REPÚBLICA BOLIVARIANA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PANAMERICANA DEL PUERTO (UNIPAP) EXTENSIÓN CARORA
INTEGRANTES: JAIMAR PIÑANGO. C.I. V-25.5!.2"! V-25.5!.2"! ESP.: CERVECER#A
CARORA$ JULIO DE 2%"5 LAS ECUACIONES DI&ERENCIALES (E.D.)
Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser !rdinarias y "arciales.
•
U' *+*,' D,/'*,0 O/1,'/,: Es aquella ecuaci#n que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Ejemplos:
El orden de una ecuaci#n diferencial está determinado por el orden de la derivada más $rande dentro de la ecuaci#n diferencial.
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E*+*,'3 D,/'*,03 P/*,0. %on aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. E&emplo
'na ecuaci#n ordinaria o parcial se puede clasificar se$ún el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuaci#n.
E&emplos
Es una ecuaci#n diferencial ordinaria de se$undo orden.
!tro e&emplo pero en derivadas parciales es el que a continuaci#n se presenta, se trata de una ecuaci#n diferencial parcial de tercer orden.
O/1' 1 0 *+*,' El orden de la derivada más alta en una ecuaci#n diferencial se denomina orden de la ecuaci#n. E&emplos !rden y' + y(x) = f(x) !rden y''+ 4y =0 !rden * xy''' - 2xy'' + 4y' = 0
G/1 1 0 *+*,' Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuaci#n, siempre y cuando la ecuaci#n esté en forma polin#mica, de no ser as+ se considera que no tiene $rado.
E*+*,' 1,/'*,0 0,'0 %e dice que una ecuaci#n es lineal si tiene la forma,
es decir •
•
•
i la funci#n ni sus derivadas están elevadas a nin$una potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas s#lo interviene la variable independiente. 'na combinaci#n lineal de sus soluciones es también soluci#n de la ecuaci#n.
E&emplos •
es una ecuaci#n diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones cualquiera.
•
es una ecuaci#n diferencial ordinaria lineal de se$undo orden, tiene como con a y b reales.
•
, con k un número real
soluciones
,
es una ecuaci#n diferencial ordinaria lineal de se$undo orden, tiene como soluciones
, con a y b reales.
T,43 1 30+*,'3 'na soluci#n de una ecuaci#n diferencial es una funci#n que al reempla-ar a la funci#n inc#$nita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuaci#n, es decir, la convierte en una identidad. ay tres tipos de soluciones
. S0+*,' '/0 una soluci#n de tipo $enérico, expresada con una o más constantes.
S0+*,' '/0 Es un /a- de curvas. 0iene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante
corresponde
a una
familia
simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuaci#n sea lineal, la soluci#n $eneral se lo$ra como combinaci#n lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuaci#n) de la ecuaci#n /omo$énea (que resulta de /acer el término no dependiente de
ni de sus derivadas i$ual a 1) más una soluci#n particular de la
ecuaci#n completa. . S0+*,' 4/6,*+0/ %i fi&ando cualquier punto
por donde
debe pasar necesariamente la soluci#n de la ecuaci#n diferencial, existe un único valor de 2, y por lo tanto de la curva inte$ral que satisface la ecuaci#n, éste recibirá el nombre de soluci#n particular de la ecuaci#n en el punto
, que recibe el nombre de
condici#n inicial.
S0+*,' 4/6,*+0/ Es un caso particular de la soluci#n $eneral, en donde la constante (o constantes) recibe un valor espec+fico. . S0+*,' 3,'+0/ una funci#n que verifica la ecuaci#n, pero que no se obtiene particulari-ando la soluci#n $eneral.
S0+*,' 3,'+0/
%oluci#n de la ecuaci#n no consistente en una particular de la $eneral.
