Fuerzas Hidrostáticas sobre un tapon conico. I. II.
INTRODUCCIÓN En este documento se buscará verificar las leyes hidrostáticas de la mecánica de fluidos, mediante un experimento realizado en el laboratorio donde se observan las leyes que explican el equilibrio de un tapón cónico en el fondo de un tanque. HIDROSTATICA La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que trata de los fluidos en reposo. Como el fluido no es rígido, solo podrá permanecer en reposo en ausencia de fuerzas deformadoras.1 Para verificar las leyes hidrostáticas, se montó un experimento que consistía en colocar de manera invertida en el fondo de un depósito tapando un orificio de diámetro d un tapón cónico de diámetro D, peso W y altura L. De la base del tapón se coloca un cable que se hace pasar por un sistema de poleas de tal manera que al otro extremo se sostenga un plato (tara) con diversos pesos. El depósito se llena con agua hasta una altura Hc, medida desde el fondo del depósito, para la cual el equilibrio del tapón sumergido se rompe y el tapón se libera permitiendo la vaciada del depósito. El equilibrio del tapón, en el instante antes de su liberación, implica la acción de las siguientes fuerzas: peso W del tapón; la tensión en el cable (asumida igual al peso de la tara y los contrapesos colocados sobre ella); el empuje hidrostático sobre las caras del tapón; y una fuerza actuando entre las superficies de contacto entre el tapón y el orificio en el fondo del depósito. Gráfica 1. Montaje del tapón cónico Para varios contrapesos colocados en la tara, se midió la altura Hc a la cual se rompe el equilibrio estático sobre el tapón. La altura Hc se midió en cm y el instrumento de medición tiene una incertidumbre asociada de 0,1 cm. El contrapeso w se midió en grf (gramos-fuerza) con una incertidumbre asociada de 1 grf. Los datos tomados se muestran a continuación: w’ (grf) ± 1grf | Hc (cm) ± 0,1 cm |
800 | 47 | 700 | 42,3 | 600 | 38,4 | 500 | 34 | 400 | 29,7 | 300 | 25,4 | 200 | 21,5 | 100 | 16,9 | 0 | 11,9 | Tabla 1. Datos tomados en el laboratorio Donde la primera columna corresponde a los valores de contrapeso (sin tener
en cuenta el peso de la tara), y la segunda a la altura del agua. Pasando estos datos a unidades de N y m respectivamente para trabajar en el SI: w’ (N) ± 0,01 N | H c (m) ± 0,001 m | 7,82 | 0,470 | 6,85 | 0,423 | 5,87 | 0,384 | 4,89 | 0,340 | 3,91 | 0,297 | 2,93 | 0,254 | 1,96 | 0,215 | 0,98 |0,169 | 0 | 0,119 | Tabla 2. Datos corregidos Hc vs w’
Además se tienen los siguientes datos teóricos: Peso del tapón: W = 0,326 ± 0,001 Kgf Peso de la tara del contrapeso: w = 0,098 ± 0,001 Kgf En unidades de SI: Peso del tapón: W = 3,19 ± 0,01 N Peso de la tara del contrapeso: w = 0,96 ± 0,01 N Diámetro del cono: D = 0,102 ± 0,001 m Diámetro del orificio: d = 0,055 ± 0,001 m Densidad del agua: ρ = 998,2 ± 0,1 Kg/m3
Longitud del cono: L = 0,17 ± 0,001 m Aceleración de la gravedad: g = 9,78 ± 0,01 m/s2 II. CÁLCULOS Aplicando la segunda ley de Newton al tapón cónico, y considerando el peso W del tapón, las fichas metálicas de contrapeso w (incluyendo el peso de la tara), el empuje hidrostático y la fuerza f actuando entre el tapón y el orificio, se obtiene la siguiente ecuación después de algunas manipulaciones matemáticas: Donde: Hc es la columna de fluido medida desde el fondo del tanque. d es el diámetro del orificio de fondo del tanque. D es el diámetro de la base del tapón cónico. L es la longitud del tapón cónico. W es el peso NO sumergido del tapón cónico. w es el contrapeso (tara y fichas metálicas). ρ es la densidad del fluido.
g es la aceleración de la gravedad. f es una fuerza que actúa alrededor del tapón y en contacto con el orificio. Los datos mostrados en la tabla 2 no consideran el peso de la tara, por lo que habría que sumársela:
w (N) ± 0,01 N | Hc (m) ± 0,001 m | 8,78 | 0,470 | 7,81 | 0,423 | 6,83 | 0,384 | 5,85 | 0,340 | 4,87 | 0,297 | 3,89 | 0,254 | 2,92 | 0,215 | 1,94 | 0,169 | 0,96 | 0,119 | Tabla 3. Datos corregidos con el peso de la tara Con estos datos es posible realizar un ajuste lineal con intercepto de la forma Hc = mw + b como se muestra en la ecuación 1. Este ajuste se realiza en Excel: Gráfica 2. Regresión lineal Altura vs Contrapeso Obteniendo y = 0,0441x + 0,0817 que es el ajuste lineal. Este ajuste tiene un error asociado, el cual se estima mediante unas bandas de confianza que se calculan de la siguiente manera: (2) Con: : Ajuste lineal. tα2,n-2: Distribución t-student para una confianza del 95% : Promedio de los contrapesos. n: numero de datos. Procediendo a hacer los cálculos se tiene entonces: = 4,782 α = 0,05, confianza del 95%
n=9 t0.025,7=2,365, Buscado en tabla. = 0,0817 = 0,0441 w (N) ± 0,01 N | Hc (m) ± 0,001 m | ŷ0 | (yi -â1-â2*xi)^2 | (xi-x)^2 | Banda Sup |
BandaInf | 8,784 | 0,47 | 0,469 | 0,00000086 | 16,016 | 0,482 | 0,456 | 7,806 | 0,423 | 0,426 | 0,00000867 | 9,145 | 0,437 | 0,415 | 6,828 | 0,384 | 0,383 | 0,00000140 | 4,186 | 0,393 | 0,373 | 5,85 | 0,34 | 0,340 | 0,00000010 | 1,141 | 0,349 | 0,331 | 4,872 | 0,297 | 0,297 | 0,00000020 | 0,008 | 0,305 | 0,288 | 3,894 | 0,254 | 0,253 | 0,00000033 | 0,789 | 0,262 | 0,245 | 2,916 | 0,215 | 0,210 | 0,00002213 | 3,482 | 0,220 | 0,200 | 1,938 | 0,169 | 0,167 | 0,00000336 | 8,088 | 0,178 | 0,156 | 0,960 | 0,119 | 0,124 | 0,00002536 | 14,608 | 0,137 | 0,111 |
SUMA | | | 0,0000624 | 57,462 | | | Tabla 4. Parámetros para calcular bandas de confianza sd=0,00006247=0,00298607 SXX=57,4627=57,462 Gráfica 3. Bandas de confianza El intervalo de confianza para los parámetros de la regresión (pendiente e intercepto) están dados por las siguientes expresiones: De donde se tiene entonces: a1=0,0817±2,365*0,00298607*19+4,782257,462 a1=(0.0767),(0.08674) Intervalo correspondiente al intercepto. a2=0,0441±2,365*0,0029860757,462 a2=(0.04371),(0.0445) Intervalo correspondiente a la pendiente. El coeficiente de correlación del modelo ajustado se calcula de la siguiente manera: n | w (N) ±0,01 N | Hc (m) ± 0,001 m | xi*yi | xi^2 | yi^2 | 1 | 8,784 | 0,47 | 4,12848 | 77,158656 | 0,2209 | 2 | 7,806 | 0,423 | 3,301938 | 60,933636 | 0,178929 | 3 | 6,828 | 0,384 | 2,621952 | 46,621584 | 0,147456 | 4 | 5,85 | 0,34 | 1,989 | 34,2225 | 0,1156 | 5 | 4,872 | 0,297 | 1,446984 | 23,736384 | 0,088209 | 6 | 3,894 | 0,254 | 0,989076 | 15,163236 | 0,064516 | 7 | 2,916 | 0,215 | 0,62694 | 8,503056 | 0,046225 | 8 | 1,938 | 0,169 | 0,327522 | 3,755844 | 0,028561 | 9 | 0,96 | 0,119 | 0,11424 | 0,9216 | 0,014161 | SUMA | 43,848 | 2,671 | 15,546132 | 271,016496 | 0,904557 | Tabla 5. Parámetros para calcular coeficiente de correlación. r=9*15,546132-43,848*2,6719*271,016496-43,8482*9*0,904557-2,6712 r=22,79718516,50136*1,006772 r=0,999723 Retomando la ecuación 1, podemos considerar que el Tapón cónico es ideal es decir f = 0, con lo que tendríamos: HC=4998,2*9,78*π*0,0552 w+0,1730,10220,0552 -0,0550,1024*3,19998,2*9,78*π*0,0552
Hc=0,04311w+0,026803 Donde se observa que el valor de la pendiente es muy parecido pero el intercepto difiere grandemente, esto es debido a que asumimos f = 0, se concluye entonces que en la práctica el efecto de esa fuerza no se puede despreciar. Si seasume que se desconoce el valor de la densidad del agua, es posible hallarlo a partir de la pendiente obtenida en el ajuste lineal, de la siguiente manera:
m=0,0441=4ρgπd2
Despejando: ρ=40,0441*gπd2 ρ=40,0441*9,78*π*0,0552=975,9Kg m3
Es cual es muy parecido al valor teórico de 998,2, es posible hallar el porcentaje de error: %Ë=998,2-975,9998,2*100% %Ë=2,2% Que es un error bastante aceptable, asociado principalmente a los instrumentos de medición. Teniendo la ecuación teórica Hc=0,04311w+0,026803 es posible hallar Hc a partir de distintos valores de w tomados en la práctica, cuyos pares de valores se muestran a continuación: w (N) ± 0,01 N | Hc (m) ± 0,001 m | 8,78 | 0,405 | 7,81 | 0,363 | 6,83 | 0,321 | 5,85 | 0,279 | 4,87 | 0,237 | 3,89 | 0,195 | 2,92 | 0,153 | 1,94 | 0,110 | 0,96 | 0,068 | Tabla 6. Datos de la ecuación teórica Graficando: Ilustración 4. ecuación teórica tomando datos de contrapeso experimentales Comparándola con el ajuste lineal hecho anteriormente, se observa que la pendiente de la recta es similar, pero ésta pasa un poco mas cerca del origen, debido a que el intercepto b es mas pequeño, además los valores de altura son un poco menores a los delajuste. Ahora, despejando f de la ecuación (1) se obtiene: De donde es posible hallar el valor de la fuerza f para cada par de valores Hc y w medidos: w (N) ± 0,01 N | Hc (m) ± 0,001 m | f (N) | 8,784 | 0,47 | 2,913 | 7,806 | 0,423 | 2,801 | 6,828 | 0,384 | 2,874 | 5,85 | 0,34 | 2,832 | 4,872 | 0,297 | 2,812 | 3,894 | 0,254 | 2,793 | 2,916 | 0,215 | 2,866 | 1,938 | 0,169 | 2,777 |
0,96 | 0,119 | 2,596 | Tabla 7. Fuerza f para cada par de puntos medidos. Ilustración 5. Variación de f con Hc Esta tendencia se debe a que la fuerza f que actúa entre el tapón y el orificio debe obedecer a fuerzas de fricción que dependen de la naturaleza de los materiales que están hechos el recipiente y el tapón y no de las otras características del experimento como altura de columna, contrapeso, etc. III. ANALISIS DE RESULTADOS Se puede concluir que el experimento fue satisfactorio, por varios factores, comparando la ecuación obtenida por el ajuste lineal y la ecuación obtenida teóricamente se observa que son muy parecidas, incluso la pendiente tiene un error menor al 2 %, lo que muestra que los datos experimentales no están alejados de los datos que en realidad se espera obtener. Tambiénmediante el experimento fue posible obtener el valor experimental de la densidad del agua, que comparado con el valor teórica, nuevamente resulta muy parecido. En cuanto a la medición de la fuerza f, podemos decir que se obtuvo el resultado esperado, es decir una fuerza constante, que no dependa ni del peso y ni de la altura. IV. CONCLUSIONES * El error obtenido en la medición está asociado principalmente a los instrumentos de medición, otras causas posibles de error son el ojo humano, ya que la refracción del agua sobre el vidrio que permitía ver el nivel era un poco alto y dificultaba obtener con claridad la altura precisa en la que el tapón cónico dejaba fluir el agua, otra posible causa de error es la fricción de las poleas, que en el experimento se asumió ideales y no se tuvo en cuenta para el análisis. * Se observó también que en el experimento la superficie del tapón cónico no era completamente uniforme, por lo que dejaba pasar agua continuamente. Este paso de agua disminuye la altura de la columna de agua que hay en el experimento y afecta la precisión en la medida de esta altura. Otro efecto que causa es impedir el contacto directo entre el orificio y el tapón, lo cual setraduce en un efecto directo sobre la fuerza f que actúa entre el tapón y el orificio. * A medida que se aumenta la altura del agua en el tapón cónico, la presión y la fuerza sobre este aumenta, así como también aumenta la fuerza de empuje hasta que el agua rebasa el objeto, donde a partir de ahí permanece constante ya que el empuje es igual al volumen desalojado por el tapón. Para poder romper ese equilibrio hidrostático y mirar como actúan las leyes sobre el tapón se le agrega un contrapeso en dirección contraria a la fuerza de presión sobre
este. REFERENCIAS * POTTER, MERLE y DAVID C WIGGERT. Mecánica de fluidos. Tercera edición. Thomson. * TORO BOTERO, MAURICIO. Experimento: Fuerzas hidrostáticas sobre un tapón cónico. Universidad Nacional de Colombia. Sede Medellín. * LONDOÑO, RUBEN D. Laboratorio 2. Fuerzas hidrostáticas sobre un tapón cónico. Universidad Nacional de Colombia. Sede Medellín. Laboratorio II. Mecánica de Fluidos Fuerzas hidrostáticas sobre un tapón cónico. Presentado por: Jesús Daniel Argumedo Rocha Docente: Juan David Osorio Cano Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín Facultad de Minas - Mecánica de Fluidos Medellín – Colombia 2012
