UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE
ESTELÍ, NICARAGUA
La Integral Definida
1 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
“Invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses”
4
∑k ( k − 3)
A = lim
2
∆ x →0
k =1
n
∑ f (U )∆ X k
k =1
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) LA INTEGRAL DEFINIDA a
Uno de los grandes problemas que ocupó a los matemáticos griegos de la antigüedad fue el de la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas. Durante mas de 2,000 años los griegos abordaron el problema de calcular áreas de regio regione ness limi limita tada dass po porr cu curv rvas as,, de dest stac acán ándo dose se en entre tre ello elloss el méto método do empl emplea eado do po por r Arquímedes llamado método de exhaución. Dicho método consiste en inscribir polígonos regulares y calcular su área, repetir el proceso varias veces duplicando el número de lados de los polígonos, hasta llegar a un valor que se consideraba que representaba el área de la región.
3
∫ (6 x
2
− 5)dx = 45
−2
f med
=
1 b −a
b
∫ f ( x)dx a
2 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
9
t − 3
∫ 4
t
dt =
20 3
INTEGRAL DEFINIDA En esta unidad trataremos con sumas de muchos términos, por lo cual introducimos una notación llamada notación sigma para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notación incluye el uso del símbolo ∑ , la sigma mayúscula del alfabeto griego que corresponde a nuestra letra S. 5
Ej: ∑ i 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 i =1
2
∑ (3i + 2) = [3( − 2) + 2] + [3( − 1) + 2] + [3( 0) + 2] + [3(1) + 2] + [3( 2) + 2]
i = −2
-4 - 1 + 2 +5 +8 = 10 8
1 1 1 1 1 1 = + + + + 3 4 5 6 7 k = 3 k
∑
En General: ∑
n
+
1 8
f (i) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + . . . . + f (n)
i= m
Donde m y n son entero y m ≤ n El número m se llama límite inferior de la suma y n se llama el límite superior. El símbolo i se llama el índice de la suma, es un símbolo arbitrario porque se puede usar cualquier letra. Por Ejemplo: 5
∑ t
2
= 32 + 42 + 52
t = 3
En ocasiones los términos de la suma incluyen subíndices como:
3 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
n
∑ A = A + A
a)
1
i
2
+ .... An
i =1
9
b)
∑ kb
= 4b4 + 5b5 + 6b6 + 7b7 + 8b8 + 9b9
k
K = 4 5
c)
∑ f ( x )∆ i
X
= f ( x1 )∆ x + f ( x 2 )∆ x2 + f ( x3 )∆ 3 + f ( x4 )∆ 4 + f ( x5 )∆ 5
i =1
Propiedades de la Sumatoria n
∑ c = cn
Propiedad 1.
donde c es cualquier constante.
i =1 n
n
∑c. a
Propiedad 2.
(i )
= c∑ i =1
i =1
a
n
∑ [a ( ) +b ( ) ]=
Propiedad 3.
i
i
1
i=
Si ai = a (una constante) entonces
donde c es cualquier constante.
(i ) n
n
∑ a + ∑b( ) (i )
i =1
i =1
n
i
n
∑ ( a + b ) = na + ∑ b i =1
i
i =1
i
n
Propiedad 4. ∑ [a( i )-a(i-1)] = a( n ) – a( 0 ) 1
i=
La suma de las k-ésima potencias de los primeros n enteros positivos n
∑i
k
= 1k + 2 k + 3 k + .... + n k
i =1
Las siguientes fórmulas relativas a las sumatorias también son útiles. 1)
2)
n
∑
i
=
i =1
n
∑i
2
=
i =1
n
3) ∑ i = i =1
3
n ( n + 1) 2
=
1 2 n 2
+
n ( n + 1)( 2 n + 1) 6
n 2 ( n + 1) 2 4
=
1 4 n 4
1 n 2
=
1 3 n 3
+
1 2 n 2
+
1 3 n 2
+
1 2 n 4
+
1 n 6
4 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Ejemplo n
1) Calcular ∑(4 i − 4 i −1 ) sustituimos los superíndices de la propiedad 4. i =1
n
∑ (4
i
− 4 i −1 ) = 4 n − 41−1
i =1
= 4 n − 40 = 4n −1 20
2) Calcular ∑3k (k 2 + 2) k =1
Soluc.
20
∑k (k
2
3
+ 2)
k =1
20
∑ k
3
3
propiedad 2
+ 2 K
k =1
20 20 3 3∑ k + ∑ 2k k =1 k =1
propiedad 3
202 + ( 20 + 1) 2 20( 20 + 1) Usando fórmulas 3 y 1 y calculadora. 3 + 2 2 4 400( 21) 2 3 + 420 4 3[ 44100 + 420]
R = 133560 3) Evalúe el límite lim n →∞
1 + 2 + 3 + .... + n n2
5 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
(
Solución: Usamos la fórmula
lim =
1 + 2 + 3 +.... + n n2
n →∞
i =1
1
= lim 2 n →∞
)
∑i = n n2+1 n
n( n +1) n2
= lim n →∞
n +1 2n
n + 1 = 1 + 1 = 1 lim lim 2n n →∞ 2 2n 2 n →∞ 2 n 1
Ya que
2n
tiende a cero cuando n → ∞
Ejercicios Propuestos Calcular la suma indicada, usando propiedades y/o fórmulas: R/ 10,400
25
∑2i(i −1) a) i =1
20
3i (i ∑ b)
2
R/ 133,560
+ 2)
i =1
R/ 100/101
∑1k − k 1+1 100
c)
ik =11
40
d)
∑[
2i +1 − 2i −1
]
R/
−1 + 81
i =11
8
( 5 − 2 j ) ∑ e)
R/ -32
j =1
100
∑i f)
3
R/ 25,502,500
i =1
8
∑( r −1)( r + 2) g)
R/ 224
r =1
6 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Área por Sumatorias o Suma de Áreas Es fácil calcular el área de una región plana cuando está limitada por líneas. Por ejemplo, si la región es un rectángulo, un triángulo o cualquier polígono que se pueda dividir en triángulos, existen fórmulas que permiten determinar su área:
Para encontrar área de regiones cuyos límites no son rectas sino gráficas de funciones, es necesario utilizar un proceso que se fundamenta en le concepto de límite. La siguiente figura muestra la región R que está bajo la gráfica de una función creciente f, con valores positivos, y por arriba del intervalo [a, b ]. Para aproximar el área A de R, elegimos un entero fijo n y dividimos el intervalo [a, b] en n intervalos. [x0, x1] , [x1, x 2] , [x2 , x 3] , …, [xn-1 , xn] todos con la misma longitud ∆ x =
b −a
. En cada uno de estos intervalos, levantamos un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito (figura1) n
7 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
y
y = f(x) Figura 1
f (b) – f (a)
∆x
a = x0 x1 x2 x3
x
xn-1 xn= b
Una función f continua y no negativa tiene área bajo su grafica si cuando la amplitud de su partición ∆x tiende a cero, entonces el límite de las aproximaciones por exceso es igual al límite de las aproximaciones por defecto. El rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo [xi-1, xi] tiene altura f (x i-1), mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(x i). Como la base de cada rectángulo tiene una longitud ∆x las áreas de estos rectángulos son f (x i-1) ∆x y f (xi) ∆x.
8 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
y
f(xi) f (xi-1)
a=x0
xi-1
xi
x
xn=b
Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la An = ∑ f ( x −1)∆x subestimación del área real A = n
i
i 1
De manera análoga
la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la n
sobreestimación
An
= ∑ f ( xi )∆x i =1
n
( ∑ La desigualdad implica que An ≤ A ≤ An , entonces =
f xi
i 1
n
−1)∆ x ≤ A ≤ ∑ f ( xi ) ∆x i =1
Las desigualdades se invierten si f` x fuera decreciente. Si el número n de subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la región R. ( )
( )
An − An = f b − f a ∆Χ
Pero
∆Χ =
(b − a) n
→0
, cuando
n
→∞
El área de la región R está dada por:
9 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
A = lim n →∞
∑ f ( x i =1
) ∆Χ = lim ∑ f ( xi ) ∆x n
n
i −1
n →∞i =1
b −a Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que ∆ x = n y x = a + i∆ x para i=0, 1, 2, …..n pues xi está a i pasos de longitud ∆ x a la derecha de Χ = a 1
0
Ejemplos. 1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x 2 en el intervalo [0,3] . Solución: Si dividimos [ 0, 3] en n subintervalos, de la misma longitud. ∆ x = xi
b −a
=
n
3−0
n
= a + i∆ x ⇒
=
3
⇒
n
3 n
= 0+i 3
xi
n
n
Por tanto:
∆ x =
n
∑ f ( x )∆ x = ∑( x ) i
2
i
i =1
i =1
∆x sustituimos
2
3i 3 = n 27i 2 ∑ 2 ∑ i =1 n n i =1 n n
=
27 n
2
aplicando propiedad de sumatorias,
n
∑i i =1
2
aplicamos la fórmula de sumatoria
1 1 1 = 272 n3 + n 2 + n aplicamos límite cuando n → ∞ n 3 2 6
1 + 1 + 1 = 27 1 = 9 pues 3 2n 6 n 2 3
A = lim 27 n→∞
n→
∞
1 2n
y
1 6n
2
tienden a cero cuando
... A = 9u2 10
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
y = x2 A = 9u2
10
Ejemplo:
9 8
2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x 2 de x=1 a x=5 7 6
Solución: El intervalo es [ 1 , 5 ] 5
∆ x = xi
xi
= a + i∆ x 4 = 1 + i n
b−a n
=
5 −1 n
=
44 n
3 2
⇒
xi
=1+
41i n0
Ahora apliquemos la fórmula x1,0i-1
0,0
n
n
i =1
i =1
∆x
x2,0i
3,0
4,0
= ∑ f ( x ) ∆ x = ∑[100 − 3 x 2 ]∆x 2 4i 4 = ∑100 − 31 + n n i =1 n
2 n 4 = ∑ 100 − 31 + 8i + 16i2 i =1 n n n
24i 48i 2 4 = ∑100 − 3 − − 2 n n n i =1 n
n
= ∑[
97 −
i =1
24i n
−
48i 2 n2
4 ]
n
388 96i 192i 2 = ∑ − 2 − 3 n n i =1 n n
=
388 n
n
∑ i =1
1−
96 n
2
n
∑ i =1
i−
192 n
3
n
∑i
2
i =1
aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso. 11 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
⇒
n
∑
f ( x )∆ x =
i =1
∑ [100 − 3 x ]∆ x = 388n ( n ) − 96n 12 n n
2
2
2
i =1
+
1 192 1 3 n − n 2 n 3 3
+
1 2 n 2
+
1 n 6
48 96 32 Simplificamos (n) = 388 − 48 − − 64 − − n
= 276 −
144 n
−
n
32 n2
n2
-
Aplicamos límite A
= lim 276 − n → ∞
144 32 − 3 = 276 n n
A=276 u2 GRAFICA
Ejercicios Propuestos Determine exactamente el área A, de la región bajo y=f(x) a) f ( x ) = x
3
en
[0,3]
R/ 81 4 u2 12
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b) f ( x ) = x + 2 en
[0,2]
c) f ( x ) = 5 − 3x en
[0,1]
d) f ( x ) = 9 − x
2
R/ 6u2 R/
[0,3]
en
7 2
u2
R/ 18 u2
SUMAS DE RIEMANN n
Las sumas de aproximación en la ecuación
f ( xi −1 ) ∆x
∑ i =1
n
y
∑ f ( x ) ∆x i
son ambas de la
i =1
n
forma
f∑ x ( i * )∆ x donde x
i
*
es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo [ xi − , xi ] 1
i= n
a = x0
x1*
x1
x 2*
x2 ……
xi-1
x i*
xi
*
x n
xn = b
Una función f definida en [a , b ] que no necesariamente es continua o positiva. Una partición P de [ a , b ] es una colección de subintervalos 13 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],….[xn-1, xn] de [a , b] de modo que a = x 0 < x1 < x2 < x3 < ….. < xn-1 < xn = b
La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes ∆ x = x − x − de los subintervalos en P y se denota . i
i 1
i
P
n
Para obtener una suma como
∑ f ( x )∆x , *
i
necesitamos un punto
xi
*
en el iésimo
i =1
subintervalo para cada i, 1 ≤ i ≤ n. Una colección de puntos S = { x *, x , x ,.....x } donde x *, en [ x − , x ] (para cada i) es una selección para la partición P. Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo [a , b ], S una *
i
i 1
i
2
* 3
*
n
i
n
* selección para P, entonces la suma de Riemamn R = ∑ f ( xi )∆xi i =1
En la siguiente gráfica de la función f ( x ) = 2 x − 6 x + 5 en el intervalo [0, 3] 3
2
Suma según los extremos izquierdos
6,0
4,0
n
R 2,0
= ∑ f ( xi −1 ) ∆x i =1
) x ( F
0,0
-2,0
-4,0
, , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
Según los extremos derechos
Según los puntos medios 14
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
n
n
f ( x ) ∆x ∑ R= i
R med =
i =1
6,0
6,0
4,0
4,0
x i*
i
i =1
= mi =
x i −1 + x i
,
2
2,0
2,0
) x ( F
) x ( F
0,0
0,0
-2,0
-2,0
-4,0
∑ f (m )∆x
-4,0 , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
, , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 , 0 0
X
LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición rigurosa de la integral.
Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número n
I
= lim ∑ f ( xi * )∆ xi p
→0
i =1
Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La ecuación significa que, para cada número ε > 0, existe un número ε > 0 tal que I −
n
∑ f ( x
i
i =1
*
)∆x < i
ε
Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que <ε P
15 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente. La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G. W Leibniz, es: Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de integración. La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de la Ecuación. Así si f es integrable en [a, b] , entonces b
b
a
a
∫ f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du ; f ( x ) b
a
es el integrando.
La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es conveniente incluir, cuando a > b y a = b. b
* Si a = b
∫ f ( x )dx = 0 a
* Si a > b
b
a
a
b
∫ f ( x) dx = −∫ f ( x ) dx b
Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota ∫ f ( x )dx al área de a
la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b.
TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES
16 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [ b
∫ f ( x ) dx = G( b) − G( a )
b a
G(x) ] entonces
a
Ejemplo: Evaluar Π
1)
∫ senxdx = [ − cos x]
Π 0
= ( − cos Π) − ( − cos 0)
0
= - (-1) – (-1) = +1 + 1 = 2 2)
2
2
∫ X 0
9
5
1 1 6 1 6 64 − 0 = 32 dx = X 6 = ( 2) − ( 0) = 6 6 3 6 0 6
3) ∫ ( 2 X − X
9
−1 / 2
1
1/ 2 2 − 3)dx = 2 x − x − 3 x 2 1/ 2 1
= [ x 2 − 2 x 1 / 2 − 3x]1 = (9 2 −12 ) − 2(91 / 2 −11 / 2 ) − 3( 9 −1) = 80 − 4 − 24 = 52 9
Propiedades de las Integrales Definidas Sea f una función integrable en [a, b ] : Propiedad 1: b
∫ f ( x )dx = 0
Es decir, si la base del área de la región bajo la curva es cero, el área es
a
cero. Propiedad 2: b
∫ f ( x )dx > 0 ,
x ∈ [a, b] y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva
a
siempre será positiva si f(x) es positiva. 17 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Propiedad 3: b
x ∈ [a, b ] y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
∫ f ( x )dx < 0, a
será negativa si f(x) es negativa. Propiedad 4: c
b
c
a
a
b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , Si f es una función integrable en un intervalo que contiene los puntos a, b, c talque a < b < c. Propiedad 5: b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
Si f y g son funciones integrables en [a,b].
Propiedad 6: b
b
a
a
∫ Kf ( x )dx = k ∫ f ( x)dx
para toda constante k
Propiedad 7: b
a
a
b
∫ f ( x)dx = - ∫ f ( x)dx Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la integral. Propiedad 8: b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x )dx Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) ≥ g(x). Propiedad 9: b
∫ Kdx = K ( b − a )
Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la
a
constante por la diferencia de los límites de integración. 18 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Ejemplos Calcular la integral definida de las siguientes funciones: 5
1)
∫ 7dx 2 5
Solución : como es una constante, entonces:
∫ 7dx = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9) 2
2
2
2)
∫ x dx = 4 3
0
y
∫ x dx = 2 0
2
entonces calcular ∫ (5 x − 3 x + 4 )dx 3
0
Solución: 2
∫ (5 x 0
3
− 3 x + 4 )dx =
2
2
2
0
0
∫5 x dx − ∫ 3 xdx + ∫ 4dx 3
0
2
= 5∫ x
2
3
(
∫
dx − 3 xdx + 4 2 − 0
0
)
0
= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo = 20 – 6 + 8 = 22 3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.
4 3 2 1 1
2
3
4
5
19 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Solución: 5
∫ 3dx = 3(5 −1) = 3(4) = 12u
2
1
4) Evalúe 5
5 1 + 5 dx = ∫ 4 x 2 x 3 reescribimos ∫ 4 ( x −2 + 5 x −3 )dx
Solución: 5
∫ x
−2
5
∫
dx + 5 x −3 dx
4
integrando obtenemos
4
5
x −1 x −2 1 5 5 − 1 + 5 − 2 = − x − 2 x 2 4 4
Sustituimos aplicando la definición 1 5 1 5 = − − − − − 2 2 5 4 ( ) ( ) 2 5 2 4 1 5 1 5 17 = − 5 − 50 + 4 + 32 = 160 = 0.10625
Ejercicios Propuestos 7
a) ∫ ( x − 4 x )dx 3
R/ = 2025/4
2
20 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
6
b) ∫ ( y 3 − y 2 + 1)dy
R/ = -1661/12
5
R/ = 6
∏
c)
∫ 3 senZdz 0
d) ∫
+ 3 x dx x
4
1
1
−
x
R/ = 1
e
∫
e)
ln y
R/ = 8.2
dy
1
4
f) ∫ (7 x
5/ 2
− 5 x 3 / 2 )dx
R/ = 192
0
R/ = 1/4
0
g) ∫ ( x +1)
3
dx
−1
∏
h)
R/ = 1/2
8
∫
2
sec tdt
0
∏/ 4
i)
∫
senx cos xdx
R/ = 1/4
0
2
j)
∫
cos
0
∏ x 4
R/ = 4/
dx
R/ = 23.37
3
k)
∏
∫
xe x / 2 dx
1
2
l) ∫ 3 xe
x 2 +1
R/ = 3/2 e (e2-1)
dx
0
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entonces ∫ f ( x )dx = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo f ( x)] o por [ F ( x )] ba . b
a
b a
Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo 21 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma. 2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo ∫ f ( x ) dx = F ( x) ] = F(b) – F(a). b
b
a
a
Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva. Ocurren los siguientes casos: 1) Si a > b se tiene
b
a
∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx a
b
=- [F(a) – F(b)] = F(b) – F(a)
2) a = b se tiene
∫ a
a
f ( x ) dx
= 0 = F ( a ) − F ( a )
Ejemplos Evaluar 3
a) ∫ (6 x − 5)dx = 6 2
−2
x
3
3
− 5x ] 3−2
= 2 x 3 − 5 x ] 3−2
= [2( 3) 3 − 5( 3)] − [2( − 2 ) 3 − 5( − 2 )] = [ 2( 27) −15] − [ 2( − 8) +10] = [54 −15] −[ −16 +10] = 39 − ( − 6 ) = 45
0
b)
( 2 x 2
∫ 2
3
2
− 3 x + 2 ) dx = 2 x − 3 x + 2 x ] 02 3
2
22 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
( 2) 3 ( 2) 2 0 3 0 2 ( ) 2 3 2 0 = − 2 −3 + 2( 2) − − + 3 2 2 3 ( 8) = 2 − 6 + 4 − ( 0) 3 = 16 − 2 3 1 = −10 3
= − 10 3
c)
4
∫3 4
3/ 2 3/ 2 x3/ 2 ( ( 4) 4) x dx = 3∫ ( x ) dx = 3 = 3 3/ 2 −3 3/ 2 = 0 3/ 2 4 4 4
4
1/ 2
* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área. d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x 2 en el intervalo [0,3] nótese que y > 2. 10
3
Área =
∫
2
x dx
=
x 3
0
=
] 30
3 3
3
3
= 9u
−
. 0
3
3
9 8
7
6
2 5
4
3
2 1
0 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS 23 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b ] , entonces existe un número “c” en [a, b ] tal b
que
∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) , c
puede ser cualquier punto de [a, b ] .
a
Si despejamos f(c) tendríamos: f (c)
=
b
1 b −a
∫ f ( x)dx
obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un
a
intervalo cuyo teorema es: “Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b ] , el valor medio de f en [a,b) es b
1
f med = b − a ∫ f ( x)dx ” a
Ejemplo a) Halle el valor medio de 1
b
1
f ( x)
= 3 x 2 − 2 x
en el intervalo [1,4] en este caso a =1, b = 4 1 3 x 3
4
f med = b − a ∫ f ( x)dx = 4 − 1 ∫ (3 x − 2 x )dx = 3 a
2
1
3
−
2 x 2 2
4
1 3 24 = 3 [ x − x ]1 1
= 1 [(( 4) 3 − ( 4) 2 ) − ((1) 3 − (1) 2 )] 3 1
= ( ( 64 − 16) ) − ( 0) = 1 ( 48) 3 = 16
3
GRAFICO 2
f(x) = 3x -2x x Y 1 1 2 8 3 23 4 40
24 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio. b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la 3
siguiente integral definida
∫ x
2
dx
= f (c)(b − a)
0
Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto 3
∫ x
2
dx
= f (c)(b − a)
0
= =
x 3 3
] 30 = f (c)( 3 − 0 )
33
= f (c)(3) 3 = 9 = f (c)(3) 9
= = f (c) 3 = f (c)
=3
Como f(x) = x2 entonces c2 = 3 c = 3 que es valor que satisface la conclusión del teorema.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de la función. Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:
25 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
1) Método del Trapecio Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo muestra la figura:
x=0
x1
x2
x3
x4 = b
En este método se supone que f es continua y positiva en [a, b] de manera que la integral b
∫ f ( x)dx a
representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b. b −a En primer lugar partimos [a, b ] en n subintervalos, cada uno de anchura ∆ x = n tales que a= x < x < x ... < x = b 0
1
2
n
A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura
f(x0) f (x1) 26 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
x0
x1 b −a n
f ( xi − 1) + f ( xi ) b − a por tanto la suma de las áreas n 2
donde el área del i-ésimo trapecio = de los n trapecios es: Área =
b − a f ( x0 ) + f ( x1 ) n
b
b −a
a
2n
∫ f ( x)dx =
2
+ ... +
f ( x n−1 ) + f ( x n )
b − a = 2n [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + ... f ( xn−1 ) + f ( xn )]
2
[ f ( x ) + 2 f ( x ) + ... + 2 f ( x − ) + f ( x )] que es la regla del trapecio para 0
1
n 1
n
b
aproximar ∫ f ( x ) dx a
Ejemplo: 3
x 2 dx con n=5 1) Use la regla de los trapecio para estimar ∫ 0 b−a
Primero calcular ∆ x =
=
3−0
3
5 x 0 = 0, x1 = 0.6, x 2 = 1.2, x 3 = 1.8, x 4 = 2.4, x5 n
5
=
=3
Segundo aplicar la ecuación b − a [ f ( x ) + 2 f ( x ) + 2 f ( x ) + ... + 2 f ( x ) + f ( x )] 0 1 2 n −1 n 2n 3 −0 [0 + 2(0.36) + 2(1.44) + 2(3.24) + 2(5.76) + 2(9)] =
=
2(5)
3
= 10 [0.72 + 2.88 + 6.48 + 11.52 + 18] = 9.18
U 2
10
9
y = x2 A = 9.18 u2
8
7
6 5
4
3
2
27
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte 1
0 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
π
2) Use la regla del trapecio para estimar ∫ senxdx con n=4 y n=8 0
−0 b−a Cuando n=4 ∆ x = n = 4 = π
x0
π
4
= 0, x1 = π , x2 = π , x3 = 3π , x4 = π 4
2
4
−0
∫ senxdx = 2(4) sen0 + 2 sen 4 + 2 sen 2 + 2 sen π
π
π
π
0
π
= 8 0 + 2(
2 2
) + 2(1) + 2(
Cuando n=8 x0
2 2
) + 0 =
π
8
(
2
+2+
3π 4
2) =
+ 2 senπ π
8
(2
2
+ 2) =
(
π
2 4
+ 1) = 1.896
∆ x = π − 0 = π 8
8
= 0, x1 = π , x 2 = π , x3 = 3π , x4 = π , x5 = 5π , x6 = 3π , x7 = 7π , x8 = π 8
π
∫ senxdx = 0
4
8
2
8
4
8
− 0 sen0 + 2 sen π + 2 sen π + 2 sen3 π + 2 sen π + 2 sen5 π + 2 sen3 π + 2 sen7 π + senπ 2( 8) 8 4 8 2 8 4 8
π
GRAFICA
como vemos π
= sen7 π
y 8 8 Por tanto tenemos
sen
sen3
π
8
= sen5
π
8
28 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
= π 2 sen π + 2 16 8
2+2 16 π = 2 + 2 16 =
2 2
+ 2 sen3 π + 2(1) + 2 sen5 π + 2 8
8
2 2
+ 2 sen7 π 8
π π π π + 2 sen + 2 sen7 + 2 sen3 + 2 sen5 8 8 8 8 π π 2 + 4 sen + 4 sen3 8 8
π
2
Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u 2 que se aproxima al área exacta que es 2u 2
Ejercicios Propuestos Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del trapecio. R/ = 8/3 u2
2
a)
∫ x
2
dx ,
n
=4
0 8
b)
∫ (4 − x )dx, 2
n
=4
R/ = 416/3 u2
0
9
c) ∫
x dx,
n
=8
R/ = 38/3 u2
4
3
d)
1
∫ x
2
dx ,
n
=4
R/ = 2/3 u2
1
1.1
e)
∫ senx
2
dx
n
=4
R/ = 0.089
≈ 8.9 * 10-2
1
29 Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte
