Distribucion uniforme

Distribución uniforme continua En esta estadís dísti tica ca una una de las las dist distri ribu buci cion ones es cont contin inua uas s más más simp simple les s es la distribució distribución n uniforme uniforme continua. continua. Esta distribución distribución se caracter caracteriza iza por una función de densidad que es “plana” y, por por ello, la probabilidad probabilidad es uniforme en un inter interva valo lo cerr cerrado ado,, digam digamos os [, !". !". unque unque las aplica aplicacio ciones nes de la distribució distribución n uniforme uniforme continua continua no son tan abundant abundantes es como lo son para otras distribuciones que se presentan en este capítulo, resulta apropiado para para el prin princi cipi pian ante te come comenz nzar ar esta esta intr introd oduc ucci ción ón a las las dist distri ribu buci cion ones es continuas con la distribución uniforme. #a función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua $ en el intervalo [, !" es

%e debe destacar al lector que la función de densidad forma un rectángulo con base ! &  y altura constante '(!). constante '(!). *omo resultado, la distribución uniforme a menudo se llama distribución rectangular. rectangular . En la + gura .' se muestra la función de densidad para una variable aleatoria uniforme en el intervalo [', -".

esulta esulta sencillo sencillo calcular calcular las probabili probabilidade dades s para la distribuc distribución ión uniforme uniforme debido a la naturaleza simple de la función de densidad. %in embargo, note que la aplicación de esta distribución se basa en la suposición de que es constante la probabilidad de caer en un intervalo de longitud +/a dentro de [, !". Ejemplo: %uponga Ejemplo: %uponga que una sala de conferencias grande se puede reservar para cierta compa0ía por no más de cuatro 1oras. %in embargo, el uso de la sala de conferencias es tal que muy a menudo tienen conferencias largas y cortas. 2e 1ec1o, se puede suponer que la duración $ de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [3, 4". a5 6*uál 6*uál es la función función de de densidad densidad de la la probabil probabilidad7 idad7 b5 6*uál 6*uál es la probabi probabilid lidad ad de que cualqui cualquier er confer conferenc encia ia dada dada dure dure al menos - 1oras7 Solución a5 #a función de densidad apropiada apropiada para la variable aleatoria distribuida uniformemente $ en esta situación es8

b5

9tra forma es utilizando la siguiente ecuación  P ( X )=

 X 2− X 1 B − A

−3 1 = 4 −0 4

=4

#as propiedades de la distribución uniforme

6.20 2ada una distribución continua uniforme, demuestre que

Solución a5 El valor esperado para una variable aleatoria continua es la siguiente8  E ( X )=∫ x f  ( x ) dx

#uego8 B

∫

 μ=

 A

2

2

+ B − A = A B  dx = B − A 2 ( B − A ) 2  x

b5 El concepto de varianza para una variable aleatoria con media :, se de+ne como8 2

2

σ  = E [( X − μ )

]

esolviendo esto8 2

2

σ  = E [ X  −2 Xμ + μ

2

]

σ  = E [ X 

]−2 μE [ X ] + μ

σ  = E [ X 

]−2 μ + μ

σ  = E [ X 

]− μ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

#uego se calcula el valor esperado de la variable al cuadrado B

 E ( X  ) =∫ 2

 A

2

3

3

 x B − A  dx = 3 ( B − A ) B− A

*omo el valor esperado ya se calculó en el inciso a5 se tiene que8

( )

2

( B − A ) − A  A + B − = σ  = 3 ( B − A ) 2 12 2

B

3

3

2

6.21 #a cantidad de caf; diaria, en litros, que sirve una máquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria $ que tiene una distribución continua uniforme con < = y !< '3. Encuentre la probabilidad de que en un día dado la cantidad de caf; que sirve esta máquina sea8 a5 a lo más >.> litros? b5 más de =.4 litros, pero menos de @.A litros? c5 al menos >.A litros. Solución a)  P ( X ≤ 8.8 ) =

−7 = 0.6 10 −7

8.8

Interpretación: #a probabilidad de que la maquina en un día cualquiera sirva a lo muc1o >.> litros es del 3B. b)  P (7.4 ≤ X ≤ 9.5 ) =

−7.4 = 0.7 10 −7

9.5

Interpretación: #a probabilidad de que la maquina en un día cualquiera sirva a entre =.4 y @.A litros es del =3B. c)  P ( X ≥ 8.5 ) =

−8.5 =0.5 10 −7

10

Interpretación: #a probabilidad de que la maquina en un día cualquiera sirva al menos >.A litros es del A3B. 6.22  Cn autobDs llega cada '3 minutos a una parada. %e supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribución continua uniforme. a5 6*uál es la probabilidad de que el individuo espere más de = minutos7 b5 6*uál es la probabilidad de que el individuo espere entre  y = minutos7

Solución: a) *omo el autobDs llega cada diez minutos se supone que o bien podría llegar al instante o tardar esos '3 minutos en llegar.  P ( X ≥ 7 )=

−7 =0.3 10 − 0 10

Interpretación: #a probabilidad de que el individuo espere más de = minutos es del -3B. b5  P (2 ≤ X ≤ 7 )=

−2 = 0.5 10−0 7

Interpretación:  #a probabilidad de que el individuo espere entre  y = minutos es del A3B. onald E. Falpole, aymond G. Hyers, %1aron #. Hyers, Ieying Je K33=5. Probabilidad y estadística para ingeniería. K>va edición5. Learson Educación. Lág. '=')'=