UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
CIENCIAS CIENCIAS ADMINI A DMINISTRATIVAS STRATIVAS Y CONTABLES
TEMA “ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO”
ALUMNA
: kety, VEGA PAUCARCAJA
CICLO
:I
TURNO
: CI
JULIO - 2016
DEDICATORIA
A mi familia, en especial a mi madre que con su apoyo incondicional supo alentarme en esos momentos en la que me sentía acabado y ya no podía más, con su apoyo moral e espiritual supo despertar mi espíritu triunfador para seguir adelante. A mis maestros que supieron inculcarme los conocimientos necesarios para abrirme camino al éxito.
KETY VEGA PAUCARCAJA
2
PRESENTACION
Es grato presentar el presente trabajo con la finalidad de que sirva como apoyo para quienes lo lean y puedan poner en práctica y de esta manera cumplir con uno de los requisitos para aprobar el curo de la carrera de “lógico matemático” de la facultad ciencias administrativas y contables.
KETY VEGA PAUCARCAJA
3
INDICE
1.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ........................................................................ 6
1.1. 2.
Historia ......................................................................................................................... 6
Ecuación completa de segundo grado ................................................................................. 7
2.1.
Deducción de la solución: ......................................................................................... 7
2.2.
Discriminante ............................................................................................................... 9
2.2.1.
Forma reducida de la ecuación completa ..................................................... 10
2.2.2.
Ecuaciones incompletas .................................................................................. 10
Sin término independiente
Sin término lineal ...................................................................................................... 10
Solo el término de segundo grado ......................................................................... 11
...................................................................................... 10
Completa con coeficiente lineal par ........................................................................... 11
Completa reducida con coeficiente lineal par .......................................................... 11
ANEXO....................................................................................................................................... 12 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 13
KETY VEGA PAUCARCAJA
4
INTRODUCCION
El siguiente tema esta desarrolla en base a las investigaciones que he realizado en diferentes páginas web y llegando a una síntesis: En la historia de la humanidad según el desarrollo que íbamos teniendo se dice que los algoritmos ya existían en tiempos más remotos los primeros que se encontraron fue en babilonia ellos usaban estos algoritmos para resolver algunos problemas matemáticos. Posteriormente fueron encontrados en Grecia, pero solo proporcionaban una solución mas no se podía hallar cuando existían doble signos. Donde el matemático Al-Juarismi pudo aportar con más exactitud a esta teoría y hasta hoy en día es la más usada.
KETY VEGA PAUCARCAJA
5
MARCO TEORICO 1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1.1.
Historia
Las ecuaciones de segundo grado y
su solución de
las
ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para
resolverla.
Fue
encontrado
independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado. La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros. En el Renacimiento al resolver que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la adopción de números imaginarios y la definición de la unidad imaginaria i que cumple
KETY VEGA PAUCARCAJA
6
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:
Se usa ± para indicar las dos soluciones:
2.1.
Deducc ión de la sol ució n:
La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadrado: La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que
Si usamos otras letras para forma que la demostración (que sencilla) queda como sigue: •
•
•
simplificarlo de es algo más
Desde la ecuación:
Ai sl and o n :
Sumando a ambos términos :
KETY VEGA PAUCARCAJA
7
•
Simplificamos el primer término a un binomio c uadrado:
•
Extrayendo la raíz cuadrada a los d os mi embros:
•
•
•
Ai sl and o X y sim pl ifi can do la f rac ci ón de l a raíz
Simplificando a común denominador:
si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado:
La demostración si n cambio de variables se puede ver aquí: •
•
•
Partimos de nuestra ecuación si mplifi cada:
Pasamos al
otr o término
Sumamos para desarrollado:
obtener
un
binomio
KETY VEGA PAUCARCAJA
8
•
2.2.
El trin omio a la izquierda es un c uadrado perfecto; simpl ificando a común denominador el segundo miembro:
•
Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:
•
Moviendo y aplicando la raíz al denominador:
•
Simplificando a común denominador:
Discriminante
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con la letra griega Δ. Discriminante es = Δ= discriminante
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces. •
Si Δ > 0 hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
KETY VEGA PAUCARCAJA
9
•
•
Si Δ = 0 hay una solución real doble (la parábola solo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
Si Δ < 0 hay dos soluciones complejas conjugadas (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
donde i es la unidad imaginaria. 2.2.1. Forma reducid a de la ecuació n com pleta
Cuando el término principal es 1 la expresión queda como cuyas raíces son:
2.2.2. Ecuaciones incompl etas
Sin término independiente
Son de la forma:
Sin término lineal
Son de la forma cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.
KETY VEGA PAUCARCAJA
1 0
Solo el término de segundo grado
cuya raíz doble es igual a 0
Completa con coeficiente lineal par
En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par 2m y la ecuación es:
siendo las raíces
Completa reducida con coeficiente lineal par
En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma:
cuyas raíces son
KETY VEGA PAUCARCAJA
1 1
ANEXO
BABILONIA
GRECIA
DIOFANTO
AL-JUARISMI
KETY VEGA PAUCARCAJA
1 2
BIBLIOGRAFIA
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado http://es.slideshare.net/saldanaivanjorge/historia-sobre-lasecuaciones-de-segundo-grado http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemacuad.htm http://ficus.pntic.mec.es/mnaf0005/Segundo%20grado.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.h tm l
KETY VEGA PAUCARCAJA
1 3
