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TRIGONOM. NO TRI NGULO RET NGULO
Resumo Exemplos Exercícios
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Prof: Deivid G Gimenes
1 – Introdução: Trigonometria significa “medida dos triângulos”. Atualmente é usada não só para calcular os elementos do triângulo, mas também para calcular elementos nos diversos ramos do conhecimento, tais como, engenharia, astronomia, topografia etc. 2 – Definição:
3 – Exemplos e Exercícios: 1) Mostre que
sec
2) Mostre que tg
hip
ca
sen
;
cos cos sec
hip
co
;
cot g
ca
.
co
.
cos cos
3) Usando a figura do item 2 calcule seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente para os ângulos Q e R. 4 – Ângulos Notáveis: São os ângulos de 30º, 45º e 60º. Esses ângulos são tabelados e devem ser memorizado pelo aluno pois é costume em provas e vestibulares a não divulgação dos mesmos.
Nomenclatura: De acordo com a figura:
30º
P, Q e R são os vértices do triângulo retângulo e também representam os ângulos desse triângulo; p, q e r são os lados do triângulo retângulo;
sen cos
Obs1: É muito importante saber os nomes desses lados, assim, chamamos de Hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto, nesse caso, o lado p e os outros dois lados q e r são são chamados de catetos. Obs2: Quando tomamos por base um ângulo agudo do triângulo retângulo, outra nomenclatura se faz importante no estudo das funções trigonométricas. Considere o ângulo Q do triângulo. O lado q oposto a esse ângulo é chamado de cateto oposto (CO) e o lado r é chamado de cateto adjacente (CA). Por outro lado, se considerarmos o ângulo R , teremos como cateto oposto o lado r e e como cateto adjacente o lado q.
1 2
3 2
tg
3
45º
60º
2
3
2 2 2
1
2 1 2
3
3
5 – Exemplos e Exercícios: 01) Seja o triângulo PQR de catetos p = 3cm e q = 4cm e hipotenusa r = 5cm. Calcule o seno de cada um dos ângulos agudos desse triângulo. 02) Calcule o seno de cada um dos ângulos agudos do triângulo retângulo abaixo.
Obs3: Veja que a hipotenusa sempre é o lado oposto ao ângulo reto. Funções trigonométricas: Existem três funções principais (seno, cosseno e tangente) e outras três derivadas das primeiras (secante, cossecante e a cotangente) totalizando as seis funções que regem o estudo da trigonometria, são elas: a) sen
d)
sec
co
hip 1
cos
b)
e)
cos
ca
c) tg
hip
cos sec
1
sen
f)
co
03) Uma escada de pedreiro de 10m está apoiada numa parede e forma com o solo um ângulo de 40º. Qual a altura atingida pelo ponto mais alto da escada? Obs: sen 40º 0,64.
ca
cot g
1
tg
Obs: Veremos nos exercícios que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar.
04) Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6m de altura, no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º. 05) Encontre o valor de x em cada caso:
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Prof: Deivid G Gimenes 8 – Exemplos e Exercícios: 01)
__ __ BC
06) Determine as medidas dos segmentos da figura abaixo. ABC é triângulo Retângulo?
e
____ AC
02)
07) Determine a e b, sabendo que a soma deles resulta 90º.
08) Um observador mira, de um ângulo de 60º, o topo de uma torre vertical apoiada num plano horizontal. Afastando-se 40m do ponto em que estava, passa a mirar seu topo de um ângulo de 30º. Determine a altura da torre e a distancia inicial em relação ao pé da torre.
03)
6 – Relação Fundamental 1 da Trigonometria: 2
sen x cos
Observe que
2
sen x
1
cos
2
2
x
x 1
e
cos
2
x
1
2
sen x
7 – Demonstrações: Com algumas dicas é possível demonstrar os valores encontrados na tabela dos ângulos notáveis e as funções vistas anteriormente, assim: a) Usando um triângulo eqüilátero e sua altura que vale h
l 3
2
(l = lado) encontre os valores de seno,
cosseno e tangente para 30º e 60º. b) Usando um quadrado e sua diagonal d l 2 (l = lado) encontre os valores de seno, cosseno e tangente para 45º.
c) Usando o teorema de Pitágoras e as funções trigonométricas demonstre a relação fundamental 1 da trigonometria.
04)
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Prof: Deivid G Gimenes 09)
05)
10)
06)
11)
07)
12)
08)
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14)
21)
22) 15) 23)
16)
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25)
17)
26)
27) 18)
28) 19)
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34)
30) 9 – Respostas: Item 8: 1A, 2C, 3C, 4E, 5B, 6D, 7(0,75), 8C, 10(75), 13C, 14A, 15D, 16A, 17B, 18B, 20C, 21A, 22A, 23B, 24B, 25C, 26D, 27B, 28B, 30D, 31E, 33E, 34D
31)
32)
