FACTORIZACIÓN La factorización es una operación, que permite escribir una expresión como producto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de tres tipos: numérico, literal o completo: es decir contiene los dos primeros casos. I.-FACTOR NÚMERICO:- Se busca el número más grande, que divida a todos los coeficientes numéricos dados sin excepción. A este número, se le identifica como Máximo Común Divisor (MCD). Identificar el MCD y factorizar: a) 15a+10b=
b) 8m-12n=
c) 16a-20x=
d) 24y-18z=
e) 32x+24m=
f) 0,5x-0,1y=
g) 0,25s+0,06t=
h)1,5a-2,5b=
i) 0,6m+0,8n=
j) 75x+100y=
k) 72m+ 48r=
l) 120s-100k=
II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que están contenidas en todos los términos dados; considerando el menor exponente dado, respectivamente. Identificar el factor literal y factorizar: a) a 4 + a 9 =
b) x 3 − 3x 7 =
c) 4m 2 + 5m 3 =
d) h 4 v 7 − h 2 =
e) m 3 n 9 − m 2 n 5 =
f) 12d 5 + 5dx =
g) 6r 7 + 7 r 8 y =
h) 3a 3 m 5 + am =
i) 0,6n x − n 2 x =
j) a 4 m +6 + a 2 m +3 =
k) 4,5g-2,7h=
l)0,01a+0.02m=
III.-FACTOR COMÚN: Se caracteriza por contener los dos casos anteriores en forma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio, pero también se da el caso de polinomios: 1) Factor común monomio: a) 4 x + 6 x 3 =
b) 18ax − 36a 3 =
c) 20a 6 + 28a 9 =
d) 0,4 x 5 − 0,6 x 9 =
e) 48mn 2 − 72n 3 m 4 =
f) 2,5 x 6 + 1,5 x 7 =
4 4 12 2 x + x = 9 5 15 9 3 4 2 i) 0,75h j − h j = 4
g)
k)
9 15 5 xy − x = 4 8
18 3 4 a b − 0,2ab = 5 3 8 6 j) 0,125 p + p = 8
h)
1 4
3 4
13 10 l) 5 s + 3 s =
m) 2 x 2 + 6 x + 8 x 3 =
n)
x n +2 x 2 n +5 + = y y2
ñ) a 4 n +6 − 2a 3n +5 + 5a 2 n +9 =
o)
a 3 6a 2 9 a + − = b b b
p)
x 6 16 8 3 + − x = 81 9 27
q) x m + n + x m + p − x m + q =
IV.-FACTORIZACIÓN CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES: Ις En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice las recomendaciones de factorización, dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si el resultado obtenido, representa alguno de los productos notables antes vistos. a) x 2 − 100 = b) x 2 − 20 x + 100 = c) 1 + 6a + 9a 2 = d) a 6 − 9b 2 = e) 9m 6 + 16n 10 + 24m 3 n 5 =
f) 12 x 2 − 84 xy +147 y 2 = g) 3a 3 x 2 −12a 3 xy +12a 3 y 2 = h) 54m 6 − 72 m 3 + 24 = i)
6a 2 m 6 − 12am 4 + 6m 2 =
j) x 40 − 9 x 20 + 18 = k) x 6 + 5 x 3 + 6 = l) ( a − b ) 2 − 7( a − b ) +12= m) ( m + n ) 2 + 8( m + n ) + 15 = n) 0,4 x 3 − 0,9 x = ñ) 2a 5 − 162a 3 = o) 12 x 3 y −75 xy = p) 45m 3 n − 20 mn = q) 5a 3 b −180ab = r) y 2 +10 y + 25 = s) 24h 2 − 6h − 108 = t) 3 − 75 x 2 = u) 3 − 48a 6 = v) 98 x 5 −128 x 3 y 6 = w) 500 x 3 − 20 xy 2 = y) 4 x −16
a2x = y2
z) 1 + 3a 2 − 3a − a 3 =
Soluciones: I.-a)5(3a+2b) e) 8(4x+3m)
b)4(2m-3n) f)
c)4(4a-5x)
1 1 ( x − y) 2 5
1 1 2 2
g) ( s +
d)6(4y-3z) 3 t) 25
1 2
h) 3a − 5b)
ii.-a) a 4 (1 + a 5 )
b) x 3 (1 − 3x 4 )
h ( h v − 1) e) m 2 n 5 ( mn 4 − 1) am(3a 2 m 4 + 1)
f) d (12d 4 + 5 x )
g) r 7 (6 + 7 ry )
h)
iii.-a) 2 x ( 2 + 3x 2 )
b) 18a ( x − 2a 2 )
c) 4a 6 (5 + 7a 3 )
d) x 5 ( 2 − 3 x 4 )
2
2
c) m 2 ( 4 + 5m )
d)
7
e) 24mn 2 ( 2 − 3nm 3 ) f)
1 6 x (5 + 3 x ) 2
1 ab(18a 2 b 3 −1) 5 3 4 2 1 6 5 2 i) h j (1 − 5h j ) j) p (1 + 3 p ) 4 8
m) 2 x ( x + 3 + 4 x 2 ) a b
2 o) ( a + 6a − 9)
iv-a)(x+10)(x-10) e) (3m 3 + 4n 5 ) 2 i) 6m 2 (a −1) 2
n)
1 9
k)
x n +2 x n +3 (1 + ) y y
1 1 9 9
8 3
3 5
2 2 g) 4 x ( x + )
6 3 p) ( x + 16 − x )
1 5
h)
3 5 x (3 y − x 4 ) 4 2
3 4
10 3 l) s (7 s + 5)
ñ) a 2 n +5 ( a 2 n +1 − 2a n + 5a 4 ) q) x m ( x n + x p − x q )
b) ( x −10) 2 c) (1 + 3a ) 2 d) (a 3 − 3b)(a 3 + 3b) f) 3( 2 x − 7 y ) 2 g) 3a 3 ( x − 2 y ) 2 h) 6(3m 3 − 2) 2 j) ( x 20 − 6)( x 20 − 3) k) ( x 3 + 3)( x 3 + 2) l)(a-b-3)(a-b-4)
1 x ( 2 x + 3)( 2 x − 3) 10 o)3xy(2x+5)(2x-5) p) 5mn(3m + 2)(3m − 2) 2 r) ( y + 5) s)6(4h-9)(h+2) t) 3(1 + 5 x )(1 − 5 x )
m)(m+n+5)(m+n+3)
n)
ñ) 2a 3 ( a + 9)(a − 9) q) 5ab( a + 6)( a − 6) u) 3(1 + 4a 3 )((1 − 4a 3 ) a
a
v) 2 x 3 (7 x + 8 y 3 )(7 x − 8 y 3 ) w)20x(5x+y)(5x-y) y) 4 x (1 + 2 y )(1 − 2 y )
FRACCIONES ALGEBRAICAS I.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Utilizando factorización y productos notables, reduzca a su más simple expresión:
14 x + 21 y
a) 50 x + 75 y =
Rp:
7 25
b)
27 m − 36n = 36m − 48n
Rp:
3 4
c)
m2 − n2 = m 2 + 2mn + n 2
Rp:
d)
x 2 − 5x + 6 = x 2 − 2x
Rp:
x −3 x
e)
x 4 −1 = 3x 2 − 3
Rp:
x2 +1 3
Rp:
x −3 x +4
Rp:
x −1 x −3
m −n m +n
f)
x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 16
x 2 − 3x + 2 g) 2 = x − 5x + 6
h)
25 x 3 = 75 x 3 − 100 x 4
i)
a 2 − 25 = a 2 − 4a − 45
j)
x 4 − 14 x 2 − 51 = x 4 − 2 x 2 − 15
Rp:
Rp:
Rp:
a 2 x 2 − 16a 2 = ax 2 + 9ax + 20a a ( x − 4) x +5
k)
l)
1 3 − 4x a −5 a −9
x 2 − 17 x2 − 5
Rp:
x3 − x = x 2 + 2x + 1
Rp:
x ( x −1) x +1
a3 − b3 = a 2 − b2
Rp:
a 2 + ab − b 2 a +b
m)
3( x − 2) 5( x + 4)
n)
3x 2 − 27 x + 42 = 5 x 2 − 15 x − 140
Rp:
ñ)
x 2 − 5x + 6 = x 2 − 2x
Rp:
m 2 − 6m + 9 o) 2 = m − 9m + 18
Rp:
x −3 x m −3 m −6 a +b 3
p)
a 2 + 2ab + b 2 = 3a + 3b
q)
x 3 + 3x 2 − 10 x = x 3 − 4x 2 + 4x
Rp:
r)
x3 −1 = x2 + x +1
Rp: x −1
Rp:
x +5 x −2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplifique y reduzca a la más mínima expresión las siguientes fracciones algebraicas, revisando cuidadosamente cada numerador y denominador, detectando si es posible factorizarlos.
a)
b)
c)
d)
x 2 − 1 15 x 3 ⋅ = 5x x +1 3 x 2 ( x −1)
Rp:
x 2 − 2x + 1 x 2 −1 ⋅ = x +1 x −1
Rp: ( x −1) 2
a 2 + 9a + 18 a 2 + 7a + 10 ⋅ = a 2 + 8a + 15 a 2 + 11a + 18 x 2 − 6x x+9 ⋅ 2 = 3 2 x + 3x x + 3x − 54
Rp:
Rp:
a +6 a +9
1 x ( x + 3)
2x − 3 2x + 3 x −3 Rp: a −1
4x 2 − 9 x+2 e) ⋅ 2 = 2x + 3 2x + 7x + 6 x 3 − 27 a 2 + a + 1 f) ⋅ = a 3 − 1 x 2 + 3x + 9
Rp:
g)
x 2 + 5 x + 6 x 2 − 7 x + 12 x2 − 1 ⋅ ⋅ = x2 − 9 x 2 − 5 x + 4 x 2 + 3x + 2
Rp:1
h)
64 p 2 q 2 − z 4 ( x − 2 ) 2 x2 − 4 ⋅ ÷ = x2 − 4 8 pq + z 2 ( x + 2 ) 2
Rp:
8 pq − z 2
i)
j)
14 x 2 − 7 x 2x − 1 ÷ 2 = 3 2 12 x + 24 x x + 2x
Rp:
7 12
x 2 − 14 x − 15 x 2 − 12 x − 45 ÷ 2 = x 2 − 4 x − 45 x − 6 x − 27
Rp:
x +1 x +5
k)
x 2 − x − 20 x 2 − x − 2 x +1 ⋅ 2 ÷ 2 = 2 x − 25 x + 2 x − 8 x + 5 x
Rp:x
l)
x 2 + 2x x 2 − 2x − 8 x 2 + 4x ⋅ ⋅ 2 = x 2 − 16 x 3 + x 2 x + 4x + 4
Rp:
m)
a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a ⋅ ⋅ = a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8
Rp:
1 x +1
a ( a + 1) a −7
a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2 ⋅ ⋅ ⋅ = 2a 2 + 10a a 2 − 36 2a + 18 2a + 22 a ( a − 9) 4( a + 6)
n)
Rp:
x 2 + x − 20 x 2 − 25 8 x 3 − 32 x 2 ⋅ ⋅ = x 2 + 10 x + 25 x 2 − 16 3x 2 − 15 x 8 x ( x − 4) x +4
ñ)
Rp:
a 2 +1 a 3 + a 4x + 8 = ÷ ⋅ o) 3a − 6 6a − 12 x − 3
Rp:
x −3 2a ( x + 2)
p)
x 2 − x − 12 x 2 − x − 56 x 2 − 5 x − 24 ⋅ ÷ = x+5 x 2 − 49 x 2 + x − 20
q)
x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 ⋅ ÷ = x−3 x 2 + 7 x − 30 x 3 + 3x 2 + 9 x
Rp:
Rp:
1 x −7
x ( x − 3) x − 10
