Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita
La ecuación parece complicada; complicada; pero en realidad es una ecuación de prime primerr grado grado con una varia variable ble,, ya que que se pued puede e transf transform ormar ar en esta esta ecua ecuació ción n equivalente: 7 x -18=0 -18=0
Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.
En este apartado apartado conside considerare raremos mos el siguient siguiente e tipo de ecuacion ecuaciones es polinom polinomiales iales,, que reciben reciben el nombre nombre de ecuacion ecuaciones es de segundo segundo grado o ecuacion ecuaciones es cuadrátic cuadráticas. as. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
Raíz Cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1 Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Ejemplo 2 Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Factorización Si los coeficientes a, b y c de la ecuació ecuación n cuadrátic cuadrática a
son tales tales que la
expresión puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado grado con coeficien coeficientes tes enteros enteros,, dicha dicha ecuació ecuación n cuadrát cuadrática ica podrá podrá resolvers resolverse e rápida rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces: a⋅b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta Esta propie propieda dad d se demu demues estra tra con facil facilida idad: d: si a = 0, hemo hemos s conclu concluido ido.. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/ a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1 Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:
Ejemplo 2 Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3 Resuelve por factorización
SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de usarse otro método para encontrar la solución.
Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática general para que quede así: . Donde A y B son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:
Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:
En ambo ambos s casos casos,, obse observe rvemo mos s que, que, en el miem miembro bro derec derecho ho,, el terce tercerr térmi término no es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva directamente a la regla:
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma
se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:
Ejemplo 1 Completa el cuadrado de
o sea
SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma
, por lo que obtenemos:
Ejemplo 2 Completa el cuadrado de
SOLUCIÓN: Sumamos
; o sea
, así:
La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra mejor con ejemplos
Ejemplo 3 Resuelve
por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN: Sumam Sumamos os 2 a ambos ambos miembr miembros os de la ecuaci ecuación ón para para elimi eliminar nar -2 del miembro izquierdo.
Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación. Factorizamos el miembro izquierdo.
Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.
Ejemplo 4 Resuelve
por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN: Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos los términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.
Formula cuadrática Para Para obten obtener er la formu formula la para para resolv resolver er ecua ecuacio cione nes s de segun segundo do grado grado,, toma tomamo mos s la ecuación general y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c , por el método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c .
Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/ a ambos miembros de la ecuación. Queda así:
Sumamos –c/a a ambos ambos miemb miembros ros de la ecua ecuació ción n para para suprim suprimir ir c/a del miembro miembro izquierdo.
Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;
Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.
Obtenemos esto:
Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces:
b2 - 4ac ax2 + bx + c = 0 Positivo Dos soluciones reales Cero Una solución real Negativo Dos soluciones complejas
Ejemplo 1 Resuelve
por la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.
Sustituimos la fórmula y simplificamos.
Ejemplo 2 Resuelve
SOLUCIÓN:
por la fórmula cuadrática
escribimos en la forma general e identificamos a = 1, b = -6
y c = 11
Sustituimos la fórmula y simplificamos.