Ecuaciones de Cantidad de Movimiento

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR DIVISION DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE TERMODINAMICA Y FENOMENOS DE TRANSFERENCIA

TF 1221 FENÓMENOS DE TRANSPORTE I

GUIA DE ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Profesores María Eugenia Aguilera, Dosinda GonzálezMendizabal, Luis Matamoros y César Oronel

Sartenejas, agosto 2005 (última revisión)

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

2

INTRODUCCIÓN En el programa de la materia Fenómenos de Transporte I está contemplado el uso de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento. Con el objetivo de hacer llegar al estudiante todas estas ecuaciones para los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas se preparó este texto, el cual facilita considerablemente la utilización de las mismas.

Primero, se presenta la ecuación de continuidad para los distintos sistemas de coordenadas, ya mencionados. Después se muestran las ecuaciones de cantidad de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes para cada coordenada, agrupadas según el sistema (cartesiano, cilíndrico o esférico).


3

OBJETIVOS Terminal

¾ Proporcionar

al estudiante los conceptos básicos de

Mecánica de Fluidos y su aplicación a problemas de interés práctico.

Específicos

•

Desarrollar las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de la materia a un pequeño elemento de volumen situado en el seno del fluido en movimiento

•

Proporcionar a los estudiantes las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.


4

ÍNDICE Página

Introducción

2

Objetivos

3

Índice

4

Tema 1 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

5

La ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados

Tema 2 LA ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

7

8 11

coordenadas rectangulares Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

12

coordenadas cilíndricas Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

13

coordenadas esféricas Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares

15

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas

16

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas esféricas

17

Bibliografía

18


5

LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad se obtiene aplicando un balance de materia a un elemento diferencial de volumen (∆V), a través de la cual está circulando el fluido. z

(ρ.vx )]x

∆z

(ρ.vx )]x+∆x

y

∆y

∆x x

Figura 1. Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fija en el espacio, a través de la cual esta circulando el fluido Aplicando el balance de materia: ⎡ velocidad de acumulación ⎤ ⎡ velocidad de entrada ⎤ ⎡ velocidad de salida ⎤ ⎥ ⎥−⎢ ⎢ ⎥=⎢ de materia de materia de materia ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣

(1)

Considerando el par de caras perpendiculares al eje x y el área de flujo en x como ∆y∆z, se obtiene que la velocidad de entrada de materia a través de la cara x es (ρvx)]x∆y∆z y la velocidad de salida de materia a través de la cara x + ∆x es (ρvx)]x+∆x∆y∆z. Por los otros dos pares de caras pueden obtenerse expresiones análogas y la velocidad de acumulación de materia en el elemento diferencial de volumen es (∂ρ ∂t )(∆x∆y∆z ) . Por lo tanto el balance de materia queda:

∆x∆y∆z

[

[

]

∂ρ = ∆y∆z ( ρv x ) x − ( ρv x ) x + ∆x + ∆x∆z ⎡ ρv y ⎢⎣ ∂t

+ ∆x∆y ( ρv z ) z − ( ρv z ) z + ∆z

]

( ) y − (ρv y ) y + ∆y ⎤⎥⎦ (2)


6

Dividiendo toda la ecuación por ∆x∆y∆z, y tomando el límite cuando ∆x,

∆y, ∆z tiende a cero, se tiene ⎛∂ ⎞ ∂ρ ∂ ∂ = −⎜⎜ ( ρv x ) + ρv y + ( ρv z )⎟⎟ ∂t ∂y ∂z ⎝ ∂x ⎠

(

)

(3)

Ésta es la ecuación de continuidad y puede escribirse en una forma más conveniente utilizando notación generalizada:

∂ρ = −(∇ • ρ v ) ∂t El término

(∇ • ρ v )

(4) se denomina divergencia de ρv, en donde la

divergencia (∇) y la velocidad (v) son vectores. En el siguiente capitulo se presentan la ecuación de continuidad en todos los sistemas coordenados


7

LA ECUACION DE CONTINUIDAD EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOS Coordenadas rectangulares (x,y,z):

∂ρ ∂ (ρv x ) + ∂ ρv y + ∂ (ρv z ) = 0 + ∂t ∂x ∂y ∂z

(

)

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): ∂ρ 1 ∂ (ρrv r ) + 1 ∂ (ρv θ ) + ∂ (ρv z ) = 0 + ∂t r ∂r r ∂θ ∂z

Coordenadas esféricas (r, θ, φ):

(

)

∂ρ 1 ∂ 1 ∂ (ρv θ sen θ) + 1 ∂ (ρv φ ) = 0 + 2 ρr 2 v r + ∂t r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ


8

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para un elemento diferencial de volumen ∆x∆y∆z, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento. (τzx)]z+∆z z

(τyx)]y+∆y (τxx)]x y

(τxx)]x+∆x (τyx)]y

(τzx)]z x Figura 2. Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fija en el espacio, en el que señala la dirección de transporte del componente x de la cantidad de movimiento a través de la superficie

Aplicando el balance de cantidad de movimiento: ⎡ velocidad de ⎤ ⎢ acumulación ⎥ ⎡ velocidad de entrada ⎤ ⎡ velocidad de salida ⎤ ⎡ suma de las ⎤ ⎥ + ⎢fuerzas que actuan ⎥ ⎥ − ⎢ de cantidad ⎥=⎢ ⎢ de cantidad ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ de cantidad ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ de movimiento ⎥⎦ ⎢⎣ de movimiento ⎥⎦ ⎢⎣ sobre el sistema ⎥⎦ ⎢ ⎣de movimiento ⎦

Trabajando en la dirección x, la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de volumen indicado en la figura 2, se produce por dos mecanismos: convección y transporte molecular. La velocidad con que entra por convección el componente x de la cantidad de movimiento por la cara situada en x es (ρvx vx)]x∆y∆z y la velocidad de salida por x+ ∆x es (ρvx vx)]x+∆x∆y∆z. Para las demás caras se pueden escribir


9

expresiones similares. El flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento en el elemento de volumen es:

[

]

(

∆y∆z ( ρv x v x ) x − ( ρv x v x ) x + ∆x + ∆x∆z ⎡ ρv y v y ⎢⎣ + ∆x∆y (ρv z v z ) z − ( ρv z v z ) z + ∆z

[

]

) y − (ρv y v y ) y + ∆y ⎤⎥⎦

(5)

De igual forma, la velocidad con que el componente x de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es τxx]x∆y∆z, y con la que sale por x+ ∆x es τxx]x+∆x∆y∆z; para las demás caras se pueden escribir expresiones similares. Hay que tomar en cuenta que τij es la densidad de flujo de cantidad de movimiento j a través de una cara perpendicular al eje i. Sumando estas seis contribuciones, se obtiene:

[

∆y∆z τ xx Estas

x

− τ xx

x + ∆x

densidades

] + ∆x∆z ⎡⎢⎣τ de

yx y

flujo

− τ yx de

[

⎤ + ∆x∆y τ

y + ∆y ⎥ ⎦

cantidad

de

zx z

− τ zx

z + ∆z

]

movimiento

(6) pueden

considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, τxx es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara ∆y∆z, τyx es el esfuerzo tangencial que actúa sobre la cara ∆x∆z en la dirección x, τzx es el esfuerzo tangencial que actúa sobre la cara ∆x∆y en la dirección x y que resultan de las fuerzas viscosas. En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las provenientes de la presión del fluido y la fuerza de gravedad. La resultante de estas fuerzas en la dirección x será:

[

]

∆y∆z P x − P x + ∆x + ρg x ∆x∆y∆z

(7)

Finalmente, la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento en el elemento diferencial de volumen es (∂ρv x ∂t )(∆x∆y∆z ) . Dividiendo toda la ecuación por ∆x∆y∆z, y tomando el limite cuando ∆x, ∆y, ∆z tiende a cero, se tiene

∂v ∂v ⎞ ∂v ⎛ ∂v x ∂P ⎛ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx + v x x + v y x + v z x ⎟⎟ = − −⎜ + + ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t

ρ ⎜⎜

⎞ ⎟ + ρg x (8) ⎟ ⎠

Los componentes y y z, se pueden obtener de forma análoga. Ésta ecuación se puede escribir en notación vectorial:


10

(

)

∂ (ρ v ) = −(∇ • ρ vv ) − (∇ • P ) − ∇ • τ + ρ g ∂t

(9)

donde:

∂ (ρ v ) ∂t

es la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento

(∇ • ρ vv )

es la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección

(∇ • P )

es la fuerza de presión que actúa sobre el elemento

(∇ • τ )

es la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso

ρg

es la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento

En el siguiente capítulo se presentan la ecuación de cantidad de movimiento en todos los sistemas coordenados


11

LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES (x, y, z): En función de τ:

Componente x:

⎞ ∂P ⎛ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ⎟⎟ = − −⎜ + + ∂x ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

⎞ ⎟ + ρg x ⎟ ⎠

∂v y ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂v y ∂P ⎛ ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ⎟=− − ⎜⎜ + + ρ⎜⎜ + vx + vy + vz ⎟ t x y z y x y ∂ ∂ ∂ ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ⎝

⎞ ⎟ + ρg y ⎟ ⎠

∂v x ∂v x ∂v x ⎛ ∂v ρ⎜⎜ x + v x + vy + vz ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t Componente y:

Componente z:

∂v z ∂v z ∂v ⎛ ∂v ρ⎜⎜ z + v x + vy + vz z ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t

⎞ ∂P ⎛ ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz ⎟⎟ = − −⎜ + + ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

⎞ ⎟ + ρg z ⎟ ⎠

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes:

Componente x:

∂v x ∂v x ∂v x ⎞ ⎛ ∂v ∂p ⎛⎜ ∂ 2 v x ∂ 2 v x ∂ 2 v x ⎟⎟ = − ρ⎜⎜ x + v x + vy + vz + µ + + ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ∂t

⎞ ⎟ + ρg x ⎟ ⎠

Componente y: ⎛ ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂v y ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂v y ∂p ⎜ ⎟=− ρ⎜⎜ + vx + vy + vz + µ + + 2 2 ⎟ ⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ t x y z ∂ y ∂ x ∂ y ∂z 2 ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ + ρg y ⎟ ⎠

Componente z:

⎛ ∂ 2v z ∂ 2v z ∂ 2v z ∂v z ∂v z ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂P + vy + v z z ⎟⎟ = − ρ⎜⎜ z + v x + µ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ∂t ⎝

⎞ ⎟ + ρg z ⎟ ⎠


12

LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, θ, z): En función de τ: Componente r:

⎛ ∂v r ∂v r v θ ∂v r v θ2 ∂v ⎞ ∂P ⎛ 1 ∂ 1 ∂τ rθ τ θθ ∂τ rz ⎜ ρ + vr + − + vz r ⎟ = − − ⎜⎜ (rτ rr ) + − + ⎜ ∂t ⎟ ∂r ∂z ⎠ ∂r ⎝ r ∂r ∂z r ∂θ r r ∂θ r ⎝

⎞ ⎟⎟ + ρgr ⎠

Componente θ: ∂v θ v θ ∂v θ v r v θ ∂v θ ⎞ ⎛ ∂v 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 1 ∂τ θθ ∂τ zθ ρ⎜⎜ θ + Vr + + + vz v ⎟⎟ = − − ⎜⎜ 2 (r τ rθ ) + + ∂r ∂z ⎠ r ∂θ ∂z r ∂θ r r ∂θ ⎝ r ∂r ⎝ ∂t

⎞ ⎟⎟ + ρg θ ⎠

Componente z: ∂v z v θ ∂v z ∂v z ⎛ ∂v ρ⎜⎜ z + v r + + vz r ∂θ ∂z ∂r ⎝ ∂t

⎞ ∂P ⎛ 1 ∂ 1 ∂τ θz ∂τ zz ⎟⎟ = − − ⎜⎜ (rτ rz ) + + ∂z ⎝ r ∂r r ∂θ ∂z ⎠

⎞ ⎟⎟ + ρg z ⎠

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes: Componente r: ∂v r v θ ∂v r v θ2 ∂v ⎞ ∂P + − + vz r ⎟ = − ⎟ r ∂θ r ∂r ∂r ∂z ⎠ ⎝ ∂t 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 2 ∂v θ ∂ 2 v r ⎤ ⎞ 1 ∂ vr (rv r )⎟ + 2 2 − 2 + µ⎢ ⎜ + ⎥ + ρgr r ∂θ ∂z 2 ⎦⎥ ⎠ r ∂θ ⎣⎢ ∂r ⎝ r ∂r ⎛ ∂v r

ρ ⎜⎜

+ vr

Componente θ: v ∂v θ v r v θ ∂v ∂v ⎛ ∂v θ + + vz θ + vr θ + θ r ∂θ r ∂z ∂r ⎝ ∂t

ρ ⎜⎜

1 ∂P ⎞ ⎟⎟ = − r ∂θ ⎠

2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 2 ∂v r ∂ v θ ⎤ ⎞ 1 ∂ vθ (rv θ )⎟ + 2 2 + 2 + + µ⎢ ⎜ ⎥ + ρgθ r ∂θ ∂z 2 ⎥⎦ ⎠ r ∂θ ⎣⎢ ∂r ⎝ r ∂r

Componente z: ⎡1 ∂ ⎛ ∂v z ∂v z ⎞ ∂v z v θ ∂v z ⎛ ∂v ∂P + vz + µ⎢ + ⎟⎟ = − ρ⎜⎜ z + v r ⎜⎜ r r ∂θ ∂z ⎠ ∂z ∂r ⎝ ∂t ⎣⎢ r ∂r ⎝ ∂r

2 2 ⎞ 1 ∂ vz ∂ vz ⎤ + ⎟⎟ + 2 ⎥ + ρg z 2 ∂z 2 ⎦⎥ ⎠ r ∂θ


13

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFÉRICA (r, θ, Φ) En función de los esfuerzos (τ): Componente r: 2 2 ⎛ ∂v v φ ∂v r v θ + v φ ∂v r v θ ∂v r r ⎜ + vr + + − ρ ⎜ ∂t r ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r ⎝

=−

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∂τ rφ τ θθ + τ φφ ⎞ 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 ∂ ⎟ + ρgr (τ rθ Senθ) + 1 r τ rr + − ⎜⎜ 2 − ⎟ r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r ⎝ r ∂r ⎠

(

)

Componente θ: 2 ⎛ ∂v v φ ∂v θ v r v θ v φ ⋅ cot θ ⎞⎟ ∂v θ v θ ∂v θ θ ⎜ ρ + vr + + + − ⎜ ∂t ⎟ r ∂θ r sen θ ∂φ r r ∂r ⎝ ⎠

=−

∂τ θφ τ rθ cot θ ⎞ 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 1 ∂ (τ θθ sen θ) + 1 − ⎜⎜ 2 ⋅ r τ rθ + + − τ φφ ⎟⎟ + ρg θ r ∂θ ⎝ r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎠

(

)

Componente φ: ∂v φ v θ ∂v φ v φ ∂v φ v r v φ v φ v θ cot θ ⎞ ⎛ ∂v φ ⎟ + + + ρ⎜⎜ + vr + ⎟ ∂ ∂ ∂ θ θ ∂ φ t r r r sen r r ⎝ ⎠ =−

⎞ 1 ∂τ θφ 1 ∂τ φφ τ rφ 2 cot θ 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 − ⎜⎜ 2 r τ rφ + + + + τ θφ ⎟⎟ + ρg φ r sen θ ∂φ ⎝ r ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎠

(

)

En función de los gradientes de velocidades para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes: Componente r 2 2 ⎛ ∂v v φ ∂v r v θ + v φ ∂v r v θ ∂v r r ⎜ ρ + vr + + − ⎜ ∂t ∂r r r ∂θ r sen θ ∂φ ⎝

=−

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∂v φ ⎞ ⎛ ∂P 2 2 ∂v θ 2 2 ⎟ + ρg r + µ⎜⎜ ∇ 2 v r − 2 v r − 2 − 2 v θ cot θ − 2 ⎟ ∂ θ ∂ φ ∂r θ r r r r sen ⎝ ⎠


14

Componente θ 2 ⎛ ∂v v φ ∂v θ v r v θ v φ cot θ ⎞⎟ ∂v θ v θ ∂v θ θ ⎜ ρ + vr + + + − ⎜ ∂t ⎟ r ∂θ r sen θ ∂φ r r ∂r ⎝ ⎠

=−

⎛ v 1 ∂P 2 ∂v r 2 cos θ ∂v φ ⎞ ⎟ + ρg θ + µ⎜⎜ ∇ 2 v θ + 2 − 2 θ2 − 2 r ∂θ r ∂θ r sen θ r sen 2 θ ∂φ ⎟⎠ ⎝

Componente φ ∂v φ v θ ∂v φ v φ ∂v φ v r v φ v φ v θ cot θ ⎞ ⎛ ∂v φ ⎟ ρ⎜⎜ + vr + + + − ⎟ ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎝ ∂t ⎠

=−

v ∂v r ⎛ 1 ∂P 2 2 cos θ ∂v θ + µ⎜⎜ ∇ 2 v φ − 2 θ 2 + 2 + 2 r sen θ ∂φ r sen θ r sen θ ∂φ r sen 2 θ ∂φ ⎝

donde ∇a 2 =

∂ ⎛ ∂a ⎞ ∂ ⎛ ∂a 2 1 ∂ ⎛ 2 ∂a ⎞ 1 1 ⎜ + θ + ⋅ r sen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sen 2 θ ∂θ ⎜⎝ ∂φ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sen θ ∂θ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ + ρg φ ⎠


15

COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS RECTANGULARES (X, Y, Z)

2 ⎡ ∂v ⎤ τ xx = −µ ⎢2 x − (∇ • v )⎥ ⎣ ∂x 3 ⎦ ⎡ ∂v y 2 ⎤ τ yy = −µ ⎢2 − (∇ • v )⎥ ⎣ ∂y 3 ⎦ 2 ⎡ ∂v ⎤ τ zz = −µ ⎢2 z − (∇ • v )⎥ ⎣ ∂z 3 ⎦ ∂v y ⎤ ⎡ ∂v τ xy = τ yx = −µ ⎢ x + ⎥ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ∂v y ⎤ ⎡ ∂v τ zy = τ yz = −µ ⎢ z + ⎥ ∂z ⎦ ⎣ ∂y ∂v ⎤ ⎡ ∂v τ zx = τ xz = −µ ⎢ x + z ⎥ ∂x ⎦ ⎣ ∂z

donde

(∇ • v ) = ∂v x ∂x

+

∂v y ∂y

+

∂v z ∂z


16

COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS CILÍNDRICAS (R, θ, Z)

2 ⎡ ∂v ⎤ τ rr = −µ ⎢2 r − (∇ • v )⎥ 3 ⎣ ∂r ⎦ ⎡ ⎛ 1 ∂v θ v r τ θθ = −µ ⎢2⎜⎜ + r ⎣ ⎝ r ∂θ

⎤ ⎞ 2 ⎟⎟ − (∇ • v )⎥ ⎠ 3 ⎦

2 ⎡ ∂v ⎤ τ zz = −µ ⎢2 z − (∇ • v )⎥ ⎣ ∂z 3 ⎦ ⎡ ∂ ⎛v τ rθ = τ θr = −µ ⎢r ⎜⎜ θ ⎣ ∂r ⎝ r

⎞ 1 ∂v r ⎤ ⎟⎟ + ⎥ ⎠ r ∂θ ⎦

1 ∂v z ⎤ ⎡ ∂v τ zθ = τ θz = −µ ⎢ θ + ⎥ ⎣ ∂z r ∂θ ⎦ ∂v ⎤ ⎡ ∂v τ zr = τ rz = −µ ⎢ r + z ⎥ ∂r ⎦ ⎣ ∂z

donde ∂v θ ∂v z + r ∂θ ∂z

(∇ • v ) = 1 ∂ (rv r ) + 1 r ∂r


17

COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS ESFÉRICAS (R, θ, φ)

2 ⎡ ∂v ⎤ τ rr = −µ ⎢2 r − (∇ • v )⎥ 3 ⎣ ∂r ⎦ ⎡ ⎛ 1 ∂v θ v r ⎞ 2 ⎤ τ θθ = −µ ⎢2⎜⎜ + ⎟⎟ − (∇ • v )⎥ r ⎠ 3 ⎣ ⎝ r ∂θ ⎦

⎡ ⎛ 1 ∂v φ v r v θ cot θ ⎞ 2 ⎤ ⎟ − (∇ • v )⎥ τ φφ = −µ ⎢2⎜⎜ + + ⎟ 3 r r ⎠ ⎣⎢ ⎝ r sen θ ∂φ ⎦⎥

⎡ ∂ ⎛v τ rθ = τ θr = −µ ⎢r ⎜⎜ θ ⎣ ∂r ⎝ r

⎞ 1 ∂v r ⎤ ⎟⎟ + r ∂θ ⎥ ⎠ ⎦

⎡ sen θ ∂ ⎛ v φ ⎞ 1 ∂v θ ⎤ ⎟+ ⎜ τ φθ = τ θφ = −µ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎢⎣ r ∂θ ⎝ sen θ ⎠ r sen θ ∂φ ⎥⎦

⎡ 1 ∂v r ∂ ⎛ vφ τ φr = τ rφ = −µ ⎢ + r ⎜⎜ ∂r ⎝ r ⎣⎢ r sen θ ∂φ

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎦⎥

donde

(∇ • v ) =

∂v φ ∂ 1 ∂ 2 1 (v θ sen θ) + 1 r vr + 2 r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r

(

)


18

BIBLIOGRAFÍA

Wilkes O. J., "Fluid Mechanicals for Chemical Engineers", Prentice Hall International Series in the Physical and Chemical Engineering Sciences, USA(1999). Bird R.B., Stewart W.E. y Lightfoot E.N.,"Fenomenos de transporte", Editorial Reverté, España(1975).

Ecuaciones de Cantidad de Movimiento

Recommend Documents