FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA
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S ANDRO L ANDEO A.
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PROLOGO El presente trabajo, se basa en Problemas Resueltos de Armaduras planas y tridimensionales estáticamente estáticamente determinadas determinadas usando usando el Método Matricial, que hoy en día son los métodos más usados para cálculos avanzados. Esperemos que este trabajo sirva de guía y práctica en provecho de nuestra sociedad en sacarle adelante para los futuros estudiantes. Espero haya cumplido con mi deber deber de divulgar los conocimientos conocimientos en alcance de todos.
______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____ Al Ing. Reyder Eusef Bendezú Boza, por haber compartido sus grandes conocimientos y logros durante mi formación profesional (2013 - II) y a los estudiantes de la Escuela Escuela Profesional de Ingeniería Ingeniería Civil – Huancavelica, Huancavelica, por sus inquietudes, me hizo realizar el trabajo. ______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____
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_____________________ ________________________________ ___________________ ________ A mi madre Teófila Antezana Vargas y a mis hermanos Elvis, Yuliño, Romaldiño y Yésmila por su apoyo incondicional y por confiar en mí. _____________________ ________________________________ ___________________ ________ 3
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INDICE Pág. ........... 5 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ........................ ....... 9 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 11 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 15 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 19 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 22 ......... 26 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 27 ............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ...................... ..... 30
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En los métodos de estudio para armaduras planos y tridimensionales determinados en Materia de Estática, se usan los métodos más comunes Método de Nudos y Secciones para determinar las fuerzas en los miembros, Básicamente el Método de Nudos, finalmente llega a un sistema de ecuaciones lineales, haciendo el uso de
∑ = ∑ =
en cada nudo y
∑ = para determinar las reacciones.
El procedimiento para el análisis de Método Matricial para armaduras, es
sencillo para determinar las fuerzas fuerzas y reacciones, reacciones, solo es determinar los cosenos directores y se toma el inicio y final de los elementos y grados de libertad o las ecuaciones que se dan en cada nudo , en los ejes “x” y “y”, para cada elemento. Tener presente la siguiente restricción. Para una armadura plana se deriva la siguiente expresión
:ú : ú :ú : ú :ú : ú
=+
Cuando se cumple esta expresión hay tantas ecuaciones como fuerzas desconocidas, suponiendo que no hay inestabilidades geométricas, el sistema
de ecuaciones tendrá una una solución. Para el proceso, cada elemento elemento se supone en tensión y es conveniente que las reacciones tengan en sentidos positivos para más practico se hará el proceso en el ejemplo siguiente. La orientación de un miembro de una armadura puede describirse definiendo los cosenos dire ctores del eje “ x´ ” local del miembro, hay dos cosenos directores directores para para cada eje “ x´ ”, los cosenos directores son los
ángulos a y b
como se muestra en la figura pro siguiente. El ángulo “a” se mide desde el eje
x positivo hacia hacia al eje x´, el ángulo de “b” se mide desde el eje y hacia el eje x´.
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ Y
X´
(Xf ,Yf )
b
B
a
L
Dy
b a
A (Xi,Yi)
X
Dx
= ( ); = ( ) ; = √ ( ) + ( ) ( ) ( ) ; = = = = √ ( ) + ( ) √ ( ) + ( ) = ; ==
Para el siguiente ejemplo será tomara como ejemplo para determinar la la matriz estática. 2 20 Ton
:Vector de Fuerzas Conocidas Externas
15 m
:Matriz Estática :Vector de Fuerzas desconocidas Internas
4
1
3 20 m
20 m
= + ; = ; = ; ; = Inicio y final de cada elemento y posición de fuerza unitaria para cada elemento. 2
Y
(20,15)
2
(20,15)
20 Ton
1
15 m
3
15 m 2
1
(0,0)
(20,0)
(40,0)
3 20 m
(0,0)
4 X
20 m
1
4 4
20 m
3
(20,0)
5
(40,0)
20 m
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Coordenadas locales de cada elemento. 2
Y
(20,15)
y ´
1 y ´
x ´
y ´ x ´
x ´
15 m
3 2
y´
y´
(0,0)
x´
x´
1
3
4
(20,0)
4
5
(40,0)
X
20 m
20 m
Construyamos la matriz estática usando el siguiente gráfico. 4
Y
20 Ton
2
3
1 3 2
2
6
1 R1x =1
1
R4=1
0.6
1
1 2
1
1
4
elementos
0.8
-0.8
6 1
y´
x ´
3
0.6 y ´
3
x ´
5
4
8
3
7
x´
-1
-0.8
X
Cosenos directores de los
3
y ´
7
4
5
R1y=1
1
1
5
3
4
4
2
8
4
-0.6
1 cos(0°)=1 sin(0°)=0
0.8 -0.6
1
Para determinar la matriz estática, nos conviene armar por columnas, como vemos para la columna N° 01. El elemento inicia en nudo N° 01 y termina en N° 02 y los cosenos directores directores se ubican de acuerdo al grado de libertad o la ecuación en los eje “Y” y “Y” respectivamente según el grafico anterior y como vemos que los grados de libertad, que están ubicados en un sentido positivo y los cosenos están en sentido contrario por lo tanto se ubicaran con sus respectivos signos determinados. De igual manera para los elementos que existen en la armadura se hace los mismos procedimientos. 7
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Para las reacciones, las reacciones también se consideran como un elemento y esta con ángulos de 0°y 90° y los cosenos directores es 1 y 0 y se ubican de acuerdo a los grados de libertad en la armadura, para apoyos móviles solo habrá una reacción y apoyos fijos habrá en sentido “x” e “y”.
FUERZAS Y LAS REACCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8
GRADOS DE LIBERTAD
F1 -0.8 -0.6 0.8 0.6 0 0 0 0
F2 0 0 0 1 0 -1 0 0
F3 0 0 -0.8 0.6 0 0 0.8 -0.6
F4 -1 0 0 0 1 0 0 0
F5 0 0 0 0 -1 0 1 0
Rx1 1 0 0 0 0 0 0 0
Ry2 Ry4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática F1 0 0 F2 0 0 F3 0 0 F4 0 0 F5 = 0 0 Rx1 1 0 Ry2 0 1 Ry4 0 0
0.6250 0 -0.6250 0.5000 0.5000 1 0.3750 -0.3750
0.8333 0 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5
0 0 0 1 0 1 0 0
0.8333 -1 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5
0 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 20 0 0 0 0 0
Fuerzas resultantes de los elementos y las reacciones en los apoyos F1= 12.50 Tracción F2= 0.00 Tracción F3= -12.50 Compresión F4= 10.00 Tracción
F5= Rx1= Ry2= Ry4=
10.00 Tracción 20.00 7.50 -7.50
2 20 Ton
n T o
5 0 2. 1 +
T o n
0.00
+10.00Ton
+10.00Ton
1 20 ton
- 1 2 .5 0
15 m
4
3 7.5 ton
7.5 ton
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Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 170 – Estática) Estática) 4
= .2 . 2.
5 2 Ton
2m 2 Ton
3
2 Ton
6 2m
1
2
2m
4m
1m
Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 12 (0,4)
4
(4,4)
11
10 9
9
5
4 5
6 (-2,2)
2m
8
2 Ton
2 Ton
2 Ton
8
3 5
(5,2)
6
7
2
6
7
2m
1
2 R1x=1
1
(0,0)
1
2m
(4,0) 3
4m
R1y=1
2
4 3 1m
R2=1
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Datos para obtener la matriz estática con los cosenos directores de cada elemento. Iniciales ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Finales
0 0 0 -2 4 -2 4 5 0
0 0 0 2 0 2 0 2 4
-2 4 4 0 0 5 5 4 4
2 4 0 4 4 2 2 4 4
2.8284271 5.6568542 4 2.8284271 5.6568542 7 2.236068 2.236068 4
Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 [B]= 6 7 8 9 10 11 12
-0.7071068 0.7071068 1 0.7071068 -0.7071068 1 0.4472136 -0.4472136 1
0.7071068 0.7071068 0 0.7071068 0.7071068 0 0.8944272 0.8944272 0
[] = []:
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 Rx1 Ry1 R2 0.7071 -0.7071 -1.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0.7071 -0.7071 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1.0 0 0.7071 0 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 -0.7071 0 -0.8944 0 0 0 0 1 -0.7071 0 0 -0.7071 0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 -0.7071 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.4472 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0.8944 -0.8944 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 -0.4472 1 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0.8944 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1
2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000
0.7071 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 0.0000 -1.5000 0.5000
2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -3.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000
-1.0607 1.4142 -1.7500 -1.0607 1.0607 1.5000 -2.2361 -1.1180 -1.5000 0.0000 0.2500 -1.2500
1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 2.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000
-1.4142 1.4142 -2.0000 -1.4142 1.4142 2.0000 -2.2361 -2.2361 -2.0000 0.0000 0.0000 -1.0000
1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000
1.4142 0 -2.8284 0 3.0000 0 1.4142 0 -2.8284 2 -2.0000 * 2 2.2361 0 2.2361 0 3.0000 2 0.0000 0 -1.0000 0 0 0.0000
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Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [ton].
F1= F2= F3= F4= F5= F6=
-8 16.97 -14.00 -11.31 11.31 12.00
Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal [Ton] Tracción F7= -13.42 [Ton] [Ton] Compresión F8= -13.42 [Ton] [Ton] Tracción F9= -16.00 [Ton] [Ton] Tracción Rx1= 4.00 [Ton] [Ton] Compresión Ry1= 6.00 [Ton] [Ton] Compresión R2= -4.00 [Ton]
Tracción Tracción Tracción
Grafica de Fuerzas Resultados finales en cada elemento. (C) F9=16 Ton
2 Ton
2 Ton
n (C) T o 1 3 . 1 1 4 = 7 F
2 Ton
9
4
5
F 5 =
F 8 =
n o T 7 9 . 6 1 = F 2
1 1 . 3 (T) 1 T o n 5
1 3 (C) . 4 2 T o n
8
3 F6=12 Ton
6
(T) (T)
n o T 7 9 . 2 6 1 = 2 F
F 1 = =8 (C) T o n 1
F6=12 Ton
F 5 =
1 1 . 3 3 1 T o n
6 7
= F 7
(C)
1
F3=14 Ton
n o T 2 4 . (C) 3 1
2
3
R1x =4 R1y =6
R2=4
Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 167 – Estática). Estática).
= .2 . 2.
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ 7 2 Ton
6 5
4
4 Ton
3
2
1
Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 14 (2.7,4.5) 13
2 Ton
7
10
6
9
12 (1.8,3) 11
(3.6,3) 8
5
10 9
7 6
8
5
(0.9,1.5)
47
(4.5,1.5) 4
6 5 4 Ton
3
1 2
3
2 (0,0)
R1x =1
4 1
1
R1y =1
(5.4,0)
R2x =1
3
2
R2y =1
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Iniciales
ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Finales
0 0 5.4 0.9 4.5 0.9 0.9 1.8 3.6 1.8
0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3
0.9 4.5 4.5 4.5 3.6 3.6 1.8 3.6 2.7 2.7
1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3 3 4.5 4.5
1.7493 4.7434 1.7493 3.6 1.7493 3.0887 1.7493 1.8 1.7493 1.7493
Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 6 [B]= 7 8 9 10 11 12 13 14
F1 F2 -0.5145 -0.9487 -0.8575 -0.3162 0 0 0 0 0 0.9487 0 0.3162 0.5145 0 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F3 0 0 0.5145 -0.8575 -0.5145 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0
F4 0 0 0 0 1.0 0.0 -1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
F5 0 0 0 0 0.5145 -0.8575 0 0 -0.5145 0.8575 0 0 0 0
0.514496 0.948683 -0.514496 1 -0.514496 0.874157 0.514496 1 -0.514496 0.514496
0.85749293 0.31622777 0.85749293 0 0.85749293 0.48564293 0.85749293 0 0.85749293 0.85749293
[] = [] ∶
F6 0 0 0 0 0 0 -0.8742 -0.4856 0.8742 0.4856 0 0 0 0
F7 F8 F9 F10 R1x R1y R2x R2y 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0 0 0 0 0 0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.0 -0.8575 0 0 0 0 0 0.5145 -1.0 0 -0.5145 0 0 0 0 0.8575 0.0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.8575 0.8575 0 0 0 0
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática 0
[F]=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 -0.5270 -0.9718 0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.5000 -0.1667 0.5000 -0.8333 -0.8333
0 -0.878 0.324 1.000 0 0 0 0 0 0 -0.833 -0.278 -0.167 0.278
-1 0.527 -0.194 -0.600 0 0 0 0 0 0 -0.100 -0.833 0.100 -0.167
0 0 1 1 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 1
0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 -1 -1 0 1
-1 0.264 -0.389 -0.300 -0.292 0.515 -1.166 -0.600 0.000 0.000 -0.200 -0.667 0.200 -0.333
-1 0.000 0.972 0.000 0.972 0.000 -0.972 0.000 0.972 -0.972 -0.500 -0.833 -0.500 0.833
-1 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 -0.583 -0.300 -0.500 0.300 -0.500
0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00 0.00 * 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00
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