposición de una fuerza en sus componentes se puede hacer sobre cualquier dirección. Sin embargo, lo más frecuente es descomponer una fuerza en direcciones perpendiculares (horizontal y vertical, ejes coordenados). Para ello, la fuerza dada se coloca en el origen de unos ejes coordenados y desde el extremo (flecha) de la fuerza se trazan líneas perpendiculares a los ejes, como se indica en la figura a la derecha. Las distancias desde el origen hasta esas perpendiculares nos dan la medida de las componentes horizontal y vertical de la fuerza dada. Entonces: Las proyecciones sobre los ejes son sus componentes. Hasta aquí tenemos la solución o representación gráfica de fuerzas.
2.6
SISTEMA EQUIVALENTE DE FUERZAS
Fuerzas externas que actúan en un cuerpo rígido: Son las fuerzas de otros cuerpos que actúan sobre nuestro cuerpo de estudio; estas son las que causan que el cuerpo se mueva o permanezca en reposo. Las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen. Estas fuerzas son las fuerzas aplicadas por contacto, el peso y las reacciones de los apoyos. Dos conceptos fundamentales de que el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Fuerzas internas que actúan en un cuerpo rígido: Son las que mantienen unidas las partículas del cuerpo rígido Principio de transmisibilidad: Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán sin cambio si una fuerza F que actúa en un punto de un cuerpo rígido se sustituye por una fuerza F’ de la misma magnitud y la misma dirección, pero actuando en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Las fuerzas F y F’
tienen el mismo efecto obre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Producto vectorial de dos vectores. En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido: El módulo de c está dado por ||c|| = ||a|| ||b|| sin θ Donde θ es el ángulo entre a y b. La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b. El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha. El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano .El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera: a x b = n ||a|| ||b|| sin θ Donde n es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha. El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b.
Teorema de Varignon: El teorema de Varignon dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas. Vamos a ver qué significa esto. Supongamos que tengo un sistema de varias fuerzas que actúan. Calculo la resultante de ese sistema y obtengo una fuerza R Lo que dice el teorema es esto: supongamos que yo sumo el momento de todas las fuerzas
respecto al punto A y me da 10 kgf .m (por ejemplo). Si yo calculo el momento de la resultante respecto de A, también me va a dar 10 kgf.m. Eso es todo .Sean varias fuerzas F1, F2, Fn actuando en un mismo punto A.
2.7 FUERZAS COPLANARES
Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanares que se encuentran en más de un plano, es decir en 3 ejes. Pueden expresarse en tres formas: 1.- ∑Fx = ∑Fy = 0 La forma expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero. Las fuerzas se representan mediante vectores, flechas en las cuales su longitud representa la magnitud de esta fuerza, una dirección determinada y un sentido dado por la punta de la flecha .Para poder representarlas en un gráfico se hace necesario un sistema de ejes coordenados, que en este caso por ser coplanares (en el plano) utilizamos tan solo 2 ejes (x e y), para casos más generales se utilizan los 3 ejes (x , y y z) una fuerza por ser una cantidad vectorial pueden ser descompuestas por 2 fuerzas sobre los ejes coordenados, y cuya suma debe representar la misma acción como si actuara tan solo una (la fuerza que descomponemos) F = Fx + Fy Esta es una expresión vectorial de la fuerza En caso de haber 2 o más fuerzas pueden sumarse, restarse o cualquiera otra operación que obedezca el álgebra vectorial De esta manera un conjunto de fuerzas puede ser representado por una única fuerza resultante y que tenga la misma acción de todas las otras fuerzas.
Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanares que se encuentran en más de un plano, es decir en 3 ejes. Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse en tres formas: 1.- ∑Fx = ∑Fy = 0 La forma expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero. ∑Fx = ∑Ma = 0 Esta forma indica que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado). ∑Ma = ∑Mb = 0 En esta forma se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida. En cualquiera de los casos anteriores la resultante es cero por lo siguiente:
1º Si existe resultante del sistema, es una sola fuerza: Y si por tanto ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0, también R = 0. 2º Si ∑Fx = 0, si hay resultante debe ser perpendicular al eje X, y si ∑Ma = 0, entonces el momento de R respecto al punto es cero, lo que exige que R = 0. i hay resultante, debe pasar por el punto de intersección, pero si ∑Ma = 0, entonces R pasa por él también, y si ∑Mb = 0, R debe ser cero, no estando b sobre c. La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas quede cerrado, pues entonces no hay resultante. 1. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio. (1) ∑F = ∑M = 0 ó (2) ∑Ma = ∑Mb = 0 Se enuncian similarmente al caso anterior. Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay resultante será una fuerza o un par. (1) Si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no hay resultante. (2) Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; y si también ∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que implica que la fuerza es cero. Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funicular deben cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condición segunda no existirá el par. 2. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas. Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio: (1) ∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0 (2) ∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0 (3) ∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0 Y se ha explicado, lo que significan las expresiones anteriores. Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales. Estas tres condiciones bastan para dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante será una fuerza o un par. Si en (1), ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M = 0, no es un par y no habrá resultante. En (2), si ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si ∑Ma = 0, no es un par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además, ∑Mb = 0, el momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero. En (3), si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero. La resultante de un sistema de fuerzas es el sistema más simple (por lo general una sola fuerza) que tiene el mismo efecto que las diversas fuerzas que componen el sistema que actúan simultáneamente. Las líneas de acción de cualquier sistema de dos fuerzas no paralelas deben tener un punto en común y la resultante de las dos fuerzas pasará por este punto común. La resultante de dos fuerzas no paralelas se puede hallar gráficamente mediante la construcción de un paralelogramo de fuerzas. Esta construcción gráfica se basa en la ley del paralelogramo, la cual se puede enunciar como sigue: dos fuerzas no paralelas se trazan a cualquier escala (una cierta cantidad de libras representada por una pulgada), ambas fuerzas se dirigen hacia el punto de intersección de sus líneas de acción o se alejan de él. Se construye entonces un paralelogramo con las dos fuerzas como lados adyacentes. La diagonal del paralelogramo que pasa por el punto común es la
resultante en magnitud, dirección y línea de acción; la dirección de la resultante es similar a la de las fuerzas dadas: se dirige hacia el punto en común o se aleja de él.
2.8 REACCION EN APOYOS
