ECUACIONES
Identidades y ecuaciones
¿Qué valores de x verifican cada una de las siguientes igualdades? (x – 3)2 = x2 – 6x + 9
(I)
(x – 3)2 = 25 (II)
y
En la igualdad (I), cualquier valor que se le asigne a la variable x, verifica la igualdad. Si x = 1 ------ (1 – 3)2 = (-2)2 = 4
y
Si x = -2 ------ (-2 – 3)2 = (-5)2 = 25
12 – 6. 1 + 9 = 1 - 6 + 9 = 4 y
(-2)2 – 6. (-2) + 9 = 4 + 12 + 9 = 25
Intenta tomar otros valores …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………. Podrán Podrán observar observar que si desarro desarrolla llan n el prime primerr miemb miembro ro de la iguald igualdad ad (I), obtienen el segundo miembro. Por lo tanto para todo valor de x se verifica la igualdad. El signo igual, en este caso, nos indica que se trata de una identidad. identidad. Luego: Una identidad es una igualdad igualdad que que se verifica verifica para cualquier cualquier valor valor que tomen las incógnitas que intervienen.
Ejemplos: ( x + 2 ) . ( x - 2 ) = x2 – 4
y
a.b=b.a
La igualdad (II) se verifica sólo para los valores 8 y -2. Cualquier otro valor que se le asigne a x no verifica la igualdad. Si x = 8 ---- (8 – 3)2 = 52 = 25 Si x = -2 ---- (-2 – 3)2 = (-5)2 = 25
Una ecuación es una igualdad en la que uno o más valores, a los que incógnitas, son desconocidos. llamamos incógnitas, desconocidos. A los valores de las incógnitas, que hacen cierta la igualdad, los llamamos soluciones de la ecuación y decimos que verifican la ecuación. Todos los valores hallados forman el conjunto solución. solución .
Ejemplos: a) Ecuación:
2x + 6 = 8
Incógnita:
x
Solución:
1
Verificación:
2.1+6=8
Conjunto solución: S = { 1 }
b) Ecuación: Incógnitas: Soluciones:
2x + y = 3 x, y x=1
x=0
x=2
x = -2 …
y=1
y=3
y = -1
y=7
(En este caso la ecuación tiene infinitas soluciones) Verificación:
2.1 2.1+ 1 = 3 ,
2.0 2.0 + 3 = 3 ,
2.2 2.2+ (-1) = 3 ,
Conjunto solución: S = { (1; 1) , (0; 3) , (2,; -1) , (-2; 7) , … }
2.(-2) 2.(-2)+ +7=3
(x + 1)2 – 2 (x – 3) – 3 = 0
c) En la ecuación La incógnita es
x
Podemos reemplazar el primer miembro por la identidad (x + 1)2 – 2 (x – 3) – 3 = x2 + 2x + 1 – 2x + 6 – 3 = x2 – 4 Resulta de esta manera una ecuación equivalente cuyas soluciones son 2 y -2 porque
22 – 4 = 0
y
x2 – 4 = 0
1
(-2)2 – 4 = 0
Luego el conjunto solución es
S = { 2, -2 }
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es una ecuación que se puede reducir a la forma: ax + b = 0, siendo a y b constantes con a ≠ 0.
¿Cómo ¿Cómo halla hallamos mos la soluci solución ón de una ecuaci ecuación? ón? o ¿cómo ¿cómo resolv resolvem emos os una ecuación? Para resolver una ecuación debemos despejar la incógnita. Esto se logra aplica aplicando ndo propie propiedad dades es o reglas reglas que nos nos permit permiten en encont encontrar rar ecuaciones equivalentes (que tienen la misma solución) más simples.
Las ecuaciones :
x+2=3
y
3x – 1 = 2
son equivalentes por ser solución de ambas sólo x = 1 1+2=3
y
3. 1 – 1 = 2
Para obtener ecuaciones equivalentes se debe aplicar:
Propiedades
Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la ecuación
Regla práctica Lo que está sumando en un miembro de una ecuación “pasa” restando al otro miembro y viceversa.
Multiplicar o dividir los dos miembros
Lo que está multiplicando a todo un
de la igualdad por el mismo número
miembro de una ecuación “pasa”
distinto de cero
dividiendo al otro miembro y viceversa.
Ejemplo: Resolver la ecuación ecuación y determinar determinar el conjunto solución solución
a) Aplicando propiedades
2x – 6 = 0 Sumamos 6 en ambos miembros
2x – 6 + 6 = 0 + 6 2x = 6
Dividimos por 2 en ambos miembros
2x : 2 = 6 : 2 x=3
Conjunto solución:
S={3}
b) Aplicando las reglas prácticas
2x – 2x – 6 = 0 El 6 que está restando pasa sumando
2x = 0 + 6 2. x = 6
El dos que está multiplicando pasa dividiendo
x=6:2 x=3
Conjunto solución:
S={3}
Con frecuencia, el aspecto que presentan las ecuaciones no es tan simple
En la ecuación 2x + 3 = 4x - 7 primero se agrupan los términos que tienen la incógnita en un miembro y los otros en el segundo ( o viceversa)
2x + 3 = 4x - 7 2x + 3 – 4x = -7 -2x = - 7 - 3 -2x = -10 x = -10 : (-2) x=5
Conjunto solución:
S={5}
Verificación: Para comprobar la validez de la solución se sustituye x por 5 en la ecuación y se halla el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales, la solución es correcta. Para el ejemplo anterior la comprobación es:
Primer miembro: 2 . 5 + 3 = 10 + 3 = 13 Se obtiene el mismo resultado Segundo miembro: 4 . 5 – 7 = 20 – 7 = 13 Luego x = 5 es la solución de la ecuación dada
En la ecuación
2x − 1 x + 5 5 − =− podemos realizar diferentes procedimientos 3 2 2
que se ejemplificarán a continuación
Distribuyendo el denominador
Sacando común denominador
2x − 1 x + 5 5 − =− 3 2 2 2 1 1 5 5 x − − x + = − 3 3 2 2 2
6 1 x 6
= =
3
x+5
−
(
2
)
=−
(
2 2x − 1 − 3 x + 5 6
(
4 x − 2 − 3 x + 15
2 1 1 5 5 x− − x− =− 3 3 2 2 2 2 1 5 1 5 x− x=− + + 3 2 2 3 2 4x − 3 x 1
=
x −1
6 4 x − 2 − 3 x − 15 6 x − 17 6
3
=−
(
5 2
)
2 x − 17 = −5 . 6
1 = 3 1 1 : 3 6 1 ⋅6 3
2x − 34 = −30 2x = −30 + 34 = 4:2 =2
=
Multiplicando por el m.c.m. del denominador 2x − 1 x + 5 5 − =− 3 2 2 2x − 1 − 6 . x + 5 = 6 . − 5 6 . 3 2 2 2 .( 2 x − 1) − 3 . ( x + 5 )
= 3 . ( −5)
4x − 2 − 3 x − 15 = −15 x = −15 + 2 + 15 x=2
La verificación debe hacerse siempre en la ecuación original
)
5 2
)
=−
=−
=−
5 2
5 2
5 2
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Una ecuación ecuación de segund segundo o grado o cuadrática cuadrática,, con una incógnita, es una ecuación que se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c = 0, 0, siendo a, b y c constantes con a ≠ 0.
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado?
Si ax2 + bx + c = 0 , para hallar las soluciones, se aplica la la siguiente fórmula: x=
−b ±
2
b − 4.a.c 2a
Ejemplos: a) Resolver la ecuación En esta ecuación
x2 – 5x + 6 = 0
a=1,
b=-5,
c=6
Se aplica la fórmula y resulta
x1 = x=
5 ± ( −5) 2 − 4.1.6
Soluciones:
2.1
=
x1 = 3 ,
5 ± 25 − 24 2
=
5 ±1
x2 = 2
Conjunto solución: S = {3, 2} b) Resolver la ecuación
4x2 + 4x = -1
2
= x2 =
6 =3 2 4 2
= 2
Primero se debe igualar a cero la ecuación: En esta ecuación
a=4,
b=4,
4x2 + 4x + 1 = 0
c=1
Se aplica la fórmula y resulta
x1 = −
x=
− 4 ± 4 2 − 4.4.1 2.4
Soluciones:
x1 = −
=
− 4 ± 16 − 16 8
1 , 2
x2 = −
−4±0
=
8
= x2 = −
1 2
1 Conjunto solución: S = − 2
c) Resolver la ecuación
4x2 + 4x + 2 = 0
En esta ecuación
b=4,
a=4,
c=2
Se aplica la fórmula y resulta
x=
− 4 ± 4 2 − 4.4.2 2.4
Soluciones:
=
− 4 ± 16 − 32
No tiene
Conjunto solución: S = { }
8
=
− 4 ± − 16 8
1 2
1 2
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los coeficientes b, c o ambos son iguales a cero b=0 y c=0
ax2 = 0
b=0
ax2 + c = 0
c=0
ax2 + bx = 0
Para resolver las ecuaciones incompletas se puede aplicar la fórmula aplicada en
los eje ejemplos plos ante anteri rio ores, res, pero resu result lta a
más ráp rápido ido
emplea plearr
otro tros
procedimientos más cortos. a) Si la ecuación es de la forma
ax2 = 0 , se despeja la x
3x2 = 0 x2 = 0 : 3 x=
0
x=0
S={0}
b) Si la ecuación es de la forma ax2 + c = 0
, se despeja la x
x2 - 4 = 0 x2 = 4 x= ± 4 x1 = 2 , x2 = -2
S = { 2, -2 }
c) Si la ecuación es de la forma ax2 + bx = 0 x2 – 3x = 0
, se saca factor común x Para que un producto sea cero, Uno de los factores debe ser cero Si a . b = 0, entonces a = 0 o b = 0
x. (x – 3) = 0
Entonces
x=0
Luego
o
x–3=0
x=0
o
x=3
x1 = 0
o
x2 = 3
S = { 0, 3 }
Si la ecuación está factoreada (x - 2). (x + 5) = 0 también podemos podemos proceder como en el ejemplo anterior x–2=0 Es decir
o
x=2
x+5=0 o
x = -5
S = { 2, -5 }
Como se pudo observar en los ejemplos, las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos, una o ninguna solución. La cantidad de soluciones depende del valor que tome b2 – 4.a.c
Si b2 – 4.a.c > 0 , la ecuación tiene dos soluciones reales Si b2 – 4.a.c = 0 , la ecuación tiene una solución real Si b2 – 4.a.c < 0 , la ecuación no tiene solución real
