ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Objetivos:
Modelar situaciones mediante el uso de ecuaciones diferenciales diferenciales lineales. lineales. Aplicar los métodos de solución para las ecuaciones diferenciales lineales. Asociar los resultados del tratamiento matemático del modelo planteado con el contexto en el que se desarrolla la situación, dando repuesta a la pregunta formulada en el ejercicio.
Un tanque de 500 litros contiene inicialmente 2 libras de sal disueltas en 20 litros de agua. Suponga que cada minuto entran al tanque 3 litros de agua salada, que contienen 0.2 libras de sal disuelta por litro, y que la mezcla (que se mantiene uniforme agitándola) sale del tanque a razón de 2 litros por minuto.
Determine la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo. ¿Cuánta sal habrá en el tanque en el instante en que empiece a derramarse? Se definen los siguientes elementos para llegar a la solución.
Variables
Parámetros
Volumen del tanque: 500. Flujo de entrada: 3 litros litros por minuto. Flujo de salida: 2 litros litros por minuto.
Concentración de sal de entrada: 0.2
Tiempo t . Variable Independiente. Cantidad de sal en el tanque x x(t ) . Variable Dependiente.
Ecuacion diferencial:
libras litro
.
La variación (con respecto al tiempo) de la cantidad de sal dentro del tanque dependerá de la razón(tasa) de cambio de sal que entra y la razón(tasa) de cambio con la que sale del tanque. Se utiliza la siguiente relación: Variación de sal dentro del tanque = Razón de entrada de sal - Razón de salida de sal
¿Cómo se consigue la razón de entrada de sal? Es decir, para este ejemplo, ¿qué tanta sal entra al tanque por minuto? Se utiliza la relación ó = ∙ ó
Razón de entrada de sal = 3
litros minuto
0.2
libras litro
= 0.6
libras minuto
De manera análoga para la razón de salida, con la siguiente observación: L a c on c entr ac ión d e s alida es igu al a la c onc entr ac ión d e s al de ntr o d el t a n q u e.
La concentración dentro del tanque en cualquier instante de tiempo, es igual a la cantidad de sal dentro del tanque dividido sobre el volumen. Concentración de entrada
Cantidad Volumen
La cantidad de sal dentro del tanque en cualquier instante se desconoce Cantidad x(t )
En este caso el volumen dentro del tanque es variable Volumen 20 3 2 t litros 20 t litros
Por lo tanto Razón de salida de sal = 2
litros
x libras
minuto 20 t litros
=
2x
20 t minuto
Así que la ecuación diferencial que modela esta situación es: dx dt
0.6
libras minuto
2x
libras
20 t minuto
Omitiendo las unidades dx dt
Condiciones iniciales :
0.6
2x
20 t
Cantidad inicial de sal: 2 libras de sal, x(0) 2 . Volumen inicial: 20 litros de agua.
libras
Método Para Resolver Ecuaciones Lineales
Una ecuación como
dx dt
0.6
2x
20 t
, es un ejemplo de una ecuación lineal de
primer orden, cuya expresión general es la siguiente a(t ) a(t ) 0 y la cual se puede llevar a la forma estandar
dx dt
dx dt
b(t ) x c(t) con
P(t ) x Q(t ) .
P ( t ) dt Al calcular la función e , conocida como el factor integrante, y multiplicar a ambos lados la ecuación
e
P ( t ) dt
e
P ( t ) dt
dx P (t ) dt Q(t ) dt P(t ) x e
dx dt
e
P ( t ) dt
P(t ) x e
P (t ) dt
Q(t )
La parte derecha se puede escribir como la derivada de un producto P ( t ) dt d P( t ) dt x e Q(t ) e dt
Y al integrar a ambos lados se consigue la fórmula que permite hallar la solución de una ecuación lineal que esté escrita en la forma estándar P ( t ) dt P ( t ) dt x(t ) e e Q(t )dt C
Con
C una
constante arbitraria, cuyo valor depende de las condiciones iniciales.
Solución para el ejemplo dx dt
0.6
2x
20 t
x(0) 2
La forma estándar es dx dt
2
x 0.6 20 t
La solución se obtiene al resolver la fórmula
2 2 dt dt 20 t 20 t x(t ) e 0.6dt C e
3 2 x(t ) 20 t 0.2 20 t C
Como reemplazando en la solución anterior x(0) 2 se obtiene 3 2 20 0 0.2 20 0 C 2
C 800
Así que 3 2 x(t ) 20 t 0.2 20 t 800
x(t ) 0.2 20 t 800 20 t
2
Que proporciona la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo y cuya gráfica es
Verificándose la condición inicial.
Como inicialmente el tanque tiene 20 litros de agua y cada minuto aumenta en un litro y su capacidad es de 500 litros, tardará 480 minutos en derramarse. La cantidad de sal en ese momento es de 100 libras.
Ejer c ic ios
1. Repita el ejemplo resuelto suponiendo que la cantidad inicial de sal es de 2.5 libras y que los demás valores son los mismos. Esta variación, ¿qué repercusiones tiene sobre la solución? 2. Repita el ejemplo resuelto suponiendo que la razón de salida es igual a la de entrada y que los demás valores son los mismos. Esta variación, ¿qué repercusiones tiene sobre la solución? 3. Un gran tanque está parcialmente lleno con 200 galones de agua en las cuales se disuelven 20 libras de sal. Una salmuera (agua con sal) que contiene 2 libras de sal por galón, se bombea al tanque con una rapidez de 6 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma rapidez. A. Halle el número de libras de sal en el tanque en cualquier tiempo. B. ¿Cuánta sal está presente después de 30 minutos? C. ¿Cuánta sal estará presente después de un tiempo largo? 4. Resuelva el ejercicio anterior, suponiendo ahora que la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera a una tasa de 4 gal/min. 5. Un tanque contiene inicialmente 60 galones de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2 gal/min, salmuera que contiene 1 Iibra de sal por galón, y la
solución (perfectamente mezclada) sale de él a razón de 3 gal/min. Obtenga el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse? ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que llega a tener el tanque?
6. Un lago con ocho mil millones de pies cúbicos de agua tiene una concentración de contaminantes del 0.25%. Como estrategia de recuperación del lago, se deja fluir agua desde un río que solo tiene el 0,05% de contaminantes, a razón de quinientos millones de pies cúbicos diarios. Esto produce un derrame de la misma cantidad de agua contaminada, este proceso se debe llevar a cabo hasta que la concentración de contaminantes sea tan solo del 0.1%. ¿Durante cuánto tiempo se debe implementar esta estrategia de descontaminación del lago?
7. Supongamos que inicialmente, un estanque contiene 10 millones de galones de agua pura, y fluye al estanque agua que contiene cierto químico a una razón de 5 millones de galones por año y la mezcla sale a la misma tasa. La concentración de dicho químico en el agua varía periódicamente de acuerdo a la expresión () = 2 + sin 2 gramos por galón. A. Encuentre la cantidad del químico en el estanque en cualquier instante de tiempo. B. Grafique la función obtenida en el inciso anterior. C. ¿Qué se observa para un tiempo pequeño? D. Determine la cantidad de químico para un tiempo suficientemente grande. E. Determine los niveles máximo y mínimo de la concentración de químico en el agua. 8. Considere la cascada de los dos tanque de la figura, siendo V = 100 galones (el volumen del primer tanque) y V = 200 galones (el volumen del segundo tanque). Cada tanque tiene inicialmente 50 libras de sal y los tres flujos son de 5 galones por segundo cada uno, con agua pura fluyendo al primer tanque.
A. Encuentre la cantidad de sal que hay en el primer tanque en cualquier instante de tiempo. B. Encuentre la cantidad de sal en el segundo tanque en cualquier instante de tiempo. C. Grafique las soluciones obtenidas y analice los niveles de sal en cada uno de los tanques. 9. Suponga ahora que en la cascada, el tanque 1 contiene inicialmente 100 galones de alcohol etílico puro y el tanque 2 contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque 1 fluye agua pura a razón de 10 galones por minuto y en los otros desagües también fluye la mezcla a razón de 10 galones por minuto. A. Encuentre la cantidad de sal que hay en el primer tanque en cualquier instante de tiempo. B. Encuentre la cantidad de sal que hay en el segundo tanque en cualquier instante de tiempo. C. Grafique las soluciones obtenidas y analice los niveles de sal en cada uno de los tanques. 10. Se inyecta un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente a una razón constante r (la razón de inyección) y es eliminada del torrente sanguíneo a una razón proporcional a la cantidad de medicamento presente en el momento t . Inicialmente la sangre del paciente no contiene medicamento. Suponga que un médico fija la razón de inyección a un paciente en 2 mg por hora, y que, después de una hora, se toma una muestra que indica que hay 1.69 mg del medicamento en la sangre del paciente. A. Muestre la gráfica de la cantidad de medicamento en función del tiempo. B. ¿Cuánto medicamento estará presente después de 6 horas? C. ¿Cuál es el nivel de medicación en estado estable (para un tiempo suficientemente grande)? D. Suponga que el médico desea que el nivel de medicación en el torrente sanguíneo del paciente en estado estable sea 8 mg. ¿Cómo debe ajustarse la razón de infusión para lograr este objetivo? 11. Una mercancía se introduce a un precio inicial de $5 por unidad, y t meses después el precio es p(t ) dólares por unidad. Un estudio indica que en el momento t , la demanda de la mercancía será de D(t ) 3 10e0.01t miles de unidades y que serán suministradas S (t) 2 p miles de unidades. El modelo de ajuste de precio de Evans supone que la razón de cambio del
precio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez ( D S ) . Suponga que la proporción es del 2%. A. Grafique el precio unitario en función del tiempo. B. ¿Cuál es el precio unitario de la mercancía 6 meses después? C. ¿En qué momento es máximo el precio unitario? ¿Cuál es el precio unitario máximo y la correspondiente oferta y demanda? D. ¿Qué le ocurre al precio “a largo plazo”? 12. Una mujer de 30 años de edad aceptó un puesto directivo con un salario inicial de $ 30 millones por año. Su salario S (t ) aumentaría en forma exponencial, siendo S (t ) 30et /2 después de t años laborados. Mientras tanto el 12 % de su salario es depositado en una cuenta de retiro, que acumula intereses a una tasa anual continua del 6%. Calcule el salario cuando la mujer tenga 70 años (edad de reitro) Circuitos
Para el estudio de los circuitos LR y LC, se proporcionan las presentan a continuación junto a la segunda ley de Kirchhoff.
tablas que se
Los diferentes elementos de un circuito se indican como en la tabla
Segunda ley de Kirchhoff . La suma algebraica de todas las caídas de potencial
en cualquier camino cerrado de un circuito eléctrico es igual a cero. Considerando el circuito eléctrico que se muestra a continuación
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff
a este circuito, la suma de las caídas de
potencial a través del inductor y de la resistencia , es igual a la fuerza
electromotriz E (t ) aplicada al circuito, es decir
+ = ()
Utilizar esta ecuación diferencial para resolver los ejercicios
13. Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 Ω y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a t = 0, determine la corriente en cualquier instante de tiempo . Ver figura.
14. Determine la corriente para el circuito eléctrico del problema anterior si el generador de 50 V se reemplaza por otro con una fem de E(t ) 10sin 7t .
15. Una batería cuya fem está dada por E(t ) 200e5t se conecta en serie con una resistencia de 20 Ω y un condensador de 0.01 F. Suponiendo que la carga inicial es de cero, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcule su valor y halle el el tiempo en el cual se alcanza este valor máximo. 16. Una resistencia de R Ω varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a R 1 0.01t . Se conecta en serie con un condensador de 0.1 F y un
generador con una fem de 100 V. La carga inicial en el condensador es de 5 coulombs. Encuentre: A. La carga y la corriente como una función del tiempo. B. La carga máxima teórica.
