DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA De la definición de desigualdad, se deduce que: · Todo número positivo es mayor que cero · Todo número negativo es menor que cero · Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto · Si a>b entonces b
o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa " #na desigualdad no cambia de sentido cuando se a$ade o se resta un mismo número a cada miembro "" #na desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, tambi%n positivo """ #na desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, tambi%n negativo ) &&'
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)1
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-
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3
2
4 x + 6 > 2 x − 8
2 x >−14
x >
−14
2
x >−7
'
13 x −3 x + 2 − 5 x ≥−10 + 2 x + 6
3 x ≥− 6
x ≥
−6
3
()*,+'
)2
)3
)
x ≥ −2
4),+'
DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA #na desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadr5tica, tiene la forma:
ax
2
+
bx + c > 0
o
ax
2
+
bx + c < 0
o
ax
2
+
bx + c ≤ 0
o
ax
2
+ bx + c ≥ 0
Donde a, b y c son números reales y a6- Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales 7ara resolver una desigualdad cuadr5tica se usan los conceptos de número cr8tico y número de prueba #n número cr8tico de la desigualdad mencionada es una ra89 real de la ecuación cuadr5tica
ax
2
+
bx + c =0.
Si r & y r son números cr8ticos y r & < r , entonces el polinomio a ; b ; c sólo puede cambiar de signo algebraico en r & y r por la tanto el signo m5s o menos de a ; b ; c ser5 constante en cada uno de los intervalos ()+,r &', (r &,r ', (r ,+' 7ara determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número de prueba arbitrario en a ; b ; c para cada intervalo !os resultados obtenidos sirven para ubicar el conunto de soluciones de la desigualdad #n procedimiento sistem5tico para la resolución de inecuaciones cuadr5ticas es el siguiente: & Se trasladan todos los t%rminos de la inecuación al miembro de la i9quierda Se =allan los números cr8ticos r & y r de la ecuación cuadr5tica y se forman los intervalos () +,r &', (r &,r ', (r ,+' 3 Se prueban con valores de f5cil sustitución locali9ados en dic=os intervalos para determinar cu5les son los que satisfacen la desigualdad emplos 2
x −9 > 0
&'
x
2
=9
x =± √ 9
r 1=3 y r 2=−3
x =± 3 !os intervalos solución pueden ser ()+, )3', ()3, 3' y (3,+' 7robando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad x
2
−9 > 0
:
7ara ? )2 del intervalo ()+,)3' se tiene: ()2' ).?&0).?*>7ara ? - del intervalo ()3,3' se tiene: - ).?-).?).<7ara ? 2 del intervalo (3,+' se tiene: (2' ).?&0).?*>!os valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ()+, ) 3'∪ (3, +' )2
)3
)
)&
-
&
3
2
2
x −4 < 0
'
Solución x
2
=4
x =± √ 2
x =± 2 !os números cr8ticos son: r & ? y r ? ) !os intervalos solución pueden ser (+, ) ', () , ' y (, +' 7robando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad x
2
−4 < 0
7ara ?)1 del intervalo ()+, ) ' se tiene: (1' )2?1)2?&>7ara ?- del intervalo () , ' se tiene: - )2?-)2?2>7ara ? 1 del intervalo (,+' se tiene: 1 )2?1)2?&>l valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: () , ' )2
)3
)
)&
-
&
3
2
=ttp:@@esAiBipediaorg@AiBi@DesigualdadCmatemE3F&tica Gacultad de Eontadur8a y Fdministración #HFI, Desigualdades, Futor: Dr Jos% Ianuel Kecerra spinosa
