DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
INTRODUCCIÓN:
La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades. El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. Definiciones generales del Análisis de sensibilidad Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero. f j = efecto neto Cambios en los coeficientes de la función objetivo.El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes. Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.
1.1 Teoría Prima-Dual: Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los dos poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa para la solución optima para el otro.
1.2 Formulación del Problema Dual: Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canoníca de la siguiente forma:
Maximizar:
Sujeto a
Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo establecido.
En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de programación dual. La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente información respecto del problema de programación original: 1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original. 2. La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original y viceversa. Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal. El concepto de Holgura Complementaria Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir de otro, y se deriva de las relaciones primo-dual, en el valor de la función objetivo Formulación del problema dual. El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y sistemáticamente a partir del modelo de PL original o primal. El problema de programación lineal bienen dado por: Maximizar Z = C’X sujeto a: AX <= B X >= 0 su dual asociado es el problema de PL dado por: Minimizar Z’ = B’W sujeto a: AW<= C W >= 0 De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes: a) Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.
b) Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a ser los coeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal. c) Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual. d) Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual. Primal Ejemplo: Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3 sujeto a: 8X1 + 6X2 + X3 <= 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8
" X1, X2, X3 >=0 Dual: Minimizar Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3 sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 >= 60 6W1 + 2W2 + 1.5W3 >= 30 W1 + 1.5W2 + 0.5W3 >= 20 " W1, W2, W3>= 0
1.3 Relación Prima-Dual: Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución optima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad. La relación principal entre ellos es que tanto el problema primal como el dual buscan el valor óptimo del sistema.
1.4 Dual – Simplex: Aprovechando las propiedades de los problemas asociados primal y dual, se desarrolló el método dual-simplex que se aplica: en algunos casos de análisis de sensibilidad, como ocurre en cambios de los recursos del problema; también para resolver problemas de objetivo mínimo y al menos una restricción de tipo >=, o para ahorro en cálculos evitando los métodos simplex penal y dos fases. Se aplica cuando el problema cambia a no factible, pero el renglón Z se presenta óptimo. Ahora observe y compare la aplicación de criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual.
Figura 3-1. Criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual.
Enseguida se presenta una comparación funcional del simplex y el dual simplex.
Figura 3-2. Comparación funcional del simplex y el dual simplex.
Criterios del método dual-simplex para el cambio de base. En el algoritmo dual-simplex aplican los siguientes criterios para cambio de base: Criterio de factibilidad.- Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables básicas, una VS que salga de la base, eligiendo para salir la que corresponda al valor más negativo en la columna de solución. Esto es válido tanto para el objetivo mínimo como para el máximo. Criterio de optimalidad.- Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables no básicas, una VE que entre a la base con el siguiente procedimiento:
Figura 3-3. Criterio de Optimalidad en el método dual-simplex.
Elemento Pivote.- Se ubica como pivote al coeficiente que corresponde al cruce del renglón y columna elegidos con los criterios del cambio de base.
Ejemplo 3-1. Aplica dual simplex a un PL con 4 restricciones >= (DUX1).
PASOS: 1) Consiga infactibilidad en restricciones tipo >=, (multiplique por -1):
2) Arregle la función Z; consiga la matriz I de base, sume holguras Hi, como sigue:
3) Tabule coeficientes y aplique el dual-simplex; elija variables VS, VE y pivote así:
