Formulario PARDO (Algebra) - Copia

Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC)

Telf.: 315018

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TÍTULO DE LA OBRA

Formulario de ÁLGEBRA EDICIÓN 2012 Derechos Reservados © AUTORES:

Prof.: William Mostacero Montoya Prof.: Elio Necochea Aybar DIAGRAMACIÓN Y ARTE CENTRO DE CÓMPUTO ACADEMIA PARDO * Wilfredo Cárdenas Jincho E-mail: [email protected]

Academia PARDO R.D. 1560 Av. Collasuyo O – 17 (detrás de la UNSAAC) Teléfono: (084) 315018 CUSCO / PERÚ

Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso y/o legal del editor.

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LEYES DE EXPONENTES Leyes principales: I.

Producto de bases iguales: m

n

a .a  a II.

m n

a   b

Cocientes de bases iguales:

a

m

a

a

n

mn

0

m



1 a

m

VI. Potencia de un cociente: p

m.p  a   n.p  b 

p n

m



a

Exponente de exp onente

IX. Exponente fraccionario:

a  0

 am  bn  p  am.p  bn.p

p

Potencia de Potencia

m

an  Nota:

Potencia de un producto:

 am  n b 

m

p

n Nota:   am  

IV. Exponente negativo:

a

b    a

un

VIII. Potencia de potencia

a  0

a 1

m

de

 m n mnp  a    a

III. Exponente cero:

V.

VII. Potencia negativa cociente:

n

n

m

a

m

a

n   a 

m

X. Raíz de un producto: n

a b  c 

n

a

n

b

n

c

XI. Raíz de un cociente:


n

a  b

n n

a b

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3

XII. Raíz de raíz: Expresiones al Infinito m

n

p



a

mnp

n

a

EXPRESIONES CON UN NÚMERO LIMITADO DE RADICALES:

1. 2.

m

n q n

I p

a .

a.

m m m

...

a

s

m



m.n.p



a

a

m

(qn  I)p  s

n

a

m

a.

m

a.

m

a ...

m

m

a

m 1

a

n

a  n a...  n 1 a

n

m 1

n

a  a  a... 

n

m

m

n 1 a n 1

"m " r ad icales

n

n



a

xbb

"n " radicales

3.

n

n

a  a  n a...  n 1 a

x

x

x

bb

bb



xb



x

a

a

a

"n " radicales

a  a  1  a  a  1 

a  a  1  ...  a a  a  1  ...  a  1

ECUACIONES EXPONENCIALES Propiedades: 1. Para bases iguales: m

a

n

a

 m=n

3. Para bases iguales: x

x y

y

y

exponentes

 x=y

2. Para exponentes iguales:

a 4

m

x

m

 a=x

También llamada: Analogía”


“Ley

de

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GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO DE UN MONOMIO: Grado Relativo.- Esta determinado por el exponente de dicha variable Grado Absoluto.Esta determinado por la suma de los exponentes de dichas variables: Ejemplos: MONOMIO GRADOS RELATIVOS GRADO ABSOLUTO

4 5 12

M(x, y,z)  7x y x GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 12

4 + 5 + 12 = 21

GRADO DE UN POLINOMIO: Grado Relativo.- Determinado por el exponente de mayor grado. Grado Absoluto.- Determinado por el término de mayor grado. Ejemplos:

OPERACIONES CON POLINOMIOS: Dado los polinomios P(x) de grado m y Q(x) de grado n ; siendo m>n Grado

Operación

Procedimiento resultante El grado Adición: m P(x) + Q(x) resultante es el Sustracción: del polinomio de mayor m P(x) – Q(x) grado. Sumando los Multiplicación : grados de los m + n P(x) . Q(x) factores. Restando el grado del División: dividendo m–n menos el P(x)  Q(x) grado del divisor Multiplicando Potenciación: el grado de la mk base y el [P(x)]k exponente. Dividimos el Radicación: m grado del K Radicando P(x) k entre el índice.

POLINOMIO P(x,y)=3x5y7 – 2x9y2 GRADOS GR(x) = 9 RELATIVOS GR(y) = 7 GRADO Es el grado del ABSOLUTO primer término: 12


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5

POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO: Todos sus términos poseen igual grado. Ejemplo: 5 8

12

G13

G13

P(x, y)  4x y  7xy

10 3

G13

2. POLINOMIO ORDENADO: Presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables. Ejemplo: 9 2

7 8

# términos  Gº 1

x y

Se dice que: P(x,y) es homogéneo, cuyo grado de homogeneidad es 13.

4 10

P(x, y)  x y  4x y  3x y

número de términos estará determinado por el grado del polinomio aumentado en la unidad.

 En todo polinomio completo y ordenado (en general para todo polinomio) se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad.  Coeficientes  P(1)

2 15

x y

El polinomio está ordenado con respecto a “x” en forma decreciente y con respecto a “y” en forma creciente.

 Análogamente el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(s) variable(s) por cero. T.I. = P(0)

3. POLINOMIO COMPLETO: Es aquel que tiene desde su máximo exponente, en forma consecutiva, hasta el grado cero (término independiente) Ejemplo: P(x) = 2x4 – 3x3 + 8x2 – x + 5 P(x,y) = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios, del mismo grado y con las mismas variables, serán idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes en ambos son iguales. Ejemplo: 5

OBSERVACIONES:  En todo polinomio completo y ordenado de una sola variable se cumple que el

6

2

5

2

ax  bx  c  3x  7x  9 Se cumple que: a = 3 ; b = –7 ; c = 9


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5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Cuando los coeficientes de sus términos son nulos o ceros.

Se cumple:

a0 ; b0 ; c0 NOTA: Se dice que un polinomio es Mónico, cuando el coeficiente principal es la unidad.

Ejemplo: Si: ax3 + bx + c = 0

PRODUCTOS NOTABLES I. BINOMIO AL CUADRADO (T. C. P.) (trinomio cuadrado perfecto)

III. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO.

2 2 2 *  a  b   a  2ab  b

3 *  a  b   a3  3a2 b  3ab 2  b 3

forma desarrollada. 2

2

*  a  b   a  2ab  b

2

2 2 Observación:  a  b    b  a 

Corolario: Identidad de Legendre: 2 2 2 2 *  a  b    a  b   2 a  b 

2 2 *  a  b    a  b   4ab

3 3 3 *  a  b   a  b  3ab  a  b 

forma abreviada: Cauchy 3 3 2 2 3 *  a  b   a  3a b  3ab  b

forma desarrollada. 3 3 3 *  a  b   a  b  3ab  a  b 

forma abreviada: Cauchy

II. DIFERENCIA DE CUADRADOS.

IV. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

2 2 * a  ba  b  a  b

* a  b   a  b  a  ab  b

* x

2n

y

2n



n

 x y

n

 x n  y n 

3

3

3

3





2

2

2

* a  b   a  b  a  ab  b


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 2

7



V. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO.  a  b  c  2  a2  b 2  c2  2ab  2ac  2b c

forma desarrollada.

XI. IGUALDADES CONDICIONALES. 1. Si: a  b  c  0 ; se demuestra: 2

2

2

* a  b  c  2  ab  ac  b c 

 a  b  c  2  a2  b 2  c2  2  ab  ac  b c 

forma abreviada.

3

3

3

* a  b  c  3ab c  Importante (Ojito)

VI. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN: STEVIN *  x  a   x  b   x 2   a  b  x  ab

VII. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO. *  a  b  c  3  a3  b 3  c3  3a2b  3ab 2  2

2

2

* a4  b4  c4  2  a2b2  a2c2  b2c2  5 5 5 * a  b  c  5abc  ab  ac  bc 

2

2

2

2. Si: a  b  c  ab  ac  bc Donde: a, b, c  Entonces: a = b = c

3b c  3a c  3b c  6 ab c

*

3

3

3

3

a  b  c  a  b  c   3 a  b  a  c b  c

VIII. IDENTIDAD DE ARGAND. 2m m n 2n 2m m n 2n *  x  x y  y  x  x y  y   4

x x

2m 2n

y

y

4n

3. Si se verifica que: a2 + b2 + c2 + … + n2 = 0 Será posible, cuando: a=b=c=…=n=0 Teorema: 2

La expresión: ax  bx  c es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO si, y sólo si se verifica que: 2

4k

* x x

8

2k

2k k 2k k  1  x  x  1 x  x  1

b  4ac .


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COCIENTES NOTABLES FORMA GENERAL: n

n

x a ; donde: x; a son las xa bases y n  N Condiciones que deben de cumplir: a) Deben tener las bases iguales b) Deben tener los exponentes iguales. FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES:

Tk  (signo)x

nk k 1

a

Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de los bases en el numerador. Regla para el signo: a) Cuando el divisor es de la forma (x–a) todos los términos son positivos. b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) los términos de lugar par son negativos y los términos de lugar impar son positivos.

Si:

x

m p

a

x a notable

n

; origina un cociente

q

Entonces se cumple: m  n p q Además: m n   Número de términos p q PROPIEDADES n

n

– El cociente notable de: x  a xa es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad (n–1); es un polinomio de “n” términos completo y ordenado con respecto a ambas variables. - Se puede determinar el término central de un cociente notable siguiendo estas consideraciones: 1. Si el número de términos es par:

TC1  Tn

2

TC2  Tn 2 2

2. Si el número de términos: impar

TC  Tn 1 PROPIEDAD:

2

- Si contamos los términos a partir


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del último, para hallar el término de lugar “k” sólo intercambiamos los exponentes; así:

t k  (signo)(x)

k 1

 (a)

nk

FACTORIZACIÓN Es la transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. factorización 2

x  9x  22   x  2   x  11

P(x) ≡ f(x) . q(x) es decir, la división de P(x) entre f(x) es exacta. Ejemplo:

producto

No todos los polinomios se pueden factorizar. De acuerdo a las características que presenten los polinomios se pueden aplicar tal o cual criterio, por ejemplo: Factor Común Aspa Ax2n+Bxnym+Cy2m Simple Aspa Ax2n+Bxnym+Cy2m+Dxn+Eym+F doble Aspa Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E Doble Especial Divisores Ax3+Bx2+Cx+D Binómicos

ax2y2+bxy3z+cx3my4

De P(x) = x(x2 – 1)(x + 2), sus factores son: x; x+1; x–1; x+2; x2+2x; …; x(x+1)(x-1)(x+2)

POLINOMIO IRREDUCTIBLE:

Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico si no admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo. TEOREMA Todo polinomio de primer grado es irreductible en cualquier campo numérico.

FACTOR DE UN POLINOMIO:

Un polinomio f(x) de GRADO NO NULO, es considerado factor de otro polinomio P(x) si existe un único polinomio q(x) tal que:

10

NOTA: Los conjuntos numéricos considerados como CAMPOS NUMÉRICOS son los


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racionales ( ) , los reales ( ) y los complejos ( ) . Propiedades de los polinomios irreductibles en un campo numérico *) Todo polinomio de primer grado es irreductible *) Si el polinomio P es irreductible lo es también cualquier polinomio cP donde “c” es un elemento de dicho campo

(c  0) . FACTOR PRIMO: Es un factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo. Ejemplo: P(x) = 5(x – 2)2(x2 + 3x + 1) Sus factores primos en Q, son: x – 2 ; x2 + 3x + 1 en cambio (x – 2)2 no es primo, puesto que es divisible por: (x – 2). Conteo de Factores Primos: El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen a la variable, es decir, los factores distintos que se hallan contenidos. Ejemplos: Q(x) = x(x – 4)2(x2+1)5(x2 + y2)

Tiene 4 factores primos. 2 lineales: x ; x – 4 2 cuadráticos: x2 + 1 ; x2 + y2 P(x) = 5(x – 1)4(x + 2)2(x – 1)2 Tiene 3 factores primos. Número de Factores Algebraicos: Este número de factores algebraicos también se les denomina divisores. Número de factores 





Dado: x  y  z Factores primos son 3: x , y , z Factores algebraicos: (+1)(+1)(+1) – 1 Factores o divisores: (+1)(+1)(+1) Ejemplo: Dado (x  2)(y  1)

2

* Factores primos: 2 * Factores algebraicos: (1+1)(2+1) – 1 = 5 * Divisores: (1+1)(2+1) = 6 CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN CRITERIO DEL FACTOR COMÚN El factor común es el que figura en cada uno de los términos. De no haber, se puede obtener agrupando convenientemente los términos. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE Es apropiado para factorizar polinomios de la forma:


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P  x;y   AX

2n

n m

 BX Y

2m

 CY

CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

CRITERIO DE LAS IDENTIDADES Es necesario recordar: 2

2

3

3

a  b  (a  b)(a  b) 2

P  x   AX

2

3

3

2

2

a  b  (a  b)(a  ab  b ) 2

2

3

3

(a  b)  a  2ab  b

2

4

(a  b)  a  3a b  3ab  b

3

CRITERIO DEL ASPA DOBLE Este método se utiliza para factorizar polinomios de la forma: P  x;y   AX

2m

m n

 BX Y  CY

2n

 DX

m

n

 EY  F

Pasos que se deben seguir: Ordenar el polinomio de acuerdo a la forma general mostrada. Si faltase algún término, se debe completar con ceros; pero de acuerdo a donde le corresponda. Se aplica tres aspas simples como se muestra en el esquema y los factores se toma horizontalmente. AX

2n

a1x

n

n a12 2x

n

 BX Y

m

 CY

2m

c 1y

n

 DX

n

 EY

m

 BX

3m

 CX

2m

 DX

m

E

3

2

P  x   AX  BX  CX  DX  E

2

2

4m

En particular polinomios de cuarto grado

a  b  (a  b)(a  ab  b )

 F

f1

Procedimiento de factorización: Ordenar el polinomio en orden descendiente completando los términos faltantes con ceros. Se descomponen los términos extremos tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central. 4

3

2

P(x)  AX  BX  CX  DX  E

a1x

2

c1x

2

c2x

a2x

e1 e2 Lo que le falta

CRITERIO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS O EVALUACIÓN BINÓMICA Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado.

n Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) f2 c 2y

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Se basa en el criterio de divisibilidad de polinomios y por lo tanto usa el criterio del teorema del resto en forma inversa.

Entonces los posibles ceros están determinados por:

Si: P  x    x  a   R  P  a   0 ;

2) Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad. En este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.

luego  x  a  es un divisor o factor de P  x  Ceros de un polinomio (Ceros Racionales) Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que el valor numérico sea igual a cero: Ejemplo: 3

2

Sea P  x   x  6x  11x  6 Para: x   1 3 2 P  1   1  6  1  11 1  6  0

Luego podemos decir que: “1 es un cero del polinomio P  x  ” ¿Cómo debes determinar los posibles ceros de un polinomio? 1) Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad: En este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con signo doble ( ) . 3

2

Si: P  x   x  6x  11x  6 Divisores

div 6:  1 ;  2 ;  3 ;  6

Posibles ceros

=

Racionales

Divisores del término independiente Divisores del primer coeficiente

Sea el polinomio: 3

2

P  x   6 x  11x  6 x  1 Posibles ceros: divisores del término independiente 1

1 1, 2, 3, 6

divisores del primer coeficiente

6

Posibles ceros:

1 1 1 1;  ;  ;  2 3 6 CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS Este método consiste en darle una forma adecuada al polinomio;


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operando en forma conveniente, realizando cambios de variable o sumando y restando una misma cantidad con la finalidad de hacer más sencilla su factorización.

1. CAMBIO DE VARIABLE: Consiste en buscar expresiones iguales directa o indirectamente a través de ciertas transformaciones para luego proceder a un cambio de variable que permitirá transformar una expresión aparentemente compleja en otra más simple. 2. “QUITA Y PON” O REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS: Consiste en sumar y restar una

expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas reducciones logres formar un trinomio cuadrados perfecto y como consecuencia de ésta situación se forme una diferencia de cuadrados. 3. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES: Consiste en sumar y restar una o varias expresiones en forma conveniente de tal modo que se formen uno de los trinomios:

 x 2  x  1 ó  x 2  x  1

ambos componentes de una diferencia o suma de cubos.

RADICACIÓN DEFINICIÓN.- Son aquellos que se caracterizan porque dentro de un radical se encuentran contenidos otros radicales ligados con otras expresiones a traves de las operaciones de suma o resta Ejemplos:

A

B;

3

a b  CONVERSIÓN DE DOBLES A SIMPLES:

14

x

c

y ;

d RADICALES

CASO 1:

A B  Donde: C 

AC  2

AC 2

2

A B

Raiz exacta Regla práctica de transformación:

A2 B 

x

y

x+y x.y (x y)


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CASO 2: Estos radicales bajos ciertas condiciones adoptan la forma siguiente: a b 

c

d 

x

y

z

a b 

c

d 

x

y

z

RACIONALIZACIÓN CASO I: Denominador n

a

q

n  q

n

2 3

Radicales de la forma: A B Estos radicales podrán adoptar la forma siguiente:

A

Donde :

B = x C

3

y

a

n

a2 b

Denominador

F.R.

Resultado

a b

a b

ab

CASO III:

Denominador 2

a

Resultado

n q

CASO II: Cuando el denominador es de la forma:

CASO 3:

3

F.R. n

F.R.

Resultado

 3 a2  3 ab  3 b2   3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2  3 a  3 b

A B 3

Además:

A  4x  3xC

A su vez :

y  x C

a+b a–b

2

ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I. De acuerdo al Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. II. De acuerdo a sus coeficientes: Pueden ser con coeficientes numéricos o literales. III. De acuerdo a sus incógnitas: Pueden ser ecuaciones con 1, 2, 3, etc. incógnitas. Ejm.

x + y + z = 9 (Ecuaciones con 3 incógnitas) x + y = 5 (Ecuaciones con 2 incógnitas) IV. De acuerdo a sus soluciones: Pueden ser: A.Ecuación Posible o Compatible:


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Son aquellas ecuaciones que tienen o admiten solución y pueden ser: 1. Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejm. (x  3)(x  2)  0  C.S.  3; 2 2. Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones: Ejm.  x3 x3 2

2

 4x  12x  9  4x  12x  9 B. Ecuación imposible, incompatible o absurda: Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya solución no satisface a la ecuación: Ejm.  2x  4  2x  7 

2 0 x3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Llamadas también ecuaciones lineales tienen la siguiente forma general: ax  b  0 ; donde: x   b a Discusión de la raíz: 1. Si: a  0 y b  0 ; la ecuación es determinada y el valor de “x”

b . a 2. Si: a  0 y b  0 ; la ecuación es determinada y la ecuación tiene solución única: x = 0. es único: x  

16

3. Si: a  0 y b  0 ; la solución es incompatible. 4. Si: a  0 y b  0 ; la ecuación es indeterminada. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que tienen la siguiente forma general: 2

ax  bx  c  0

para: a  0

Resolución de una ecuación de 2º grado. 1. Por factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero. 2. Por fórmula general: (Baskara)

x

2

b  b  4ac 2a 2

Donde: es el b  4ac discriminante de la ecuación cuadrática y denotamos por:  2

  b  4ac Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado: Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical. (Discriminante). Casos que se presentan: Si:  > 0

Las raíces son reales y diferentes.


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Las raíces son reales e Si:  = 0 iguales. Las raíces son y Si:  < 0 complejas conjugadas. Propiedades de las raíces: 2

Sea: ax  bx  c  0 ; donde x1  x2 son raíces. Luego se cumple: 1) Suma de raíces: x1  x 2  

b a

c 2) producto de raíces: x1  x 2  a

a b c   m n p FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO

x 2  ( x1  x 2 ) x  ( x1  x 2 )  0 ECUACIONES BICUADRADAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 4

Suma de raíces.

 a 1 1 b   2) x1 x 2 c 1) | x1  x 2 | 

c a Producto de raíces.

2) x1  x 2  x 3  x 4 

2

3)  x1  x 2    x1  x 2   4x1 . x 2 4) Si las raíces son simétricas:

3) x1  x 2  x 3  x 4 

x1  x 2  1  a = c 6) Sean las ecuaciones:

ax  bx  c  0 …(I) 2

b a

Producto binario.

x1  x 2  0  b = 0 5) Si las raíces son recíprocas:

2

2

Sea: ax +bx + c = 0 ; y sus raíces: x1 , x 2 , x 3 , x 4 1) x1  x 2  x 3  x 4  0

OTRAS PROPIEDADES:

2

Si estas ecuaciones poseen las mismas soluciones se cumple:

a0

mx  nx  c  0 …(II) m  0

Formación de una Ecuación Bicuadrada Si las raíces son: x1 , x2 , x3 , x4 ; la ecuación se formara haciendo. (x  x 2)(x  x 2)(x  x 3 )(x  x 4 )  0



x4+(x1. x2 + x3. x4) x2 + (x1. x2 . x3. x4)=0

DESIGUALDADES E INECUACIONES Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC)

Telf.: 315018

17

DESIGUALDAD: Es aquella relación que se establece entre 2 números reales y que nos indica que tienen diferente valor. NOMENCLATURA: > : mayor que < : menor que  : mayor o igual que  : menor o igual que TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES: 1. a > b y m  R a  m > b  m

x

y

8. a  b  1  b  b  x  y INTERVALO: Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles como aquel conjunto de valores comprendido entre dos limites, llamado límite superior o supremo y límite inferior o ínfimo. CLASES DE INTERVALOS: 1. Intervalo Abierto: Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los extremos se representa:   ó

2. a > b y m > 0  a.m > b.m

b a > m m

y

x 

a b < m m

4. a > b y m # impar  R m

a

b

m

m

y

a

m

5. a > b y m # par  R a

6.

m

b

m

y

m

a

m

x

y

7. b  1  b  b  x  y

18

 

b

x



1 1  ab a b



2. Intervalo Cerrado: Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos y se representa:



b  a;b  R

b

x  a,b  a  x  b

3. a > b y m < 0  a.m< b.m y

a

 

a

b

x   a,b   a  x  b



INECUACIONES DE PRIMER GRADO Forma general: ax + b > 0 ó ax + b < 0 Para resolver una ecuación lineal se transforma para todos los


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términos que contiene a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro y luego en la recta numérica se identifica el intervalo al cual pertenece la variable. INECUACIONES SUPERIOR Forma general:

DE

2

ax  bx  c  0

ORDEN

ó

2

ax  bx  c  0 CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER ESTE TIPO DE INECUACIONES 1. El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero. 2. La expresión debe estar factorizada para luego igualar cada factor a cero. 3. Se ubican dichos valores sobre la recta numérica (puntos críticos). 4. Se empieza por asignar el signo (+) en el último intervalo y luego en los demás intervalos de variación se alternan los signos (), (+), (), (+),.... de derecha a izquierda. 5. La solución de la inecuación estará dada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad es (>) o por las zonas negativas si el sentido de la desigualdad es (<). Recordar:



JENA

(+) (–)

> <

 

Cuando los factores de P(x) son todos lineales y algunos ceros son de multiplicidad mayor que uno. Suponiendo que (x-r) es el factor que se repite “m” veces entonces puede ocurrir lo siguiente: 1. Si m es par Cuando un factor esta elevado a un exponente “par” los signos de los intervalos no son alternados (se repite el mismo signo) 2. Si m es impar Cuando un factor esta elevado a un exponente impar los signos en los intervalos no se alteran INECUACIONES FRACCIONARIAS Los puntos críticos obtenidos del denominador siempre son “ABIERTOS”.

INECUACIONES IRRACIONALES INECUACIONES CON RADICALES Para resolver inecuaciones con radicales se debe tener precaución con los signos sobre todo cuando eliminamos los radicales se requiere hacer un


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19

análisis del campo de variación de la variable contenida en el radical toda vez que la solución dependa de este campo. TEOREMAS: 1. a  b  a  0  b  0  a  b 2 2. Si: a  0  b  0  ab    2 a  0  b  0  a  b

3. Si:

Nota: Observe que el índice radical es impar y cuando ello ocurre el conjunto de valores admisibles es todo R entonces la existencia de la expresión ya está garantizada solo nos quedaría transformar esta ecuación en otra equivalente para poder determinar su conjunto solución. INECUACIONES EXPONENCIALES x

y

1. b  1  b  b  x  y x

a b0 a0b0

y

2. 0  b  1  b  b  x  y

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “x” denotado por |x|; se define de la siguiente manera:

 x; si : x  0  |x |  0; si : x  0   x; si : x  0  EJEMPLOS: * |3| = 3 * |–5| = – (–5)  5 Conclusión: El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo o cero. PROPIEDADES: 1. |x|  0

20

xR 2. |x|2 = x2 xR 3. |x| = |–x| xR 4. |x.y| = |x|.|y|  x,y  R 5.

x x  y y

 x,y  R y  0 6. | x  y |  | x |  | y | Desigualdad triangular. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. |x| = 0  x = 0


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a  0 x  a

2. |x| = a  

6. 1  2  3     

y

2!

x  a

NOTITA: Si: |x| = –a; la ecuación es incompatible, es decir no tiene solución. 3. Si: |x|=|y|  x = y ó x = –y

3!

4!

n 1  1  n  1 !  n  1 !

ANÁLISIS COMBINATORIO:

n

n

Ck 

k nk

PROPIEDADES: n

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. |x|  y  y  0  –y  x  y 2. |x|  y  x  y ó x  –y 3. |x|  |y|  (x+y)(x–y)  0 4. |x|  |y|  (x+y)(x–y)  0 POTENCIACIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO: Es el producto de los “n” primeros números naturales y representados por el símbolo n! .

n  1 2  3  ...   n  1  n donde n  N  n  1

1. C1  n n

2. Cn  C

1

0

3. Degradación de índices: n

 Ambos índices: Ck 

n n 1 Ck 1 k

 Solo índice superior: n n n 1 Ck  Ck nk  Solo índice inferior: n

Ck 

n  k 1 n Ck 1 k

4. Combinaciones Complementarias: n

n

Ck  Cnk 5. Suma de combinaciones: n

n

n1

Ck  Ck 1  Ck 1

Simbologías: n!  Kramp  ; n

n

 notación inglesa 

PROPIEDADES: 1. Por convención: 0!  1 2. Por definición: 1!  1 3. n!  n  n  1 ! 4. Si: a!  b! Se cumple que: a=b 5. 1 1!  2  2!  3  3!   

 n  n!    n  1 ! 1, n 

TEOREMA Si:

Ck  Cp   k  p k  p  n n

n

6. Suma de C.B. iguales y decrecientes:


de

inferiores superiores

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21

 mn    mn1   mn 2        nn    mn11 ; n  7. Suma de equivalentes en la versión de complementos:



m mn



m1 m n 1



Donde: m,n 8. 

m 0

       

m 2 m n  2

n 0

m 2

m 3

m m

m

9.  m    m    m    m        1

3

5

Donde: m 



7

m m 1

TEOREMA

x  y

Si:

,mn

               2 m 1

m1 mn

LOS TÉRMINOS CENTRALES

; m

  2m1



11.       n 0

m p 1

m p2

n 2

m 0

n p

mn p

2n 1 n

Observar:

 2nn1   2nn11

pares

         ...        n 1



; n

 x n1y n 2n 1 n n 1 T2do central   n1  x y

m m m m m 1 10.  m 0    2    4    6        m 1   2

m p

; x, y 

 T1er central 

impares

Donde: m 

2n1



LOS TÉRMINOS T Y T’ EQUIDISTANTES

 x  y n

DEL DESARROLLO DE

TEOREMA

BINOMIO DE NEWTON TÉRMINO GENERAL



TEOREMA Si:

 x  y n

n

 Tk 1  k x

 n  n k y k n k n k T 'k+1   k  x y

 Tk+1  k x

SUMA n k k

y

0k n

; x, y 

n

DE

COEFICIENTES

DE

 x  y n En:

 coef  x  y 

n

n

 2 ; Luego de

hacer: x  y  1

 coef  x  y 

n

 0 ; Luego de

hacer: x  y  1

TÉRMINO CENTRAL TEOREMA Si:

 x  y  2n

 2n  x n y n

 Tcentral  n único

22

SUMA

DE

EXPONENTES

DESARROLLO DE


x



y





DEL

n

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 Exp      

n  n  1 ; n 2

MATRICES Se llama matriz de orden "m n " a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en “m” filas y en “n” columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna a1n   a11 a12   a a a 21 22 2n  A   aij   amn   am1 am2 El número total de elementos de una matriz A mn es mn. Matrices Iguales: Dos matrices A  (aij )mn y B  (bij )pq Son iguales, sí y solo sí, tienen en los mismos lugares elementos iguales: m n a b     p q  c d

Es decir: m  a , nb ; pc , q d TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes: FILA: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1 n

A13  7 2 5 

COLUMNA: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m  1.  7    A 31   1   6  TRANSPUESTA: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. t

Se representa por A ó A Si es A   aij 

T

mn

Su transpuesta es A   a ji 


t

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nm

23

1 3   1 2 5 t   A  ; A   2 4   3 4 7   5 7 

MATRIZ NULA: Todos sus elementos son ceros: 0 0   0 0 MATRIZ CUADRADA.- Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal: Son los elementos a11 , a22 , ... , ann Diagonal secundaria: Son los elementos aij con i  j  n  1 Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A  1 9 6    A3   0 2 1    2 4 5  Tr(A)  1 2  5  Tr(A)  8 MATRIZ DIAGONAL.- Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal 7 0 0    A  0 5 0   0 0  2 

24

MATRIZ ESCALAR.- Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales 7 0 0   A  0 7 0  0 0 7  MATRIZ IDENTIDAD.- Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.  1 0 0  1 0   I  0 1 0 I2     0 1  0 0 1  MATRIZ TRIANGULAR.- Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos. a) Triangular superior: Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. Es decir: 1 3 5    A   0 4 1  0 0 9  T. superior b) Triangular inferior: Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. Es decir:


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3. Multiplicación de matrices Dadas las matrices A y B existe le producto matricial A  B si y solamente si el # de columnas de A es igual a # de filas de B.

 1 0 0   A  5 4 0  2 8 7  T. inferior Matriz Simétrica: Si A es una matriz simétrica entonces está debe ser igual a su transpuesta, es decir:

Si: A  A

T

 A es simétrica

Matriz Antisimétrica: También llamada matriz hemisimétrica, se dice que una matriz es antisimétrica, si esta es igual a la negativa de su transpuesta, es decir: Si: A   A

T

 A es antisimétrica

NOTITA: Los elementos de la diagonal principal son ceros. Operaciones con Matrices 1. Adición y/o sustracción de matrices: la condición necesaria y suficiente para que 2 matrices se pueda efectuar una adición o sustracción es que estas posean el mismo orden (m  n) . 2. Multiplicación de una Matriz por un escalar: Se define del siguiente modo: k  A  k   aij    k  aij  mn

mn

A  B   aik mp   bkj 

pn

son iguales

IMPORTANTE Siendo A una matriz, e I una matriz identidad, ambas matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica que: 1°

A.I=I.A=A n

2°

I = I, con n número natural.

3°

Una matriz A se dice INVOLUTIVA si se cumple que A2 = I

PROPIEDADES: Si A, B, C,  son matrices que cumplen los requisitos para la adición y multiplicación, se tiene: 1° 2° 3° 4° 5° 6°

A(B+C)=AB + AC (A+B)C = AC + BC ABC = (AB)C = A(BC) Si AB=, no necesariamente A= ó B= Si AB = AC, no necesariamente B = C Si A = B, entonces AC=BC


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25

A2 = A . A

7°

8° A = A = ; A y  son m.c. de igual orden

Sean A y B matrices cuadradas no singulares: 1 1 1 1.  AB   B A

2.

 A 1  1  A

3. A

1

 A

ADJUNTA DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz cuadrada A  (aij ) sobre

1

t

1.  A  B   A  B

t

t

2.  A   A 3. Si A y B son conmutables cumple: A  B  B  A t

matrices se

2

4. Si: A  I  A es involutiva 2

5. Si: A A idempotente Siendo A, B cuadradas. 2



A

es

matrices

2

6. (A  B)  A  AB  BA  B

2

Cofactor de un elemento: Si A es una matriz cuadrada de orden "n" el cofactor del elemento aij se denota por c ij y se define así:

cij   1

26

i j

Mij

n– un

cuerpo K. La adjunta de A, denotado por adj A , es la transpuesta de la matriz de cofactores de A, es decir:

NOTA: t

MATRIZ DE COFACTORES Si A es un matriz cuadrada de orden "n" se define la matriz de cofactores de A y se denota por: Cofact  A  a aquella matriz que tiene por elementos a cada de los cofactores de los elementos de la matriz A.

Adj  A   cofact  A 

t

MATRIZ INVERSA Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A n y la 1

representamos por A , a la matriz que verifica la siguiente propiedad: 1 1 A   adj A  A 0 A

A

1

A  AA

1

I

Decimos que una matriz cuadrada es "regular si su determinante es distinta de cero, y es "singular si su determinante es igual a cero. A  0  Matriz Regular

A 0

 Matriz Singular


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NOTA: Si:

a b A   c d

Se tiene:

A

1



1  d b    A  c a 

DETERMINANTE Definición: El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en una escalar. Notación: det (A) ó A : Calculo de un determinante para: a) Matriz de orden dos: Dado: a12  a A   11  a a  21 22 

det(A)  A  a11a22  a12a21 b) Matriz de orden tres: para este caso pueden emplearse las siguientes reglas: – Regla de Sarrus – Menores complementarios PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES 1. Si en un determinante se cambian las filas por columnas y las columnas por filas, el valor del determinante no se altera. 2. Si en un determinante se intercambian entre si dos filas o

dos columnas el determinante cambia de signo. 3. Si un determinante tiene 2 filas o 2 columnas iguales, el determinante es cero. 4. Si en un determinante se multiplican o dividen todos los elementos de una fila o columna por un mismo número el determinante quedará multiplicado o dividido por este número. Observación: Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor común este se puede sacar como factor común del determinante. 5. Si todos los elementos de la fila son nulos el determinante es nulo. 6. Si un determinante tiene dos filas cuyos elementos correspondientes son proporcionales el determinante es nulo. 7. Si un determinante a los elementos de una fila o columna se les aumenta o se les resta los de la otra fila o columna paralela multiplicados por un mismo número el valor del determinante no varía. 8. El determinante de una matriz triangular superior o inferior (o puede ser diagonal) siempre es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.


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SISTEMA DE ECUACIONES MÉTODO DE LAS DETERMINANTES: Este método permite emplear el concepto de determinante especialmente para la resolución de aquellos sistemas en donde existen 3 ó más incógnitas mediante un conocido procedimiento llamado la regla de Cramer Regla de Cramer: En todo sistema lineal de “n” ecuaciones con “n” incógnitas el valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y el numerador es este mismo determinante en el que se ha reemplazado la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes es decir por aquellos términos ubicados en el segundo miembro de cada ecuación. Sea el sistema lineal:

a1x  b1y  c1z  d1 a2x  b2y  c2z  d2 a3x  b3y  c3z  d3 llamaremos:

 s  Determinante del sistema  x  Determinante de x 28

y 

Determinante de y

 z  Determinante de z Donde debe recordarse que: a1 b1 c1 d1 b1 c1 ;   d b c   a b c s

2

2

2

x

2

a3 b 3 c 3

2

2

d3 b 3 c3

a1 b1 d1 a1 d1 c1  y  a2 d2 c2 ;  z  a2 b 2 d2 a3 b 3 d3 a3 d3 c3

Finalmente según la regla de Cramer la solución del sistema se obtiene así: y   ; z z x x : y s s s ESTUDIO DE LAS RAÍCES EN LOS SISTEMAS LINEALES: Sea el sistema: a1x  b1y  c1 a2x  b 2y  c2 Por la regla de cramer:

x

x s

;

1. El sistema es determinado: Si:  s  0

x

y s

compatible

Las rectas son secantes


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2. El sistema será incompatible o absurdo: Si:  s  0 y  x  0 ó  y  0 Las rectas son paralelas 3. El sistema será indeterminado Si:  s  0 y  x   y  0 Las rectas son coincidentes RELACIONES Definiciones Previas: Par Ordenado.- Es un conjunto de dos elementos que guardan un orden denotado de la forma (a, b) donde: a : primer componente. b : segundo componente. Propiedades: 1. (a ; b)  (b ; a) 2. Si: (a;b)  (m;n) 

am bn

PRODUCTO CARTESIANO Definición.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama Relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano AB definida por una cierta condición o proposición.  R  A  B  es decir: R:A  B   a,b   A  B / a  A y b  B

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO: I. El producto cartesiano de A por B no es conmutativo:

A B  B A

 En particular:

A B  B A  A  B

II. El número de elementos del producto cartesiano de A  B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B, es decir:

n A  B  n A   nB

RELACIÓN BINARIA Definición.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama Relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A  B definida por una cierta condición o proposición.  R  A  B  es decir:

R:A  B   a,b   A  B / a  A y b  B

Si R es una relación de A en B, se denota así: R R : A  B , ó , A  B

Donde al conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DOMINIO DE R Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:

Dom  R    x /  x ; y   R

RANGO DE R Es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:


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Ran  R    y /  x ; y   R

 a;c   R .

CLASES DE RELACIONES: 1. RELACIÓN REFLEXIVA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación REFLEXIVA, si para todo A el par ordenado

 a;a   R

.

2. RELACIÓN SIMÉTRICA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación SIMÉTRICA si

 a;b   R

implica

(b,a)

pertenece a “R”: Es decir “R” es SIMÉTRICA  (a,b)  R  (b,a)  R 3. RELACIÓN TRANSITIVA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación TRANSITIVA si tenemos

 a;b   R

,

 b;c   R

Es

decir

“R”

es

transitiva si  a, b, c  A (a,b)  R  (b,c)  R  (a,c)  R.

implica

4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación de EQUIVALENCIA si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Calculo del DOMINIO y RANGO de una relación de R en R. DOMINIO: Aislar la variable “y”, analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable “x” de manera que y  R. RANGO: Aislar la variable “x”, analizar todos los valores posibles que toma la variable “y” de manera que x  R.

GEOMETRÍA ANALÍTICA SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Este sistema está constituido por un plano y dos copias de la recta Real perpendiculares entre sí. El punto de intersección de estos dos ejes coincide con el CERO de ambos ejes.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean: A  x1,x 2  y B  x 2,y 2   Y B(x 2 , y 2 )

(y 2 y 1) y2

Primera Componente x: o Abscisa

y

y:

30

x

C

y1

P  x,y 

O

A(x1,y 1)

(x 2 x 1)

Y

2

Segunda Componente u Ordenada

x1

X x2

X


Telf.: 315018

DE UN TRIÁNGULO:

En el triángulo rectángulo ABC, mediante el teorema de Pitágoras se tiene:

B  x 2 ,y 2 

 d(A,B) 2   x 2  x12   y 2  y12  d(A,B) 

G

 x 2  x1  2   y 2  y 1  2

A  x1, y 1 

Igualdad de Pares Ordenados.Sean:

A  x1,y 1  entonces

B  x 2 ,y 2 

y se

2



tiene

A  B  x1  x 2  y1  y 2 Suma de Pares Ordenados.- Sean:

A  x1,y 1  y B  x 2 ,y 2  

2

 x  x 2  x 3 y1  y 2  y 3  G 1 ,  3 3  

,

que:

,

entonces se tiene que:

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR: Sean A   x1;y1 , B   x 2,y 2  y

C   x 3 ,y 3  los vértices de un

triángulo cualquiera dado, siendo “S” su área, entonces: y

A  B   x1  x 2 , y 1  y 2 

B

Punto Medio de un Segmento.Sean los puntos: P  x1; y1

A

y

Q  x 2; y 2  . Si M x; y  el punto

medio del segmento PQ.

O Área del triángulo

Q  x 2; y 2 

Y

C  x 3 ,y 3 

S M x; y 

x1 1 x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

x

C Se debe tomar el valor absoluto del determinante

ECUACIÓN DE LA RECTA

P  x1; y1

X

 x  x 2 y1  y 2  M 1 ;   2 2 

COORDENADAS DEL BARICENTRO

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Es el ángulo formado por el eje “x” y la recta medido en sentido antihorario.


Telf.: 315018

31

y

y



 x

x

LA RECTA: Es un conjunto de puntos tal que al tomar dos puntos cualesquiera la pendiente es constante. I. Ecuación Pendiente – Intercepto con el eje “y” y

0    180

L : y  mx  b

 0,b 

PENDIENTE DE UNA RECTA (m) Es un número real que se obtiene al calcular la tangente de dicho ángulo: m  Tg y

y

L1

L2 120 

60 

x

x

L

x

m

II. Ecuación Simétrica: y x y L:  1 a b  0,b 

m1  Tg60 

3

m 2  Tg120   3

Teniendo dos puntos de una recta se puede hallar la pendiente y de toda recta; usando m= x

 a,0 

x

III. Forma Cartesiana

y

 x2 ,y2 

 x1,y1  x 2,y 2 

Punto móvil

 x1,y1 

 x,y  x

y  y1 m 2 x 2  x1

32

 m  Se tiene:  m  


y  y1 x  x1 y 2  y1 x 2  x1

Telf.: 315018

y  y1 y 2  y1  x  x 1 x 2  x1

FORMA GENERAL Es decir de L : Ax  By  C  0

Si: L1 / /L2  m1  m2

la

forma:

RECTAS PERPENDICULARES Rectas perpendiculares (no son los ejes cartesianos)

y

 A, B y C son coeficientes no todos nulos a la vez  La recta es horizontal cuando A0 y B0  La recta es vertical cuando B0 y A0  La recta es oblicua cuando: A  0 y B  0 de pendiente A m B y L B

L1

L2

x 

Si: L1 / /L2

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

y

P1(x1,y1)

(y 2  y 1)

d



A

(x 2  x 1)

m1  m2  1

L : ax  by  c  0

x

x L : ax  by  c  0

PROPIEDADES RECTAS PARALELAS y

d  P1,L  

L1

L2

P(x1,y 1)

ax1  by 1  c 2

a b

2

INTERSECCIÓN DE RECTAS.La intersección de las rectas



L1 : a1x  b1y  c1  0

 x

L2 : a2x  b2y  c2  0


Telf.: 315018

33

será un punto Po (x o ,y o ) el cual se hallará resolviendo el sistema de ecuaciones:

.... (I)  a1x  b1y  c1  0  .... (II)  a2 x  b 2 y  c 2  0  Po (x o ,y o )  L1 L 2 IV. Distancia entre Rectas Paralelas L1 : Ax  By  C1  0

d

L2 : Ax  By  C2  0

d

C1  C 2 2

A B

d(C,P)  r  (x  h)2  (y  k)2  r 2

A esta ecuación se conoce como la Ecuación Ordinaria o Forma Ordinaria de la ecuación de una circunferencia. OBSERVACIÓN: La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuación: 2

2

x y r

2

V. Menor Angulo entre dos rectas L2

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación que tiene la forma: 2

m 2  m1 1 m1  m 2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.

k

34

2

Donde: L1

y

“Forma Canónica”

x  y  Dx  Ey  F  0



Tg 

2

Centro   D/2 ; E/2  1 2 2 D  E  4F 2 que se cumpla

Radio  r 

Siempre condición:

2

la

2

D  E  4F  0

 Recuerda:

P  x;y 

C  h;k 

Secantes

Tangentes


Exterior

Telf.: 315018

Y

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Dada una recta L y un punto fijo F  L. La parábola es el conjunto de puntos tal que la distancia de dichos puntos a F y a L son iguales. Al punto fijo se le llama Foco y a L se le llama Directriz. Y

L

L p0

F

V

R X

L1 2  :  y  k   4p  x  h 

P(x, y)

L

p

F

R

V(h,k)

V

p

L: x  hp

;

LR  4 p

F(h  p , k) ;

L X

Ecuación de la Parábola con Eje Focal Paralelo al Eje "y".

Elementos: V : Vértice

F : Foco

LR : Lado Recto p : Parámetro

L : Directriz L1 : Eje Focal

d(P,F) e d(P,L)

pero

Y p0

L

e 1

F

R

L

V

 d  P,F   d  P,L  donde: e: excentricidad Ecuacion de la Parabola con Eje Focal Paralelo al Eje "x".Y

L

X

Y L

L

V

L V

F

p0

F

R

p0

X R X


Telf.: 315018

35

2  :  x  h   4p  y  k 

V(h,k)

L: y  k p

;

LR  4 p

F(h , k  p) ;

c  ae Elementos:

Forma General: 2

x  Dx  Ey  F  0 Eje Focal / / al eje " y " (o coincidente con el eje Y)

C : Centro

V1 y V2 : Vértices

F1 y F2 : Focos

L1 y L 2 : Directrices

L' : Eje Focal

V1V2 : Eje Mayor

y  Dx  Ey  F  0 Eje Focal / / al eje " x " (o coincidente con el eje x)

Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "X".-

ECUACIÓN DE LA ELIPSE La elipse se define como el conjunto de puntos P  x,y  , tales

Y

L1 F1

a/e

L1

E:

L

V1

F1 R

36

L2

B1

b

a

C

c

F2 V2

B2

 x  h 2 a

2



X

 y  k 2 b

2

1

C(h,k)

;

V(h  a,k)

F(h  c,k)

;

B(h, k  b)

L: x  h 

a ; e

Av. Collasuyoa O-17 (Detrás de la UNSAAC) X

V2

B2

d(P,F1)  d(P,F2)  2a

donde: e: excentricidad

F2

C

una constante “2a” (a es el radio mayor de la elipse

d(P,F1) d(P,F2 )  e d(P,L1) d(P,L 2 ) 0  e 1

L2

B1

V1

que la suma de las distancias de P a los focos F1 , F 2 es igual a

Y

LR : Lado Recto

B1B 2 : Eje Menor

2

LR 

2b a

2

Telf.: 315018

Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "Y".-

Y

L2

V2

F2 B1

C

B2

F1

V1

E:

(y  k) a

2

2



L1

(x  h) b

2

2

1

; V(h,k  a)

F(h,k  c)

; B(h  b,k)

a e

Dominio.- Denominado también pre-imagen, es el conjunto de todos los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. Rango.- Denominado también imagen o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B. Regla de correspondencia de una función. F  (x,y)  R  R / x  Dom(F)  y  F(x)

C(h,k)

L:y  k 

X

FUNCIÓN.

2b ; LR  a

La igualdad mostrada: y  F(x) nos expresa la regla de correspondencia de la función real F.

2

FUNCIONES Definición.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B, F es una función de “A” en “B” si y solo si para cada x  A existe a lo más un elemento y  B tal que el par (x, y)  F . Es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. La igualdad mostrada: y  F(x)

Propiedad Geométrica: Una relación F   , es una función real de variable real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de F a lo más en un punto. Fig. 1

Y F

nos expresa la regla de correspondencia de la función real F. DOMINIO

Y

RANGO

DE

X

UNA

"F es una función"


Fig. 2

Telf.: 315018 Y

G

37

Analicemos a la función G definida por el diagrama sagital.

G

B

A 1 2 3 4

CLASES DE FUNCIONES: FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE: Una función F es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Ejemplo 1: Sea la función numérica F representada por el diagrama sagital.

F

A

1 2 3 4

Es

1 2 3 4

B

3

G    1,3  ,  2,1 ,  3,2  ,  4 ,1 , no es Inyectiva, pues el elemento “1” del rango le corresponden dos elementos del dominio: "2  4 " RECONOCIMIENTO GRÁFICO: Si F es una función real de variable real Inyectiva, entonces toda recta horizontal debe cortar a su gráfica en un solo punto. 1er. Ejemplo: Sea la función F cuya gráfica es: Y

X

decir:

Inyectiva puesto que a cada elemento del rango le corresponde solo un elemento del dominio.

38

2

Horizontal

F    1,1 ,  2,3  ,  3,2  ,  4 ,4  , es

Ejemplo 2:

1

Reconocemos que es una función Inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su gráfica en sólo un punto. 2do. Ejemplo: Sea la función G cuya gráfica es: Y


Horizontal

Telf.: 315018 X

- Ran  I   - Su gráfico es una recta que pasa por el origen y es bisectriz del primer cuadrante (forman 45º). Reconocemos que no es una función Inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su grafica en más de un punto.

y

yx

45º

DEFINICIÓN PRÁCTICA Una función F es Inyectiva si para cada: x1, x 2  Dom  F  , se cumple la

x

relación.

F  x1  F  x 2   x1  x 2 FUNCION SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA Una función F es suryectiva si el rango o imagen de f coincide con el conjunto de llegada B es decir:

Rango  F   B FUNCION BIYECTIVA Una función es biyectiva si esta es inyectiva y suryectiva a la vez.

2. FUNCIÓN CONSTANTE: Se simboliza por C. Su regla de correspondencia es: C  x   k es decir:

F x   k   - Dom C  - Ran  C   k - Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje x).

FUNCIONES ESPECIALES 1. FUNCIÓN IDENTIDAD: Se simboliza por I. Su regla de correspondencia es: I  x   x es decir:

y yk

F x   x

x

- Dom  I  


Telf.: 315018

39

3. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Se simboliza por . Su regla de correspondencia F  x   y  x es decir:

 x ; x0  y x  0 ; x0 x ; x  0 

5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA: - Regla de correspondencia:

F x   y 

x

- Dom  F    0,  - Ran  F    0, 

- Dom  F   - Ran  F   y   0, 

- Gráfica: y 

x

y

- Su gráfica: y  x es:

y

x

x

y  x

yx

x x

4. FUNCIÓN CÚBICA: - Regla de correspondencia:

F x   y  x

6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO: - Símbolo: - Regla de correspondencia: F x   y  x - Donde x , se define:

3

x  y  y  x  y 1

- Dom  F  

y

- Ran  F   - Gráfica: y  x y

- Dom  F  

3

yx

3

- Ran  F  

y

x

40


y  x

x Telf.: 315018

- Gráfica: se caracteriza por ser simétrica respecto al eje "y". Ejemplos: f  x   x

2

4

f x   x f  x   Cos x

7. FUNCIÓN SIGNO: - Símbolo: Sgn - Regla de correspondencia:

Si F es una función Par, debe verificarse que:

F  x   y  Sgn  x 

F   x   F  x  ;  x  Dom  F    x  Dom  F 

Se reconoce gráficamente por su simetría al eje Y. y

Es decir:

 1; x  0  y  Sgn  x   0; x  0  1; x  0  - Dom  F   - Ran  F     1,0,1 - Gráfica:

P F x 

F x  x

x

x

y

1

y  Sgn  x 

x

0

1 8. FUNCIÓN PAR: Es el conjunto

de

ordenados  x,f  x   cuales se verifica: - Regla correspondencia: f  x   f  x  - Dom  F  

pares en

los de

9. FUNCIÓN IMPAR: Es el conjunto

de

pares

ordenados  x,f  x   en los cuales se verifica que cuando x cambia de x a –x, la función cambia de signo. - Regla de correspondencia: f  x   f  x  - Dom  F   3

Ejemplos: f  x   x 1 f x   x


f  x   Sen x

Telf.: 315018

41

Si F es una función Impar, debe verificarse que:

F   x   F  x  ;  x  Dom  F    x  Dom  F 

Se reconoce gráficamente por su simetría respecto al origen “O” de coordenadas. y

ÁLGEBRA DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales F y G cuyas reglas de correspondencia son: F  x   G  x  , se definen cuatro operaciones: Adición, Sustracción, Multiplicación y División, de la siguiente manera: I. Adición:

F  G    x , y  / y  F  x   G  x 

F x 

Dom  F  G   Dom  F   Dom  G 

x x

x

F  x 

II. Sustracción: F  G    x , y  / y  F  x   G  x  Dom  F  G   Dom  F   Dom  G 

10. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: Se simboliza por “ U ”, su regla de correspondencia viene dada por: y  F(x)  U(x) Es decir:

0 ; x  0 y  U x    1 ; x  0 Donde:

Dom  F  

Dom  F  G   Dom  F   Dom  G 

IV. División:

F  F x     x , y  / y   G  G x  

... x    Ran  F   0 ; 1

Su grafica es:

y

1 0

III. Multiplicación: F  G    x , y  / y  F  x   G  x 

x

 F Dom    Dom  F   Dom  G   G  x   0 G

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales F y G , la composición de F con G denotado por F G y que se lee: F compuesta con G, es la función cuyo Dominio consiste en los

elementos: x  Dom  G  tales que

G  x   Dom  F  , cuya regla de correspondencia es:

42


Telf.: 315018

 F G   x   F G  x   Donde:

Dom  F G    x 

F

Donde:

Además: Ran  G   Dom  F    Observación: a) La composición de funciones no es conmutativa, es decir: b) En

particular,

F GG F 

   y ,x  / x  Dom  F 

Dom  F

/ x  Dom  G   G  x   Dom  F 

F GG F

1

si:

FG

Dada una función Inyectiva F y su inversa F

 F1 

1

1

1

se cumplen:

 F Inversa de Inversa

 I ; Dom  I   Ran  F 

Sea F una función Real definida por: F    x , y  / x  Dom  F  ; si F es una

II. F F

función

1 1 1 IV.  F G   G F

Inyectiva,

se

define

función Inversa denotado por: F

su 1

,

*

ó, F , de la siguiente manera.



PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA FUNCIÓN INVERSA

I.

FUNCIÓN INVERSA

  Ran  F  1   Ran F  Dom  F  1

1

III. F

F  I ; Dom  I   Ran  F 

V. La aplicación admite Inversa

F : A  B ,

LOGARITMOS Definición:

Número  log b N = x logaritmo  Base

2. La base de un logaritmo debe ser siempre positiva y diferente de la unidad. 3. Identidad fundamental:

x

b

b N Nota:

b0

b 1

N 0

Propiedades: 1. En el campo de los números reales, no existe logaritmo de números negativos.

logb N

logarítmica

N

4. El logaritmo de la unidad en cualquier base es cero:

logb 1  0 5. El logaritmo de la base será siempre igual a la unidad:


Telf.: 315018

43

logb b  1 6. Logaritmo de un Producto:

logb (AB)  logb A  logb B 7. Logaritmo de un cociente

A logb    logb A  logb B B 8. Logaritmo de una potencia n

número de este con el que hace de base, la expresión no se altera.

x logba = alog bx 13. En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la base y al número a una misma potencia "n" cualquiera, el resultado es igual al logaritmo dado. También si sacamos una misma raíz al número y a la base el resultado no se altera.

logb a  nlogb a

log b A  log

9. Logaritmo cuya base es una potencia:

logb A  logn

1 log n A  logb A b n log

n

a

a

m

m  n

b

n

b

A

n

n

A

14. Cologaritmo

cologb N   logb N 15. Antilogaritmo  antilogb x  b

10. Cambio de base:

log x N logb N  log x b 11. Regla de la cadena:

logb N logN b  1 12. Si un número tiene como exponente a un logaritmo y se intercambia simultáneamente el

44

x

logb antilogb x  x SISTEMAS DE LOGARITMOS. Importantes: 1. Sistema de Logaritmos Vulgares, decimales o de Briggs. logbN ; donde b = 10 Se denota por: log N. Todo logaritmo decimal tiene 2 partes:  Una parte decimal llamada: MANTISA.


Telf.: 315018

 Una parte entera llamada: CARACTERÍSTICAS: Así : log N = ab, cdef Característica : ab Mantisa : chef  La MANTISA se determina mediante las tablas logarítmicas.  La característica del logaritmo de un número con "n" cifras enteras es (n–1). 2. Sistema de Logaritmos Neperianos o Naturales. logbN; donde : b = e (épsilon) e  2,71828182 . . . Se denota por: ln N Función Exponencial Es aquella función que tiene la x

forma: y  a ; donde "x" variable independiente; "y" variable dependiente y la base "a" una constante. x

x

Ejm: y  2 ; y  0,4 En general la representación gráfica cartesiana de la función exponencial.

Representación Gráfica y  Dom  f  

a2;

Asumiendo valores. x y

x

dando

x

1 0

0

x

Conclusiones: – Dom exp  

1 2

 0; 

– En una función creciente:  x  Dom  exp  (en todo su x

dominio); la función y  a es positiva para todo valor de "x". – Es un función inyectiva, y por consiguiente posee inversa. – En una función continua,  x  Dom  exp  II Caso:

0  a  1; (asumiendo a  1/2 ) y  F x   a

x

x

 …  3  2  1 0

1

2

3 … 

y

 …

1 2

1 4

1 … 8

8

4

2

y 1 4

 

Ran  exp  

  3  2  1 0 1 2 3 …  1 8

Características: - Es creciennte - Corta el eje y, en el pto.  0;1 - No corta al eje x

F x   a  a  1

I Caso: Cuando a  1: y  F  x   a



 Ran  f  

1

 Dom  f  

 Ran  f  

1 2 4 8 …  x

F x   a  a  1


0



Características: - Es decreciennte - Corta el eje y, en el pto.  0;1 - No corta al eje x

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

– Dom exp   Ran  exp  



 0; 

– En una función decreciente: (en todo su  x  Dom  exp  dominio); la función y  a x es positiva para todo valor de "x". – Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa. – En un función continua,  x  Dom  exp  Función Logarítmica Es la función que tiene la forma: x

y  log a , la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. 

y  loga x 

xa

y

…

y

Ran  exp   – En una función  x  Dom  exp 

creciente:

– Corta al eje x, en el punto  1;0  – No corta al eje "y". II Caso:

0  a  1 (asumiendo a  1/2 ) x

 …

y

 …  3  2  1 0

8

4

2

1

1 1 2 4 1 2

1 … 0 8 3 … 

y

1 1 1 1 2 4 8 …  8 4 2  …  3  2  1 0 1 2 3 …  0



y

I Caso: a  1 (asumiendo a  2 ) x



– Dom exp  

y  loga x  0
2 1

2

4

8

x

y  loga x  a  1

2 1 2

46

4

8

x


Telf.: 315018

– Dom exp  





Ran  exp   – En una función  x  Dom  exp 

– Corta al eje x, en el punto  1;0  – No corta al eje "y".

creciente:

PROGRESIÓN PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Símbolos: a1 = primer término. an = término enésimo. r = razón. n = # de términos. Sn = Suma de los “n” primeros términos. tc = término central.

3. Fórmula para hallar la suma de los “n” términos:

Notación de una P.A.

 2a  (n  1)r  S n=  1 n 2  

 a1, a2, a3 ,

a20

1. Fórmula para hallar un término cualquiera:

an  a1  (n  1)  r 2. En una P.A. de un número impar de términos el tc es igual a la semisuma de los extremos:

a  an tc  1 2 En una progresión de 3 términos el segundo término es media aritmética de los otros dos. Sea la P.A. a1.a2.a3

a1  a3 2

 a  an  S n=  1  .n 2  

an1, an

r  an  an1



4. Interpolación de medios aritméticos o diferenciales entre dos números dados. Sea: P.A.  a1 ............. a n " m " medios aritméti cos

an  a1 r= i m1 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P.G.) Símbolos: t1 : primer termino tn : termino enésimo q : razón n : número de términos Sn : Suma de “n” términos


Telf.: 315018

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Pn : Producto de “n” términos Notación de una P.G.  t1 : t2 : t3 : ........ : tn-1 : tn

q

tn t n 1

Lim S =

t1 1 q

5. Interpolación de medios geométricos: Sea: t1......................t n "m "medios geométri cos

1. Fórmula para hallar un término cualquiera: n1

t n  t1  q

t qi  m1 n t1

2. En una progresión de un número impar de términos el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

t central 

t1.t n

En una P.G. de 3 términos el segundo término es media geométrica entre el primero y el tercero. Sea: t 1 : t 2

: t3

 t2 

t1.t 3

3. Fórmula para hallar la suma de los “n” términos: n t  q  t1 t (q  1) Sn  n  Sn  1 q 1 q 1

4. Límite suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada:

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Formulario PARDO (Algebra) - Copia

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