Periodo 2018-0 Horario2
rodi Para diear elemeo, e eeario conocer las fuerzas que acan denro del mismo. Eo ermiir eleioar la dimeioe del elemeo, a omo el maerial m aroiado ara oorar diha ferza.
Ejm: la dirii del aero de referzo e la viga garda relai direa o lo diagrama de ferza iera.
aulo.- FURZ NRN 7.1.- Ferza iera e elemeo 7.2.- Diagrama de ferza iera 7.3.- odo de la eaioe 7.4.- odo de la rea
Ferza iera e elemeo Coideremo la viga e voladizo morada e la figra. fuerzas inernas aa e el o B?
1.- Reolvemo el eqilirio exero:
Ferza iera e elemeo Coideremo la viga e voladizo morada e la figra. fuerzas inernas aa e el o B?
2.- Haemo ore a-a y aalizamo el DCL de ada ori de la viga.
Ferza iera e elemeo Coideremo la viga e voladizo morada e la figra. fuerzas inernas aa e el o B?
2.- Haemo ore a-a y aalizamo el DCL de ada ori de la viga.
Ferza iera e elemeo Coideremo la viga e voladizo morada e la figra. fuerzas inernas aa e el o B?
2.- Haemo ore a-a y aalizamo el DCL de ada ori de la viga.
Ferza iera e elemeo E el lano, ara odo elemeo exie 03 ferza iera: fuerza axial o ormal (N), fuerza corane (V), y momeno flecor ().
E el esacio, exie 06 ferza iera: fuerza axial (N), 2 fuerzas coranes (V), 2 momenos flecores () y momeno de orsin (T).
Ferza iera e elemeo onencin de signos - La fuerza normal (N) e osiia i crea ensin (raccin) e el elemeo.
- La fuerza corane () e osiia i oaioa qe el elemeo gire en senido horario.
Ferza iera e elemeo onencin de signos - l momeno flecor (M) e osiio i iede a doblar al elemeo de a forma cncaa hacia arriba. - La fira iferior e raioa y la fira erior e omrime.
Ejeriio 01 Deermie la ferza iera qe aa a 2. m a la dereha del aoyo , y a . m a la izqierda del aoyo B.
Ra
a) 𝑁 =0𝑁 𝑉 = −350 𝑁 𝑀 = 1125 𝑁 − 𝑚
b) 𝑁 =0𝑁 𝑉 = −950 𝑁 𝑀 = 475 𝑁 − 𝑚
Ejeriio 02 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e el o D de la erra morada.
Ra 𝑁𝐵 = −1350 𝑁 𝑉𝐵 = −600 𝑁 𝑀𝐵 = −300 𝑁 ∙ 𝑚
Ejeriio 03 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e lo o y D.
Ra 𝑁𝐶 = 2.49 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 2.49 𝑘𝑁 𝑀𝐶 = 4.97 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑁𝐷 = 0 𝑘𝑁 𝑉𝐷 = −2.49 𝑘𝑁 𝑀𝐷 = 16.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Ejeriio 04 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e lo o y D.
Ra 𝑁𝐶 = −265 𝑙𝑏 𝑉𝐶 = −648.6 𝑙𝑏 𝑀𝐶 = −4231.4 𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡 𝑁𝐷 = −265 𝑙𝑏 𝑉𝐷 = 637 𝑙𝑏 𝑀𝐷 = −3184.6𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡
Ejeriio 05 El iema e ado ara oorar loqe omo e mera e la figra. La re arra iee eo dereiale, la maa de la olea e kg y la maa del loqe e kg. Deermiar la ferza iera e la ei a-a de la arra B. Ra 𝑁𝑎 = −809.1 𝑁 𝑉𝑎 = −637.5 𝑁 𝑀𝑎 = 191.25 𝑁 ∙ 𝑚
Ejeriio 06 Saiedo qe la ferza orae e p e p= - N, deermie el valor de la arga Q. Lego, deermie la ferza iera a la miad del ramo D.
Ra 𝑄 = 300 𝑁 𝑉𝐶𝐷 = 375 𝑁 𝑀𝐶𝐷 = 75 𝑁 ∙ 𝑚
Ejeriio 07 Ua ferza de 𝑭 = −𝟑𝒊 + 𝟕𝒋 − 𝟒𝒌 𝒌𝑵 aa e a eqia de la viga qe e exiede a rav de la ared. Deermiar la ferza iera e .
Ra
𝐹𝐴 = 3, −7, 4 𝑘𝑁 𝑀𝐴 = −0.65, 1.55, 3.20 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Ejeriio 08 Se iee la ferza 𝑭𝟏 = −𝟐𝟒𝒊 − 𝟏𝟎𝒌 𝒍𝒃 , 𝑭𝟐 = −𝟖𝟎𝒊 𝒍𝒃 y el momeo 𝑴 = −𝟑𝟎𝒌 𝒍𝒃 ∙ 𝒇𝒕 aado ore la erra morada. Deermiar la ferza iera e .
Ra 𝐹𝐶 = 104, 0, 10 𝑙𝑏 𝑀𝐶 = 20, 72, −178 𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡
Diagrama de ferza iera Co fie de dieo, e eeario ooer la ariacin de las fuerzas inernas a lo largo del elemeo. Ea variai ede er rereeada grfiamee e lo diagramas de fuerzas inernas. Para ello, odemo ilizar do modo: 1.- odo de la eaioe 2.- odo de la rea
odo de la eaioe Se dee eioar al elemeo a a disancia arbiraria x dede exremo ara de aliar la eaioe de equilibrio al segmeno de logid x. De ea maera, e oiee N, , M e funcin de x. La fioe de ferza iera son disconinuas deido a la aliai al de ferza y/o momeo de ar, o de arga diriida.
M(x) Rox Roy
N(x)
(x)
odo de la eaioe Se dee eioar al elemeo a a disancia arbiraria x dede exremo ara de aliar la eaioe de equilibrio al segmeno de logid x. De ea maera, e oiee N, , M e funcin de x. La fioe de ferza iera son disconinuas deido a la aliai al de ferza y/o momeo de ar, o de arga diriida. Por lo ao, a dee oeere ara ada segmeno loalizado enre dos disconinuidades de carga.
M(x) Rox Roy
N(x)
(x)
1.-Viga imlemee aoyada o arga oerada
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎
𝐹𝑥 = 0
𝑁(𝑥) = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑏𝑃 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥
𝑀=0
ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿
𝑉(𝑥) =
𝐹𝑥 = 0
𝑁(𝑥) = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑏𝑃 − 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥
𝑀=0
𝑉(𝑥) =
cte lineal
𝑃=
−𝑎𝑃 𝐿
cte
−𝑃 𝑥−𝑎 =
𝑎𝑃 𝐿
lineal
𝐿−𝑥
1.-Viga imlemee aoyada o arga oerada
orre e: 𝑥 = 𝑎?
E la fuerza corane, orre salo de magniud P de del o B. El momeo fleor ermaee oae.
1.-Viga imlemee aoyada o arga oerada
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎
𝑁(𝑥) = 0 𝑏𝑃 cte 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝑥 lineal 𝐿 ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿
𝑁(𝑥) = 0 −𝑎𝑃 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑎𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿−𝑥 𝐿
cte lineal
2.-Viga imlemee aoyada o momeo de ar oerado
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎
𝐹𝑥 = 0
𝑁(𝑥) = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑀 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥
𝑀=0
ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿
𝑉(𝑥) =
cte lineal
𝐹𝑥 = 0
𝑁(𝑥) = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑉(𝑥) =
𝑀=0
𝑀(𝑥) = −𝑀 +
𝑀 𝐿
cte 𝑀 𝑥 𝐿
lineal
=
𝑀 𝐿
𝑥−𝐿
2.-Viga imlemee aoyada o momeo de ar oerado
orre e: 𝑥 = 𝑎?
E el momeno flecor, orre salo de magniud M de del o B. La ferza orae ermaee oae.
2.-Viga imlemee aoyada o momeo de ar oerado
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎
𝑁(𝑥) = 0 𝑀 cte 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝑥 lineal 𝐿 ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿 𝑁(𝑥) = 0 𝑀 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝑥−𝐿 𝐿
cte lineal
3.-Viga imlemee aoyada o arga iformemee diriida
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿
𝐹𝑥 = 0
𝑁
𝐹𝑦 = 0
𝑉𝑥 =
𝑀=0
𝑥
=0
𝑤𝐿 − 𝑤𝑥 2 𝑤𝐿 𝑤 𝑀(𝑥) = 2 𝑥 − 2 𝑥 2
lineal cuadrática
3.-Viga imlemee aoyada o arga iformemee diriida ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿 𝑤𝐿 𝑉𝑥 = − 𝑤𝑥 2 𝑤𝐿 𝑤 𝑀(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 2 2
lineal cuadrática
Si e deea allar el momeo fleor mximo, e deriva 𝑀(𝑥) y e igala a ero
𝑑𝑀(𝑥) 𝑤𝐿 = − 𝑤𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿/2 𝑑𝑥 2 𝑤𝐿2 𝑉(𝐿/2) = 0 𝑀(𝐿/2) = 8 onclusiones - Al derivar la fi momeo e oiee la fi ferza orae. - El mximo momeo fleor orre ado la ferza orae e ero. - La fi orae e lieal y ediee e igal al egaivo de la arga.
4.-Viga e voladizo o arga oerada
ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎
𝑁(𝑥) = 0 𝑉(𝑥) = 𝑃 𝑀(𝑥) = −𝑃 𝑎 − 𝑥
ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿 𝑁(𝑥) = 0 𝑉(𝑥) = 0 𝑀(𝑥) = 0
cte lineal
5.-Viga imlemee aoyada o arga diriida de variai lieal ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿
𝑞𝐿 𝑞𝑥 2 cuadrática 𝑉𝑥 = − 6 2𝐿 𝑞𝐿𝑥 𝑞𝑥 3 𝑀(𝑥) = − cúbica 6 6𝐿 Si e deea allar el momeo fleor mximo, e deriva 𝑀(𝑥) y e igala a ero
𝑑𝑀(𝑥) 𝑞𝐿 𝑞𝑥 2 = − =0 𝑑𝑥 6 2𝐿 𝑉(𝐿/
3)
=0
𝑀(𝐿/
3)
𝑥=
𝐿
= 0.577𝐿 3 𝑞𝐿2 = 9 3 = 0.0642𝑞𝐿2
onclusiones - Al derivar la fi momeo e oiee la fi ferza orae. - El mximo momeo fleor orre ado la ferza orae e ero. - La fi orae e lieal y ediee e igal al egaivo de la arga.
odo de la eaioe Procedimieno de anlisis 1.- race el DL y calcule las reacciones en los aoyos. E il morar e el DCL la omoee e la direioe eredilar y aralela al elemeo qe e e aalizado. 2.- eccione o core la iga e ramo omredido ere ferza oerada, momeo de ar y arga diriida. 3.- lique las ecuaciones de equilibrio ara hallar la eaioe de ferza ormal N(x), ferza orae V(x) y momeo fleor (x), reeado la ovei de igo. 4.- Grafique los diagramas de ferza ormal (DFN), ferza orae (DFC), y momeo fleor (DF).
Ejeriio 09 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.
Ejeriio 09
Ejeriio 10 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.
Ejeriio 10
Ejeriio 11 El maro morado iee aliada a arga diriida de 4 N/m. Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC, DF) del elemeo B.
Ejeriio 12 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.
Ejeriio 12
Ejeriio 13 El eje BD e aoya e do ojiee dode lo el ojiee imide movimieo axial. Saiedo qe la ferza orae a . m de e =+2. N, deermie el valor de la arga Q (e N). Lego, rae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.
Ra 𝑄 = 600 𝑁
Ejeriio 14 E la viga imlemee aoyada morada e la figra: a) Halle la ieidad de la arga w (e N/m) i e ae qe el momeo fleor al ero del ramo e +6 N.m ) Halle la exrei del momeo fleor ere B y , e fi de la oordeada x medida dede . Lego, oega el valor del momeo fleor mximo y oii. 1.5w w
A
Ra 𝑤 = 400 𝑁/𝑚
0.5w
B
C
𝑀𝑚á𝑥 = 999 𝑁 ∙ 𝑚 a 2.76 m (desde a)
odo de la rea El razado de lo diagrama de ferza iera ilizado el modo de las ecuaciones e muy rabajoso i e alia mha arga. E oile imlifiar el razado de diagrama emleado la relaciones exisenes ere la carga, la fuerza corane y el momeno flecor. Aaliemo eqeo egmeo CC de la viga AB qe oora a arga diriida w:
odo de la rea Co el DCL del elemeo CC, e laea la maoria de ferza veriale: 𝑉 − 𝑉 + ∆𝑉 = −𝜔∆𝑥 ∆𝑉 = −𝜔∆𝑥 Dividiedo amo lado de la eai ere ∆𝑥 y haiedo qe ∆𝑥 → 0, oeemo:
𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 La pendiente de la curva de fuerza cortante es igual al negativo de la carga distribuida.
odo de la rea egrado la eai oeida, dede C haa D, oeemo: 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = − 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = −
𝑥𝐷
𝜔 𝑑𝑥
𝑥𝐶
á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐷 𝑦 𝐶
Ea relai NO es lida ado e alia cargas concenradas, ya qe a rode a dioiidad e el DFC.
odo de la rea Co el DCL del elemeo CC, e laea la maoria de momeo o reeo a C: ∆𝑥 𝑀 + ∆𝑀 − 𝑀 − 𝑉∆𝑥 + 𝜔∆𝑥 =0 2 ∆𝑥 ∆𝑀 = 𝑉∆𝑥 − 𝜔∆𝑥 2 Dividiedo amo lado de la eai ere ∆𝑥 y haiedo qe ∆𝑥 → 0, oeemo:
𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥 La pendiente de la curva de momento flector es igual a la fuerza cortante.
odo de la rea egrado la eai oeida, dede C haa D, oeemo: 𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 =
𝑥𝐷
𝑉 𝑑𝑥
𝑥𝐶
á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐷 𝑦 𝐶
Ea relai NO es lida ado e alia momenos unuales, ya qe o rode a dioiidad e el DF. Ea relai e vlida a ado e alia arga ale.
odo de la rea 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥
𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥
Tipo de carga
DFC
DMF
Tramo donde 𝑤 = 0 (sin carga)
𝑑𝑉 =0 𝑑𝑥
𝑑𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥
𝑉 = 𝑐𝑡𝑒
𝑀 = 𝑓(𝑥)
Recta horizontal
Recta inclinada
𝑑𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥
𝑑𝑀 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑥
𝑉=𝑓 𝑥
𝑀 = 𝑓(𝑥 2 )
Recta inclinada
Curva parabólica
𝑑𝑉 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑥
𝑑𝑀 = 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑥
𝑉 = 𝑓 𝑥2
𝑀 = 𝑓(𝑥 3 )
Curva parabólica
Curva cúbica
Tramo donde 𝑤 = 𝑐𝑡𝑒. (carga uniformemente distribuida)
Tramo donde 𝑤 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 (carga linealmente variable)
odo de la rea 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥
𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥
Tipo de carga
DFC
DMF
Tramo donde P = (carga puntual)
Cambio brusco = P
Punto anguloso Cambio de pendiente
Tramo donde M = (momento puntual)
No pasa nada
Cambio brusco = M
NOTA: Para el razado de DF, la aliai de momeo e senido anihorario, oaioa salo de magid − 𝑴
Ejeriio 15 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.
6 ft
𝑉𝐴 = 0 𝑉𝐴+ = 0 + 18 = 18 𝑉𝐵− = 18 + 0 = 18 𝑉𝐵+ = 18 − 20 = −2 𝑉𝐶 − = −2 + 0 = −2 𝑉𝐶 + = −2 − 12 = −14 𝑉𝐷− = −14 + 0 = −14 𝑉𝐷+ = −14 + 26 = 12 𝑉𝐸 − = 12 − 1.5 8 = 0
𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐵 = 0 + 𝐴1 = 108 𝑀𝐶 = 108 + 𝐴2 = 92 𝑀𝐷 = 92 + 𝐴3 = −48 𝑀𝐸 = −48 + 𝐴4 = 0
8 ft
10 ft
8 ft
𝐴1 = 18 6 = 108 𝐴2 = − 2 8 = −16 𝐴3 = − 14 10 = −140 12 8 𝐴4 = = 48 2
𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥
odo de la rea mo dibujar el diagrama con cargas no uniformes? 5 kN/m
4m
La rea de la rva e meve haia la zoa de mayor arga diriida.
DF (kN)
DMF (kN-m) 1.69 m
2.31 m
La rea de la rva e meve haia la zoa de mayor ferza orae.
Ejeriio 16 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.
Ejeriio 16
Ejeriio 17 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga BDF, ilizado el modo de la rea.
Ejeriio 17
Ejeriio 18 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.
Ejeriio 19 La viga omea e arilada e B, iee aoyo moo delizae e F y aoyo imle e y . Adem, e ae qe 𝐭𝐚𝐧 𝝓 = 𝟐. 𝟒 . Para lo ramo BDF, rae el diagrama de ferza ormale (DFN) y lo diagrama de ferza orae y momeo fleore (DFC, DF) deidamee aoado, or el modo de rea.
Ejeriio 20 La viga morada e arilada e y F. Tiee aoyo imle e B y D y emoramieo e G. a) Deermie la ieidad de la arga diriida w (/m) de modo qe la ferza orae a la miad del ramo CD ea -9 . ) Para oda la viga, rae lo diagrama de ferza iera (DF, DMF) deidamee aoado, or el modo de rea.
Ejeriio 21 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga B, ilizado el modo de la rea.
Ejeriio 21
BBLOGRF BR, F., R. Joho y D. azrek, 2013 . Dima edii. xio D.F.: raw-Hill.
HBBLR, RC., 2010 . Deimoegda edii. xio D.F.: Pearo Edai. MRM, J. L. y Kraige L.., 2009 - . Bareloa: Rever. RLY, W. y L. Srge, 2010 - . Bareloa: Rever .