1. Distribución muestral En estadística estadística,, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras muestras posibles posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado. La estadística inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones poblaciones (sus parámetros, µ y σ 2 ) a partir de la información contenida en las muestras (X y S 2 ). ara poder lle!ar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación "ue se establece entre estadísticos y parámetros. #l concepto "ue permite poner en relación ambas cosas es $La distribución muestral de un estadístico%.
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral. muestral. Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media la desviación típica, tambi!n denominada error típico. típico. "a que #acer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente $rande las distribuciones muestrales son normales en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.
A. Si la selección se hace con reposición de una población finita o equivalentemente sin reposición de una población infinita
B. Si el muestreo es sin reemplao en una población finita de tamaño !
Teorema del límite central
observaciones de una población con media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a y una desviación Si se seleccionan muestras aleatorias de
estándar de mayor.
n
. La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez
Ejemplo:
Supon"a que la tabla si"uiente muestra la anti"uedad en años en el traba#o de tres maestros universitarios de matemáticas$ Maestro de matemáticas
ntig!edad
A
%
B
&
'
(
Supon"a además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño ( sin reemplao. 'alcule la anti")edad media para cada muestra, la media de la distribución muestral * el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral. Solución:
Se pueden tener +'( + muestras posibles. -a tabla lista todas las muestras posibles de tamaño (, con sus respectivas medias muestrales. Muestras
ntig!edad"Muestras
Media Muestral
A,B
(6,4)
5
A,C
(6,2)
4
B,C
(4,2)
3
-a media poblacional es$
-a media de la distribución muestral es$ -a desviación estándar de la población es$
El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es$
Si utiliamos la fórmula del error estándar sin el factor de corrección tendríamos que$
or lo que observamos que este valor no es el verdadero. A"re"ando el factor de corrección obtendremos el valor correcto$
El dia"rama de flu#o resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar$
#istribución Muestral de Medias Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana * la moda tienen un mismo valor * es sim/trica. 'on esta distribución podíamos calcular la probabilidad de al"0n evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la si"uiente fórmula$
En donde es una variable estandariada con media i"ual a cero * variana i"ual a uno. 'on esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier e#ercicio, utiliando la tabla de la distribución . Sabemos que cuando se e1traen muestras de tamaño ma*or a +2 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento apro1imadamente
normal, por lo que se puede utiliar la formula de la distribución normal con * , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la si"uiente manera$
* para poblaciones finitas * muestreo con reemplao$
Ejemplo:
3na empresa el/ctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribu*e apro1imadamente en forma normal, con media de 422 horas * desviación estándar de &2 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5% focos ten"a una vida promedio de menos de 667 horas. Solución:
Este valor se busca en la tabla de z
-a interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 5% focos sea menor a 667 horas es de 2.22%(. Ejemplo:
-as estaturas de 5222 estudiantes están distribuidas apro1imadamente en forma normal con una media de 56&.7 centímetros * una desviación estándar de %.8 centímetros. Si se e1traen (22 muestras aleatorias de tamaño (7 sin reemplao de esta población, determine$
a. El n0mero de las medias muestrales que caen entre 56(.7 * 567.4 centímetros. b. El n0mero de medias muestrales que caen por deba#o de 56( centímetros. Solución:
'omo se puede observar en este e#ercicio se cuenta con una población finita * un muestreo sin reemplao, por lo que se tendrá que a"re"ar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de 9 para sólo sustituirlo en cada inciso.
a.
:2.6%26;:(22;57( medias muestrales b.
:2.2++%;:(22; 6 medias muestrales
#istribución muestral de $roporciones E1isten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investi"ar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. -a distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se "enera de i"ual manera que la distribución muestral de medias, a e1cepción de que al e1traer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción :p1
3na población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de proporciones> una población binomial es una colección de /1itos * fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los n0meros posibles de /1itos en un e1perimento binomial, * como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la apro1imación normal a la binomial, siempre que np 7 * n:5?p; 7. 'ualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el n0mero obtenido entre el n0mero de intentos. %eneración de la #istribución Muestral de $roporciones
Supon"a que se cuenta con un lote de 5( pieas, el cual tiene & artículos defectuosos. Se van a seleccionar 7 artículos al aar de ese lote sin reemplao. @enere la distribución muestral de proporciones para el n0mero de pieas defectuosas. 'omo se puede observar en este e#ercicio la roporción de artículos defectuosos de esta población es &<5(5<+. or lo que podemos decir que el ++ de las pieas de este lote están defectuosas. El n0mero posible de muestras de tamaño 7 a e1traer de una población de 5( elementos es 5('768(, las cuales se pueden des"losar de la si"uiente manera$
rt&culos 'uenos
+otal
rt&culos Malos
$roporción de art&culos de(ectuoso
)*mero de maneras en las que se puede obtener la muestra
5
&
&<72.4
4'5&'&4
(
+
+<72.%
4'(&'+55(
+
(
(<72.&
4'+&'(++%
&
5
5<72.(
4'&&'5(42
7
2
2<72
4'7&'27%
-
ara calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral * dividirla entre el n0mero total de muestras. Esto es$
'omo podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es i"ual a la roporción de la población. p
/ $
Cambi/n se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones$
-a variana de la distribución binomial es npq, por lo que la variana de la distribución muestral de proporciones es (p :q;
, este valor no coincide con el de 2.5%45, *a que nos falta a"re"ar el factor de corrección para una población finita * un muestreo sin reemplao$
-a fórmula que se utiliará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la apro1imación de la distribución normal a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.
esta (órmula se le puede agregar el (actor de corrección de
si se cumple con las condiciones necesarias.
E#emplo$ Se ha determinado que %2 de los estudiantes de una universidad, fuman ci"arrillos. Se toma una muestra aleatoria de 422 estudiantes. 'alcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la "ente que fuma ci"arrillos sea menor que 2.77. Solución: Este ejercicio se puede solucionar por dos métodos. El primero puede ser con la aproximación de la distribución normal a la binomial y el segundo utilizando la fórmula de la distribución muestral de proporciones.
Apro1imación de la distribución normal a la binomial$ Datos$ n422 estudiantes p2.%2 1 :.77;:422; &&2 estudiantes p:1< &&2; Media np :422;:2.%2; &42
p:1< &&2; 2.2256. Este valor si"nifica que e1iste una probabilidad del 2.56 de que al e1traer una muestra de 422 estudiantes, menos de &&2 fuman ci"arrillos.
Distribución Muestral de roporciones Datos$ n422 estudiantes 2.%2 p 2.77 p:p< 2.77;
Fbserve que este valor es i"ual al obtenido en el m/todo de la apro1imación de la distribución normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de == nos da la misma probabilidad de 2.2256. Cambi/n se debe de tomar en cuenta que el factor de corrección de 2.7 se esta dividiendo entre el tamaño de la muestra, *a que estamos hablando de una proporción.
-a interpretación en esta solución, estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.1%.
E#emplo$ 3n medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que al"unos usuarios pueden presentar una reacción adversa a /l, más a0n, se piensa que alrededor del + de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 572 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, e1ceda el &. a. Gesolverlo mediante la apro1imación de la normal a la binomial b. Gesolverlo con la distribución muestral de proporciones a. Apro1imación de la distribución normal a la binomial$ Datos$ n572 personas p2.2+ 1 :2.2&;:572; % personas p:1H%; Media np :572;:2.2+; &.7
p:1H%; 2.5%47. Este valor si"nifica que e1iste una probabilidad del 56 de que al e1traer una muestra de 572 personas, mas de % presentarán una reacción adversa. b. Distribución Muestral de roporciones Datos$ n572 personas 2.2+ p 2.2& p:pH2.2&;
Fbserve que este valor es i"ual al obtenido * la interpretación es$ e1iste una probabilidad del 56 de que al tomar una muestra de 572 personas se ten"a una proporción ma*or de 2.2& presentando una reacción adversa. E#emplo$ Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de &, * encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño %2 ten"a$ a. Menos del + de los componentes defectuosos. b. Más del 5 pero menos del 7 de partes defectuosas. Solución:
a. Datos$ n %2 artículos 2.2& p 2.2+ p:pI2.2+;
-a probabilidad de que en una muestra de %2 artículos e1ista una proporción menor de 2.2+ artículos defectuosos es de 2.(+(6.
b. Datos$ n %2 artículos 2.2& p 2.25 * 2.27 p:2.25IpI2.27;
E#emplo
'. DJSCGJB3'JK! DE -A MEDJA M3ESCGA- '3A!DF L( ES DES'F!F'JDA
Ejemplo
EJEMPLO
DISTRIB!I"# DE $n%1&S'()'
