Tema:
SEMANA 5
Ecuaciones Logarítmicas. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Definición: Si N y y b son números positivos y si b 1 entonces: L
l og L b N
N b
Se observa que el concepto de un exponente y el de un logaritmo son simplemente dos formas diferentes de ver exactamente la misma cosa.
Ejemplo: l og 2 8
23
3
8
PROPIEDADES: A continuación se presentan las siguientes propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6.
log x a x , x 0 a log b 1 b log 1 0 b log ( x n ) n log x b b log ( xy ) log x log y b b b x log ( ) log ( x ) log ( y ) b y b b
7. log
bn
( x )
1 n
8. log ( x) log ( y ) x y b
b
9. Cambio de base de un sistema a otro:
10.
log x b log x a log a b log ( x ).log ( b ) 1 b x
log ( x ) b
1 log ( x ) b log ( b ) x
Resolución de una ecuación logarítmica ecu ació aci ón l ogar ítmi tm i ca La ecuación con la incógnita bajo el signo de logaritmo se llama ecu . Cuando se resuelve una ecuación logarítmica en la que aparecen una o varias expresiones de la forma log [ f ( x )] b
1) Se debe considerar las siguientes condiciones: a) Base sea positiva y diferente de uno, es decir: b 0 b) f ( x ) 0 2) Utilizar las l as propiedades de logaritmos Facultad de Ingeniería y Arquitectura
b 1
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3) Aplicar que log
f ( x ) b
L b
L
f ( x )
4) Resolver la ecuación resultante. 5) Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.
Ejemplo 1: Determinar el valor de “x”, en: log3 x 2
Solución: Al usar, la definición de logaritmo se tiene que log3 x 2 x 32 .
Esto implica que, x 9 y satisface la ecuación. Por tanto, el CS: 9 .
Ejemplo 2: Hallar el valor de “x”, en: log 4 (2 x 4) 3
Solución: Al utilizar, la definición de logaritmo se tiene que log 4 (2 x 4) 3 2x 4 43 .
En consecuencia, se resuelve la ecuación de primer orden 2 x 4 43 2 x 4 64 2 x 60 2 x 60 x 30
Por consiguiente, x 30 y satisface la ecuación. Por tanto, el CS: 30 .
Ejemplo 3: Encontrar los valores de “x”, en: log 4 ( x
14
)
x
2 log 4 3
Solución: Haciendo uso, de la Propiedad 4 se tiene que
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Ciclo 2014 - I
log4 ( x
Por consiguiente, log 4 ( x
14 x
14 x
2
) log4 (3 ) .
) log 4 (9)
Luego, al usar la propiedad 8 se tiene ( x
14 x
)9
Al multiplicar en aspa x
2
14
x
9
x2 14 9x x2 9 x 14 0
x 7 x 7 x 2 x 2
Por tanto, el CS: 2;7 .
Ejemplo 4: Hallar “x”, en: 8log3 x 2log3 x 12 0
Solución: Al restar, se tiene que 6log3 x 12 log3 x 2
Luego, al usar la definición de logaritmo, se tiene que log3 x 2 x 32 x 9
Esto implica que, x 9 y satisface la ecuación. Por tanto, el CS: 9 .
Ejemplo 5: Resuelva la ecuación: log xlog x log x 6 0
Solución: Al hacer uso, de la propiedad 4 se tiene que (log x)(log x) log x 6 0 (log x)2 log x 6 0
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3 aspa 2
log x log x Luego, Por consiguiente,
simple
(log x 3)(log x 2) 0
log x 3 x 10 3 (1ra.solución )
log x 2 x 102 (2da.solución )
Por tanto, el CS: 103 ;102 .
Ejemplo 6: Determinar los valores de “x”, en: log 2 (9 x 1 7) log 2 4 log 2 (3x 1 1) Solución: Al utilizar, la propiedad 5 se tiene que log 2 (9 x 1 7) log2 4(3x 1 1)
.
Luego, al usar la propiedad 8, se tiene 9 x1 7 4(3x 1 1) (3 x1 )2 7 4(3x 1 1) (3 x1 ) 2 4(3x 1 ) 3 0
3 x x 3
1
3
1
1
aspa.simple
3 x 1 3 x 1 1 x 2(1ra.solución) Esto implica que, x 1 3 1 x 1 0 x 1(2da.solución)
Por tanto, el CS: 1; 2 .
Ejemplo 7: Resolver: log( x 1) 2 Solución: log( x 1)
2
x 1 10 x 1 100 x 101
2
Como, x 101 satisface la ecuación, entonces el C.S. = 101
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Ejemplo 8: Resolver: 2log x 3 log
x 10
Solución: x 10 2log x 3 log x log10 2log x 3 log x 1 2log x log x 2 log x 2 x 102 100 2log x 3 log
Como, x 100 satisface la ecuación, entonces el C.S. = 100
Ejemplo 9: Resolver: 1°) 2°)
l og 12 x
3 l og
2 x
x 0 x 1 3 log 12 log 4 log 6 4 x x x 2
4
l og 6 x
4
(por prop. 7)
log 12 log 43 / 2 log 6 4 x x x 12.6 log x 3 / 2 4 4 log 9 4 x x 4 9 x 2 3
3° ) 4° ) x 2
3
2
0
x 3 x 3 0 x
3
x
3
(no se toma porque x 0 x 1
)
x 3 Pero, Por lo tanto, C.S = { 3 }
Ejemplos 10: Resolver: log 2 (log2 x 2 ) 2 Solución: log 2 (log 2 x 2 ) 2 log 2 x 2 22
Aplicando la definición de logaritmo
log 2 x 2 4 x 2 24
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x 2 16 x 2 16 0 ( x 4)( x 4) 0 x 4 x 4
Las dos satisfacen en la ecuación. C.S = 4, 4
Ejemplos 11: Resolver: log 2 log 11 x 2 2log(5 x ) Solución: log 2. 11 x 2 log(5 x )2 log 22 2 x 2 log(25 10x x 2 )
22 2 x2 25 10 x x2 0 3 10 x 3x2 0 ( x 3)(3x 1) 1 x 3 x 3
Las dos cumplen en la ecuación. 1 C.S = , 3 2
EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
NIVEL I 1. log 4 (7 x 15) 3
6. log( x 8) log( x 1) 18
2. log 3 (4 x 5) 3
7. log3 x log9 x 2
1
3. 4log2 ( x) log2 256
8.
4. log( x 1) log( x 2) 2log( x 3)
9.
2
x 2
5. 3log log 2log( x 2) 4 27 64
2
1 log5 ( x 3) 3log5 4 log5 ( x 3) 3 3 2 (log x 9) 4(log x 9) 4 0
10. 52log x 32log 2 7log 5
3
7
4x
11. log(2 log 2 ( x 3)) 0 12. log( x 5) log( x 4) 1
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13. log(5 x 20) log17 1 14. log6 ( x 7) log6 27 log6 4
4 x 1
18. log 2 7
15. 4log5 x 4
19. log x3 log8 2log x
16. log3 ( x 6x) log3 9
20. 5log x 2log x2 log 512
2
17.
log2 4 log2 42 log2 43 ... log2 4 x log2 46
NIVEL II II.
Resolver las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones logarítmicas
1. log 4 (log3 (log 2 x)) 0 2. 3.
log x log x log(35 x 3 ) log(5 x )
3
4. log6 ( x2 5x) log 3 9 1
1
5. log x log log x 2 2 3 6. log x 2
log2 x
36
7. Resolver el siguiente sistema 9log(9 x ) 3log(3 y ) log x log y x y
8. En el siguiente sistema x y log x x y 10 10 x 1 Calcular.10 x 10 y x
9. Resolver el sistema log 4 x log 2 y 0 2 2 x 4 5 y
10. Si: x 10 3 , calcular:
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log
M= log x (3
3
x
4log x 6 2
log
6
x
)
11. Hallar un número tal que el doble de su logaritmo en base 10 exceda en una unidad al logaritmo en base 10 de dicho número aumentado en 11/10. 12. x log 4 log log 3 log log 81 13. log( xlog x ) log x6 16 0 14. 3log a x (1 log x a) 8log x a 15. (1 log a x 1 log x a) 5
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 1. Óptica Si un cristal obstruye 5% de la luz que pasa a través de él, el porcentaje p de la luz que pasa por n cristales sucesivos está dado aproximadamente por la siguiente ecuación: p 100e0.05n . ¿Qué porcentaje de la luz pasará a través de 20 cristales? ¿ y a través de 30? 2. Presión atmosférica La presión atmosférica p sobre un globo o un avión disminuye al aumentar la altura. Esta presión, medida en milímetros de mercurio, se relaciona con el número de kilómetros h sobre el nivel del mar mediante la fórmula: p 550e
0.125 h
Determine la presión atmosférica a una altura de 4km. ¿Cuál es la presión a una altura de 15km? 3. Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un satélite espacial después de un periodo de días está dado por la fórmula: w 60e0.002d
¿Cuánta energía estará disponible después de 2 meses? ¿Cuánta energía estará disponible después de dos años (un año equivale a 365 días)? 4. Corriente alterna en un circuito RL. La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I(en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuito RL individual, el cual consta de una resistencia R (en ohms), una inductancia L (en henrios) y una fuerza electromotriz E(en voltios), es I E 1 e( R L)t . Si E =120voltios, R = 20 ohms, y L=10 R
henrios, ¿Cuánta corriente I 1 está disponible después de 0.50 segundos? ¿Después de 0.1 segundos? ¿ y luego de 1 segundo? ¿Cuál es la corriente máxima?. Si E =120 voltios, R = 5 ohms, y L = 10 henrios, ¿cuánta corriente I 2 está disponible después de Facultad de Ingeniería y Arquitectura
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0.3 segundos? ¿Después de 0.5 segundos? ¿y luego de un segundo? ¿Cuál es la corriente máxima? 5. Óptica Si un solo cristal obstruye el 20% de la luz que pasa por él, entonces el porcentaje de luz que pasa a través de n cristales consecutivos está dado aproximadamente por la ecuación: p 100e 0.2n
¿Cuántos cristales son necesarios para bloquear al menos un 50% de la luz? ¿y para bloquear al menos el 85% de la luz? 6. Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un satélite espacial después de un periodo d de días está dado por la fórmula w 60e0.002d
¿Cuánto tiempo transcurre hasta que la energía disponible llega a 30 vatios? ¿Y hasta que desciende solamente a 5 vatios? 7. Corriente alterna en un circuito RL La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I(en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuitoR1 individual, el cual consta de una resistencia R (en ohmios), una inductancia L (en henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios) es I
E
1 e ( R L ) R
Si E =12 voltios, R =10 ohmios y L =5henrios, ¿Cuánto tiempo transcurre antes de obtener una corriente de 0.5 amperios? ¿y de 1 amperio? 8. Crecimiento de una función exponencial Suponga que se le ofrece un trabajo de un mes, donde se le pagara bien. ¿Cuál de las formas de pago siguientes resultan más redituables para usted? Un millón de dólares al final del mes. Tres centavos el primer día del mes, 9 centavos el segundo día, 29 centavos el tercero y, en general, 3n centavos el día n? 9. Bacterias El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula, n(t ) 300e0.05t , donde t se mide en horas. ¿Cuál es la población inicial del cultivo? ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo t 10 ? 10. Velocidad Un paracaidista deportivo desde una altura razonable. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0.3. Se demuestra que la velocidad del paracaidista en el tiempo t está dada por v(t ) 70(e0.3t 1)
Donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/seg.). Determinar la velocidad inicial del paracaidista. Determinar la velocidad después de 15 y 20 segundos. 11. Población de conejos. Suponga que la población de conejos se comporta de acuerdo con la fórmula de crecimiento logístico:
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400
n(t )
0.6t e n 0.05 0
0.05
400
Donde, n0 es la población inicial. ¿Cuál será la población después de 10 años? 12. Población de aves. La población de una especie de ave está limitada por el tipo de habitad necesario para la anidación. La población esta modelada por la fórmula de crecimiento logístico: n(t )
5000 0.5 27.5e
0.044t
Donde, t se mide en años. ¿Determine la población inicial de aves?
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