Las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolución

2013 Antonio García Megía Las ecuaciones de segundo grado Angarmegia: Ciencia, Cultura y Educación. Portal de Investigación y docencia http://angarmegia.com - [email protected]

Las ecuaciones de segundo grado Conceptos y resolución Notas y recursos didácticos para las clases de Matemáticas de Educación Primaria y Secundaria Una propuesta de

Antonio García Megía

El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educación y Docencia Angarmegia, Ciencia, Cultura y Educación (http://angarmegia.com). Propone algo más que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos de Educación Secundaria en sus estudios sobre el tema. Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales para completar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyecto dispone de vídeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar y reforzar las adquisiciones. Los vídeos están localizables en la sección Vídeos del Portal o en el Canal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:  Vídeos en el Portal: http://angarmegia.com/videos.htm  Angarmegia en YouTube: http://www.youtube.com/user/angarmegia Las actividades interactivas se encuentran en la sección Refuerzo al estudio. http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm Esta misma información en formato html está accesible desde las secciones “Matemáticas”… http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm … y “Matemáticas fáciles”, que recoge las fichas esquemáticas de todos los contenidos de la Educación Secundaria obligatoria realizadas por el Profesor Bienvenido Ayala: http://angarmegia.com/menumatematicas.htm Agradecemos cualquier crítica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestra mayor satisfacción estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir a mejorar el nivel educativo de las generaciones que habrán de sustituirnos.

Antonio García Megía Maestro, Diplomado en Geografía e Historia, Licenciado en Filosofía y Letras, Doctor en Filología Hispánica.

CONTENIDO

Introducción: ________________________________________________________________ 9 Resolución:_________________________________________________________________ 10 Ecuaciones incompletas _____________________________________________________ 10 Ecuaciones completas ______________________________________________________ 10 Algunas ecuaciones resueltas ___________________________________________________ 11 Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 Ecuación 4 Ecuación 5

_______________________________________________________________ 11 _______________________________________________________________ 12 _______________________________________________________________ 12 _______________________________________________________________ 13 _______________________________________________________________ 13

Algunos problemas razonados y planteados _______________________________________ 13 Problema 1 _______________________________________________________________ 13 Problema 2 _______________________________________________________________ 14 Problema 3 _______________________________________________________________ 14 Problema 4 _______________________________________________________________ 14 Problema 5 _______________________________________________________________ 15

DR. D. ANTONIO GARCÍA MEGÍA SERIE APOYOS DIDÁCTICOS – LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

INTRODUCCIÓN: Se denominan ecuaciones de segundo grado a aquellas en que la incógnita aparece elevada a la segunda potencia como mayor exponente. 3𝑥 2 + 4𝑥 = 30

Las ecuaciones con una incógnita, una vez preparadas, solamente pueden tener tres términos: termino con la incógnita elevada al cuadrado (ax2), término con la incógnita elevada a la primera potencia (bx), y término numérico independiente (c). 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Se dice de la ecuación completa, cuando constan los tres términos anteriores, e incompleta si falta la incógnita en grado 1, el término independiente, o ambos. Son incompletas: 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 𝑎𝑥 2 = 0

Antes de resolver una ecuación de segundo grado es preciso prepararla hasta alcanzar la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

El proceso pasa las siguientes fases: ELIMINAR PARÉNTESIS SUPRIMIR DENOMINADORES TRANSPONER TÉRMINOS REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES INCÓGNITA DESPEJAR INCÓGNITA 𝟒𝑥 2 − 𝟐𝑥 2 𝑥 + − 3 = 817 𝟒 2 2𝑥 2 𝑥 + − 3 = 817 𝟒 2 2𝑥 2 + 2𝑥 − 12 = 3268

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2𝑥 2 + 2𝑥 − 12 − 3268 = 0 2𝑥 2 + 2𝑥 − 3280 = 0 En este caso concreto, al ser todos los miembros divisible entre 2, puede simplificarse la ecuación quedando definitivamente así: 𝑥 2 + 𝑥 − 1640 = 0 ES IMPORTANTE ADVERTIR QUE LAS ECUACIONES DE ESTE TIPO, SALVO CASOS EXCEPCIONALES, TIENEN DOS SOLUCIONES CORRESPONDIENTES A LOS SIGNOS + Y -.

RESOLUCIÓN: ECUACIONES INCOMPLETAS TIPO 1: 𝑎𝑥 2 = 0 Despejando la incógnita: 0 𝑥2 = = 0 𝑎 Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros: 𝑥= ± 0=0

TIPO 2: 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 Pasando c al segundo miembro: 𝑎𝑥 2 = −𝑐 Despejando la incógnita: 𝑐 𝑥2 = − 𝑎 Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros: 𝑐 𝑥= ± − 𝑎 SOLUCIONES: Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros: 𝑐 𝑥1 = + − 𝑎 𝑐 𝑥2 = − − 𝑎

ECUACIONES COMPLETAS Las ecuaciones de segundo grado completas se resuelven siempre aplicando la siguiente fórmula: 𝑥=

−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

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Que produce las dos soluciones: 𝑥1 =

−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥2 =

−𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

JUSTIFICACIÓN: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Pasando c al segundo miembro: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 Multiplicando ambos términos por 4a se obtiene la igualdad equivalente: 4𝑎2 𝑥 2 + 4𝑎𝑏𝑥 = −4𝑎𝑐 Sumando b2 a ambos miembros de la igualdad se obtiene la equivalente [1]: 4𝑎2 𝑥 2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏 2 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 El primer miembro se corresponde con el desarrollo del cuadrado de una suma 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 En este caso: 2𝑎𝑥 + 𝑏 2 = 4𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 + 4𝑎𝑥𝑏 Sustituyendo en [1] queda: 2𝑎𝑥 + 𝑏 2 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Hallando la raíz cuadrada de ambos miembros: 2𝑎𝑥 + 𝑏 = ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Trasponiendo el coeficiente b: 2𝑎𝑥 = −𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Despejando la incógnita: 𝒙=

−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

ALGUNAS ECUACIONES RESUELTAS ADVERTENCIA: Alcanzar las soluciones para las ecuaciones de este tipo precisa el dominio de ciertas habilidades básicas de cálculo.

ECUACIÓN 1

𝟑𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + − 𝟔 = 𝟓𝟑𝟒 − 𝟓 𝟐 𝟒 Quitando denominadores: 12𝑥 2 + 10𝑥 2 − 120 = 10680 − 5𝑥 2 Trasponiendo términos: 12𝑥 2 + 10𝑥 2 + 5𝑥 2 − 120 − 10680 = 0

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Reduciendo términos: 27𝑥 2 − 1800 = 0 SOLUCIONES

Ecuación tipo 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 𝑥1 = + − 𝑥2 = − −

ECUACIÓN 2

𝑐 −1800 =+ − = + 400 = 20 𝑎 27

𝑐 −1800 =− − = − 400 = −20 𝑎 27

𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟑 Trasponiendo términos y reduciendo: 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 − 3 = 0 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 SOLUCIONES

Ecuación completa 𝑥1 = 𝑥2 =

−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −3 + 9 − 4 × 2 × −2 = 2𝑎 4

−𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −3 − 9 − 4 × 2 × −2 = 2𝑎 4

ECUACIÓN 3

= =

−3 + 9 + 16 −3 + 5 2 1 = = = 4 4 4 2

−3 − 9 + 16 −3 − 5 −8 = = = −2 4 4 4

𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝟎 𝒙 + 𝟖𝟐 Trasponiendo términos y reduciendo: 6𝑥 2 − 3𝑥 − 20𝑥 + 4 − 82 = 0 6𝑥 2 − 23𝑥 − 78 = 0 SOLUCIONES


−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 23 + 529 − 24 × −78 = 2𝑎 12 −𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 23 − 529 − 24 × −78 = 2𝑎 12

=

23 + 529 + 1872 23 + 49 72 = = =6 12 12 12

=

23 − 529 + 1872 23 − 49 26 = =− 12 12 12

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ECUACIÓN 4 𝒙𝟐 +

𝒙 − 𝟑𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒙 − 𝟐𝟓𝟐𝟎 𝟓

Quitando denominadores 5𝑥 2 + 𝑥 − 150 = 500 𝑥 − 12600 Trasponiendo términos y reduciendo: 5𝑥 2 + 𝑥 − 150 − 500𝑥 + 12600 = 0 5𝑥 2 − 499𝑥 + 12450 = 0 SOLUCIONES

Ecuación completa −𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥1 = = 2𝑎 499 + 249001 − 4 × 5 × 12450 499 + 24901 − 24900 499 + 1 = = = = 50 10 10 10 2 −𝑏 − 𝑏 − 4𝑎𝑐 𝑥2 = = 2𝑎 499 − 249001 − 4 × 5 × 12450 499 − 24901 − 24900 499 − 1 = = = = 49′8 10 10 10

ECUACIÓN 5 𝒙 𝒙 − 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 + 𝒙 Quitando paréntesis: 𝑥 2 − 𝑥 = 120 + 𝑥 Trasponiendo términos y reduciendo: 𝑥 2 − 𝑥 − 𝑥 − 120 = 0 𝑥 2 − 2𝑥 − 120 = 0 SOLUCIONES


−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2 + 4 − 4 × −120 = 2𝑎 2

−𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2 − 4 − 4 × −120 = 2𝑎 2

= =

2 + 4 + 480 2 + 22 24 = = = 12 2 2 2

2 − 4 + 480 2 − 22 −20 = = = −10 2 2 2

ALGUNOS PROBLEMAS RAZONADOS Y PLANTEADOS PROBLEMA 1 Se incrementa un número en cuatro unidades y se disminuye también en cuatro unidades. Si se multiplican entre sí estos resultados se obtiene 609. ¿Cuál es el número original?

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PLANTEAMIENTO Incógnita principal:

Número buscado = x

Datos conocidos:

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑥 + 4 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑥 − 4 Producto de ambos números = 𝑥 + 4 × (𝑥 − 4) = 609

Ecuación final: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟔𝟎𝟗

PROBLEMA 2 Se precisa encontrar las dimensiones de un rectángulo de 2520 m2 de superficie sabiendo que su longitud excede en 18 m a su anchura.

PLANTEAMIENTO Incógnita principal:

Anchura del rectángulo = x

Datos conocidos:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑥 + 18 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2520 𝑚2

Ecuación final: 𝒙 𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟐𝟓𝟐𝟎

PROBLEMA 3 La diferencia entre dos números es 14. Si la suma de sus cuadrados asciende a 436, ¿de qué números se trata? PLANTEAMIENTO Incógnita principal:

Numero mayor = x

Datos conocidos:

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑥 − 14 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 2 = 𝑥 2 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2 = (𝑥 − 14)2 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 436

Ecuación final: 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟒

𝟐

= 𝟒𝟑𝟔

PROBLEMA 4 El área de un rectángulo es de 1000 m2. Si su perímetro mide 140 m, ¿cuáles son sus dimensiones? PLANTEAMIENTO Incógnita principal:

Lado a = x

Datos conocidos:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 = 1000 𝑚2

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𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 140 𝑚 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 70 𝑚 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎 + 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑏 = 70 − 𝑥

Ecuación final: 𝒙 × (𝟕𝟎 – 𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝟎

PROBLEMA 5 La altura de un triángulo mide la tercera parte de la longitud de su base. Si el área del triángulo es de 4225 m2, ¿cuánto mide su base? PLANTEAMIENTO Incógnita principal:

Base = x

Datos conocidos:

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =

𝑥 3

á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 4225𝑚2 2 𝒙×

Ecuación final:

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𝟐

𝒙 𝟑

= 𝟒𝟐𝟐𝟓

Vídeos relacionados en: http://angarmegia.com/videos.htm http://www.youtube.com/user/angarmegia Actividades interactivas en: http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm Información en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en: http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm http://angarmegia.com/menumatematicas.htm Más documentos imprimibles relacionados en: http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas

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