Factorizacion II

 Primer Año Año

TEMA: FACTORIZACION II Método de Agrupación Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 a mas términos por lo general se encuentran luego de agrupar. Ejemplos:

1.

ax + bx

+

ay + by

  agrupando

x(a+b + y(a+b

factor común

!actori"ando: (a+b(x+y

2.

#ax + $a + 1 + 2x $a(2x + 1 + 1 + 2x

!actor común

!actori"ando: (2x + 1($a + 1

ALGEBRA

1

 Primer Año Año

xy2 + x"2 + y"2 + x2y

$

xy2 + y"2 + x"2 + x2y

%

y(xy + " 2 + x(" 2 + xy

%

(xy + " 2(y + x

Método de las Identidades a)

Trinomio Cuadrado er!ecto a2  + 2ab +b 2

%

(a + b 2

a2  & 2ab +b 2

%

(a & b 2

Ejemplo:

"# Factori$ar  1#x2 +

'x

+

2)

↓ *a" → 'x

↓ 2('x()

)

,oble producto

%)

('x + )  2

⇒

Si es -../.

&i!erencia de Cuadrados a2 0 b2

ALGEBRA

%

%

(a + b(a &b

2

 Primer Año Año

 

Ejemplo:

"#

Factori$ar   x' & 'b2

↓ *a" → x2

↓ 2b ⇒

x' 0 'b2 % (x2 + 2b(x2 0 2b

Método del Aspa 'imple

Se utili"a para factori"ar polinomios de la forma: 2

ax  + bx + c

Ejemplo:

"# Factori$ar: x2  + )x + #

 x

2

→

2x

 x

$

→

$x )x

ALGEBRA

3

 Primer Año Año

Método del Aspa &o%le: Se utili"a para factori"ar polinomios de la forma:

ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 

Ejemplo: !actori"ar 

'x2  + 12xy + y 2  + 2x + $y + 2)

2x

$y

)

2x

$y

)

  #x #xy

↓

  #x #xy

12xy

1x +

1)y +

1x

1)y

2x

$y

%

(2x + $y +) +)  2

uego: !actori"ando

(2x + $y +) +)(2x + $y + )

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E ALGEBRA

4

 Primer Año Año

")

'e*alar un !actor de:

xy + y" + 5y & x & " 0 5

ax + a + bx + b

*pta.:

0)

*pta.:

&espués

de

!actori$ar#

'e*ale un !actor# +)

'e*ale un !actor de: ax 0 ay 0 bx + by + cx 0 cy (a + 1(a & 2 + $b(a + 1 *pta.: *pta.:

1) ,)

&espués de !actori$ar#

Factori$ar: n2ax + m2ax + n 2by + m2by El ax + x 0 $a 0 $

factor de 2 do grado es:

y se se3ala un un

factor. *pta.: *pta.:

2) -)

Factori$ar . se*ale un uno de de los !actores de:

'x2 + 12xy + y 2

a" 0 a4 + b" 0 b4

*pta.:

*pta.:

/)

Factori$ar:

'e*ale un uno de de lo los !a !actores

3)

Factori$ar: a2x2 + 2abx + b 2

de: *pta.: ALGEBRA

5

 Primer Año Año

"4)

"")

Factori$ar:

",)

Factori$ar6

e

suma

los

de

/ % a2 + 2a + 1

primos:

*pta.:

7 % x2 + x 0 12

indicar

la

!actores

Factori$ar: *pta.: 6 % x2y2 + 2xy 2 + y2

e

indica dicarr el fac factor tor prim primo o de

"+)

14) Factori$ar e indicar uno de

menos términos.

los !actores de:

*pta.:

9 % x2 + $x 0 18

Factori$ar . 5a 5allar la la su suma

*pta.:

de los !actores de: 15) Factori$ar e indicar uno de 7 % #'x ' 0 $#y 2"#

los !actores de:

*pta.:

/ % x2 + #x 0 $

*pta.:

Factori$ar: "0)) "0

!ac acto tori ri$$ar e ind indic icar ar la sum sumaa

6 % 1x 8y# 0 2)" 1#

de los !actores de:

*pta.:

7 % x2 + $x 0 '

ALGEBRA

6

 Primer Año Año

"2)

"1)

Factori$ar7

e

indicar  

*pta.:

la suma de sus !actores de:

Fac acto tori ri$a $arr6 e ind indica carr un uno de de

7 % 1#x2 0 8xy + y 2 0 12x +

los !actores de :

$y 0'

6 % x2 0 'xy + 'y2 + x 0 2y & 2

*pta.:

*pta.:

"3)

Factori$ar

usando

el

método del aspa do%le# 7 % 18x2 + xy 0 2y 2 + '#y + 2'x 0 2' y se3ala un factor f actor..

*pta.:

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A ALGEBRA

7

 Primer Año Año

")

'e*ale un !actor de:

xy + 5" 0 5y + x"

/ % ax + bx 0 ay & by

a (x + 5

b (5 & x

c (y + "

d (y & "

a a 0 b

b x + y

c a + b

d 1

e (" & y

/)

e 2

'e*alar

uno

de

los

!actores de: +)

'e*ale un !actor de:

xm 0 xp + xn + my 0 py + ny

(x + 1(y &2 + $x(x + 1

a (m & n + p

b (m 0 n & p

c (m + n & p

d (x & y

a (x + 1

b (x & 1

c (y & 2

d (y + 2

0)

e 1

,)

e (m + n

'e*alar un !actor de:

&espués

de

se*alar

uno

!actori$ar# de

los

!actores: ax 0 ay 0 bx + by 0 cx + cy

nx + ny + x + y

a (n & 1

b (x & y

c (x + y

d x

a (x + y

b (y 0 x

c (a + b + c

d (a 0 b & c

e (a 0 b + c

e y

1)

&espués

de

!actori$ar  

se*ale el !actor com8n de -)

Factori$ar . se*alar uno

+do grado#

de los !actores de: 7 % x 2 0 y2 + px2 + py2 ALGEBRA

8

 Primer Año Año

a (ax + by 2 a (x2 + y2

b (y2 0 x2

b (ax + by

c (ax & by

c (x2 & y2d (p2 + 2

d (ay & bx

e (ax & bx

e (p2 0 2

"") 2)

Fac acto tori ri$$ar e ind indic icaar un uno de de

Factori$ar:

los !actores de:

7 % $#x ' 0 1#y #

7 % x2 0 )x 0 2'

;allar

la

suma

de

sus

factores primos:

a 1x2

b 12x2

c #x2

d 8y$

b (2x + $

c (x & 8

d (x & $

e (x & 1

"+)

e 12y$

a (x + 8

Indicar la suma de los !actores:

3)

9allar la la di di!erencia de de lo los !actores mnimos de:

7 % x2 0 x + 2

#'x'y# 0 $#" #

a (x + 

b (2x & 

c (2x & '

d (2x + )

a 12x2 y2

b 12"$

c 12x2

d 12y$

e (2x & 1

e 12 x $y2

"4)

Al !actori$ar la e;p e;presión7

",)


uno de los !actores es:

de:

/ % (a2x2 + 2abxy + b 2y2

7 % #x2 + )xy 0 #y 2 0 2x + 2$y 0 2

ALGEBRA

9

 Primer Año Año

a 2x + $y 0 ' b $x + 2y & )

/ % 2x2 0 =xy + #y 2  + 8x 0

c #x 0 2y & ) d )x 0 'y + 8

1$y + #

e 8x 0 2y + $

"-)

&espués

de

!actori$ar7

indicar la suma de los

a x 0 2y + $

b x + 2y & $

c x 0 2y & $

d 0x & 2y & $

e 2x + $y 0 2

!actores de# 7 % 'x2 0 y2 + 2'y 0 1#

a 2x

b $x

c 'x

d #y

e 8y

"/)

Factori$ar7 e indicar un !actor 

ALGEBRA

10

 Primer Año Año

TEMA: TEOR
<

Igualdad (%.&  (%.& Son dos expresion expresiones es aritmético aritméticos s o algebrai algebraicas> cas> 4ue go"an go"an del mismo ?alor. Ejemplos: 1 una docena % 1 unidades

2  + ' % 1# 0 $

$ )x % 2

<< Identidad (≡.& Es una igualdad por si misma e?idente. Ejemplos: 1 8 ≡ 8

2 ) ≡ )  )

$ y + = ≡ y + =

<<< Ecuación.& Es una igualdad de expresiones de las cuales una encierra cantidades desconocidas (inc@gnitas> a las cuales le corresponden unos ?alores condicionados> pero determinados. /or ejemplo: 2x % 1 as cantidades desconocidas estAn expresados por medio de letras> generalmente las ultimas del alfabeto> como lo son: x> y> "> "> etc.

Miem%ros de una Ecuación En cada ecuaci@n se distinguen dos partes llamadas miembros de la ecuaci@n> 4ue se encuentran de uno y otro lado> del signo de igualdad. /rimer miembro Segundo miembro ALGEBRA

⇒ ⇒

a la i"4uierda del signo (% a la derecBa del signo (%

11

 Primer Año Año

Ra$ . con>unto solución d una ecuación Es el número o conjunto de números 4ue al reempla"ar a la ?ariable de la ecuaci@n> la transforma en una proposici@n ?erdadera. Ejemplo: )x + $ % 1$

El ?alor x % 2 es una ra" (la única> de la ecuaci@n.

uego:

) x 2 + $ % 1$ 1 + $ % 1$ 1$ % 1$

→

/roposici@n ?erdadera

rincipios ?enerales de las ecuaciones 1ro

Sin alterar las soluciones de una ecuaci@n> se puede a3adir o 4uitar  una misma cantidad a sus dos miembros. Ejemplo:

1

$x 0 ) % = $x 0 ) + ) % = + ) $x % 12

2

)x + $ % 18 )x + $ 0 $ % 18 0 $ )x % 1)

2do

Sin alterar las soluciones de una ecuaci@n> se puede multiplicar o di?idir por una misma cantidad a ambos miembros.

ALGEBRA

12

 Primer Año Año

Ejemplo: 1

'x + 1 % 21 2('x + 1 % 21 21 . 2 C 8x + 2 % '2

2

$x 0 # % 

3x − 6 3

=

9 3

C

3x

→

3

−

6 3

=3

x02%$

ropiedad de la Transposición de Términos En toda ecuaci@n> lo 4ue esta sumando> restando> multiplicando y di? di?idi idiendo endo en un miem miembr bro> o> pas pasa pres presta tan ndo> do> suman umand do> di? di?idien diend do y multiplicando> respecti?amente respecti?amente al otro miembro. Ds:

1

x + 8 % 1$

entonces:

x % 1$ 0 8

2

y0%#

entonces:

y%#+

$

#" % 18

entonces:

"

entonces:

5%'.$

'

ALGEBRA

w 3

=4

=

18 6

13

 Primer Año Año

Ecuaciones de rimer ?rado con una Incógnita -oda ecuaci@n de /rimer rado con una inc@gnita> puede reducirse a la forma: ax + b %  F,onde:

x

:

inc@gnita

ayb

:

coeficientes (a y b ∈ *

∴ x

,espejando a inc@gnita GxG se tendrA: a.x % &b

=

− b a

&iscusión de la ra$ El ?alor de GxG es decir> la soluci@n o ra" de la ecuaci@n> depende de los ?alores de a y b> ?eamos:

1 Si: a ≠  y b ≠ H tendremos: x

=

− b a

 (la ecuaci@n es ,eterminada y el ?alor de GxG es único

2 Si: a ≠  y b % H tendremos: x % 

(la ecuaci@n es ,eterminada y la ra" es nula

$ Si: a %  y b ≠ H no Bay soluci@n

(la ecuaci@n es
' Si: Si: a %  y b % H la ecu ecuaci aci@n @n es es indet indeterm ermina inada. da. ALGEBRA

14

 Primer Año Año

%) Regla para resol@er ecuaciones de primer ?rado con una incógnita /ara resol?er una ecuaci@n de primer gado con una inc@gnita se puede seguir este orden:

1I

Se su suprime lo los si signos de de co colecci@n> si si lo los Ba Bay.

2I

Se reduce la ecuaci@n al común denominador> si es fraccionaria.

$I

Se re reúnen la las in inc@gnitas en en el pr primer mi miembro y lo los de demAs en el segundo (transposici@n de términos

'I

Se re reúnen lo los té términos se semejantes> si si lo los Ba Bay.

)I

Se despej despeja a la inc@gn inc@gnita ita>> di?idi di?idiend endo o ambos ambos miembr miembros os de la ecuaci@n entre el coeficiente de la inc@gnita.

#I

Se comprueba la ecuaci@n resuelta> reempla"ando la inc@gnita por el ?alor Ballado> reduciéndola a una identidad.

E>emplo ":

*esol?er la ecuaci@n:

$x + 1 % x + 1=

*esoluci@n

$x + 1 % x 0 1=H transponemos términos> cambiando de signo $x 0 x % 1= 0 1H reducimos términos semejantes.

ALGEBRA

15

 Primer Año Año

2x

=

16 2

H ,espejamos GxGH di?idendo los miembros entre el coeficiente de GxG G xG

x % 1# ∴ x % 8 (?al (?alor or de la ra" ra"

*pta:

El conjunto soluci@n de la ecuaci@n $x + 1 % x + 1= H S % J 8 K

E>emplo +:

*esol?er la ecuaci@n: 1) 0 (2x & 1 % 8 0 (2 0 $x

*esoluci@n

1) 0 (2x & 1 % 8 0 (2 0 $x H suprimimos los signos de agrupaci@n 1) 0 2x + 1 % 8 0 2 + $xH transponemos términos &2x & $x % 8 0 2 0 1) 0 1 H reducimos términos semejantes &)x % &1H despejamos GxG

x

= − 10 ⇒ ∴ x % 2 −5

*pta.

(?alor de la ra"

El conjunto soluci@n de la ecuaci@n 1 0 (2x & 1 % 8 0 (2 0 $x : es : S % J 2 K

ALGEBRA

16

 Primer Año Año

c) Resolució Resolución n de ro%lema ro%lemas s utili$a utili$ando ndo Ecuacione Ecuacioness de de rimer rimer grado grado con una Incógnita •

ro%lema:

/roblema

es

la

in?estigaci@n

de

términos

desconocidos por medio de los conocidos.

•

uiere e deci decirr: ;alla allarr el ?alor alor de la Resol@ Res ol@er er un pro%le pro%lema ma: 6uier inc@gnita> Ballar una igualdad la cual se desarrollada> satisfaga al ?alor alor de la inc@ inc@g gnit nita. L as toda oda clas clase e de ecua ecuaci ci@ @n es un expre expresi@ si@n n mas sencil sencilla la de un problem problema a dando por ejempl ejemplo o la siguiente ecuaci@n: $x + ) % 11H puede ser expresi@n algebraica de este problema.

MuAl es el numero cuyo triple> aumentado en ) sea igual a 11N -

uego el numero desconocido es GxG

-

uyo triple es: $x

-

 Dumentando en ) es: $x + ) Es igual a 11H o sea: $x + ) % 11

*esol?iendo la ecuaci@n: $x + ) % 11 H tenemos 4ue: $x % 11 0 ) % # ⇒ x %

*pta.

ALGEBRA

6  % 2 x % 2 3

El número es 2

17

 Primer Año Año

•

/lanteo de un problema: /or plantear un problema se entiende a acomo acomodar dar todos todos sus términ términos os conoc conocido idos s y descon desconoci ocidos dos con respecto a la inc@gnita> de tal suerte 4ue obtenga una ecuaci@n> expresando fielmente el sentido del problema dado.

•

7orm 7ormas as para para el plan plante teo: o: aun4 aun4ue ue no Bay Bay regl reglas as fija fijas s para para el plante planteo o de /robl /roblema emas> s> de donde donde ?iene ?ienen n las dific dificult ultade ades s para para resol?er> resol?er> estas se superan y ?encen únicamente con la constante prActica de múltiplos y ?ariados problemas (ejercicios. on todo se pueden seguir estas normas generales:

a Saber aber dete determ rmiinar nar bien bien>> cual ual es la canti antida dad d 4ue se Ba de considerar como inc@gnita del problema.

b *elac elaciionar onar con prec preciisi@n si@n est estas cant cantiidades ades entr entre e si> con respecto a la inc@gnita.

c

s> resol? resol?ien iendo do la ecuaci ecuaci@n @n obtenida.

Ejemplo:

2 MuAl es es el el nu numero cu cuyos  aumentando en $ es 5

3 igual a sus  disminuido en 'N 4 *aciocinio: El numero buscado es GxG

ALGEBRA

18

 Primer Año Año

os

3 2 del número> aumentado en $ igual a sus  disminuido en ' 4 5 2x

+$

5

/lanteo

2x 5

−

3x 4

2x 5

+3=

= −4 − 3 ⇒

3x 4

3x

%

4

&'

− 4  H transponemos términos

4.2 x − 5.3x 5. 4

= −7 ⇒

8x − 15x 20

= −7

⇒ &= x &=.2 ⇒ ∴ x % 2 *pta.: El número buscado es 2

•

Clases de pro%lemas: onsiderando los ?alores 4ue corresponden a las races de los problemas> estos pueden ser:

a ,eterminados:

cuando

tienen

un

número

limitado

de

soluciones. b
19

 Primer Año Año

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E ")

Resol@er la ecuación:

3)

$x + 1 % x + 1=

+)

,)

) 0 (2x 0 1 %  0 (2 + $x

Resol@er:

"4)

)x + $ % 2x + 1)

($x + 2 + (x + 1%(2x + ' + (x + $

Resol@er la ecuación:

"")

(x + 1(x + 2 0 x(x + ) % #

-)

Resol@er: )x 0 J#x + [8& (x + 1 ]K % &2x + 1

/)

Resol@er:

"+)

Resol@er:

()x + '0($x + 1%('x + 20($x & =

",)

9allar el con con>unto sol solución de: x + 27 4

"-)

Resol@er:  )x 0 2(x & # % 2x + 2(x & 1

ALGEBRA

2

"/)

= x +3

Resol@er: x

Resol@er: = 0 $(x + 1 % x 0 $ (x & 1

2)

Resol@er:

Resol@er: 2x + 1 % '(x & #

1)

Resol@er:

$()x + 1 0 2(#x + $ % 2(x & 1

1) 0 (2x & 1 % 8 0 (2 0 $x

0)

Resol@er:

+

3x 6

=1

9allar ; 15 − x x

=

1 2

20

 Primer Año Año

"0)

9allar ; en: "3) 3 5

−x = x+

6

Resol@er: x+3

5

6

"1)

x+4 8

=

3( x + 5) 36

Resol@er: 1 5

"2)

−

( 6 x + 1) = 1

2

Resol@er: x

Resol@er: x

+4)

x

x

3

4

2

+

x +1 7

= x−2

+ + = x +3

ALGEBRA

21

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A ")

9allar ; en: 8x

5x 7

3

− 4 = x − 12

a 1# c 2 e 18

b 28 d $

a $ c = e 11

2

b ) d 

4

−2 b 8 d #

Resol@er:

1)

a 02 b ' c $ d &1 e indeterminado

+

x 3

=

5 6

a  c 1 e #

8x + 2(x 2(x + 1 % =(x =(x 0 2 + $(x + 1 + 1$

b &1 d 2

Resol@er: (#x + =()x & ' % #()x 2 & 1 a 1 c $ e &2

2)

b 2 d '

Resol@er:

9allar el el @a @alor de de ; ; en en la la siguiente ecuación:

2x + 19 =

x

,ar como respuesta

6

3

x

2

2

+ =

a 1O2 c 01O' e 1

/)

5x

Resol@er: )(2x & ' % 2($x + '

-)

2

=

9allar ; en: x

,)

1

a  c = e )

0) +)

+

+

5 3 b 1O' d 01O2

a 1' c = e 1

7x 3

+5 x 6

b '2 d 2

9allar el @alor de de ; en:

ALGEBRA

22

 Primer Año Año

3)

9allar el @alor de de ; en: 5

+

2x

2

=

3x

7

−

2x 15

x

=

a &1) c &$) e &))

3

+

13 3

b &2) d &')

9allar el @alor de: 5 x − 13

"-)

+ 2 =1 3

9allar ; en x+3

a # c 8 e 1

b = d 

4

−

x −1 2

=

x 6

a 1O) c $O) e 1

+1

b 2O) d 'O)

Resol@er: x 3

+

2x 5

= 2+

10 x

a 1# c 2) e $2

"+)

3x

3+

b 1$ d 1)

9

"")

9allar el el @a @alor de de ; ; en en:

2

a 12 c 1' e 1#

"4)

",)

95 2x

e 1#

"/)

9allar ;

15 b 2 d $

6

 x

2

+ 2 x − 3

a 1 c $ e )

+

3

 x − 1

=7−

7 x

x+3

b 2 d '

9allar el @alor de: x 2

−x =

a 1 c 12

ALGEBRA

x 4

−9 b 11 d 1'

23

 Primer Año Año

TEMA: M se factori"an estas y el 9.. 9.., , esta estarA rA form formad ado o por por los los fact factor ores es comu comune nes> s> ele? ele?ad ados os a su menor exponente>

E>emplo ": ;allar el 9.., de: 2'a 2b H 18a$bx H $a 'bx2

*esoluci@n:

2'

18

$

2

12



1)

$

'

$

)

2.$%#

 9.., % #a 2b menor exponente % 1



menor exponente % 2

E>emplo +: ;allar el 9.., de: =2x $y'"' H #x2y2"$ H 12x'y)"= *esoluci@n: =2

#

12  9..,

ALGEBRA

24

 Primer Año Año

M
E>emplo ": ;allar el 9..9 de =2x $y'"' H #x 2y2x$ H 12x'y)"= *esoluci@n =2 $# 18  

# '8 2' 12

12 # $ 1)

2 2 2 2

  $ 1 1

# $ 1 1 1

1) 1) ) ) 1

2 $ $ )



9..9 % 1'' x ' y) "= mayor exponente = mayor exponente ) mayor exponente '

9..9 % 2 ) . $2 . ) % 1''

E>emplo +: ;allar el 9..9 de: '8a $bc' H 18a2b2c$ H 18a 'b$c2 '8

18

18

9..9 %

9..9 %

ALGEBRA

25

 Primer Año Año

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E ")

9allar el M#C#& de: /(x H y % x 2 0 xy 6(x H y % $x 2 0 $y2 *(x H y % xy 0 y 2

+)

9allar el M#C#& de: /(x % $x + # 6(x % x 2 0 ' *(x % (x + 2  2

3)

9allar el M#C#& de los siguientes polinomios# 7(x % x2 0 y2 9(x % 2x2 0 2xy Q(x % $xy 0 $y 2

9allar el M#C#& de:  D(x % 12(x & 2 2 P(x % #(x $ & 8 (x % 1)x 2 & #

-)

2)

9allar el M#C#& de: /(x % x2 + x 0 12 6(x % x2 0  *(x % x 2 0 'x + $

,)

$a$b$ H )a2bx H 'ab 2"

"4)

9allar el M#C#& de: /(x % x 2 + 'x + $ 6(x % x 2 0 1 *(x % x2 + )x + '

9allar el M#C#& de: 2a H 'ab

"") /)

9allar el M#C#& de:

9allar el M#C#M de: x2  H 2xy

x2  H $ax

"+) 0)

9allar el M#C#& de:

9allar el M#C#M de: $ax H 2x2

xy H x 2y2

1)

9allar el M#C#& de:

ALGEBRA

26

 Primer Año Año

",)

9allar el M#C#M de:

"1)

#a2b H 8ab 2  H 12abx

"-)

/(x % $x 2 (2= + a $ 6(x % #x( 0 a 2 *(x % x$( 0 $a + a 2

9allar el M#C#M de: 18x2 H 'ab 0 2a H a 2x

"/)

9allar el el M# M#C#M# de de:

"2)

/ % a$ 0 8 6 % a2 0 ' * % a2 + 2a + '

9allar el M#C#M de los siguientes polinomios /(x % a2 + 2ab + b 2 6(x % a 2 0 2ab + b 2 *(x % a 2 & b2

9allar el M#C#M de:

"3)

9allar el M#C#M de: /(x % x 2 0 ' 6(x % x 2 + 2x + '

"0)

9allar el M#C#M de los siguientes polinomios: +4) /(x % x2 + )x + # 6(x % x2 + x 0 " *(x % x 2 + $x + 2

ALGEBRA

9allar el M#C#M de: /(x % x 2 0 1# 6(x % x 2 + x 0 12

27

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A 4")

9allar el M#C#& de:

-)

/ % a2x$b 6 % a)x'y * % a'b2x$ a a2x c ax2 e 1

+)

/(x % (x + 2 2 6(x % (' & x 2 *(x % (x 2 + x 0 2 b a2x$ d a

9allar el M#C#& de:

a x & 2 c x + 1 e x + '

/)

/ % $x y 6 % )x2y2 * % 2abxy

4,)

b x + 2 d x & 1

El M# M#C#& de de lo los si siguientes polinomios es:

$

a x2y c xy e y

9allar el M#C#& de:

/(x % x 2 + =x + 12 6(x % x 2 + x 0 # *(x % x2 0 2x 0 1)

b xy2 d x

a x + ' c x & ) e x & 1

b x & 2 d x + $

El M#C M#C#& de lo los sig siguientes 0)

monomios es:

9allar el M#C#& de los siguientes polinomios

/(x H y H " % 28x 2y 6(x H y H " % '2x $y *(x H y H " % 1'x 'y$ a 1'y2 c 1'" e 1'

ALGEBRA

b 1'"2 d 1'x2

 D(x % x2 0 1# P(x 2(x + ' (x % x2 + 8x + 1# a x & ' c x + ' e x & 2

b x + 2 d x & $

28

 Primer Año Año

1)

9allar el M#C#& de:

"4)

/(x % x2 + ax 0 bx 0 ab 6(x % x2 + ax + bx + ab *(x % x 2 + ax 0 xc + ac

2)

a x + a

b x & a

c x & c e x + c

d x + b

9allar el M#C#M de los siguientes monomios

9allar el M#C#M de: /(x % (x + $ 2 (x & 1 6(x % (x & 1 2 (x + $

a b c d e

"")

(x + $2 (x + 1 (x + $ (x + 1  2 (x + $2 (x & 1 (x + $ (x & 1  2 (x + $2 (x & 1 2

9allar el M#C#M de:

$#x$y2  H 2'x2y)  H 28x'y$ a 2)=x'y) c 2'x2y) e 1

3)

/(x % x + 1 6(x % x & 1

b )'x'y) d 28x

a x + 1 c x2 + 1 e 1

9allar el M#C#M de los siguientes polinomios: "+)

/(x % x2 & ' 6(x % x2 &  *(x % x 2 & 1# ,ar como respuesta el R.7. del 9..9 para x % 1 a $#

b 18

c &$# e &12

d 2'

ALGEBRA

b x & 1 d x2 & 1

9allar el M#C#M de:  D(x % x & ' P(x % x + ' (x % x2 0 1# a b c d e

(x & ' 2 (x + '  2 (x & '(x + ' (x + ' 2 (x & ' 2 (x2 & '

29

 Primer Año Año

e (b & x

",)

9allar el M#C#M de: /(x % x2 & 1 6(x % x2 & 2x + 1 *(x % x 2 + 2x + 1

a (x2 & 1 2

b (x2 + 1 2

c (x2 & 2 2

d (x & 1  2

"/)

9allar el M#C#M de:

e (x + 1 2 /(x % x 2 + 2x + 1 6(x % x 2 + #x +  *(x % x2 + 'x + '

"-)

9allar el M#C#M de:  D(x % ab + ax + bx + x 2 P(x % a + x

a (a + x(b + x

a

[(x + 1(x + 2(x + $ ] 2

b

[(x + 1(x + 2 ] 2

c

[(x + 1(x + $ ] 2

d

[(x + 2(x + ) ] 2

e

[(x + 1$

b (a + x(b & x c

(a & x(b + x

d (a & x

TEMA: FRACCIONE' FRACCIONE ' A?E(RAICA' ?E(R AICA' Fracción alge%raica#G Es toda expresi@n de la forma: ( X  )

,onde

ALGEBRA

( X  )

 7umerador   ,enominador  6(x  

30

 Primer Año Año

'impli!icación de Fracciones alge%raicas Tna fracci@n algebraica es reducible (se puede simplificar si su numerador y su denominador se pueden di?idir por un mismo factor. Ejemplo: 1

36 x 3 y 6 24 xy 8

3 x12 x. x 2 y 6 2 x12 xy 6 . y 2

=

=

3 x 2 2 y 2

=

3 x 2 2 y 2

Ejemplo: 2

7ab 4c 5 3

21a  bc

7

=

%

Ejemplo: $

4 x − 12 y 2 x − 6 y

=

4( x − 3 y ) 2( x − 3 y )

=

4 2

=2

Ejemplo: '

x

− x − 12 = 2 x − 16

2

%

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E ") 'impli!icar !racción P

=

ALGEBRA

20 x 3 y 4 15 xy 6

la

siguiente

+) Al simpli!icar la siguiente !racción  N

=

42ab 4c 7 21a 3 b 2c 9

31

 Primer Año Año

,) Al simpli!icar la siguiente !racción Q

=

x

+ 4x + 4 x+2

2

0) 9al alllar el @al @alo or nu numéric érico o de: de: Q

=

x

2

+ 6x + 9 x+3

/ara x % &$ Se obtiene:

1) Cual ual es el @al alo or de: -) Al simpli!icar la siguiente !racción  N

R  =

x2

− 6x + 8 x−4

/) 'impli!icar 

−9  N = 2 x −x −6 x

2

=

x

2

+ 5x + 6 x+2

/ara x % &2

2) 'impli!icar 

( x − 81)3x  N = 2

3x

2

+ 27x

3) 'impli!icar  Q

=

+x−6 2 x + 8x + 15 x

2

"4) 'imp 'impli li!i !ica car  r  Z

=

3x 2 y 3

+ 9xy 4

21x 3 y 4

"") 'umar las !racciones  N ALGEBRA

=

2x + 3 x +1

siguientes  M  =

 x  x + 1

32

 Primer Año Año

"+) 'umar las !racciones P

=

x +1 3x

siguientes Q Q

=

=

1− 1−

x −1

x 2 x2 4

2x

"1) 'imp 'impli li!i !ica car  r  ",) Multipli Multiplicar car llas as !racci !racciones ones

+ 18x + 15  > A= 2 x −x+6 x2

R  =

x− 2 x

B=

+ 3x − 18 2 x + 3x − 10 x

2

"2) 'imp 'impli li!i !ica car  r  " "

"-) &i@ &i@idir idir las !raccione !raccioness

+ x − 6  Entre  N = 2 x + x − 30 x

" "

;

2

− x + 12 M= 2 x + 5x − 6 x

2

"/)) 'imp "/ 'impli li!i !ica car  r 

=

x

+x

H

P

2

1 1+

x 2

"3) 'imp 'impli li!i !ica car  r   N

2

= 2+ 2+

2 x −1

+4) 'imp 'impli li!i !ica car  r 

   1  Q = x + ( x + 1) 1  1+  x 

"0)) 'imp "0 'impli li!i !ica car  r 

ALGEBRA

33

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A ")

'impli!icar   R  =

40 x 6 y 8

6 2 x + 3y

b

8x 4 5y5

d

8x 3

d

5y3

-)

3 2x

5

Q 8y5

'impli!icar !racción

la

c

2

a) &$

b

x+6

c

d

x−2

e Es irreductible

,)

e

−

5

3 x−6

x

/)

− x − 12 2 x − 2x − 15

3 ALGEBRA

−

x−6 6

x+3 x−4

x −5 x+5 x

b d

x+4 x −5 x−4

x

+4

b ;

+ "

−5

Al si simpli!icar    N

+2 a

a e;presión x+y

d

2

x+4

siguiente

+ 4x − 12 2 x − 4x + 4

x

6

− 3y

x

=

a)

+)

x + y

'impli!icar  

5x 4

e

b

2

x3 y

y

+

6 2 x − y

c

4

y5

c

x

a)

25 x 2 y 3

8x

a)

E4ui?ale

c

=

−4 2 x +x−2 x

; ;

2

" +

x+2 x +1

; d

x +1 x+2

34

 Primer Año Año

e

0)

( x − 2)

 x + 1      D   x −2 1    x + 1      x −1

Al sumar las !racciones alge%raicas  P  =

 x  x + 2

Q

=

2

c

6ueda:

e b 2

c &1

d x & 2

3)

e 1

1)

Al sumar las siguientes !racciones M

=

4 2−x

 N

=

x

2

x−2

 x + 1        

2)

b x & 1

c x &2

d x

+ 6x − 7 x 2 − 6x − 16 x2

− 8x + 7 x 2 − 11x + 24

6uedarA:

b c

2

−x−2 Q= 2 x + 2x − 3

2

   

x2

S=

Multiplicar las siguientes !racciones

x2

d

Entre

e 1

+ 4x + 3 P= 2 x − 3x + 2

x +1

R  =

a

x

x x

 x − 1      x +1

Al di@idir las siguientes !racciones alge%raicas

6uedarA:

c) x + 2

2

2

x+2

b x + 2

b

d e

− 4x + 3 2 x + 3x + 2 x 2 − 4x − 3 x 2 + 3x + 2 2 x − 3x + 4 2 x − x +1 x

2

− 3x x +1 x2 − 5 x+2

x2

6uedarA: ALGEBRA

35

 Primer Año Año

"4)

",)

'impli!icar   N

1 2   x 2 − 1       + Q=    x + 1 x − 1   3x − 1    

1

=

1

1−

1+

1 x

6ueda: b x & 1 d x

"-)

1

a+

a−

=

b x2 & 1

c x

d

1 x

1 a

a

1

a−

a+

'impli!icar 

 1 − 1      ( a + 1) a  .  N =   1 + 1   ( a − 1)      a  

'impli!icar 

P

a x + 1

e 1

a x & 1 c x &2 e 1

"")

'impli!icar 

1

a a

+1 −1

c a

a

b a + 1

1 d a

e 1

a)

c e

"+)

−1 a2 + 1 a2

+1 a2 −1

a2

b

d

+2 a2 − 2

a2

−4 a2 + 4 a2

a2

'impli!icar  1 1   1 − x 2       − P=    1 − x 1 + x    2x     a 1 0 x 2

b x2 & 1

c x & 1

d x

"/)

'impli!icar 

 a −  x      b b  .  P  =   b −  x   a      a   a) c

−x a+x  b − x a−x a

−x b  b − x a

d

x  b

e 1 ALGEBRA

36

 Primer Año Año

e

x a

TEMA: TEMA: RA&ICACIN Sabemos 4ue la ra" n&esima de xH xH denotado por cumple 4ue r n % x

n

x

n

 x es el numero UrV si se

= r  ⇒ r n = x

Clasi!icación Considerando su Naturale$a ") Racionales: Son a4uellos en los cuales las races son exactas.  

Ejemplos:

9 x 2

1 2

3

8 x 3

= 3 x = 2 x

+) Irracionales: Son a4uellos en los cuales las races son inexactas.  

Ejemplos: 7 x

1 2

3

14 x 2

,) Reales: Son a4uellas cuyas races son pares y los subradicales son positi?os.  

Ejemplos: 1

ALGEBRA

33

37

 Primer Año Año

2

4

14 x 2

-) Imaginarios: Son a4uellos en los cuales los ndices son números pares y cuyos subradicales son negati?os.  

Ejemplos: 1 2

4

− 4 x 2 − 9 x8

Clasi!icación Considerando su Especie 1 9omogéneos: Son a4uellos radicales 4ue tiene el mismo ndice. Ejemplos: 1 3 5  y

y

2 9a 3 3  x 2 y

y

7

8 z 

2b 3 3 z 

2 9eterogéneos: Son a4uellos radicales 4ue tiene distinto ndice  

Ejemplos: 1 3ab3 xy 2

3

5a 4 xy

y y

 x

2

 y

$ 'eme>antes: ,os o mas radicales son semejantes si tienen el mismo ndic ndice e y la misma sma parte arte subr ubradic dical> al> solo olo se dife diferrenci encia an por por los coeficientes. Ejemplos: 1 3ab 3 2 x 2  x 2

4b

2

y y

− 5m 3 1 3

2x

4b 2

Introducción de Factores dentro del 'igno Radical# ALGEBRA

38

 Primer Año Año

/ara la introducir un factor bajo un signo radical se escribe dicBo factor  ele?ado a la potencia igual al ndice de la ra" y el resultado se multiplica por  el radicando.  

Ejemplos: 1 3ab 2ax 2 2 a 3 3ab

=

=3

2ax( 3ab)

3ab ( 2 a )

3

2

=

=3

18a3b2 x

24 a 4 b

Reducción de Radicales al Com8n común> se Balla primero primero el 9. . 9. de los ndices> este resultado es el ndice común> luego se di?ide este ?alor  entre el ndice de cada radical y el cociente se multiplica por el exponente del subradical. Ejemplo: x 3 ! 3 y 2 ! 5 3

1 *educir a común ndice *esoluci@n: El 9. . 9. de los ndices es $.

 

uego:

• • •

⇒

$÷2%1)

⇒

30

45 ( x 3 )15 = 30  x 45

 y 2 ⇒

$÷$%1

⇒

30

( y 2 )10 = 30  y 20

$÷)%#

⇒ 30 ( z 3 )15 = 30  z 18

 x 3 3

3

 y 2 ⇒

'impli!icación de Radicales ALGEBRA

39

 Primer Año Año

Simplificar un radical es reducirlo a su mnima expresi@n> di?idiendo en ndice del radical y los exponentes del subradical entre un mismo número por medio del 9. ,. ,. de ellos.  

Ejemplo: 1 Simplificar el radical:

*esoluci@n: El 9. . ,. de 1 y 1) es ).

10

ALGEBRA

 x15  

uego:

10

x15

= 10 ÷5 x15 ÷5 = 2

x3

40

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A CA'E C A'E 4")

E!ectuar:

1)

81a 4b2

2)

3

,)

7%

2)

E!ectuar:

−

1 8

 x 6 y 3

E;traer los !actores !uera

3)

25 x8 y 4

"")

E;traer la ra$ de: /%

3

ALGEBRA

2a

Introducir dentro del su% radical en: a+b a −b

a −b a+b

64 x12

'impli!icar   7%

100a 2b2 x

Intr Introd oduc ucir ir el coe! coe!ic icie ient ntee en: en:

6%

"+) 0)

−

( x + a ) 2 ( x − a ) 2

/ % 3 x 2

E;traer la ra$ 7%

/)

"4)) "4

25a3b3

'impli!icar   6%

48 x 5 y 3

a 2b 4 x + a 2b 4 y

'impli!icar   6%

del radical

-)

'impli!icar  

6

6 x  y

'impli!icar  *%

−

x

6

2

 x + 4

 x 2

−  y 2 4

41

 Primer Año Año

",)

Reducir a ndice co com8n 3a  H

3

5a  H

4

a2

,ar como respuesta número mayor 

"-)

a 7%  . 2b el

"2)

ab 2  H

3

2 a 2b H

6

3ax 2

 x

 x

x

8

=6

x



+ 30 ax + 75a 20)

"0)

5

Hue numero !alta en el cuadradito 3

'impli!icar  7%

5

5a

"3)

"/)

'impli!icar  /%

Reducir a ndice co com8n 4

8b 3a

IndiJue los radicales 5omogéneos en:

Hue n8mero !alta en el cuadrado 16

x6

=



 x 3

a 5 3 x 2 H 6

3ab H

2 x

( a − 1) 2 H

a 10 x H 5

3 2 a b H

3ay 6

"1)

− 5b 2

'impli!icar 

ALGEBRA

42

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A 4")

E!ectuar: 8

Q=

25 x  y

e 3 x 3 y 3 3 2 xy 4

+

8

16 x y

4-)

4

uego de introducir los coe!ic e!icie ien ntes tes7

c x2y'

d xy

Q = 3 x 2

e x

4+)

=3 −

a

− 1  x

c

−

1 6 12  x  y 125

5 1 2 4  x  y 5

b

− 1  x 2

a

18 x 4 a b

18 x 2 a

c

18x 5a

18 x 6 a

e

18 x8 a

d

/) 'impli!icar 

1 5 1 2 4 e  x  y 5

 N  =

3

a 3 xy

a −1

a 3

 a + 1      − a 1    

c 3

 a + 1      − 1 a    

e

 a + 1        a  

54 x 4 y 5

a +1

2

2 xy  b 2 xy3 2 xy

c 5 xy3 xy

b

3

3

a +1 a −1 2

3

7os 4ueda: 3

a +13 a −1

2

&espués de e;traer los !actores !uera del radical en# Q  =

d

5

−

4,)

2a

6ueda

E!ectuar    R

del del

signo del radical:

b x'y2

a 

den dentro tro

d

3

 a − 1      a 1 +    

d

3 x 2 y 2 3 3 xy

0) 'impli!icar  ALGEBRA

43

 Primer Año Año

 N  =

 x +  y

 x −  y

 x −  y

 x +  y

b 2a + '

c 2a + $

d 2a & )

e 2a + )

6ueda:

3) 'impli!icar   x +  y  x −  y

a

 x

c

 x

−  y

b

 x −  y  x +  y

d

 x +  y  x

 x  y

e

1) 'impli!icar  1

 P  =

a −b a + b a

a

a

c

a −b

a2

ALGEBRA

+ 24a + 8

a ( 3a + 2 ) 2 c ( 3a

+ 2)

5

e ( 3a

+ 2)

8

 N  =

− b2 b

d

+ 2)

3

d ( 3a + 2 ) 6

a−b a+b

a 1+ )x

b 1& )x

c )x+1

d )x 0 1

e )x

a+b a−b

"") 'imp 'impli li!i !ica car  r 

Si

4a 2

b ( 3a

1 − 10 x + 25 x 2

 N  = 3 64b10

2) 'impli!icar 

=

 N  = 18a 2

"4)) 'imp "4 'impli li!i !ica car  r 

a b

e

 N

a 2a 0 $

+ 12a + 9

b3

3

+ 128ab 9

b + 2a  % n

a 2n

P $n

c 'n

d )n

e #n

44

 Primer Año Año

"+)) 'imp "+ 'impli li!i !ica car  r  45 x 4

 N  =

"+

−

Si  x 2 5 − 3 xy

27 x 5 y

=

 P 

;

"+

D

-

a #

b =

c 8

d 

e 1 a /

b 2/

c $/

d '/

e )/

"/) Hue numero !alta en el cuadradito 12

",)) 'imp ", 'impli li!i !ica car  r   N 

=3

686 x 8 y10

a 7 x 2 y 3 3 2 x 2 y b 7 xy

 y 16

=3

 y

a 1

b 2

c $

d '

e )

2 xy

c 7 xy3 xy d 7 xy 5 xy 2 e 7 xy 3 y

"-) Hue numero !alta en el cuadradito

ALGEBRA

45

 Primer Año Año

TEMA: TRAN'FORMACIN TRAN'FORMACIN &E RA&ICA R A&ICAE' E' &O(E' A 'IME' 7o todo radical doble podrA transformarse a una suma o resta de radicales sencillos> podrA Bacerse con a4uellos 4ue cumplan ciertas condiciones o re4uisitos.  A ±

*adicales de la forma.

 B

Formula ?eneral

 A ±  B

=

 A + C  2

±

 A − C 

C  =  A 2

2

−  B

E>emplo: -ransformar -ransformar a radicales simples: 8+2 7

alculamos : "

=

82

− (2

7)

2

64 − 28

=

36

=6

uego:

8+2 7

=

8+ 6 2

+

8−6 2

=

7

+1

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E ALGEBRA

46

 Primer Año Año

")

Tras!ormar a radicales simples#

1)

Tras!ormar : 7

−

2 10

9+4 5

+)

Tras!ormar a radicales simples#

2)

Tras!ormar : 3−

7

+

4 3

3) ,)

5

Tras!ormar :

Tras!ormar : 12 + 8 2 13 −

-)

−

4

13 − 4

"")

3

"+)

9+

",)

−

7+

48

Tras!ormar : 7

Tras!ormar : 6 +

ALGEBRA

80

11 − 4

2

3

'impli!icar :

 N  =

Tras!ormar : 15 − 10

Tras!ormar :

5

Tras!ormar : 2 +

0)

"4)

Tras!ormar : 9

/)

48

5

47

 Primer Año Año

"-)

Tras!ormar :

"1)

6−2 5

"/)

Tras!ormar :

12 + 6 3

"2)

13 + 2 42

"0)

Tras!ormar :

Tras!ormar : 30 + 10 5

Tras!ormar : "3)

Tras!ormar :

9 + 4 2 56 + 14

+4)

7

Tras!ormar : 42 + 12 6

ALGEBRA

48

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A ")

Trans!ormar: 9

+)

−

4

5

5  + 2

b

5  − 2

c

5

d

5

e

5  + 3

−

1

+

/)

a c

7−4 3

+

2

3

13 −

a 1 c − 1 3

+

e 0

ALGEBRA

1

P

−

0) −

2 3

P 2 3 d

+

2

b 1 d 5

=

6+

5

−

5

7

a 2 c 1 e '

48

5

2

3

'impli!icar:  N  =

9−4 5

'impli!icar:

b 3 d 2 3

3

e 2 −

=

a 2 c 0 e 5

1

'impli!icar:

=

'impli!icar: P

a

 N

,)

-)

b $ d &1

'impli!icar: Q a $ c 1 e 

=

9 + 80

− 5−

7−

48

3 b ) d #

49

 Primer Año Año

1)

"+)

'impli!icar: Q

=

2 2

a &' c &1 e &2

2)

Q

12 + 8 2

−

'impli!icar: 5

−

",)

7 − 2 10

b

5

c 1

d

2

3)

3

'impli!icar:  Ñ  = 1 +

b

3

c

5

d

7

e

11

12 + 6 3

a &1 c 1 e $

"")

c

d 1

=

a  c  e )

2 1

2

9+ 4 2

12 + 6 3 3+

"/) 6

+

b # d 1

3)

b 1 d '

'impli!icar: Q

−(

3

a 2 c $ e 2

b  d 2

3

'impli!icar:

'impli!icar: Q

3

    3 + 1     2

b

 N  =

3

−

    

a 5

"-)

'impli!icar: S  =

2+

6−2 5

2

"4)

b $ d 

=

e

a

7

−

'impli!icar: Q

a 5 e

11 + 4 7

=

a ) c 1 e 2

b &$ d 

Q=

'impli!icar:

=

6−2 5

+

1

a

2

b

3

c

5

d

7

e

11

TEMA: RACIONAIZACIN RACIONAIZACIN ALGEBRA

50

 Primer Año Año

,enominamos fracci@n irracional> a a4uellas 4ue tienen en el denominador  uno uno o mas mas radi radica cale les. s. *aci *acion onal ali" i"ar ar una una frac fracci ci@n @n es tras trasfo form rmar arla la en otra otra e4ui?alente> eliminando los radicales del denominador. denominador.

Factor Racionali$ante   (!. (!. *. es otra expresi@n expresi@n irracional 4ue multiplicada multiplicada por el numerador y denominador de una fracci@n permite 4ue uno de estos (El denominador se transforme en una expresi@n racional.

 

Ejemplo:

•

,ado

7 5

El factor racionali"ante es

7⋅ 5 5⋅ 5

=

5 > luego:

7 5 5

Casos Jue se presentan: A) Hue el denominador tenga un solo término# 1 uand uando o el denomin denominador ador es es una ra" ra" cuadra cuadrada da basta basta multip multiplic licar ar los dos dos términos de la fracci@n por dicBa ra".

Ejemplo:

3a 2  x

=

3a 2  x

×

 x  x

=

3a  x 2 x

2 uan uando do el deno denomi mina nado dorr pres presen enta ta radica radicale les s de cual4u cual4uie ierr ndi ndice ce con con radicando radicandos s monomios> monomios> el factor factor racionali" racionali"ante ante estarA estarA expresado expresado por  ALGEBRA

51

 Primer Año Año

otro radical de igual ndice pero cuyo radicando> tendrA los mismos factores> cuyos exponentes se determinan restando el ndice de la ra" con el exponente original

Ejemplo: *acionali"ar:

4 5

 x 2 y 3

;allamos el factor racionali"ante de la siguiente manera:

5

 x 2 y 3

⇒  F . R. = 5  x 5 − 2 ⋅  y 5 − 3 = 5  x 3 y 2

uego:

4 5

ALGEBRA

2 3

x y

3 2

4⋅5 x y

= 5

2 3 5 ⋅

x y

3 2

xy

3 2

=

45 x y x.y

52

 Primer Año Año

RO(EMA' ARA ARA A  A CA'E 4")

Racionali$ar:

40)

Racionali$ar:

2

9

3

2 3

Rpta#: 4+)

Rpta#:

Racionali$ar:

41)

Racionali$ar:

1

12 5 6

2

Rpta#: 4,)

Rpta#:

Racionali$ar:

42)

Racionali$ar: 4 11 2

4 5

Rpta#: 4-)

Rpta#:

Racionali$ar:

43)

Racionali$ar:

 x + 3

2 3  x

2

Rpta#: 4/)

Rpta#:

Racionali$ar: 

"4)

Racionali$ar: 3ab

3

5 x 2a

5

Rpta#:

ALGEBRA

Rpta#:

53

 Primer Año Año

"")

Racionali$ar:

"0)

Racionali$ar:

3 3

2 5

4

Rpta#: "+)

Rpta#:

Racionali$ar:

"1)

Racionali$ar:

5 5

3 10

 x 2

Rpta#: ",)

"2)

Racionali$ar:

6

1

 x 3 y 2

5

Racionali$ar:

"3)

Racionali$ar: 1

5 6

3

6

2

Racionali$ar:

+4)

Racionali$ar: 11

1 3

Rpta#:

ALGEBRA

3

Rpta#:

Rpta#: "/)

2

Rpta#:

Rpta#: "-)

23

Rpta#:

Racionali$ar:

5

 x

6

x

114

Rpta#:

54

 Primer Año Año

RO(EMA' RO(EM A' ARA ARA A  A CA'A 4")

E!ectuar: 2

 N  =

a

3

 N  =

2 3

+

2 3

b

3

a

4 3

d

10

3

c

3

3

+

4/) 3 b 4 3 d

3

e 2 3

40)

'impli!icar: Q=

5 6

9

b

3

10

3

d

6

−

 4 2 2 .11 = +  11 2 11 

a 2 2 c 4 2 e 1

1

4,)

6

'impli!icar: M

a 5 3 c

2

+

e 1

'impli!icar: 9

8

−

310 128

8

e 2 3

 P  =

10

2

c 4 3

4+)

3

'impli!icar: Q =

6

5 81 3

a 1

b 

c &1

d

81

b 3 3 d 5 2

2 x 5

 x 2

a 25 x 3

P 25 x 2

c 25 x 4

d

 x

e 2  x

e '

4-)

'impli!icar:

ALGEBRA

41)

'impli!icar: 55

 Primer Año Año

e1 31

  1 5 16      N  =  5 − 2     2   a

5

5

c

b

2

5

"4)

'impli!icar:

  2 +   7

231

 Z  = 

d

31

 21 − 7   3  

1

3

 a 7

e 1

c 7

42)

  6  N  =  5 3 2    x  y a

5

 x 2 y 3

c 55  x 2 y 2

   ⋅ xy    

"")

b 65  x 2 y 3 d 43 xy

e 35 xy

43)

6

'impli!icar:

  Q =  

2

+     − 4 6 8  

6

8

a =

b 1'

c 21

d 28

3

  2 2 5     =  + ⋅5   5     5

a '

b

5

c 4 5

d

5 2

ALGEBRA

7

e 1

'impli!icar: Q

d

6

e 7

'impli!icar:

b 6 7

3

56

 Primer Año Año

"+)

'impli!icar:

  1 +   2

 Z  = 

3 2

b  y  y

 6 − 2   3  

1

3

a 3 3

b 3 2

c 3 5

d

−3

c

 x

d

 x

e

"/)

 y

+

 x

x

 y

+

 y

−

 x  +  x  y

'impli!icar:

e 3 − 3 2

  1 +   7

Q =

",)

'impli!icar:  R

=     

7 7

+

  − 2   5  

5

a 4 7

2

35

b 2 7

+

+

2 14

14

a 

b 1

c

7

+

14

c 11

d 12

d

7

−

14

e 1$

"-)

 28   14  

1

e 1

'impli!icar:

   N  =     a  y  x

ALGEBRA

1  x +

   ⋅  xy +  y     1

 x

y

57

 Primer Año Año

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' FACTORIZACION II ")

Factori$ar:

c #

x2

− 16

d 

e 

e indica la suma de los -.<. de cada uno de sus factores.

-)

Factori$ar

la

siguiente

e;presión: a )

b '

c 8

d 

= 7a 2 − 7 b 2

 N

e indicar un factor 

e 1

+)

Factori$ar la e;presión:  N

a =

b 2a +b

c 2b + a

d 2a

e 2b

= ( a +  b ) 2 − c 2

e indicar la suma de sus factores.

/)

x2

a 2(a +b

b 2c

c 2(a + c

d 2(b + d

Factori$ar

+ 3cx − 10c 2

e indicar la suma de sus factores.

e a + c

,)

Factori$ar:

e

indicar

la

a x + c

b 2x + $c

di!er di!erenc encia ia de los !actor !actores es

c x & c

d $x + c

de:

e $x 0 2c

Q a ) ALGEBRA

= ( x + 2 y) 2 − 9 b x + 2y

58

 Primer Año Año

0)

Factori$ar e indicar la suma de sus !actores: x2

+ 4ax + 3a 2

a &'

b &)

c &#

d &8

e & a 2x + 'a

b 2x 0 'a

c x + a

d x & a

3)

e 2x + a

Indica la suma de los térm términ inos os

inde indepe pend ndie ient ntes es

de cada uno de los !actores 1)

de:

Factori$ar: 6x 2

15 x 2

− 3y − 2 y 2 + 7 xy + 41x + 14

+ 12 + 10 y 2 − 23 y − 16 xy + 17 x a )

b #

c =

d 8

e 

e indicar la suma de los coef coefic icie ient ntes es de UxV UxV de cada cada factor 

"4) a #

b =

c 8

d 11

Factori$ar: 15 x 2

− 2 y + 6 xy − 2 x − 1

e indicar el factor binomio.

e '

2) 15 x

Factori$ar  

− 19 xy + 6 y 2 − 11y + 19 x − 10

a ($x + 1

b ($x & 1

c ($x + 2

d ($x & 2

e (x + $

e indicar la suma de los coef coefic icie ient ntes es de UyV UyV de cada cada uno de sus factores.

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' TEOR
59

 Primer Año Año

") 9allar K;L en: x + 27 4

a

63

c

63

= x +3

a '

b )

c #

d =

4

5

b

63

d

61 5

7

e 1

e 8

+) Resol@er: x 2

/) Resol@er:

+ 2x = x + 3 3

a 1

b 1>)

c 2

d $

e #

,) Resol@er  x+3 6

−

x+4 8

=

5

a

3 10

c

−

−x = x+

6 5

b

7 10

−

3 10

d 1

3( x + 5) 36

a &)

b &1

c &12

d 12

e 1#

e )

0) Resol@er: 5( x − 2 )

+ 3x = 2( 3x + 4 )

-) Resol@er:

5− ALGEBRA

x −3 4

2

x −1

3

6

= +

a 1

b $

c #

d 

e 1

60

 Primer Año Año

 1 ( x − 2) + 1  − x − 1 ( 2x − 1)  = 0  4  3   3

1) Resol@er: 3 x ( x − 2)

− 1 = 3( x + 2)() ( x + 4)

a &)

b &#

c &=

d &8

e & a

c

e

7

b

9

11 9

d

5 8

9 9

1 9

2

5 2x

2) Resol@er: 2( w − 4 )

"4) Re Reso sol@ l@er er::

+

2 3x

=

95 2x 2

a 1)

b 1#

c 1=

d 18

e 1

− ( w − 2) 2 = ( w − 8) 2

a )

b =

c 

d 11

e 1$

3) Resol@er:

ALGEBRA

61

 Primer Año Año

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' M#C#M# . M#C#&# ")

9allar el M#C#& de:

= 5x 2 − 10 x  N = x 3 − 4 x R  = x 2 y − 2 xy S = x2 − x − 2 M

= 4x 4 − y 2 2 Q = ( 2x 2 − y) P

+)

a 2 x

2

b 2 y

2

−y −x

c 2 x 2

+y

2 d 2 x

−

e 2 x 2

+ 5y

-)

c (x &1

d (x + 1

9allar el M#C#& de:

 A =  x 3 − 10 x 2 + 31 x − 30  B =  x 3 − 5 x 2 − 4 x + 20

9allar el M#C#& de:

a (x & 2 (x & )

= ( x − 1) B = ( x 2 − 4 x − 5) " = x4 −1 A

b (x +2

e (x & $

3y

2

a (x & 2

2

b (x + 2 (x & ) c (x + 2 (x + ) d (x + 2 e (x & )

a (x & 1

b (x +2

c (x + $

d (x + 1

e (x & $

,)

9allar el M#C#& de:

ALGEBRA

/)

9allar el M#C#M de: 62

 Primer Año Año

= 3x 2 Q = 3x 2 − 6 bx

= x 2 + 5x + 6 B = x2 + x − 2 " = x 2 + 3x + 2

P

2 a 3x ( x

b 3x ( x

A

− 2 b ) e indicar el factor de grado 2

− 2 b )

c ( x − 2 b ) d x

2

( x − 2 b )

e ( x − 2 b )

0)

a x2 & 1

b x2 + 1

c x2 + 2

d x2 + '

e x2 & '

2

9allar el M#C#M de: 2)

9allar el M#C#M de:

= 3x 2 ( 27 + a 3 ) Q = 6x (9 − a 2 ) R  = x 3 ( 9 − 3a + a 2 ) P

2

2

 P = a + 2ab + b 2 2 Q = a − 2ab + b 2 2  R = a − b

e indicar el factor f actor monomio

a ( a +  b ) ( a −  b ) 2

a x$

b #x$

b ( a +  b ) ( a − b)

c #

d x

c ( a +  b ) ( a −  b)

2

2

3

e =

d ( a

+  b ) 2 ( a −  b )

e ( a +  b ) ( a −  b )

1)

9allar el M#C#M de:

ALGEBRA

3)

9allar el M#C#M de:

63

 Primer Año Año

= x 3 + y3 B = x2 − y2 " = x 2 − xy + y 2 A

"4)

9allar el M#C#M de:

= 4x 2 − 4y2 B = 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2 " = 12 x + 12 y A

a ( x − y ) ( x 3

+ y3 )

b ( x + y ) ( x 3

− y3 )

c ( x − y ) ( x 3

+y )

d ( x + y ) ( x 2

− y2 )

e ( x + y 2 (x$ + y$

ALGEBRA

a 12( x + y ) b 12( x

2

( x + y)

+ y ) 2 ( x − y)

c 12( x + y ) ( x

− y) 2

d 12 ( x

+ y) ( x − y)

e 12 ( x

+ 2y) ( x − 2y)

64

 Primer Año Año

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' FRACCIONE' A?E(RAICA' ")

'impli!icar:  N

a

c

e

+)

4x

=

3

20 x y

c

d

+/ ; +

,a

/;

15 xy 6

2

a 3a

4 b 3

3y 2 4x

d

3y

3a

+ 5x

b

− 5x

4 x   y

c 3a

+x

d 3a

−x

4x 3y 2

e

 N

b

N

4

'impli!icar:

a

3a +

=

-)

a−x

E!ectuar:

−8 x2 − 4 x

x2

+ 3x + 4 x −1

x2

+ 2x + 4 x+2

3

3 +  x

− 1 3 −  x 2  N  = + 2 − 2 2 4 x − 1 4 x − 1 4 x − 1

− 2x + 4 x−2 x 2 + 4x − 8 x −1

x2

2

2 2 x

a 2

b $

c 1

d 

e )

e 1

,)

'impli!icar: /)

ALGEBRA

E!ectuar: 65

 Primer Año Año

e

 N

=

17 x

a

3 x

2

+

9 2x

−

5

4

3x

+ 18

6x

x − y

b

2

17 x − 18 6x 2

18 x + 17

c

6x

d

2

17 x − 18 x2 17 x − 18 6

e

0)

E!ectuar: Q

a

c

=

3( x + y ) 2( x − y )

( x + y) 2 4

( x + y) 2

ALGEBRA

8

( x 2 − y2 ) ⋅ 6x

b

d

( x − y) 2 2

( x + y ) 4

66

 Primer Año Año

1)

E!ectuar:

 N

=

15x − 30 2x

9 a 4

+ 3x + 2 x 2 + 6 x + 9 M= ⋅ 2 x+3 x + 4x + 4 x+2 ⋅ 2 x + 4x + 3 x

⋅

3x 5x − 10

9 b 2

2

a 

b 2

c 1

d #

e 8 c

e

2)

9 5

d

9 7

9 11

E!ectuar:

2   a +  b   a −  b 2 b   N =  − − 2 2      2a − 2 b 2a + 2 b a −  b    a −  b        2 b  

a 2

b 

c 1

d '

e )

3)

E!ectuar:

ALGEBRA

67

 Primer Año Año

"4)

E!ectuar:

2   1 2 x    1 −  x    .  M  =  +  . 2     1 +  x 1 −  x      x     x +  x 2          2 x  

ALGEBRA

a

c

e

2x 2

− x +1 2x

 x 2

+  x + 3  x

x

2

b

d

x2

− x +1 2x

x2 2

+1 3

68

 Primer Año Año

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' RA&ICACIN ") Reducir: R  =

16

e 8

+ 2 −1

− 27

3 −1

a 1

b 2

c $

d '

4 −1

+ 81

-) El e; e;po pone nent ntee !in !inal al de K; K;LL en: en:

e )

 x ⋅ 5  x 2

+) Resol@er: T  = n −1

53 n +1 n

5n

2

+3n

a 1)

b 2)

c $)

d ')

3

 x 7

⋅

a 1

b 2

c $

d '

e )

/) 'impli!icar: $

e #'

=

5

163 4 4 32 8

a 2 2

,) 9a 9all llar ar el eJu eJui@ i@al alen entte de de: 2 2

# =

c 2

24

e 2

6

2

b 2

24

3

d 2

12

2

2

2 2

2 4

8

a )

b #

c 1

d '

ALGEBRA

 x 4

0) 9allar el @alor de: 69

 Primer Año Año

M

=

5n

25

n+

5 5

1 2

−n

a 1

b

c )

d 5 5

5

e 2)

3 3

M

=

3

3 3

b 21

c $1

d '1

3

Q=

"4)) 9a "4 9all llar ar el @a @alo lorr de K;L K;L si se cumple Jue:

+ 5x =5 x 2 5 +5 16

7

d 1

2) Reducir:

5

a #

b =

c 8

d 

e 12 6

2 ⋅4 2 ⋅3 2 20

2 ⋅5 2

a 1

b 2>)

c >2

d $

e

+ 31− n

a 11

b $

3

3

71− n

3

c 3 3 e

= n −1

e )1

1) 9a 9all llar ar el eJu eJui@ i@al alen entte de de:

a

M

7 n −1 + 3n −1

2

3) 9allar el @alor de:

ALGEBRA

70

 Primer Año Año

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' TRAN'FORMACION TRAN'FORMACION &E RA&ICAE' &O(E' A 'IME' ")

'impli!icar:

 N

8+4 3

=

 N

8−

−

a

6

b

c

5

d

e

2

48

8

a c e

7 + 2 10

2

b

3

d

3

b

2

c

3

d

4

e

5

2

5

5

'impli!icar  

13 +

88

−

11

a

3

b

6

c

7

d

8

e

2

6

6 2

/) ,)

−

1

Q=

−

24

a

'impli!icar    N  =

5+

6

-) +)

=

'impli!icar  

'impli!icar  

ALGEBRA

71

 Primer Año Año

 N

0)

=

3+

8

−

2)

1

a

6

b

5

c

7

d

8

e

2

'impli!icar  

P

=

−1 −

x +1

a

x

b

x − 1

c

x + 1

d

x + 2

e

x

−

3

'impli!icar   3)  N  =

11 +

40

−

'impli!icar  

10 Q

a 1

b 2

c $

d '

e =

1)

2x + 2 x 2

=

26 + 2 323

−

19

a

17

b

19

c

15

d

7

e

6

−

11

'impli!icar   "4)  N

=

10 + 2 21

−

'impli!icar 

3

a

7

b

3

c

21

d

2

e

10

Q

=

28 + 2 187 18 7

a

15

b

17

c

13

d

7

e

6

ROF=N&IZA T=' CONOCIMIENTO' CONOCIMIENTO' RACIONAIZACION ALGEBRA

72

 Primer Año Año

")

Racionali$ar:

 N  =

a

c

,)

12

3

5

5

3 5

b

5 3 5

d

7

3 5 4 5

e 1

+)

Racionali$ar:

P

=

Racionali$ar:

-)

a

2 6 5

b

2 6 7

c

2 6 3

d

2 6 9

e

6

Racionali$ar:  N

9

a

c

4 3 3

e

14

=

2 3 a

3 3

b

d

3 3 2

c

5 3 4

e

3

/)

2 3 x

2 x

b

3x 2 x

d

x

2 x 5x 2 x 7x

2 x 11x

Racionali$ar:

Q  =

ALGEBRA

6

6 5

x 3 y3

73

 Primer Año Año

 xy  x . y

6

a

6

5

Q  =

b

 x 2  y 3  x . y

5

c

e

0)

a

 xy  x . y

6

6

5

d

6

xy

3

33 4

a

3

2

c

e

5 5

3

2

2

2

2)

4 3

3

4 2

2

Racionali$ar:

b a

5

3

=

3 3

3

9

b

3

5

5

16

4

5

5

4

2

55 8 d 3

53 3 9 53 9 c 12 e

1)

3

2

5 16 2

e

d

6

5

c

b

2

Q

5

2

2

Racionali$ar:

5

3

xy

 xy  xy

Q  =

3

Racionali$ar:

ALGEBRA

5

3

d

5

3

3

3

3

5

74

 Primer Año Año

c) 3)

5

6 3

d)

Racionali$ar: 5 P =

a)

2

2

3

2 7 7

e)

7

%)

7

d)

7

6

5

6 4

7 8

c)

2

49

7

7

e)

"4)

2

Racionali$ar: 5

3 2

a)

5

5

6 2

%)

6 3

ALGEBRA

75

 Primer Año Año

4-) 9al 9allar lar el M#C# M#C#M# M# de: de:

MI'CEANIA

a) $a$b2cH #ab %) 'a2H #abH 8bx 2

4")) Fac 4" acto tori ri$a $ar  r 

c) 1#x$"2H '8x2yH 8x'y2

a) a2 &2)b2

d) (x & 12 (x + 2 (x 0 $H

%) (x + y$ + (x 0 y$

(x 0 1 (x + 2 2

c) 1  + 2(1  + 1 x

x

e) 2x&'H $x+#H x 2&'

d) 1x  0 1$x 0 $ 2

e) 2x2 + =xy 0 1)y 2 0 #x + 22y

4/)) 'imp 4/ 'impli li!i !ica car  r  a)

4+# Resol@ sol@er  er  a) )x + $ % 2x + 18 %) c)

/;

,

"4;

+

,

;

%)

,

-

-

+

/

,

;

" /

d) $(x + ) % 2(x & $+1 e)

+ ,

;

,

"

1

,

;

1

c) d) e)

a

"

"

a

,F ;

+)

F+

;)

;

"

"

;

"

;

;

"

F+a

%)F,%

F/%

")F%

mn

/m

;n

/;

a) 2a2H 'ab$c

a) , /4

%) 1)x2y2H =)x$y

b)

c) (x+1H (x+1 2.(x&2 d) (x+1H (x+2 e) x  0 8H x &'H (x&2

ALGEBRA

2

+a)

40)) 'imp 40 'impli li!i !ica car  r 

4,) 9a 9alla llarr el M#C#&# M#C#&# de

$

c)

2

c)

,

d)

,

e)

4 3

+ 1/

;

-

;

;

0

;

,

;

; #

 x .

x

76

 Primer Año Año

41## Trans! 41 ans!or orma mar  r  a)

8+

b)

3

d)

d)

"+

e)

"2

24

"-4 +

11

a

,

a

,

a+

a

"

a+

a

" a

42)) Ra 42 Raci cion onal ali$ i$ar  ar  ,

a)

&

+

"

%)

e)

2 4

c (x01 (x01( (x+ x+y y +(x& +(x&1 1(x (x+y +y

d (x + y 0 1 1 ( x 0 y + 1 +

%

"4

(x + y + 1 (x + y &1 e $x2(a2&b2 0 )"(b 2&a2 + a2&b2

%

6

f

2

a)

c)

,

+

+/

F;

/)

-

B m$ & mn2 & n$ + m2 0 n2 + m2n i

a(b2 + c2 + b (c 2 + a2

 j

mn+p + mnnp + nmmp + nm+p

;

2 ;

ALGEBRA

$m( $m(a 0 b + c 0 2n (b & a& c

g xn+1 + $x + 2x n + #

04

/ ;

+

 0 x(x&1 x(x&1

6 6

a

b a(x a(x + 1 1 + b(x b(x + 1 1 0 c(x c(x + 1 1

/ /

a+

"

a x18y12 0 x' y$ + x1# y2

%

2

,

+a

4"## Fact 4" Factor or Com8 Com8n n

%

1

:

a+

FACTORIZAR

43)) 'imp 43 'impli li!i !ica car  r 

%)

,

60

"4)) 'imp "4 'impli li!i !ica car  r  "+

d)

, ,

1+

c)

c)

"

 (x + 2 2 (x (x + $ (x + ' ' +

77

 Primer Año Año

(x + $ (x + ' + (x + ' l

x'y$"' + 2x$y'"' + x2y)"' 0 x$y$") 0 x2y'")

m x12 0 2x1 &'x8 + 2x# + 12x' + 2'x2 & '8 n ab(x2 0 y2 + xy (a 2 0 b2

4+## Iden 4+ Identi tida dade des: s: a a2 0 2)b2 b (x+y $ + (x&y $ c 1x + 2(1x+1 d x# 0 )x$ 0 1' e #'a=b= 0 ab1$ f

a2 + 2a + ab + b + 1

g 8(a+b2 0 ) B x2 + 2x + 1 i

x2 + 1)x + )'

 j

x' 0 $2x2 + 2))

 x8 0 $#x' 0 18x2 0 81 81 l

(1+ m.x2 0 (m + x 2

m m$ + m2 + m&$ n x# 0 x2 0 8x 0 1#

1x2 & 1$x & $ #x2 0 xy 0 2y 2 (a+b2 0 2(a 2&b2 0 8(a&b 2 #'x12y$ & #8x8y= + 'x'y11 x2 0 #acx + a 2 (c2 0 'b 'b2 (2a+b2.('a2+b2+8ab 0 (a2&b22 g abx2 0 (a (a2 + b2 x + ab B 1''x11y2 0 '$#xy' +

a b c d e f

1x=y# i 2x' + $1x 2 &   j 's't & 's$t2 0 2's2t$  (x&1' + (x&12 0 # l 2x2 + =xy 0 1)y 2 0 #x+22y m 2x' + 1$x $ + x&# n x8 + #x# + $$x ' + #8x2 + 1'' 3 2x2 + =xy 0 1)y 2 0 #x + 22y &8 o 'm2n2 + 'p + 1#mn 0 =mnp 0 2p 2 p x' + )x$ + 1$x 2 + 1#x + 1 4 x' 0 x$ 0 $x2 + )x &2 r #x' + =x$ 0 1=x2 0 =x + # s x' + =x2 + 1# 1# t #x' 0 $1x$ + 2)x 2 0 1$x + # u x' + 2x$ + )x + 2 ? 'm2n2 + 'p + 1#mn 0 =mnp =mnp  0 2p2 5 (x2&1 (x2&' 0 $(2x+$ x 1x2 0 1=xy 0 2y 2 + 1$x + 1=y 0 $ y 'x=y + 1x)y&x$y= + x$y' + #x$y

4-# &i@ &i@iso isores res (inómi (inómico cos: s: 4,# Aspa ALGEBRA

a 2x$ 0 x2 0 1$x &#

78

 Primer Año Año

b 2x$ 0 x2 0 1$x 0 # c x$ + #x2 + 11x + # d #x$ + 11x 2 + #x + 1 e x$ 0 $x2 + 'x 0 2 f

x) + 'x' + 1x2 0 x + #

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ALGEBRA

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-eoria de ecuaciones

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ALGEBRA

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