I. INTR NTRODUC ODUCCI CIÓN ÓN.. 1.1. VARIABLES ALEATORIAS DEFINICIÓN 1.1. Variable aleatoria aleatoria es la que no se puede fijar anticipadamente el valor que debe tomar, porque este valor depende de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denotan por por letras mayúsculas X ,
Y , Z , etc. Ejemplo 1 En el experimento aleatorio de lanzar dos monedas legales el espacio Muestral es
cc, cs, sc, ss .
Sea la variable aleatoria X que denota el número de sellos que se puede obtener en cualquiera de los resultados del experimento aleatorio antes mencionado.. Notamos ahora que: Si al lanzar las dos monedas se obtuviera cc , entonces X
0
Si al lanzar las dos monedas se obtuviera cs , entonces X
1
Si al lanzar las dos monedas se obtuviera sc , entonces X
1
Si al lanzar las dos monedas se obtuviera ss , entonces X
2
Luego el rango o recorrido de la variable aleatoria X es el conjunto de números reales y denotamos entonces R X
0,1,2
0,1,2
A continuación continuación damos la la definición mas formal de de variable aleatoria como como una función.
DEFINICIÓN 1.2. Consideremos un experimento cuyo Espacio Muestral es el conjunto valores real que están definidas sobre el espacio muestral
. Una función X :
¡
con
recibe el nombre de Variable Aleatoria. En
otras palabras, en un experimento aleatorio específico, una variable aleatoria X sería una función que asigna un número real X ( w ) a cada resultado posible w
.
Observación
1
RHBB
Cada valor que toma la variable aleatoria X tiene una probabilidad de ocurrir, en el ejemplo ilustrado anteriormente está dado del siguiente modo:
P ( X
0)
1 4
, P ( X
1)
2 4
y P ( X
1 4
2)
Colocándolo cada valor de X y su respectiva probabilidad p( x )
X p( x )
P( X
0
1
2
1 4
2 4
1 4
x ) en una tabla tenemos:
Donde a dicha tabla se denomina distribución de probabilidad ó función de probabilidad de la variable aleatoria X y las probabilidades acumuladas de la variable en mención se denomina Función
de Distribución de dicha variable X lo cual reproducimos en la tabla siguiente
Donde F ( x )
P( X
X p( x )
0
1
2
1 4
2 4
1 4
F ( x )
1 4
3 4
1
x ) , x 0, 1, 2
Entonces 1 4
F (0)
P( X
0)
P ( X 0)
F (1)
P( X
1)
P( X
0)
P ( X 1)
F (2)
P( X
2)
P( X
0)
P( X
1)
1 4
2 4
3 4
P( X 2)
Luego dicha función de distribución F ( x ) está dado por. F ( x )
1 4
2 4
1 4
0
, x 0
1
1 4
, 0
x 1
3 4
, 1
x 2
1 , x 1
1.2. CLASES DE VARIABLES ALEATORIAS A.Variables Aleatorias Discretas Una variable aleatoria X se denomina Discreta si el rango o Recorrido R X de dicha variable solo toma valores enteros y a la función de probabilidad del mencionado variable se le llama función de
cuantía denotándolo como p( x ) . B.Variables Aleatorias Continuas. Una variable aleatoria X se denomina Continua si el rango o Recorrido R X de dicha variable toma valores que son números reales, y a la función de probabilidad del mencionado variable se le llama
función de densidad denotándolo como f ( x ) .
2
RHBB
1.3. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS Las características de todas las variables aleatorias son la media o Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Estándar denotados respectivamente por E X
, V X
2
y
V X . Las siguientes definiciones se dan como opcionales pues no queremos entrar en detalles referido al cálculo integral.
Características de Variables Aleatorias Discretas Sea X una variable aleatoria Discreta con función de probabilidad p( x ) y recorrido R X Entonces se definen
•
La Esperanza Matemática de X como. E X
xp( x ) x
•
La Varianza de X como. V X
E
X
x.P X
x ,
x
R X
x
2
E X2
2
E X
, E X
Donde
E X 2
x 2 p( x ) x
p( x )
•
P X
x2 P X
x ,
x
R X
x
x es función de cuantía de X
La Desviación Estándar de X como.
X
V X
Características de Variables Aleatorias Continua Sea X una variable aleatoria Continua con función de densidad f ( x ) y recorrido R X Entonces se definen
•
La Esperanza Matemática de X como. E X
•
La varianza de X como. V X
E X2
xf ( x )dx ,
E X
x
R X
2
Donde
E X 2
•
x 2 f ( x )dx , x
La Desviación Estándar de X como.
R X y f ( x ) es función de densidad de X
V X
X
3
RHBB
II. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES NOTABLES DISCRETAS 2.1.DISTRIBUCIÓN DE BERNUOLLI Una variable aleatoria X tiene una distribución Bernoulli con parámetro p si tiene la siguiente función de probabilidad o función de cuantía
p( x )
x 1 x ,
p q
x 0; 1
Donde
p
P X
x es la probabilidad de éxito y q
1
p es la probabilidad de fracaso
La Esperanza Matemática y la varianza de una v. a. con distribución Bernoulli están dados respectivamente por:
Característica * E X
p
*V X
pq
*
( X )
pq
2.2.DISTRIBUCIÓN DE BINOMIAL Una variable aleatoria X tiene una distribución Binomial con parámetros n y p si tiene la siguiente función de probabilidad o función de cuantía
p( x )
n x
x n x
p q
, x
0,1,2,......, n
Donde
p
P X
x es la probabilidad de éxitos y q
1
p es la probabilidad de fracaso
La Esperanza Matemática y la varianza de una v. a. con distribución Binomial están dados respectivamente por:
* E X
np y
*V X
npq
La distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli. La distribución de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número " n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos
4
RHBB
Ejemplo 2.1. Se lanza una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10 La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:
P X
x
n x
p x q n x
n! p x 1 x ! n x !
p
n x
Ejemplo 2.2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
" k " es el número de aciertos. En este ejemplo " x " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces x = 6)
" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 " p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5
La fórmula quedaría:
P X 6
10! 10 6 0, 56 1 0,5 6! 10 6 !
Luego despejando la fórmula tendríamos: P (x = 6) = 0,205 Es decir, se tiene una posibilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.
Ejemplo 2.3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado 8 veces?
" x " (número de aciertos) toma el valor 4 " n" toma el valor 8 " p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)
La fórmula queda:
P X 4
8! 8 4 0,1664 1 0,166 4! 8 4 !
Luego: P (X = 4) = 0,026 . Es decir, se tiene una posibilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el número 3 al tirar un dado 8 veces.
5
RHBB
2.3.DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Una variable aleatoria X tiene una distribución Hipergeométrica con parámetros
B
n , A y
A si tiene la siguiente función de probabilidad o función de cuantía
N
p( x )
A
N
A
x
n
x
, x
N
0,1, 2, ....., Min n, A
n
Caractesticas La Esperanza Matemática y la varianza de una v. a. con distribución Hipergeométrica están dados respectivamente por:
* E
X
n. A
*V
N
nA ( N A )( N n ) . N N ( N 1)
X
Temas Opcional 2.4.DISTRIBUCIÓN DE POISSON Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson
con parámetro
0 (),si tiene la
siguiente función de probabilidad o función de cuantía
p( x )
x
e x !
,
x 1,2,3,...........
Características La Esperanza Matemática y la Varianza de una v. a. con distribución Poisson están dados respectivamente por:
* E
X
*V
X
Ejemplo 2.3. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad " p=0,02 " es menor que 0,1, y el producto "
np
6 " es menor que 10,
entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
3
P X
e
6 3
6
3!
Luego, P (x = 3) = 0,0892. Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 0.0892
6
RHBB
Ejemplo 2: La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?
Como la probabilidad " p
=
0.012 " es menor que 0,1, y el producto " n × p = 0.012 × 800 = 9,6 " es
menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
e −9,6 9, 65 P [ X = 5] = 5! Luego, P (X = 5) = 0,04602. Por lo tanto, el porcentaje de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%.
III. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES NOTABLES CONTINUAS 3.1.DISTRIBUCIÓN NORMAL Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución se caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:
Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda . Esta distribución viene definida por dos parámetros:
X
N ( ,
:
2
)
DEFINICIÓN. Una variable aleatoria X tiene una distribución de Normal con media 2
y Varianza
si tiene la siguiente función de densidad
f ( x )
1 2
7
1
e
2
x
2
, x
¡
RHBB
Características La Esperanza Matemática, Varianza y Desviación Estándar de una v. a. con distribución Normal están dados respectivamente por:
* E
X
*V
*
2
X
( X )
V X
3.2.DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Una variable aleatoria X tiene una distribución de Normal Estándar con media 2
0 y Varianza
1 , si tiene la siguiente función de densidad:
1
f ( x )
2
1
e
x 2
2
, x ¡
Ejemplo 1: Una variable aleatoria sigue el modelo de una distribución normal con media 10 y varianza 4. Transformarla en una normal estándar.
X : N (10; 4) Para transformarla en una normal estándar se crea una nueva variable ( Z ) que será igual a la
anterior (X) menos su media y dividida por su desviación estándar (que es la raíz cuadrada de la varianza)
X
Z
En el ejemplo, la nueva variable sería:
X 10
Z
2
Esta nueva variable se distribuye como una normal estándar, permitiéndonos por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor.
Z
:
N (0,1)
La distribución normal estándar tiene la ventaja de que las probabilidades para cada valor de la curva se encuentran recogidas en una tabla. Dicha tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable.
8
RHBB
Ejemplo 1: Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5. La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable, ya que podría tomar infinitos valores: por ejemplo: 1.99, 1.994, 1.9967, 1.9998, 1.999791, etc. Veamos otros ejemplos: Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0.7486 Probabilidad acumulada en el valor 1.35: la respuesta es 0.9115 Probabilidad acumulada en el valor 2.19: la respuesta es 0.98574 Veamos ahora, como podemos utilizar esta tabla con una distribución normal:
Ejemplo 2: El salario mensual de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media S/.5000 y desviación estándar S/. 1000. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a S/. 7000. Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal estándar, para ello se crea una nueva variable ( Z) que será igual a la anterior ( X) menos su media y dividida por la desviación típica
Z
En el ejemplo, la nueva variable sería:
Z
X
X 5000 1000
Esta nueva variable se distribuye como una normal estándar. La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7000 es:
Z
7000 5000 1000
2
Ya podemos consultar en la tabla Estadística ( Pedro Díaz) la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a S/. 7000). Esta probabilidad es 0.97725. Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a S/. 7000 es del 97.725%.
Ejercicio 3: La renta anual de los habitantes de un país es de 4 mil dólares con una varianza de 1.5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular el porcentaje de la población con una renta inferior a 3 mil dólares. Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada:
9
RHBB
Z
X 4 1.22
Recordemos que el denominador es la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza: σ =
1,5
=
1,22 )
El valor de Z equivalente a 3 mil dólares es:
.Entonces
P X
3
3
P Z
P X
Z
X
P
3 4 1,22
3 4 1,22
0.82
0.82
P Z
P Z
0.82
0.82
0.20611
0.20611
Luego, el 20,611% de la población tiene una renta inferior a 3 mil dólares.
Ejercicio 4: La vida media de los habitantes de un ciudad es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio de esa pequeña ciudad de 10 000 habitantes:
a)¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b)¿Cuántos vivirán menos de 60 años? Solución Definimos la variable aleatoria
X : Tiempo de vida en años de los habitantes del país en estudio
X : N ( ;
2
) con
68,
2
25
5
a) Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años. *Calculando la probabilidad de personas que vivirán mas de 75 años Es decir calcularemos
P X 75
Entonces
X
P X
75
P
P X
75
P Z
75 68 5 1.40
1
P Z
P Z 1.40
1.40
1
P Z 1.40
1 0.91924
0.08076
0.91924 0.0808
Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.
10
RHBB
b)Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años. *Calculando la probabilidad de personas que vivirán menos de 60 años Es decir calcularemos
P X 60
Entonces
X
P X
60
P
P X
60
P Z
60 68 5 1.60
P Z
1.60
P Z
1.60
0.05480
0.05480 (Se obtuvo haciendo uso de Talas estadística )
Luego, el 5.48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.
3.3.DISTRIBUCIÓN t-STUDENT Student con n grados de libertad si tiene la
Una variable aleatoria X tiene una distribución de t siguiente función de densidad n 1 2
f ( x )
1
n 2
n
n 1 2
2
x
n
, x
¡
Donde
( )
0
x
1
x
e dx ,
para todo
real positivo
Características La Esperanza Matemática y la Varianza de una v. a. con distribución t
Student están dados
respectivamente por:
n
¢
* E
X
0, n
1
*V
X
n n 2
,
n
2
La distribución t de Student es muy similar a la distribución normal, ya que ambas son simétricas con respecto a su media 0. Las dos tienen gráficas de su función de densidad en forma de una campana, pero la distribución t tiene mayor dispersión.
11
RHBB
Ejemplo 1. Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una T de Student con 18 grados de libertad.
a)Determinar la probabilidad de que X se a mayor o igual que 2.101 P X b)Determinar P X
2.101
1.33
c)Determinar P 0.668
X
2.252
Para determinar estas probabilidades haremos uso de las tabla estadística t-Student. Se debe tener en cuenta que para usar las tablas estadísticas cuyo autor es Pedro Díaz, las probabilidades deben tener la forma P X
a) P X
P X (18)
2.101
2.101
a ó P X
a
como esta probabilidad no tiene la forma indicada se
transformará de la siguiente manera: P X (18 )
2.101
1
P X (18 )
2.101
Para determinar el valor numérico de esta probabilidad se busca en la columna de la tabla t-Student el numero de grado de libertad 18, luego por esa fila se va hacia la derecha hasta encontrar el número
2.101 y, enseguida por esa columna se va hacia arriba hasta encontrar el la probabilidad p . Para este
p
caso
P X (18)
0.975 ,
2.101
b) P X P X (18 )
c) P 0.668
por
lo
1 0.975
1.333
X (18 )
1
P X (18)
1.333
P X (18)
2.252
2.101
0.975
luego
reemplazando:
0.025
P X (18 )
1.333
P X (18)
tanto:
1.333
P X (18) 0.990
1.33
1 0.90
2.252
0.750
luego transformando:
0.10
P X (18)
0.668
, luego buscando en la tabla
0.140
Ejemplo 2: Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una t de Student con 10 grados de libertad. determinar la abcisa c si: P X (10) Como P X (10)
c
0.95
c
0.95 .
p entonces p
0.95 . En la tabla localizamos el grado de libertad 10
y la columna encabezada por p . El valor de t en la intersección de la fila marcada con 10 y la columna encabezada por 0.95, entonces el valor de la abcisa c que buscamos y vemos que corresponde a 1.812. Por tanto c
1.812
12
RHBB
3.4.DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADA Una variable aleatoria X tiene una distribución de Chi-Cuadrada con n grados de libertad si tiene la siguiente función de densidad
f ( x )
1 n 2
2
e
x 2
x 2
n 2
1
, x
0, n
¢
Características La Esperanza Matemática y la Varianza de una v. a. con distribución Chi-Cuadrada con n grados de libertad están dados respectivamente por:
* E X
*V X
n
2n
La Chi Cuadrado es una de las distribuciones mas usadas en la Estadística aplicada y, como en el caso de la distribución normal, existen tablas que permiten hallar sus valores.
Curva de la distribución Chi Cuadrado
Ejemplo 1. Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una Chi-cuadrado con 23 grados de libertad. Determinar: P X (23)
20.7
Para determinar el valor numérico de esta probabilidad se busca en la columna de la tabla Chicuadrado, el numero de grado de libertad 23, luego por esa fila se va hacia la derecha hasta encontrar el número 20.7 y, enseguida por esa columna se va hacia arriba hasta encontrar el valor p . Para este caso p
0.40 , por lo tanto: P X (23)
20.7
13
0.40
RHBB
Ejemplo 2. Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una Chi-cuadrado con 20 grados de libertad. Determinar la abcisa c si P X (20)
c
0.70 .
En la tabla estadística (Autor: Pedro Díaz) localizamos el grado de libertad 20 y la columna encabezada por p . El valor de
2
en la intersección de la fila marcada con 20 y la columna
encabezada por 0.70, entonces el valor de la abscisa c que buscamos y vemos que corresponde a
22.8. Por tanto c
22.8
3.5.DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-ESNEDECOR Una variable aleatoria X tiene una distribución F o de Fisher con m y n grados de libertad si tiene la siguiente función de densidad m m n 2
f ( x )
. x 2
m 2
m n
m
1
m
n 2
n
2
1
mx
2
, x 0 , m , n ¢
n
Características La Esperanza Matemática y la Varianza de una v. a. con distribución F con m y n grados de libertad están dados respectivamente por:
* E
X
n n 2
2
, n 2
* V ( X )
2n ( m
n 2) 2
m( n 2) ( n 4)
,
n
4
Nota: El estudio de esta distribución es opcional, para mayor detalle revisar las referencias bibliográficas.
IV.EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Una caja contiene 4 fichas rojas y 6 fichas verdes. Se extraen al azar sin reemplazamiento 2 fichas. Halle la distribución de probabilidad y función de distribución de la variable aleatoria referido al número de fichas verdes.
2.
Si X es la variable aleatoria que representa el número de caras que se obtienen al arrojar cuatro monedas al mismo tiempo. Determínese el recorrido y la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en mención.
3.
Halle la función de probabilidad y función de distribución de la variable aleatoria X que representa al número de veces que se arroja un dado hasta que aparezca el 5 (incluyendo la prueba en que aparece el 5).
14
RHBB
4.
Se lanzan tres monedas al aire. Sea la variable aleatoria X
=
número de caras que se obtienen.
Se pide hallar :
a) La distribución de probabilidad de X b) Función de distribución de X y su representación grafica d) La probabilidad de que salga a lo sumo dos cara e) La probabilidad de que salgan al menos dos caras 5.
En una población de moscas, el 20% tiene mutación de alas. Si es escogen 6 moscas al azar de la población.
a) ¿Cuál es la probabilidad que dos tiene mutación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga mutación? c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 5 tenga mutación? d) ¿Cuál es el numero esperado de moscas con mutación de alas?
6.
El 60% de los televidentes de una población grande dada sintonizan un programa especifico. ¿Cuál es la probabilidad que mas de la mitad de las personas que forman una muestra de 5 personas, extraída aleatoriamente de la población, vean el programa de televisión?
7.
Una empresa manufacturera recibe un lote de 100 artículos de los cuales cinco son defectuosos. La compañía revisa constantemente los lotes que recibe para establecer la calidad del material. Si la calidad de un lote recibido es baja, regresa al proveedor el lote completo. Suponga que la compañía recibe el lote y lo acepta si hay solo uno o menos piezas defectuosas en una muestra de tamaño 6 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote de 100 artículos con 5 piezas defectuosas?
8.
Un lote de 100 tubos de televisión a color esta sujeto a un procedimiento de prueba de aceptación. El procedimiento consiste en extraer 5 tubos aleatoriamente, sin reemplazamiento y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote. Asumiendo que el lote contiene cuatro tubos defectuosos. Determinar la distribución de probabilidad del numero de tubos defectuosos en la muestra indicando sus parámetros y luego calcule la probabilidad de aceptar el lote.
9.
El cuerpo secretarial de un importante bufete de abogados cuenta con 25 secretarias, 10 de los cuales han estado con la compañía mas de cinco años. Un ejecutivo desea seleccionar al azar cuatro secretarias para asignarles un nuevo asunto. a) Determine la distribución de probabilidad del numero de secretarias con mas de cinco años en la compañía
b)¿Cuál es la probabilidad que ninguna de las secretarias tengan mas de 5 años en la compañía?. c)¿Cuál es la probabilidad que las cuatros secretarias tengan mas de 5 años en la compañía?
15
RHBB
10.
En la observación del numero de glóbulos rojos(en millones) de los habitantes de una ciudad se observo que seguían aproximadamente una distribución normal con media 405 y desviación estándar 0.5. Se pide calcular:
a)Probabilidad de que un habitante tomado al azar tenga mas de cinco millones de glóbulos rojos. b)Porcentaje de la ciudad con menos de 3.75 millones de glóbulos rojos. 11.Una maquina de empaquetar un determinado producto empaqueta según una distribución normal, con media µ y desviación estándar de 20gr. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de un
paquetes
seleccionados al azar sea inferior a 2 Kg,?
12.Si X es una variable aleatoria distribuida con media a) P 6
X 12
6 y varianza b) P 0
13.Si X es una variable aleatoria distribuida con media 62
a) P X
2
8
X
50 y varianza b) P
25 . Determinar:
X 50
2
36 . Determinar:
8
14.Determinar la constante c si se trata de una distribución t Student a) P X ( 25)
0.85 b) P X ( 20 )
c
c
0.25
c) P X (15)
0.995
c
15.Sea X una variable que se distribuye con una t Student con 9 grados de libertad. Determinar: a) P X
1.383
b) P X
2.821
c) P 0.883
2.262
X
16.Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una Chi-cuadrado. Determinar: a) P X ( 56)
69.9
b) P X ( 25 )
16.5
17.Sea X una variable aleatoria que se distribuye con una Chi-cuadrado. Determinar la abcisa c si a) P X (15)
c
0.975
b) P X ( 30 )
c
0.025
18.Sea X una variable que se distribuye con una t Student. Determinar: a) P X ( 20)
2.5
b) P X (16)
1.65
c) P 0.663
X 12
1.23
19.Los tubos fabricados por cierta máquina tienen un diámetro medio de estándar
9.8mm , con desviación
0.536 mm . ¿Qué porcentaje de tubos será rechazado, si no se aceptan diámetros
inferiores a 9mm . Asuma que os diámetro tienen una distribución normal.
16
RHBB
