EJEMPLO 5.2: Áreas y volúmenes de terraplén y corte Datos: Un tramo de una carretera secundaria de 30 metros de longitud y 10 metros de ancho de banca, tiene los chaflanes que se presentan en la Tabla 5.5. Tabla 5.5 Cartera de chaflanes en recta. Ejemplo 5.2 IZQUIERDO +3.6 0.00 10.2 3.4 +3.2 9.8 +3.8 10.5 +4.5 10.3 +3.4 9.9 +3.3 9.8
EJE -2.4 K0+030 0.00 K0+024 +1.0 K0+020 +1.9 K0+015 +3.2 K0+010 +4.2 K0+000
DERECHO -9.3 9.4 -3.5 7.6 0.00 -3.6 1.6 6.7 0.00 5.0 +2.5 8.6 +5.4 13.2
Calcular: Las áreas y los volúmenes de terraplén y corte en todo el tramo. Solución: En la Figura 5.25 se ha dibujado un esquema tridimensional de la información dada, referente a abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros para cada sección transversal.
1
Figura 5.25 Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros
a)
Áreas de las secciones transversales
En la Figura 5.26 se ha dispuesto la cartera de chaflanes, de tal manera que se pueda calcular las áreas de las secciones por el método de la regla de las cruces.
2
Figura 5.26
Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.2
Sección de abscisa K0+000: Terraplén: At
1 5 3.3 9.8 4.2 4.2 13.2 5 .45 70 .050 m 2 2
Sección de abscisa K0+010: Terraplén: At
1 5 3.4 9.9 3.2 3.2 8 .6 2 .5 5 44.350 m 2 2
Sección de abscisa K0+015: Terraplén:
3
1 5 4.5 10 .31.9 1.95 25 .785 m 2 2
At
Sección de abscisa K0+020: Terraplén:
1 5 3.8 10 .5 1.0 1.0 1.6 15 .550 m 2 2
At
Corte: Ac
1 3.6 5 1.6 3.6 6 .120 m 2 2
Sección de abscisa K0+024: Terraplén: 1 5 3.2 8 .000 m 2 2
At
Corte: Ac
1 3.5 5 8 .750 m 2 2
Sección de abscisa K0+030: Terraplén: 1 5 3.6 3.6 3.4 2 .880 m 2 2
At
Corte: Ac
b)
1 3.42 .4 2 .49.4 9.35 38 .610 m 2 2
Volúmenes entre secciones transversales
Entre las secciones de abscisas K0+000 y K0+010: Terraplén: Prismoide, según ecuación (5-16), A A2 70 .050 44.350 3 V t L 1 10 572 .000 m 2 2
Entre las secciones de abscisas K0+010 y K0+015:
4
Terraplén: Prismoide, ecuación (5-16), A A2 44.350 25 .785 3 V t L 1 5 175 .338 m 2 2
Entre las secciones de abscisas K0+015 y K0+020: Terraplén: Tronco de pirámoide, según ecuación (5-18), V t
L 5 A1 A2 A1 A2 25 .785 15 .550 25 .785 15 .550 102 .265 m 3 3 3
Corte: Pirámoide, según ecuación (5-17), AL 6 .120 5 3 V c
3
3
10 .200 m
Entre las secciones de abscisas K0+020 y K0+024: Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V t
L 4 A1 A2 A1 A2 15 .550 8 .000 15 .550 8 .000 46 .271 m 3 3 3
Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V c
L 4 A1 A2 A1 A2 6 .120 8 .750 6 .120 8 .750 29.584 m 3 3 3
Entre las secciones de abscisas K0+024 y K0+030: Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V t
L 6 A1 A2 A1 A2 8 .000 2 .880 8 .000 2 .880 31.360 m 3 3 3
Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V c
L 6 A1 A2 A1 A2 8 .750 38 .610 8 .750 38 .610 131.481 m 3 3 3
Calculadas las áreas y los volúmenes se elabora la cartera de cubicación, tal como se muestra en la Tabla 5.6. Como se puede apreciar en la cartera de cubicación, para cada abscisa, aparece en la parte izquierda la posición de los chaflanes y ceros, en la
5
parte central las áreas respectivas, y en la parte derecha los volúmenes entre secciones sucesivas. Tabla 5.6
Cartera de cubicación. Ejemplo 5.2
ABSCISA
CHAFLANES ÁREAS (m2) VOLÚMENES (m3) IZQUIERDO EJE DERECHO CORTE TERRAP. CORTE TERRAP. K0+030 +3.6/10.2 0.00/3.4 -2.4 -9.3/9.4 38.610 2.880 131.481 31.360 024 +3.2/9.8 0.00 -3.5/7.6 8.750 8.000 29.584 46.271 020 +3.8/10.5 +1.0 0.00/1.6 -3.6/6.7 6.120 15.550 10.200 102.265 015 +4.5/10.3 +1.9 0.00/5.0 25.785 175.338 010 +3.4/9.9 +3.2 +2.5/8.6 44.350 572.000 K0+000 +3.3/9.8 +4.2 +5.4/13.2 70.050 VOLÚMENES TOTALES 171.265 927.234
EJEMPLO 5.3: Áreas y volúmenes de corte y terraplén Datos: Para un tramo de ancho de banca de 10 metros, en la Tabla 5.7, se muestran los chaflanes, ceros y puntos topográficos. Tabla 5.7 Cartera de chaflanes y topografía. Ejemplo 5.3 IZQUIERDO 0.00 +1.22 5.00 1.60 -3.28 0.00 6.80 1.20 -4.46 7.20
EJE +3.32 K8+580 +2.58 K8+564 0.00 K8+546
DERECHO +2.84 +3.58 3.60 10.20 +3.52 10.18 +2.96 9.60
Calcular: Las áreas y los volúmenes de corte y terraplén para el tramo. Solución: a)
Áreas de las secciones transversales
6
En la Figura 5.27 se ha dispuesto la cartera de chaflanes, para calcular las áreas de las secciones por el método de la regla de las cruces.
Figura 5.27
Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.3
Sección de abscisa K8+546: Es una sección mixta con un cero en el eje, para la cual las áreas respectivas son: Corte: Ac
1 5 4.46 11.150 m 2 2
Terraplén:
7
1 2 .96 5 7 .400 m 2 2
At
Sección de abscisa K8+564: Es una sección mixta con un cero lateral izquierdo, cuyas las áreas son: Corte: Ac
1 5 3.28 3.28 1.20 6 .232 m 2 2
Terraplén: At
1 1.20 2 .58 2 .58 10 .18 3.52 5 23.480 m 2 2
Sección de abscisa K8+580: Se trata de una sección homogénea compuesta en terraplén con un cero en el chaflán izquierdo, de área: At
1
5 .00 1.22 1.60 3.32 3.32 3.60 2 .8410 .20 3.58 5 3.60 3.58
2
28 .672 m 2
b)
Volúmenes entre secciones transversales
Entre las secciones de abscisas K8+546 y K8+564: Corte: Tronco de pirámoide, V c
L 18 A1 A2 A1 A2 11.150 6 .232 11.150 6 .232 154.307 m 3 3 3
Terraplén: Tronco de pirámoide, V t
L 18 A1 A2 A1 A2 7 .400 23.480 7 .400 23.480 264.369 m 3 3 3
Entre las secciones de abscisas K8+564 y K8+580: Corte: Pirámoide, AL 6 .232 16 3 V c
3
3
33.237 m
8
Terraplén: Tronco de pirámoide, V t
L 16 A1 A2 A1 A2 23.480 28 .672 23.480 28 .672 416 .525 m 3 3 3
En la Tabla 5.8, se resumen las áreas y los volúmenes de este tramo. Tabla 5.8 Áreas y volúmenes. Ejemplo 5.3 ABSCISA K8+580
ÁREAS (m2) CORTE TERRAPLÉN 28.672
K8+564
6.232
23.480
K8+546
11.150
7.400
VOLÚMENES (m3) CORTE TERRAPLÉN 33.237
416.525
154.307
264.369
EJEMPLO 5.4: Cálculo de ancho de banca, talud y área Datos: Para una sección transversal, la Tabla 5.9 muestra la disposición de los chaflanes. Tabla 5.9 Cartera de chaflanes. Ejemplo 5.4 IZQUIERDO -2.40 6.00
EJE -2.16 Sección
DERECHO -1.48 0.00 2.88 3.60
Calcular: El ancho de la banca, el talud usado y el área de la sección. Solución: En la parte superior de la Figura 5.28 se ha dibujado la sección transversal con la información dada, para la cual:
9
Figura 5.28 Cálculo de ancho de banca, talud y área
Ancho de banca: B 0 .00
, indica un cero en el chaflán derecho, esto es,
3.60
0 .00
0 .00
3.60 B / 2 B 7 .20 m
, de donde:
Talud: t c t c 1
2 .40 6 .00 3.60
t c 1
, de donde:
, talud del 1 ó 45
Área: Ac Se trata de una sección homogénea compuesta en corte. Según la parte inferior de la Figura 5.28, al aplicar la regla de las cruces, se tiene:
10
Ac
1 3.60 2 .40 6 .00 2 .16 2 .16 2 .88 1.48 3.60 16 .574 m 2 2
EJEMPLO 5.5: Posición de chaflanes y área Datos: Una sección transversal en recta presenta las siguientes características geométricas: Ancho de banca Cota de trabajo en el eje Talud en corte Talud en terraplén
= 15m = -0.50m = 1 horizontal por 1 vertical = 2 horizontales por 1 vertical
El terreno natural es bastante uniforme, bajando hacia la derecha con una pendiente de 5 horizontales por 1 vertical .
Calcular: a) La posición de los chaflanes, derecho e izquierdo. b) El área de la sección transversal. Solución: De acuerdo con la Figura 5.29, se tiene:
11
Figura 5.29 Posición de chaflanes y cálculo de área
a)
Posición de los chaflanes
Cero lateral derecho: X 0d X 0 d
5
, de donde,
0 .50 1 X 0 d 0 .50 5 2 .50 m
Chaflán izquierdo: X i , Y i Relacionando triángulos con respecto al terreno natural, se tiene: X i X 0 d Y i
5 1
Relacionando triángulos con respecto al talud de corte:
12
X i 7 .50 1 Y i 1
Y i X i 7 .50
Reemplazando: X i 2 .50 X i 7 .50
5
1
X i 2 .50 5 X i 37 .50
, esto es,
X i 10 .00 m
Y i X i 7 .50 10 .00 7 .50 2 .50 m El chaflán izquierdo es :
Y i X i
, por lo tanto:
- 2.50 10.00
Chaflán derecho: X d , Y d Igualmente relacionando triángulos: X d Y d 0 .50
5 1
X d 5 Y d 2 .50 Y d X d 7 .50 Y d
X d 2
1 2
3.75
Reemplazando: X d 3.75 2 .50 2
X d 5
, esto es,
X d 10 .833m 10 .833 3.75 1.667 m , por lo tanto: 2 Y 1.667 El chaflán derecho es : d X d 10.883
Y d
Áreas: Ac , At Se observa en la Figura 5.29 que las áreas de corte y terraplén son:
13
Ac At
1 B 1 15 2 X 0 d Y i 2 .50 2 .50 12 .500 m 2 2 2 2 1 B
1 15 X y 2 . 50 1 . 667 4.168 m 2 0 d d 2 2 2 2
14
