Deducción de las ecuaciones diferenciales de la convección Se deducen las ecuaciones del flujo de fluidos que rigen en las capas límites, para una más fácil deducción de las ecuaciones se hará el análisis considerando un flujo estacionario y bidimensional, y se supondrá supondrá que el fluido fluido es newtoniano newtoniano con propiedade propiedadess constante constantess (densidad (densidad,, viscosidad viscosidad,, conductividad trmica, etc!"! Se considerara la dirección del flujo de manera paralela a una superficie como # y la dirección perpendicular a la superficie superficie como y, y, y una profundidad profundidad unitaria en $!
% continuación continuación se aplicaran tres leyes fundamentales a este elemento de fluido& 'onservación de la masa, conservación de la cantidad de movimiento, y conservación de la energía, para obtener las ecuaciones de continuidad, de la cantidad de movimiento y de la energía para el flujo laminar en las capas limite! 'onservación de la masa
Se dice que la ra$ón de flujo de masa es igual al producto de la densidad, velocidad media y el área de la sección transversal perpendicular al flujo, por lo tanto basándose en la imagen
a ra$ón a la que entra el fluido al volumen de control se da por )u(dy*+", y la ra$ón con la que sale
se da por
Se repite esto para la dirección y y se reempla$a en la ecuación de conservación de la masa!
%l simplificar y dividir entre (d#*dy*+" obtenemos
sta es la relación de conservación de la masa en forma diferente, o tambin conocida como balance de masa para el flujo dimensional estacionario de un fluido con densidad constante!
cuaciones de cantidad de movimiento! as formas diferenciales de las ecuaciones del movimiento en la capa límite de velocidad se obtienen al aplicar la segunda ley de -ewton del movimiento a un elemento diferencial del volumen de control en la capa límite! la fuerza neta que actúa sobre el volumen de control es igual a la masa multiplicada por la aceleración del elemento de fluido dentro de ese volumen de control, lo cual también es igual a la razón neta de la transferencia de la cantidad de movimiento de flujo hacia fuera del volumen de control
De donde Dado que el flujo es estacionario y bidimensional y, por tanto, u . u( x, y", la diferencial total de u es
/or lo que la aceleración en la dirección # queda&
as fuer$as que act0an sobre una superficie se deben a los efectos de presión y viscosos! n el flujo bidimensional el esfuerzo viscoso en cualquier punto sobre una superficie imaginaria dentro del fluido se puede resolver en dos componentes perpendiculares& una perpendicular a la superficie, llamada esfuerzo normal (la cual no debe de confundirse con la presión" y la otra a lo largo de esa
superficie, llamada esfuerzo cortante! l esfuer$o normal está relacionado con los gradientes de velocidad 1u21 x y 1v21 y, que son mucho menores que 1 u21 y, al cual está relacionado el esfuer$o cortante! Si se desprecian, por simplicidad, los esfuer$os normales, las fuer$as superficiales que act0an sobre el volumen de control en la dirección x serán como se muestran en la figura 3456! ntonces la fuer$a superficial neta que act0a en la dirección x queda
Dado que
y despus de sustituir y dividir entre
(d#*dy*+" obtenemos
7ue es la relación para la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección #! cuación de conservación de la energía l balance de energía para cualquier sistema que pasa por cualquier proceso se e#presa como E ent 4 E sal. E sistema, lo cual indica que el cambio en el contenido de energía de un sistema durante un proceso es igual a la diferencia entre la entrada y la salida de energía! Durante un proceso de flujo estacionario, el contenido total de energía de un volumen de control permanece constante (y, por lo tanto, 8 E sistema . 9" y la cantidad de energía que entra a un volumen de control en todas las formas debe ser igual a la cantidad de energía que sale de ese volumen! ntonces, para un proceso de flujo estacionario, la forma de balance de la ecuación general de la energía se reduce a E ent – E sal ! Sabiendo que la energía solo se puede transferir por trabajo, masa y calor, el balance de energía para un volumen de control de flujo estacionario se da por
a energía total de una corriente de un fluido en movimiento, por unidad de masa es ecorrienteh"ec"ep donde h es entalpia, ep energia potencial, y ec energia cinetica! as energías cintica y potencial suelen ser muy peque:as en relación con la entalpía y, por lo tanto, es práctica com0n despreciarlas! /ara el análisis se considerara que la densidad, el calor específico, la viscosidad y la conductividad trmica del fluido son constantes! ntonces la energía del fluido por unidad de masa se puede e#presar como ecorrienteh# p$% a energía es una cantidad escalar y, por tanto, las interacciones relativas a la energía en todas direcciones se pueden combinar en una ecuación! /uesto que el gasto de masa del fluido que entra
en el volumen de control desde la i$quierda es ) u(dy&+", la ra$ón de la transferencia de energía hacia el volumen de control por la masa en la dirección x es
Se repite este análisis para la dirección y, y al sumar los dos resultados decimos que la transferencia neta de energía por masa es
a ra$ón neta de la conducción de calor hacia el elemento de volumen en la dirección x es
;ismo análisis para y, suma de resultados y decimos que la transferencia de energía por medio de calor neta es
peque:os y, en muchos casos, se pueden despreciar! n especial, ste es el caso para las aplicaciones relacionadas con velocidades bajas o moderadas!
