TACNA 07/06/2016
1. Si se lanza 4 veces una moneda, .terminar. a) la probabilidad de obtener exactamente 2 casas.
SOLUCIÓN: Asasjajdasdsjfdkxjcmlkcv Sdkafdkjdnckjnds Axczaxkascmklmldkmczxx b) la probabilidad de obtener al menos una cara.
SOLUCIÓN: Asasjajdasdsjfdkxjcmlkcv Sdkafdkjdnckjnds Axczaxkascmklmldkmczxx
2. Si se lanza un dado 5 veces, calcular la probabilidad de obtener: a) al menos un uno b) dos unos exactamente c) a lo sumo cinco unos.
3. En la facultad de ciencias la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es de 80%. Si consideramos 10 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que: a) dos aprueben? b) a lo sumo 3 aprueben? c)
todos aprueben?
4. Si se lanzan 7 dados y el éxito consiste en sacar 1 ó 2, encontrar la probabilidad de obtener: a) exactamente 4 éxitos b) al menos un éxito.
5. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 8 artículos: a. ninguno sea defectuoso? b. no más de dos sean defectuosos? c.
6.
todos sean defectuosos?
La probabilidad de que se gradúe un estudiante que ingresa a la universidad es de 0,2. Calcular la probabilidad de que entre 6 estudiantes que ingresan:
a. ninguno se gradúe b. que se gradúen al menos dos.
7. Encontrar la probabilidad de que de las cinco primeras personas que se encuentra cierto Dia, por lo menos «es hayan nacido el domingo. 8. De un blof de 2000 familias con 4 hijos cada una. ¿En cuántas de estas familias cabe esperar que haya: a) al menos un niño? b) dos niños? c) ningún niño?
9. al inspeccionar 2340 soldaduras producidas por cierta máquina, y se encontraron 448 uniones defectuosas. Al efectuar 5 soldaduras. ¿Cuáles la probabilidad de obtener 3 m. defectuosas. 10. Se sabe que 9 de cada 10 personas tienen cáncer, al tomar un grupo se 5 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que: a) cuatro tengan cáncer? b) por lo menos dos no tengan cáncer?
11. De la producción de envases metálicos se sabe que el 3% son defectuosos ¿Cuáles la probabilidad de que en una muestra de 7 envases: a) por menos tres sean buenos? b) por lo menos tres sean defectuosos?
12. la probabilidad de que un paciente se recupere de de una delicada operación es 0,9 ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva exactamente cinco de. siete pacientes sometidos a esta operación. 13. 13.-Se sabe que el 75% de los ratenes vacunados con un suero están protegidos de cierta Enfermedad, sise vacunan tres ratones ¿Cuál es la probabilidad de que alo sumo dos de ellos contraigan la enfermedad? 14. 14.-Una compañia de teléfonos atiende un promedio de 600 llamadas durante una hora de aglomeración. L compañia puede hacer un máximo de 20 conexiones por minuto. • -Utilice la distribución de Poisson, para calcular la probabilidad de que la compañía quede rebasada durante un minuto dado. 15. Cierta marca de neumáticos sufren un reventón a causas aleatorias una vez cada 2500 Km. como promedio. Suponiendo que estas ocurrencias siguen la ley de Poisson. SOLUCIÓN: DATOS: X: números de reventones de neumáticos. R X
0,1, 2,... 1vez
12500
2500 Km
Fórmula: P X
veces
1Km
P X
X
e
X
X !
Nos piden determinar: a) La probabilidad de que no ocurran reventones en un viaje de 5000Km.
En este caso nos pide para un viaje de 5000Km, así que lo único que va a cambiar es la media .
2veces
5000 Km
2
P
X 0
e
2
2 0!
0
0,14
b) La probabilidad de que en un recorrido dado de 500 km. Ocurra más de un reventón.
En este caso nos pide para un recorrido de 500Km, así que lo único que va a cambiar es la media .
15
veces
500 Km
1 5
P X P X P X P X ... 1 P X P X 1
2
3
4
0
1
e 15 1 50 e 15 1 51 0, 0175 P X 1 1 0! 1! 16. Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente en promedio de 300 por hora. DATOS: X: números de autos que llegan a la garita de peaje. R X
0,1, 2,...
300 autos
300 autos
1h
5
60 min
Fórmula: P X
P X
X
e
X
X !
a) calcule la probabilidad de que un auto llegue durante un periodo dado de un minuto. Solución:
P
X 1
e
5
1
5
1!
0,03
b) calcule la probabilidad de que por lo menos dos autos lleguen en un periodo dado de un minuto.
P X P X P X P X ... 1 P X P X 2
2
3
4
0
1
e5 50 e5 51 P X 2 1 0, 96 0! 1! 17. La probabilidad de que una persona que toma cierto medicamento tenga una reacción desagradable es de 0,002. Sea X el número de personas que sufren tal reacción en una muestra de 100 personas que han tomado el medicamento. DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de personas que sufren la reacción desagradable. R X
0,1, 2,...,100
p 0.002 y n 100 n. p 0.2 1
5
Fórmula: P X
P X X
e
X
np
np
e
X !
X
X !
Nos piden hallar:
a) P(X=1) e
P X
1
1
5
1
1 5 1!
0,16
b) P(X=3) e
P X
3
1
5
3
1 5 3!
0, 001091641
0, 0011
0, 00
c) P(X=0) e
P X
0
1 5
1 5 0!
0
0,82
18. Suponga que en promedio 4 de cada 1000 personas comete un error al presentar su declaración de ingreso. Si se selecciona al azar 10 000 declaraciones y se examinan, encuentre la probabilidad 6, 7, u 8 contengan error. DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de declaraciones que contengan error. R X
p
0,1, 2,...,10000
4 1000
0.004
Fórmula: P X
y
P
X
6,7, ó 8
X
6 ,7 ,ó 8
6 ,7 , ó 8
P X
6
e
40
40 6!
10 000
P X X
Nos piden hallar: P X P
n
e
np
40
X
X !
?¿?¿?
e
e
X !
P X 7
6
X
np
n. p
40
P X 8
40 7!
7
e
40
40 8!
8
0,000000001
19. EI número de ahogados en accidente, por año en un país X, es de 3 por cada 100 0000 habitantes. Hallar la probabilidad de que en una ciudad cuya población es de 200000 haya: a) 0 ahogados b) 6 ahogados c) Entre 4 y 8 ahogados por año.
DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de ahogados. R X
3 100000
p
0,1,2,...,200000
0.00003
Fórmula: P X
y
P X X
n
e
200 000
np
X
np
X !
e
n. p
6
X
X !
Nos piden: b) 0 ahogados
P X
c)
0
e
6
6
0
0!
0,002478752
0,16
0, 0025
0, 00
6 ahogados
P X
6
e
6
6
6
6!
d) Entre 4 y 8 ahogados por año.
P X 4 X 8
P X 5 P X 6 P X 7
e
6
6 5!
5
e
6
6 6!
6
e
6
6
7
7!
20. Supongamos que las estaturas X de los varones de un colegio se encuentran distribuidas normalmente con media igual a 169 cm. Y una estándar igual a 3. DATOS: (se resolverá por la distribución normal) X: medida de la estatura. 169cm
3
Fórmulas a emplear de aquí en adelante para la distribución normal:
Sabiendo que : Z
X
a
X a P a X P Z P b X b P X b P P Z b a X b a P a X b P P Z
0,46
Luego una vez que se tiene en función de Z, ese valor se buscará en la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z . Nos piden determinar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga una estatura inferior a 165 cm?
X 165 169 P X 165 P P Z 1, 33 3
P X
P 0 Z P 0 Z 1,33 0,5 0, 4082 0, 0918
165
b) ¿Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura entre 165 y 170 cm?
P 165
X
P 165 X
165 169 X 170 169 170 P P 1, 33 Z 0, 33 3 3 170
P 0 Z 1,33 P 0 Z 0,33 0, 4082 0,1293
P 165 X 170 0,5375 en porcentaje 53, 75% 21. EI peso medio de las cajas de frutas de un gran cargamento es de 15.00 onzas, con una desviación estándar de 1,62 onzas; si sus pesos están normalmente distribuidos. ¿qué porcentaje de frutas tendrá un peso entre 15.00 y 18,00 onzas? DATOS: (se resolverá por la distribución normal). X: peso de las frutas.
15
1, 62
Entonces nos piden: P 15 X 18 ?¿?¿?
15 15 X 18 15 P 15 X 18 P P 0 Z 1,85 0, 4678 1, 62 1, 62 22. La vida media de cierta marca de baterías es de 30 meses, con una desviación estándar de 6 meses. Qué porcentaje éstas baterías puede esperarse que tenga una duración entre 24 a 36 meses? DATOS: (se resolverá por la distribución normal). X: vida media o duración de baterías.
30
6
Entonces nos piden: P 24 X 36 ?¿?¿?
24 30 X 36 30 P 24 X 36 P P 1 Z 1 6 6
P
24 X 36 P 0 Z 1 P 0 Z 1 2. P 0 Z 1
P 24 X
36 2. 0,3413 0, 6826
en porcentaje 68, 26%
23. De los tomillos que se producen con una máquina, 10% están def ectuosos. Encontrar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 400 tornillos producidos por esta máquina: a) Cuando mucho30
b) entre 30 y 50
c) entre 35 y 45
d) 55 o más de los tornillos estén defectuosos.
(se resolverá por la aproximación de la binomial a la normal)
Aproximación de la binomial a la normal si n es grande y np 5 si n es grande y nq 5 Formulas a utilizar de aquí en adelante:
Sabiendo que : Z
X
n. p
y
n. p.q
Aquí se empleará el coef . de corrección de continuidad , que es igual a 0, 5.
a 0, 5 X a 0, 5 P a X P Z P b 0, 5 X b 0, 5 P X b P P Z b 0,5 a 0,5 X b 0,5 a 0, 5 P a X b P Z P para un caso especial uando nos pidan lo siguiente : A 0, 5 A 0, 5 X A 0,5 A 0, 5 P Z
P X A P
esto se nos presentarácuando se evalue para un punto. DATOS: X: pernos defectuosos.
= 0,10 = 400 = Ρ × η = 40 = √ 4000,100,90 = 6 − < +,− a) ΡΧ < 30 = Ρ ΡΧ < 30 = ΡΖ < 1,58 ΡΧ < 30 = ΡΖ < ΡΖ < 1,58
b)
c)
d)
Ρ < 30 = 0,5 0,2190 Ρ < 30 = 0,281 − < +,− Ρ30 < Χ < 50 = Ρ−,− < Ρ30 < Χ < 50 = Ρ1,75 < Ζ < 1,75 Ρ30 < Χ < 50 = 2 × ΡΖ < 1,75 Ρ30 < Χ < 50 = 2×0,4599 Ρ30 < Χ < 50 = 0,9198 − +,− Ρ35 < Χ < 45 = Ρ−,− < < Ρ35 < Χ < 45 = Ρ0,92 < Ζ < 0,92 Ρ35 < Χ < 45 = 2 × ΡΖ < 0,92 Ρ35 < Χ < 45 = 2×0,3212 Ρ35 < Χ < 45 = 0,6424 − Ρ56 < Χ = Ρ−,− < Ρ56 < Χ = Ρ2,58 < Ζ Ρ56 < Χ = ΡΖ <∝ ΡΖ < 2,58 Ρ56 < Χ = 0,50,4951 Ρ56 < Χ = 0,0049
24.- Suponga que la probabilidad de que cierta marca de computadora esté en servicio después de un año es 0,80 Si una empresa adquiere 35 de tales computadoras, calcular la probabilidad de que: a) 7 y b) al menos 5 de computadoras adquiridas no estén al servicio después de un añ0. X: computadoras que no están al servicio.
a)
b)
= 0,80 = 35 = Ρ× η = 28 = √ 350,800,20 = 2,37 − < ,+,− ΡΧ = 7 = Ρ7 0,5 < Χ < 7 0,5 = Ρ,−,− < , , ΡΧ = 7 = Ρ9,30 < Ζ < 8,45 ΡΧ = 7 = ΡΖ < 9,30 ΡΖ < 8,45 ΡΧ = 7 = 0 ΡΧ > 50 = Ρ− > −,− , ΡΧ > 50 = ΡΖ > 9,93 ΡΧ > 50 = ΡΖ < ΡΖ < 9,93 Ρ > 50 = 0,5 0,5 Ρ < 50 = 1
25.-Si el 10% de unidades compradas por un almacén son inadecuadas para la venta. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 12 o menos resulten inadecuadas en un lote de 500? X: inadecuados.
= 0,10 = 500 = Ρ × η = 50 = √ 5000,100,90 = 6,71 0,5 50) ΡΧ < 12 = Ρ(Χ < 12 6,71 ΡΧ < 12 = ΡΖ < 5,74 ΡΧ < 12 = ΡΖ < ΡΖ < 5,74 Ρ < 12 = 0,5 0,5 Ρ < 12 = 1 b) Menos de 8 sean inadecuadas en un lote de 300? X: nº de inadecuados.
= 0,10 = 300 = Ρ × η = 30 = √ 3000,100,90 = 5,20 30) ΡΧ > 8 = Ρ(Χ > 8 0,5 5,20 ΡΧ > 8 = ΡΖ > 4,33 ΡΧ > 8 = ΡΖ < ΡΖ < 4,33 Ρ > 8 = 0,5 0,5 Ρ > 8 = 1 26.- La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 18 por cien. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad, en un grupo de 50? X: mortalidad de la enfermedad.
= 0,18 = 50 =Ρ×η=9 = √ 500,180,82 = 2,72 ΡΧ = 5 = Ρ5 0,5 < Χ < 5 0,5
Χ < 5,5 0,5 9) ΡΧ = 5 = Ρ(4,50,59 < 2,72 2,72 ΡΧ = 5 = Ρ1,84 < Ζ < 1,10 ΡΧ = 5 = ΡΖ < 1,84 ΡΖ < 1,10 Ρ = 5 = 0,46710,3643 Ρ = 5 = 0,1028 27.- ¿Cuál es la probabilidad de que 36 personas de una población de 360, de las cuales 180 son fumadoras, sean todas fumadoras? X: fumadores.
= 0,50 = 360 = Ρ× η = 180 = √ 3600,500,50 = 9,49 ΡΧ = 36 = Ρ36 0,5 < Χ < 36 0,5 Χ < 36,5 0,5 180) ΡΧ = 36 = Ρ(35,50,5180 < 9,49 9,49 ΡΧ = 36 = Ρ15,28 < Ζ < 15,068 ΡΧ = 36 = ΡΖ < 15,28 ΡΖ < 15,07 Ρ = 36 = 0,5 0,5 Ρ = 36 = 1 28.-Se sabe que cierto virus ha invadido la UNTAC y ataca a la mitad de los estudiantes. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes, calcular la probabilidad de que: a) ¿de que en dicha muestra el 49%, sean atacados por el virus? b) ¿Ninguno presente síntomas del virus? X: atacados por el virus.
= 0,50 = 200 = Ρ× η = 100 = √ 2000,500,50 = 7,07 a) ΡΧ = 98 = Ρ98 0,5 < Χ < 98 0,5 Χ < 98,5 0,5 100) ΡΧ = 98 = Ρ(97,50,5100 < 7,07 7,07 ΡΧ = 98 = Ρ0,42 < Ζ < 0,14 ΡΧ = 98 = ΡΖ < 0,42 ΡΖ < 0,14 Ρ = 98 = 0,16280,0557
Ρ = 98 = 0,1071 b)
ΡΧ = 5 = Ρ0 < Χ < 0 Χ < 0 0,5 100) ΡΧ = 5 = Ρ(00,5100 < 7,07 7,07 ΡΧ = 5 = Ρ14,21 < Ζ < 14,07 ΡΧ = 5 = ΡΖ < 14,21 ΡΖ < 14,07 Ρ = 5 = 0,5 0,5 Ρ = 5 = 1
29.- Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas normalmente con una madia de 174,5 cm. y una desviación estándar de 6,9 cm. Suponiendo que las estaturas se redondean al medio centímetro más cercano. Cuántos de estos estudiantes se espera que tengan estaturas: a) ¿menores de 160 cm? 9) entre 171,5 y 182,0 c) mayores o iguales a 188 cm. X: ingresantes.
= 174,5 = 6,9 − < −, a) ΡΧ < 160 = Ρ , ΡΧ < 160 = ΡΖ < 2,10 ΡΧ < 160 = ΡΖ < ΡΖ < 2,10 Ρ < 160 = 0,50,4821 Ρ < 160 = 0,01179 ,−,−, < − < +,−, b) Ρ171,5 < Χ < 182 = Ρ , , Ρ171,5 < Χ < 182 = Ρ0,51 < Ζ < 1,16 Ρ171,5 < Χ < 182 = ΡΖ < 1,16 ΡΖ < 0,51 Ρ171,5 < Χ < 182 = 0,37700,1950 Ρ171,5 < Χ < 182 = 0,572 − > −, c) ΡΧ > 188 = Ρ , ΡΧ > 8 = ΡΖ > 1,96 ΡΧ > 8 = ΡΖ < ΡΖ < 1,96 Ρ > 8 = 0,5 0,4750 Ρ > 8 = 0,025 30.- El cociente de inteligencia de 600 solicitantes para ingresar a un colegio tiene aproximadamente una distribución normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si el colegio exige un cociente mínimo de 95. ¿Cuántos estudiantes serán rechazados sobre esta base, independientemente de sus otras calificaciones? X: inteligencia.
= Ρ× η = 115 = 12 ΡΧ > 95 = Ρ(Χ > 95115 12 ) ΡΧ > 95 = ΡΖ > 1,67 ΡΧ > 95 = ΡΖ < ΡΖ < 1,67 Ρ > 95 = 0,5 0,4525 Ρ > 95 = 0,9525 = 571 31.-Una compañía farmacéutica sabe que en promedio, un 5% de cierto tipo de píldoras contienen un ingrediente por debajo de su poder mínimo, siendo así inaceptable. Cuáles la probabilidad de que en una muestra de 200 píldoras, sean inaceptables menos de 10? X: ingredientes inaceptables.
= 0,05 = 200 = Ρ × η = 10 = √ 2000,050,95 = 3,08 0,5 10) ΡΧ < 10 = Ρ(Χ < 10 3,08 ΡΧ < 10 = ΡΖ < 0,16 ΡΧ < 10 = ΡΖ < ΡΖ < 0,16 Ρ < 10 = 0,5 0,0636 Ρ < 10 = 0,5636
= ,
32.-Una variable aleatoria tiene una distribución normal con media .Halle su desviación estándar, si la probabilidad de tome un valor mayor que 79,2 es 0,20.
= 62,4 =? ΡΧ > 79,2 = Ρ(Χ > 7 9,2 0,5 62,4) = 0,20 79,2 0,5 62,4 = 0,20σ = 81,5
33. la probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es 0,25. Utilice la aproximación a la normal para encontrar la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo. X: electrónicos que fallan en meso de 1000 h.
= 0,25 = 200 = Ρ × η = 50 = √ 2000,250,75 = 6,12 0,5 50) ΡΧ < 45 = Ρ(Χ < 45 6,12 ΡΧ < 45 = ΡΖ < 0,74 ΡΧ < 45 = ΡΖ < ΡΖ < 0,74 Ρ < 45 = 0,5 0,2704 Ρ < 45 = 0,2296
