FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA
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S ANDRO L ANDEO A.
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PROLOGO El presente trabajo, se basa en Problemas Resueltos de Armaduras planas y tridimensionales estáticamente estáticamente determinadas determinadas usando usando el Método Matricial, que hoy en día son los métodos más usados para cálculos avanzados. Esperemos que este trabajo sirva de guía y práctica en provecho de nuestra sociedad en sacarle adelante para los futuros estudiantes. Espero haya cumplido con mi deber deber de divulgar los conocimientos conocimientos en alcance de todos.
______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____ Al Ing. Reyder Eusef Bendezú Boza, por haber compartido sus grandes conocimientos y logros durante mi formación profesional (2013 - II) y a los estudiantes de la Escuela Escuela Profesional de Ingeniería Ingeniería Civil – Huancavelica, Huancavelica, por sus inquietudes, me hizo realizar el trabajo. ______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____
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_____________________ ________________________________ ___________________ ________ A mi madre Teófila Antezana Vargas y a mis hermanos Elvis, Yuliño, Romaldiño y Yésmila por su apoyo incondicional y por confiar en mí. _____________________ ________________________________ ___________________ ________ 3
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INDICE Pág. ........... 5 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ........................ ....... 9 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 11 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 15 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 19 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 22 ......... 26 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 27 ............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ...................... ..... 30
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En los métodos de estudio para armaduras planos y tridimensionales determinados en Materia de Estática, se usan los métodos más comunes Método de Nudos y Secciones para determinar las fuerzas en los miembros, Básicamente el Método de Nudos, finalmente llega a un sistema de ecuaciones lineales, haciendo el uso de
∑ = ∑ =
en cada nudo y
∑ = para determinar las reacciones.
El procedimiento para el análisis de Método Matricial para armaduras, es
sencillo para determinar las fuerzas fuerzas y reacciones, reacciones, solo es determinar los cosenos directores y se toma el inicio y final de los elementos y grados de libertad o las ecuaciones que se dan en cada nudo , en los ejes “x” y “y”, para cada elemento. Tener presente la siguiente restricción. Para una armadura plana se deriva la siguiente expresión
:ú : ú :ú : ú :ú : ú
=+
Cuando se cumple esta expresión hay tantas ecuaciones como fuerzas desconocidas, suponiendo que no hay inestabilidades geométricas, el sistema
de ecuaciones tendrá una una solución. Para el proceso, cada elemento elemento se supone en tensión y es conveniente que las reacciones tengan en sentidos positivos para más practico se hará el proceso en el ejemplo siguiente. La orientación de un miembro de una armadura puede describirse definiendo los cosenos dire ctores del eje “ x´ ” local del miembro, hay dos cosenos directores directores para para cada eje “ x´ ”, los cosenos directores son los
ángulos a y b
como se muestra en la figura pro siguiente. El ángulo “a” se mide desde el eje
x positivo hacia hacia al eje x´, el ángulo de “b” se mide desde el eje y hacia el eje x´.
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ Y
X´
(Xf ,Yf )
b
B
a
L
Dy
b a
A (Xi,Yi)
X
Dx
= ( ); = ( ) ; = √ ( ) + ( ) ( ) ( ) ; = = = = √ ( ) + ( ) √ ( ) + ( ) = ; ==
Para el siguiente ejemplo será tomara como ejemplo para determinar la la matriz estática. 2 20 Ton
:Vector de Fuerzas Conocidas Externas
15 m
:Matriz Estática :Vector de Fuerzas desconocidas Internas
4
1
3 20 m
20 m
= + ; = ; = ; ; = Inicio y final de cada elemento y posición de fuerza unitaria para cada elemento. 2
Y
(20,15)
2
(20,15)
20 Ton
1
15 m
3
15 m 2
1
(0,0)
(20,0)
(40,0)
3 20 m
(0,0)
4 X
20 m
1
4 4
20 m
3
(20,0)
5
(40,0)
20 m
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Coordenadas locales de cada elemento. 2
Y
(20,15)
y ´
1 y ´
x ´
y ´ x ´
x ´
15 m
3 2
y´
y´
(0,0)
x´
x´
1
3
4
(20,0)
4
5
(40,0)
X
20 m
20 m
Construyamos la matriz estática usando el siguiente gráfico. 4
Y
20 Ton
2
3
1 3 2
2
6
1 R1x =1
1
R4=1
0.6
1
1 2
1
1
4
elementos
0.8
-0.8
6 1
y´
x ´
3
0.6 y ´
3
x ´
5
4
8
3
7
x´
-1
-0.8
X
Cosenos directores de los
3
y ´
7
4
5
R1y=1
1
1
5
3
4
4
2
8
4
-0.6
1 cos(0°)=1 sin(0°)=0
0.8 -0.6
1
Para determinar la matriz estática, nos conviene armar por columnas, como vemos para la columna N° 01. El elemento inicia en nudo N° 01 y termina en N° 02 y los cosenos directores directores se ubican de acuerdo al grado de libertad o la ecuación en los eje “Y” y “Y” respectivamente según el grafico anterior y como vemos que los grados de libertad, que están ubicados en un sentido positivo y los cosenos están en sentido contrario por lo tanto se ubicaran con sus respectivos signos determinados. De igual manera para los elementos que existen en la armadura se hace los mismos procedimientos. 7
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Para las reacciones, las reacciones también se consideran como un elemento y esta con ángulos de 0°y 90° y los cosenos directores es 1 y 0 y se ubican de acuerdo a los grados de libertad en la armadura, para apoyos móviles solo habrá una reacción y apoyos fijos habrá en sentido “x” e “y”.
FUERZAS Y LAS REACCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8
GRADOS DE LIBERTAD
F1 -0.8 -0.6 0.8 0.6 0 0 0 0
F2 0 0 0 1 0 -1 0 0
F3 0 0 -0.8 0.6 0 0 0.8 -0.6
F4 -1 0 0 0 1 0 0 0
F5 0 0 0 0 -1 0 1 0
Rx1 1 0 0 0 0 0 0 0
Ry2 Ry4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática F1 0 0 F2 0 0 F3 0 0 F4 0 0 F5 = 0 0 Rx1 1 0 Ry2 0 1 Ry4 0 0
0.6250 0 -0.6250 0.5000 0.5000 1 0.3750 -0.3750
0.8333 0 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5
0 0 0 1 0 1 0 0
0.8333 -1 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5
0 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 20 0 0 0 0 0
Fuerzas resultantes de los elementos y las reacciones en los apoyos F1= 12.50 Tracción F2= 0.00 Tracción F3= -12.50 Compresión F4= 10.00 Tracción
F5= Rx1= Ry2= Ry4=
10.00 Tracción 20.00 7.50 -7.50
2 20 Ton
n T o
5 0 2. 1 +
T o n
0.00
+10.00Ton
+10.00Ton
1 20 ton
- 1 2 .5 0
15 m
4
3 7.5 ton
7.5 ton
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Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 170 – Estática) Estática) 4
= .2 . 2.
5 2 Ton
2m 2 Ton
3
2 Ton
6 2m
1
2
2m
4m
1m
Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 12 (0,4)
4
(4,4)
11
10 9
9
5
4 5
6 (-2,2)
2m
8
2 Ton
2 Ton
2 Ton
8
3 5
(5,2)
6
7
2
6
7
2m
1
2 R1x=1
1
(0,0)
1
2m
(4,0) 3
4m
R1y=1
2
4 3 1m
R2=1
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Datos para obtener la matriz estática con los cosenos directores de cada elemento. Iniciales ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Finales
0 0 0 -2 4 -2 4 5 0
0 0 0 2 0 2 0 2 4
-2 4 4 0 0 5 5 4 4
2 4 0 4 4 2 2 4 4
2.8284271 5.6568542 4 2.8284271 5.6568542 7 2.236068 2.236068 4
Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 [B]= 6 7 8 9 10 11 12
-0.7071068 0.7071068 1 0.7071068 -0.7071068 1 0.4472136 -0.4472136 1
0.7071068 0.7071068 0 0.7071068 0.7071068 0 0.8944272 0.8944272 0
[] = []:
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 Rx1 Ry1 R2 0.7071 -0.7071 -1.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0.7071 -0.7071 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1.0 0 0.7071 0 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 -0.7071 0 -0.8944 0 0 0 0 1 -0.7071 0 0 -0.7071 0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 -0.7071 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.4472 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0.8944 -0.8944 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 -0.4472 1 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0.8944 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1
2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000
0.7071 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 0.0000 -1.5000 0.5000
2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -3.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000
-1.0607 1.4142 -1.7500 -1.0607 1.0607 1.5000 -2.2361 -1.1180 -1.5000 0.0000 0.2500 -1.2500
1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 2.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000
-1.4142 1.4142 -2.0000 -1.4142 1.4142 2.0000 -2.2361 -2.2361 -2.0000 0.0000 0.0000 -1.0000
1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000
1.4142 0 -2.8284 0 3.0000 0 1.4142 0 -2.8284 2 -2.0000 * 2 2.2361 0 2.2361 0 3.0000 2 0.0000 0 -1.0000 0 0 0.0000
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [ton].
F1= F2= F3= F4= F5= F6=
-8 16.97 -14.00 -11.31 11.31 12.00
Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal [Ton] Tracción F7= -13.42 [Ton] [Ton] Compresión F8= -13.42 [Ton] [Ton] Tracción F9= -16.00 [Ton] [Ton] Tracción Rx1= 4.00 [Ton] [Ton] Compresión Ry1= 6.00 [Ton] [Ton] Compresión R2= -4.00 [Ton]
Tracción Tracción Tracción
Grafica de Fuerzas Resultados finales en cada elemento. (C) F9=16 Ton
2 Ton
2 Ton
n (C) T o 1 3 . 1 1 4 = 7 F
2 Ton
9
4
5
F 5 =
F 8 =
n o T 7 9 . 6 1 = F 2
1 1 . 3 (T) 1 T o n 5
1 3 (C) . 4 2 T o n
8
3 F6=12 Ton
6
(T) (T)
n o T 7 9 . 2 6 1 = 2 F
F 1 = =8 (C) T o n 1
F6=12 Ton
F 5 =
1 1 . 3 3 1 T o n
6 7
= F 7
(C)
1
F3=14 Ton
n o T 2 4 . (C) 3 1
2
3
R1x =4 R1y =6
R2=4
Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 167 – Estática). Estática).
= .2 . 2.
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ 7 2 Ton
6 5
4
4 Ton
3
2
1
Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 14 (2.7,4.5) 13
2 Ton
7
10
6
9
12 (1.8,3) 11
(3.6,3) 8
5
10 9
7 6
8
5
(0.9,1.5)
47
(4.5,1.5) 4
6 5 4 Ton
3
1 2
3
2 (0,0)
R1x =1
4 1
1
R1y =1
(5.4,0)
R2x =1
3
2
R2y =1
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Iniciales
ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Finales
0 0 5.4 0.9 4.5 0.9 0.9 1.8 3.6 1.8
0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3
0.9 4.5 4.5 4.5 3.6 3.6 1.8 3.6 2.7 2.7
1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3 3 4.5 4.5
1.7493 4.7434 1.7493 3.6 1.7493 3.0887 1.7493 1.8 1.7493 1.7493
Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 6 [B]= 7 8 9 10 11 12 13 14
F1 F2 -0.5145 -0.9487 -0.8575 -0.3162 0 0 0 0 0 0.9487 0 0.3162 0.5145 0 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F3 0 0 0.5145 -0.8575 -0.5145 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0
F4 0 0 0 0 1.0 0.0 -1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
F5 0 0 0 0 0.5145 -0.8575 0 0 -0.5145 0.8575 0 0 0 0
0.514496 0.948683 -0.514496 1 -0.514496 0.874157 0.514496 1 -0.514496 0.514496
0.85749293 0.31622777 0.85749293 0 0.85749293 0.48564293 0.85749293 0 0.85749293 0.85749293
[] = [] ∶
F6 0 0 0 0 0 0 -0.8742 -0.4856 0.8742 0.4856 0 0 0 0
F7 F8 F9 F10 R1x R1y R2x R2y 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0 0 0 0 0 0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.0 -0.8575 0 0 0 0 0 0.5145 -1.0 0 -0.5145 0 0 0 0 0.8575 0.0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.8575 0.8575 0 0 0 0
[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []
Cálculos de inversa de la matriz estática 0
[F]=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 -0.5270 -0.9718 0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.5000 -0.1667 0.5000 -0.8333 -0.8333
0 -0.878 0.324 1.000 0 0 0 0 0 0 -0.833 -0.278 -0.167 0.278
-1 0.527 -0.194 -0.600 0 0 0 0 0 0 -0.100 -0.833 0.100 -0.167
0 0 1 1 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 1
0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 -1 -1 0 1
-1 0.264 -0.389 -0.300 -0.292 0.515 -1.166 -0.600 0.000 0.000 -0.200 -0.667 0.200 -0.333
-1 0.000 0.972 0.000 0.972 0.000 -0.972 0.000 0.972 -0.972 -0.500 -0.833 -0.500 0.833
-1 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 -0.583 -0.300 -0.500 0.300 -0.500
0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00 0.00 * 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00
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Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [Ton].
F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7=
-1.944 -3.514 3.239 0.000 1.944 0.000 -1.944
Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal [Ton] Compresión F8= 0.000 [Ton] Tracción [Ton] Compresión F9= 1.944 [Ton] Tracción [Ton] Tracción F10= -1.944 [Ton] Compresión [Ton] Tracción R1x= -4.333 [Ton] [Ton] Tracción R1y= -2.778 [Ton] [Ton] Tracción R2x= -1.667 [Ton] [Ton] Compresión R2y= 2.778 [Ton]
2 Ton
n o T
7
4 4 9 . 1 = 0 1
6 n o T
4 4 9 . 1 = F 7
1 . 9 4 4
10
F
T o n
9
Ton .000 To F8=0.00 8
o n T 0
7
F 9 =
5
0 0 . 0 =
F 6
6
F 5 =
5
1 . 9 4 4
T o n
Ton .000 To F4=0.00
n o T
4 4 9 . 1 = F 1
4
4
o n
1
T 1 4 5 . 3
F 2 =
2
4 Ton
3 F 3 =
3 3 . 2 3 9
T o n
1
2 R2x=1.667 ton
R1x=4.333 ton R1y =2.778 ton
R2y =2.778 ton
14
INGENIERÍA CIVIL
S ANDRO L ANDEO A.
_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Por el Método Matricial determinar las fuerzas en cada uno de los elementos de la armadura mostrada y las reacciones (Ing. Reyder E. Bendezú Boza Examen de Métodos Numéricos Aplicados – 2013 2013 – II II – UNH.) UNH.)
2.00 m
1.00m
P(KN)
1.00 m
P(KN) P(KN)
P(KN)
2P(KN)
2P(KN) 4.00m
30°
15
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S ANDRO L ANDEO A.
_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
1.00
2.00
P(KN) (1,4) 6 5 P(KN)
1
:# Elementos :# Nudos (x,y) :Coordenadas P: :Fuerzas
1.00
P(KN) (3,4) 8 P(KN) 7 g
8
6
g
2
b
7
Ángulos respectivos g=atan(2/0.5) g=75.9638° 2 a=90°-75.9638° a=14.0362°
10 2P(KN) (3.5;2) 4.00 9
4
3
P(KN) a
9
5
(0.5,2)
3
4
Psen(a)=0.9701 P Pcos(a)=0.2425 P 2Psen(a)=0.4851 P 2Pcos(a)=1.9403 P
4
1 2
30°
a
b
2P(KN)
R1*sen(30)
0.5
3
2
51
(0,0)
6
R1*cos(30)
12 11 R2
(4,0)
R3
Cálculos previos para cada elemento COORDENADAS ELEM. Xi Yi Xf Yf 1 0 0 0.5 2 2 0 0 3.5 2 3 4 0 0.5 2 4 4 0 3.5 2 5 0.5 2 1 4 6 0.5 2 3 4 7 3.5 2 1 4 8 1 4 3 4 9 3.5 2 3 4
LONG. 2 2.061553 2.061553 3.201562 3.201562 2.061553 2.061553 4.031129 4.031129
COS(x) 1.000 0.243 -0.243 -0.781 0.781 0.243 -0.243 -0.868 0.868
SEN(x) 0.000 0.970 0.970 0.625 0.625 0.970 0.970 0.496 0.496
[] = [] 16
INGENIERÍA CIVIL
S ANDRO L ANDEO A.
_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
GDL\F -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.86824 -0.49614 0 0 0 0 0 0 0.86824 0.49614 0 0
0 0 0 0 -0.86824 0 0.49614 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0.97014 0.86824 0.24254 -0.49614 -0.97014
0 0 -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.50000 0 0 0 0 0 0.86603 0 -0.78087 0 0 0 0 0 -0.62470 0 0 0 0 0 0 -0.78087 -1 0 0 0 0 0.62470 0 0 0 0 0.78087 0 1 -0.24254 0 0 0.62470 0 0 0.97014 0 0 0 0.78087 0 0.24254 0 0 0 -0.62470 0 -0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
[] + [] ∗ [] = 0.0000 P
-0.24254
0.0000 P
0
0
0
0
0
0
0.50000
0
0
0
0
0
0
0
0
0.86603
0
0
1.9403 P
-0.97014 -0.49614 0 0.24254 0 -0.86824
0
-0.24254
-0.78087
0
0
0
0
0
0
-0.4851 P
0.97014
0
0.49614
0
-0.97014
-0.62470
0
0
0
0
0
0
0.9701 P
0
0
0
0
0.24254
0
-0.78087
-1
0
0
0
0
-1.2425 P
0
0
0
0
0.97014
0
0.62470
0
0
0
0
0
-0.9701 P
0
0
0
0
0
0.78087
0
1
-0.24254
0
0
0
-1.2425 P
0
0
0
0
0
0.62470
0
0.97014
0
0
0
-1.9403 P -0.4851 P
0 0
0.8682 4 0.49614
0 0
-0.24254 0.97014
0 0
0 0
0.78087 -0.62470
0 0
0.24254 -0.97014
0 0
0 0
0 0
0.0000 P
0
0
0.86824
0.24254
0
0
0
0
0
0
0
1
0.0000 P
0
0
-0.49614
-0.97014
0
0
0
0
0
0
1
0
0 0 0 0 -0.78087 0.62470 0 0 0.78087 -0.62470 0 0
0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0
-0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.86824
-0.86824 -0.49614 0 0 0 0 0 0 0.86824 0.49614 0 0
0
0 0 0 0 -0.86824 0 0.49614 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0.97014 0.86824 0.24254 -0.49614 -0.97014
[]= [[]]
0 0 -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0
0.000 P 0.000 P 1.940 P -0.485 P 0.970 P -1.243 P -0.970 P -1.243 P -1.940 P -0.485 P 0.000 P 0.000 P 0 0 -0.78087 -0.62470 0 0 0.78087 0.62470 0 0 0 0
= 0
0 0.50000 0 0 0 0.86603 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0 0 0.97014 0 0 0 0.24254 0 0 0 -0.97014 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
[] = []− ∗ [] 0.6872 -1.3437 -1.3437 0.6872 -1.3744 2.1344 2.1344 -2.0000 -1.3744
-0.3967 0.7758 0.7758 0.7758 -0.3967 0.7935 -1.2323 -1.2323 1.1547 1.1547 0.7935 0.0000 1.1547 0.0000 0.0000 1.0000 -0.5774
0.4029 0.2199 -0.7879 -0.1125 0.2249 -0.3493 -0.3493 0.3274 0.2249 0.5774 -0.5000 0.7113
0.7051 0.3849 0.6368 -0.1968 0.3937 -0.6114 -0.6114 0.5729 0.3937 1.0104 0.1250 -0.5052
0.8058 0.4399 -0.2320 -0.9121 0.4499 0.3685 -0.6987 -0.3453 -0.2373 1.1547 -1.0000 0.4226
0.6044 0.3299 0.4979 0.0031 1.3682 -0.7908 -0.5240 0.7410 0.5092 0.8660 0.2500 -0.4330
0.8058 0.4399 -0.2320 -0.9121 0.4499 0.3685 -0.6987 0.6547 -0.2373 1.1547 -1.0000 0.4226
0.2015 0.1100 -0.0580 0.8027 0.1125 0. 0921 -0.1747 -0.1747 0.1637 0.9715 0.2887 0.7500 -0.1443
0.4029 0.2199 -0.7879 -0.1125 -0.8058 1.2514 1.2514 -1.1726 -0.8058 0.5774 -0.5000 -0.5000 0.7113
0.1007 0.0550 -0.1970 1.0027 -0.2015 0.3129 0.3129 -0.2932 -0.2015 0.1443 0.8750 -0.0722
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0.000 P 0.000 P 1.940 P -0.485 P 0.970 P -1.243 P -0.970 P -1.243 P -1.940 P -0.485 P 0.000 P 0.000 P
Fuerzas en los elementos horizontales, verticales y trasversales. Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal
F1= F2= F3= F4= F5= F6=
-1.3921 P -0.7599 P -0.7599 P -1.3921 P 0.0670 P -2.0930 P
[KN] [KN] [KN] [KN] [KN] [KN]
Compresión Compresión Compresión Compresión Compresi ón Tracción Compresión
1.00m
F7= F8= F9= R1= R2= R3=
P(KN) P(KN)
F8=0.6805 P [K N]
P(KN)
8
] N [K P P 0 7 6 . 0 0
F
9
=
5
= 5 F
[KN] Compresión [KN] Tracción [KN] Tracción [KN] [KN] [KN]
1.00 m
2.00 m
P(KN)
-2.0930 P 0.6805 P 0.0670 P -1.9949 P -1.7276 P 0.9974 P
] N K [ P 0 9 3 0 . 6 = 2
F 6
F 7 =
7
2 .0 9 9 3 0 P [ K N ]
0 .0 6 7 0 P [ K N ]
2P(KN)
2P(KN)
4.00m ] N [K P 1 2 9 . 3 1
= 1 F
30°
F
4
1
] K N [ P
9 9 7 . 5 0 =
F 2
2
F 3 = =0
.7 5 9 9 P
3
[ K N ]
4
=
1 .3 9 2 1 P
[K N ]
R3=0.9974 P [KN]
R1=1.9949 P [KN] R2=1.7276 P [KN]
18
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. b) Para una carga P=150 ton P(KN)
P(KN)
6
4
2
P(KN)
7 5 10
9
1
13
4m
8
3
2
1
8 4
3
2P(KN)
4m
11
5
6
4m
P(KN)
4
3
4m
14
6
7
7
5
13
1 (0,0)
2 1
R1x
4
6
5
3
(8,0)
10
59
6
2P(KN)
4m
:# Nudos
13
: # # Elementos
8
3
(4,0)
6
Inicio y final de los elementos
13
4m
2
:Grados de Libertad
15
(12,4)
10
9
1
16
P(KN)
8 (8,4)
4
(4,4)
30°
2P(KN)
4m
P(KN)
2
12
7
4m
(12,0) 11
7
4m
12 11
16 12
2P(KN) 4m
R1y
(16,0)
8
1530° R3
R3*sen(30)
R3*cos(30) COORDENADAS Iniciales Finales
ELEM. 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 4 4
0 0 0 0 0 0
4 8 12 4 4 8
4 4 4 0 4 0
LONG. COS(x) 5.6568542 0.7071068 8.9442719 0.8944272 12.649111 0.9486833 4 1 4 0 4 1
SEN(x) 0.7071068 0.4472136 0.3162278 0 1 0
19
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
7 8 9 10 11 12 13
16 8 16 12 8 12 16
0 0 0 0 0 0 0
4 8 8 12 12 16 12
4 4 4 4 0 0 4
12.649111 -0.9486833 0.3162278 4 0 1 8.9442719 -0.8944272 0.4472136 4 0 1 4 1 0 4 1 0 5.6568542 -0.7071068 0.7071068
á [] = [] GDL\F F1 1 -0.7071 2 -0.7071 3 0.7071 4 0.7071 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0
F2 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0
F3 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
F4 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F5 0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F6 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
F7 F8 0 0 0 0 -0.9487 0 0.3162 0 0 0 0 0 0 0.000 0 1.000 0 0.000 0 -1.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0 -0.3162 0
F9 0 0 0 0 0 0 -0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472
F10 F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.000 0 0.000 0.0 1.000 -1.0 0.000 0 0 1.0 0 0 0 0 0
F12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0
F13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071
R1x R1y R3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0 0 0.8660
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[] = [[]] 0.0 P 0.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0P -2.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0 P 0.0 P 0.0P -2.0P 0.0 P -1.0 P 0.0P 0.0P -0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
-1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -0.9487 0 0.3162 0 0 0 0 0 0 0.000 0 1.000 0 0.000 0 -1.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0 -0.3162 0
0 0 0 0 0 0 -0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.000 0 0.000 0.0 1.000 -1.0 0.000 0 0 1.0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0.8660
20
INGENIERÍA CIVIL
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
[] = []− ∗ [] 0 0 0.3536 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 -0.7906 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 0.6057 0 0 0 1 0 0.8557 0 1 0.2500 0 0 -0.2887
1.0607 0.0000 0 -0.6057 0 -0.6057 0.7906 0 0 0 -0.6057 -0.6057 0 0.1443 0.7500 0.2887
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1.0607 0.0000 0 -0.6057 -1.0000 -0.6057 0.7906 0 0 0 -0.6057 -0.6057 0 0.1443 0.7500 0.2887
0 0.5590 0 0.3557 0 0.3557 0 0 -0.5590 0 0.3557 0.3557 0 0.8557 0.2500 -0.2887
0 1.1180 0 -0.7113 0 -0.7113 0 0 1.1180 0 -0.7113 -0.7113 0 0.2887 0.5000 0.5774
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1.1180 0 -0.7113 0 -0.7113 0 -1.0000 1.1180 0 -0.7113 -0.7113 0 0.2887 0.5000 0.5774
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0.7906 -0.3170 0 -0.3170 0 0 0 -1.0000 -0.3170 -0.3170 1.0607 0.4330 0.2500 0.8660
0 0 0.7906 0.1057 0 0.1057 0 0 0 0 0.1057 0.1057 -0.3536 0.8557 0.2500 -0.2887
0 0 0.7906 -0.3170 0 -0.3170 0 0 0 0 -0.3170 -0.3170 1.0607 0.4330 0.2500 0.8660
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0.5774 0 0.5774 0 0 0 0 0.5774 0.5774 0.0000 0.5774 0 1.1547
0.00 P 0.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P -2.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -2.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P 0.00 P
Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8
Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal -3.18198 P Compresión F9= -1.11803 P Compresión -1.11803 P Compresión F10= 2.00000 P Tracción -2.37171 P Compresión F11= 3.47927 P Tracción 3.47927 P Tracción F12= 3.47927 P Tracción 2.00000 P Tracción F13= -3.18198 P Compresión 3.47927 P Tracción Tracción R1x= -2.02073 P -2.37171 P Compresión R1y= -3.50000 P 0.00000 P Tracción R3= -4.04145 P
Para una una carga P=150 ton. F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8=
Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal -477.297 Compresión F9= -167.705 -167.705 Compresión F10= 300.000 -355.756 Compresión F11= 521.891 521.891 Tracción F12= 521.891 300.000 Tracción F13= -477.297 521.891 Tracción R1x= -303.109 -355.756 Compresión R1y= -525.000 0.000 Tracción R3= -606.218
Compresión Tracción Tracción Tracción Compresión
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. b) Evaluar para un valor de P=150 Ton.
2P (KN)
P(KN)
4
30° 30°
53°
2 7 5
6
9
13 1 4m
2
3
1
8 3
4
8
2P(KN)
5
10
3P(KN)
4m
6
7
11
3P(KN)
4m
2P(KN) 4m
2P*sin(30°) 2P (KN) 2P*cos(30°)
P*sin(30°)
16
4
(0,4)
30°
2
12
15
16
P(KN)
14
:Grados de Libertad
15
53°
13 P*cos(30°) (12,4)
6
:# Nudos
13
# Elementos : # Inicio y final de los elementos
7 5
9
6
13
4m 1
2
1 (-4,0)
2
(0,0)
1
4
2P(KN)
3
3
4
3
4m
(4,0) 8 4m
5
8
6
5
10
3P(KN) 4m
(8,0)
6
12
10
8
(12,0)
7
11
3P(KN)
7
9
12
(16,0)
11 2P(KN)
4m
4m
R1x=1 R1y=1
R3=1
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Cálculos previos COORDENADAS Iniciales Finales ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-4 -4 0 0 8 12 16 0 4 4 8 12 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 12 12 -4 0 0 0 4 12 8 12 16 12
4 4 4 0 4 4 4 0 4 0 0 0 4
LONG. 5.6569 16.492 12.649 4 8.9443 12.649 16.492 4 8.9443 4 4 4 5.6569
COS(x) 0.707107 0.970143 0.948683 -1 -0.894427 -0.948683 -0.970143 1 0.894427 1 1 1 -0.707107
SEN(x) 0.7071068 0.2425356 0.3162278 0 0.4472136 0.3162278 0.2425356 0 0.4472136 0 0 0 0.7071068
[] = []
[] =
GDL\F
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
1 2 3 4 5 6
-0.7071 -0.7071 0 0 0 0
-0.9701 -0.2425 0 0 0 0
0 0 -0.9487 -0.3162 0 0
-1.00 0.00 1.00 0.00 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 -1.00 0.00 1.00 0.00
0 0 0 0 -0.8944 -0.4472
0 0 0 0 -1.00 0.00
7 8 9 10 11
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0.8944 -0.4472 0 0 0
0 0 0.9487 -0.3162 0
0 0 0 0 0.9701
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1.00 0.00 0 0 0
12
0
0
0
0
0
0
-0.2425
0
0
0
13 14 15 16
0 0 0.7071 0.7071
0.9701 0.2425 0 0
0.9487 0.3162 0 0
0 0 0 0
0 0 -0.8944 0.4472
0 0 0 0 -0.9487 -0.9701 0.3162 0.2425
0 0 0 0
0.8944 0.4472 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0.00 0 0 1.00 -1.00 0 0.00 0.00 0 0 1.00 0.7071 0 0.00 0.7071 0 0 0.7071 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0
R1x R1y R3 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
[] = [[]] 23
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
-0.7071 -0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071
-0.9701 -0.2425 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9701 0.2425 0 0
0 0 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8944 0 0 0 -0.4472 0 0 0 0 0.9487 0 0 0 -0.3162 0 0 0 0 0.9701 0 0 0 -0.2425 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.89443 -0.9487 -0.9701 0 0.44721 0.3162 0.2425
0P -2.0P 0P 0P 0P -3.0P 0P -3.0 P 0P 0P 0P -2.00 P -0.602 P -0.799 P 1.732 P -1.000 P 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
[] = []− ∗ [] 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0.0943 -4.3980 4.2164 4.2000 0.0000 -1.0541 1.0995 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 -0.8000 -0.3771 0.0000 1.3333 -0.3333
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
-0.0943 0.2749 2.1082 -0.2000 0.0000 1.0541 -1.0995 -2.2000 -2.2361 -0.2000 -0.2000 0.8000 0.3771 0.0000 0.6667 0.3333
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0.3771 -1.0995 1.0541 0.8000 -2.2361 2.1082 0.2749 -0.2000 0.0000 -0.2000 -2.2000 -0.2000 -0.0943 0.0000 0.3333 0.6667
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
-0.3771 1.0995 -1.0541 -0.8000 0.0000 4.2164 -4.3980 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 4.2000 0.0943 0.0000 -0.3333 1.3333
0.0943 -0.2749 1.0541 0.2000 0.0000 -1.0541 1.0995 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 -0.8000 -0.3771 1.0000 0.3333 -0.3333
-0.2828 0.8246 0.0000 -0.6000 0.0000 3.1623 -3.2985 -0.6000 0.0000 -0.6000 -0.6000 2.4000 1.1314 0.0000 0.0000 1.0000
0.3771 -1.0995 1.0541 0.8000 0.0000 -1.0541 0.2749 0.8000 0.0000 0.8000 0.8000 -0.2000 -0.0943 1.0000 0.3333 -0.3333
1.1314 -3.2985 3.1623 2.4000 0.0000 0.0000 0.8246 -0.6000 0.0000 -0.6000 -0.6000 -0.6000 -0.2828 0.0000 1.0000 0.0000
0.00 P -2.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -2.00 P -0.60 P -0.80 P 1.73 P -1.00 P
Fuerzas Resultantes en Cada Elemento de la Estructura [KN].
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Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal F1=
-0.59187 P
Compresión
F9= 6.70820 P Tracción
F2=
9.97179 P
Tracción
F10= 2.74446 P Tracción
F3=
-17.78229 P
Compresión
F11= 8.74446 P Tracción
F4=
-9.25554 P
Compresión
F12= -9.78168 P Compresión
F5=
6.70820 P
Tracción
F13= -0.83989 P Compresión
F6=
-19.52827 P
Compresión
R1x= 1.13024 P
F7=
10.69490 P
Tracción
R1y= -5.62325 P
F8=
8.74446 P
Tracción
R3= -6.17538 P
Para P = 150 Ton. Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal F1= -88.780
Compresión
F9= 1006.231
Tracción
F2= 1495.768
Tracción
F10= 411.669
Tracción
F3= -2667.344
Compresión
F11= 1311.669
Tracción
F4= -1388.331
Compresión
F12= -1467.253 Compresión
F5= 1006.231
Tracción
F13= -125.984
F6= -2929.240
Compresión
R1x= 169.535
F7= 1604.235
Tracción
R1y= -843.488
F8= 1311.669
Tracción
R3= -926.307
Compresión
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Para análisis de una armadura a nivel tridimensional, existen más ecuaciones de la estática para determinar las reacciones, porque se tienen dos ejes más para tomar momentos y un eje más para sumar fuerzas. En total se dispone de seis ecuaciones d equilibrio.
= = = = = = Si una estructura tiene más de seis componentes de reacción, será estáticamente indeterminado externamente. Si existen menos de seis componentes de reacción la armadura será inestable (el estudio de estabilidad se desarrolla en Materia de Análisis estructural I). Para que una armadura sea estáticamente determinada se debe cumplir la siguiente expresión.
=
:#: # :## : :# : #
El análisis es similar para las armaduras en 2D, solo aumenta un eje “Z” .
= ( ) ; = ( ) ; = ( ) = √ ( ) + ( ) + ( ) = ; = ; =
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Al tetraedro mostrado se le aplica una carga vertical (Kg), tal como se muestra en la figura. Determinar las reacciones y las fuerzas en cada barra del tetraedro, si la longitud de las barras es 1, (Ing. Reyder E. Bendezú Boza - Examen de Métodos Numéricos Aplicados – 2013 2013 – II II – UNH.) UNH.) P
Y
Z
X
Coordenadas en cada nudo y los grados de libertad l ibertad a igual que en armaduras de 2D, en este caso será 3 en cada nudo y las reacciones según tomado el eje global “XYZ” en sentido positivo y
todo lo contrario será negativo, el sentido
de inicio y final de cada elemento. P
(0.5,0.2887,0.8165)
12
Z
11
4 10 Y 4
6
9 (0.5,0.8660,0) 8 3
3
(0,0,0)
3 1
2
R5=1
R6=1 5
1
R1=1
7
2
R2=1 1
6 (1,0,0)
2
5 4
R3=1
X
R4=1
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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____
Para las coordenadas de los nudos que se conectan entre elementos, se hace un previo cálculo usando la geometría elemental. C - (X)
ELEM. 1 0 2 1 3 0 4 0 5 1 6 0.5
1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
C - (Y)
C - (Z)
LONG. 0 0 0 0 1.0 0 0.866025 0 0 1.0 0 0.866025 0 0 1.0 0 0.288675 0 0.816497 1.0 0 0.288675 0 0.816497 1.0 0.866025 0.288675 0 0.816497 1.0
COS(x) SEN(x) COS(z) 1.0000 0.0000 0.0000 -0.5000 0.8660 0.0000 0.5000 0.8660 0.0000 0.5000 0.2887 0.8165 -0.5000 0.2887 0.8165 0.0000 -0.5773 0.8165
[] = [] GDL\F F1 F2 F3 1 -1.000 0 -0.5000 2 0.000 0 -0.8660 3 0.000 0 0.0000 4 1.000 0.5000 0 5 0.000 -0.8660 0 6 0.000 0.0000 0 7 0 -0.5000 0.5000 8 0 0.8660 0.8660 9 0 0.0000 0.0000 10 0 0 0 11 0 0 0 12 0 0 0
F4 -0.5000 -0.2887 -0.8165 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.2887 0.8165
F5 F6 R1 R2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.5000 0 0 0 -0.2887 0 0 0 -0.8165 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0.5773 0 0 0 -0.8165 0 0 -0.5000 0.0000 0 0 0.2887 -0.5773 0 0 0.8165 0.8165 0 0
R3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
R4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
R5 R6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
[] = []− ∗ [] -1 1 -1 0 0 [F]= 0 -1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 -1 0 0 0 -1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 -0.2887 0 0.5774 0 0.5774 0 0.0000 0 0.0000 0 0.0000 0 0.5000 0 0.0000 0 0.5000 0 0.0000 1 0.0000 0 0.0000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0.0000 -0.4811 -0.1361 0.00 1.0000 0.3849 -0.1361 0.00 -1.0000 0.3849 -0.1361 0.00 1.0000 0.5774 0.4082 0.00 -1.0000 0.5774 0.4082 0.00 0.0000 -1.1547 0.4082 * 0.00 0.00 -0.5774 0.5000 0.0000 0.8165 0.4714 0.3333 0.00 0.5774 0.5000 0.0000 0.00 -0.8165 0.4714 0.3333 0.00 1.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.0000 -0.9428 0.3333 -1.00 P
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Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. Fuerzas de cada elemento F1= 0.13608 P [Ton] Tracción
R1= 0.00000 P [Ton]
F2= 0.13608 P [Ton] Tracción
R2= -0.33333 P [Ton]
F3= 0.13608 P [Ton] Tracción
R3= 0.00000 P [Ton]
F4= -0.40825 P [Ton] Compresión
R4= -0.33333 P [Ton]
F5= -0.40825 P [Ton] Compresión
R5= 0.00000 P [Ton]
F6= -0.40825 P [Ton] Compresión
R6= -0.33333 P [Ton]
Z
P
4 Y
F 6 =
g K P 4 5 8 2 0 4 0 . =
0 . 4 0 8 2 5 P 6 K g
5
g
F 4
K F5=0.40825 P
3
3
F 3 = 0.
1 R1=0 P Kg R2=0.33333 P Kg
1 36 0
g 8 P K
R6=0.33333 P Kg
P 8 0 6 3 1 . 2 0 = F 2
F 1 = 0 1
g K
R5=0 P Kg
.1 3 6 0 8 P
K g
2 X
R3=0 P Kg R4=0.33333 P Kg
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Análisis estructural (Jeffrey P. Laible – University of Vermont).
Análisis de estructuras (James K. Nelson, Jr y Jack C. McCormac Edición)
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Estática Ingeniería Mecánica (R. C. HIBBELER – Décimo Segunda Edición).
Estática (Ing. Luis Eduardo Gamio Arisnabarreta – Universidad Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Civil).
Análisis estructural (Teoría y Problemas Problemas Resueltos, Ing. Ing. Biaggio Arbulú G.UNI).
Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen II, Ing. Biaggio Arbulú G.UNI).
Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen III, Ing. Biaggio Arbulú G.G. UNI).
Apuntes de clases de Análisis Estructural I - II –“Universidad –“Universidad Nacional de Huancavelica “2015 -I, ING. CABALLERO SANCHEZ, Omar.
Apuntes de clases de Análisis Estructural I – II II –“Universidad Nacional Nacional de Huancavelica “2015 -I, ING. BENDEZÚ BOZA, Reyder E.
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