ALGEBRA LINEAL
JOEL ENRIQUE VILLA LICONA HANS ANDRÉS PEREZ CORONADO
II SEMESTRE GRUPO: 1 A
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA Facultad De Ingenierías Ingeniería De Sistemas
Montería – Córdoba Córdoba 17 de marzo de 2014
ALGEBRA LINEAL
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOEL ENRIQUE VILLA LICONA HANS ANDRÉS PEREZ CORONADO
II SEMESTRE GRUPO: 1 A
Lic. ALFREDO NISPERUZA
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA Facultad De Ingenierías Ingeniería De Sistemas
Montería – Córdoba 17 de marzo de 2014
Ejercicio Nº1: las edades de Carlos, Pedro y Juan suman el doble de la edad de Carlos, la diferencia entre las edades de Juan y Pedro es cinco veces menor que la edad de Carlos, y Pedro tiene seis años menos que Juan. Descubra las edades de Carlos, Pedro y Juan. Sea P, la edad de Pedro Sea J, la edad de Juan Sea C, la edad de Carlos
Para la solución de este problema, debemos tener el siguiente sistema de ecuaciones:
++ =2 − == 5−6
Entonces, para hallar la edad de Carlos, tenemos que: P-J =C/5
(J-6)-J=C/5 ; Se cancelan las J
6= C/5 (6*5)=C C=30 Para hallar la edad de Juan decimos que:
P + J + 30 =2(C) P + J + 30 =2(30) P + J + 30 =60 P + J =60-30 P + J = 30 J – 6 + J = 30 2J = 30+6 2J = 36 J =36/2 J= 18
Por ultimo para la edad de Pedro, tenemos que: P + J + C =2C P + 18 + 30 = 2 (30) P + 48= 60 P= 60 – 48 P = 12 Así podemos concluir que las edades son:
La edad de Carlos es 30
La edad de Juan es 18
La edad de Pedro es 12
Ejercicio Nº 2: Un padre distribuir sus bienes raíces cuyo valor es $234000, entre sus cuatro hijas de la siguiente manera: 2/3 de las propiedades deben dividirse por igual entre las hijas. Para el resto, cada hija debe recibir $3000 cada año hasta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan 3 años, ¿Cuánto recibirá cada una de los bienes de su padre? ¿Qué edad tiene ahora esas hijas? Si consideramos que: 2/3*(234000)= 156000 Ahora;
=39000
Cada una de las hijas
234000 – 156000 = 78000
Como se sabe que entre cada hija hay tres años de diferencia hacemos
La ultima hija X años
La penúltima hija X+3 años
La antepenúltima hija X+6 años
La primera hija X+9 años
Teniendo en cuenta que se les repartirá 3000 a cada una hasta los 21 años, entonces; (21-X), es la cantidad de años, esta cantidad de años que le hace falta para llegar hasta los 21 años, por tanto 3000*(21-X) es la cantidad de dinero que se les repartirá a esas hermanas hasta llegar a los 21 años, así que: 3000*(21-X) + 3000(21- (X+3)) + 3000(21- (X+6)) + 3000(21- (X+9)) = 78000
Agrupando las X, entonces: -12000 X = 78000 - 199000 X= 10 anos Si concluimos que la hermana menor tiene 10 años, la antepenúltima tiene 13 años, la penúltima tiene 16 años y la mayor tiene 19 años. Lo que se les pagará a cada una es: (21- 10)*3000= 33000 + 39000 para la menor (21- 13)*3000= 24000 + 39000 para la antepenúltima (21- 16)*3000= 15000 + 39000 para la penúltima (21- 10)*3000= 6000 + 39000 para la mayor
Ejercicio Nº 3: Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio 1 unidad de alimento1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, y unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana de proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento ¿Cuántos peces de cada especie coexistir en el lago?
Sean X 1 , X 2 y X 3 el número de peces de cada especie que hay en el lago, utilizando la información del problema, se observa que X 1 peces de la especie 1 consumen X 1 unidades del alimento 1, X 2 peces de la especie 2 consumen 3X 2 del alimento. Entonces; X 1 + 3X 2 + 2X 3 = 25000 (suministro total por semana del alimento 1), Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentos se llega a:
11 ++ 3242 ++ 233 == 20000 25000 21 + 52 + 5= 55000 1( 1 34 12 == 20000 25000) 2 5 5= 55000
Después de resolver se tiene que:
E1= -E1+E2 E1= -2E1+E3
Si
1 3 2 = 25000 ( 00 1−1−1=1 =5000 −5000)
E 2 (-3)+E1 E 2 + E 3 De este modo, se tiene un número infinito de soluciones para este sistema de ecuaciones. X 2 = 4000 -5X 3 X 2 = X 3 – 5000 Así, 5000< X 3<8000
Ejercicio Nº 4: Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros son incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles la una con la otra.
Llamemos: X: número de días que pasó en Inglaterra Y: número de días que pasó en Francia Z: número de días que paso en España Por tanto; En hospedaje gastó
30X + 20Y + 20Z = 340 En comida gastó
20X + 30Y + 20Z = 320 En gastos adici onal es
10X + 10Y + 10Z = 140
Luego nuestro sistema de función lineal es:
30+20+2=340 20+30+20=320 10+10+10=140 10+10+1=140 20+30+20=320 30+20+20=340 10+10+1=140 10 =40 −10−10=−80 10+10+1=140 10 −10=−40 =40
Cambiando E 3 ↔ E 1:
E 2 →-2E 1+ E 2 E 3 →-3E 1+ E 3
E 3 →E 2+ E 3
−
E 1→ E 1 E 2→ E 2 E 3→
E 3
Y=4 ∩ Z=4
++=14 =4=4
X + 4 + 4 = 14 X + 8 = 14 X = 14 – 8 X = 6 De acuerdo con lo anterior: El viajero pasó 6 días en Inglaterra
El viajero pasó 4 días en Francia
El viajero pasó 4 días en España
Ejercicio Nº 5: Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión, radio y revista, se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo al presupuesto asignado acerca de la cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En el primer presupuesto cada anuncio de televisión tiene un costo de $250000, en radio $5000 y en revista $30000. En el segundo presupuesto $310000, $4000 y $15000 y en el último presupuesto $560000, 10000 y $35000. Los totales por presupuesto son los siguientes: $21795000, $31767000 y $61225000. Determine la cantidad de anuncios cotizados por cada medio. Sea: X: anuncios cotizados por Televisión Y: anuncios cotizados por Radio Z: anuncios cotizados por Revista
A partir de los datos suministrados, el primer presupuesto en total es de $21795000, entonces el costo de anuncios cotizados por televisión, radio y revista están dados por:
250000X, 5000Y, 30000Z Así para cada presupuesto; entonces
21795000 = 250000X + 5000Y + 30000Z
Dividiendo por 1000 todas las ecuaciones encontradas, se obtiene en el siguiente sistema de ecuaciones:
250+5+3=21795 310+4+157=31767 560+10+35=140
− − 250+5+3= 21795 − 1156− 1111615 = 23706 5 62021 { − 5 − 5 = 5
E 2 →
E 1+ E 2
E 3 →
E 1+ E 3
E 2 → -5E 2 E 3 →5E 3
250+5+3= 21795 −6−161=62021 11−111=−23706
E 3 → E 2 + E 3
250+5+3= 21795 11+− 110511111=−23706 = 539995 11 250+5+3= 21795 11+ 111=−23706 =− 539995 1105 − −
Z= -488, 68
Y= -23706 – 111*(
)
= 30537.84163
X= 21795 – 30Z - 5Y
= 21795 – 30* (
) – 5 (30537.84163)
Ejercicio Nº 6: En una encuesta a 100 estudiantes encontramos los siguientes resultados: 50 estudiantes practican fútbol, 50 estudiantes practican voleibol, 45 practican basquetbol, 15 estudiantes practican los 3 deportes y todo estudiante practica al menos un deporte ¿Cuántos estudiantes practican solamente dos deportes?
F=50
V=50 X 15 Y
Z
B=45
++15=45 + +15=50 ++15=50 + +=35=35 + =50 +=35 −=0 + =50
E 2 → - E 1 + E 2
Con Y=Z
Y= 30 – Z ; pero Y+Y = 30 2Y= 30 Y=30/2 Y= 15
Así, Z=15 X=35-Z X=35-15 X=20
Esto quiere decir que todo estudiante práctica al menos un deporte, por este motivo no se encuentra ninguno por fuera.
Para concluir, este es el diagrama que muestra los datos de la encuesta:
F=50
V=50 20 15 15
15
B=45
Ejercicio Nº 7: Encuentre todas las combinaciones posibles de 20 monedas de 200, 500 y 1000 pesos que sumen exactamente 14000 pesos. Sea: X: combinación de monedas de 200 Y: combinación de monedas de 500 Z: combinación de monedas de 1000 Teniendo en cuenta que: X + Y + Z = 20 200 X + 500 Y + 1000 Z = 14000; dividiendo entre 100 tenemos: 2X + 5Y + 10Z
++=20 2+5+10 =140 ++=20 3+5 =100
E 2 → -2 E 1 + E 2
Así tenemos que: 3Y = 100 – 5Z
= 100−53 = 1003 − 53 =20− 1003 − 53 = 40+53 ∈ 1 ≤− 403 + 53 ≤18
Dado que debe dar un número positivo, se tiene que: 1 ≤ X ≤ 10 X
N
