Control de Calidad i Corte

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Universidad del magdalena Material educativo I

1. Un proceso productivo consume solo el 75% del ancho de banda de las especificaciones y cada hora se producen 500 unidades. a) ¿Cuántos productos no conformes por hora arroja el proceso cuando su media esta a una desviación estándar del valor nominal? b) ¿Qué tan alejada puede estar la media del proceso respecto al valor nominal para que al cabo de una hora se hayan producido 25 unidades defectuosas? defectuosas? c) Si el Cp del proceso se redujera en un 25%, ¿Cuál es la máxima probabilidad de encontrar a lo sumo dos productos no conformes durante la producción de las próximas dos horas? Solución 1 (según Vicente Carot Alonso, control estadístico, Pg 457)

Grafica del problema: proceso con media separada a una desviación estándar del valor nominal.

̅  min̅           ̅  ̅                                 

a) Sabemos que: Pero Donde

Por otra parte el ancho de banda es:

Por todo lo anterior:

1


          

Como es de nuestro conocimiento y además se ilustra en la grafica: Por tanto, si observamos la situación según se plantea en este ejemplo(ver grafica):

 ̅̅         Por otra parte y de forma parecida:

Entonces:

̅         ̅    ̅  min̅      min      min min       

Ahora veamos cual es la probabilidad de que ocurra un producto no conforme:

                    ̅                   

Calculando las probabilidades probabilidades individualmente

La otra probabilidad es:

̅          2


Esto es:

                   

Sumando las 2 probabilidades calculadas se obtiene:

Si se producen 500 productos/hora la cantidad de producto no conforme en una hora es:



Se puede esperar que este proceso arroje 1 producto no conforme por hora de producción.

Este problema se puede abordar de otra manera: Solución 2: Sabemos que:

  min     ̅            ̅                 Pero si se mira desde el LIE

Ahora el ancho de banda es:

 

Para el limite inferior se tiene la siguiente situación:

3


Al reemplazar

       ̅    ̅  



Entonces:

Entonces para el límite más cercano (superior) a la media del proceso se tiene:

Al reemplazar a

Entonces:

        ̅ ̅   ̅   ̅  min̅      min     min      

De aquí en adelante se procede de la misma forma que con el método anterior. b) Para que ocurran 25 unidades defectuosas se debe cumplir que.

Reemplazamos a

           ̅ ̅        ̅        ̅   

Se obtiene el valor Z de una tabla o de Excel. Reemplazamos a Z

4


̅ ̅   ̅       

Tomamos el valor crítico que es cuando se cumple la igualdad

Además:

Igualamos (1) y (2).

̅̅     ̅   

La media del proceso debe estar alejada del valor nominal para que se produzcan 25 productos no conformes en una hora. c) Si se reduce el Cp en un 25%

         ̅    ̅  

Para el límite inferior se tiene la siguiente situación:

Al reemplazar



Entonces:

Entonces para el límite más cercano (superior) a la media del proceso se tiene:

Al reemplazar a

Entonces:

      ̅ ̅   ̅   ̅  min̅      min    min

Las probabilidades relacionadas son las siguientes:

5


   ̅         La otra probabilidad es:

Esto es:

̅                 

Sumando las 2 probabilidades calculadas se obtiene:

Ahora observemos que lo que se pide se puede analizar como experimento de Bernoulli donde nuestro Éxito es que ocurra un producto no conforme. Sea X=numero de productos no conformes en los siguientes 1000 ensayos Se puede aproximar a una distribución normal mediante la siguiente formula

Luego,

  √      √    6


es una prestigiosa empresa líder en cosméticos. Cohen ’s es un ’s se ajusta a una distribución normal y se conoce que el .

2. Cosmetic Cohen labial y es el producto más importante de la empresa. El proceso de corte de Cohen 2328% de los labiales tienen una longitud que excede los 105mm, mientras el 30.8537% excede los 103mm. Las especificaciones con las que deben cumplir la longitud de los labiales son 100.5±10.5mm. Durante la producción, una vez cortado el labial y en caso de que su longitud exceda el límite superior, esta se podría reducir para que cumpla con las especificaciones. La producción de cada labial genera un costo de $2 dólares y cada unidad se vende en $20 dólares. Si es necesario recortar un labial se incurre en un costo de $0.5 dólares en una operación que tiene una efectividad del 80%, pero aplicable una única vez en cada labial. Cada unidad no conforme pasa a ser parte de la materia prima de otros productos, pero se incurre en un costo de $1.5 dólares. Suponga que mensualmente los costos y gastos fijos son de $15 000 dólares. a)

Realice un estudio detallado del proceso de corte del Cohen ’s donde se

muestre: Porcentaje de productos no conformes. Capacidad del proceso y capacidad real del proceso, además sus interpretaciones. Tipo de proceso y recomendaciones.  



b) Calcule el costo de producción promedio de un labial conforme y el punto de

equilibrio de Cohen ’s.

c) Determine el mínimo Cp que permitirá que estando el proceso de corte centrado, el producto tenga un punto de equilibrio por debajo de 839 unidades. d) Se sospecha que la media de la longitud de los labiales ha cambiado debido al desgaste de una pieza de la herramienta de corte, por tal motivo se tomaron 25 labiales al azar y se encontró que la media en la longitud fue de 97.648mm. ¿Se puede concluir que existe evidencia que indique que la media ha cambiado? e) Se toman 4 muestras, cada una de 25 labiales escogidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en al menos dos muestras la media en la longitud de los labiales exceda los 102mm? Solución:

       7


̅     ̅    ̅̅     Además

Igualamos (1) y (2)

De (1)

         ̅     ̅    ̅ ̅           ̅̅   

          ̅   ̅  min         min      min                

a)

8


 Conclusión: El proceso no es capaz, se están produciendo productos no conformes por ambos limites pero en mayor proporción por el límite inferior, el proceso es tipo 4, es necesario hacer una análisis completo y rediseñar el proceso para que pueda cumplir con las especificaciones. b)

c)

              ̅              Si el proceso está centrado entonces:

Entonces el costo es:

             

El precio de venta promedio es:

9


Y por tanto

             ̅     ̅                  

3. Happy Time es una tienda de regalos y alguno de sus clientes han presentado quejas por fallas en los globos inflables, pues no soportan la presión del aire de llenado y estallan antes de estar totalmente inflados. Carita Feliz es el gerente de Happy Time y ha llamado a su proveedor de globos

para que rinda cuentas por las fallas que presenta su producto. El proveedor entrega la siguiente información relacionada con el proceso de producción de los globos: proceso bajo control estadístico, diseñado y monitoreado con tamaños de muestra 6. Presenta una media de 200mm en el radio máximo que tomaran los globos una vez inflados y un rango promedio de 20.272mm. Según el proveedor, las especificaciones de calidad con las que deben cumplir el radio máximo de los globos son 180mm y 210mm a una presión de 100 psi. Con la información anterior ayude a interrogantes y cuestionamientos.

Carita Feliz a resolver los siguientes

a) ¿Cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿Puede cumplir con las especificaciones? b) ¿Cuál es la capacidad real del proceso? ¿Qué tipo de proceso es? c) De no cumplir con las especificaciones, ¿Cuál es el porcentaje de globos no conformes? ¿Se puede reducir este valor? ¿Cómo y cuál seria la mejoría? 10


d) ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que se producen por encima del limite superior cuando por debajo del limite inferior se esta produciendo un 2%? e) ¿Cuál es el rango de valores en los que puede mover la media del proceso de fabricación de los globos para que se produzcan al menos el 88% de globos conformes a las especificaciones? f) ¿Cuál es el mínimo Cp que permitirá que el proceso estando centrado, produzca a lo sumo un 2% de globos no conformes? g) Se toman 10 globos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no mas de la mitad de ellos fallen por no soportar la presión de 100 psi? 4. Un proceso produce solo un 85% de productos c n zgh 1||onformes. Determine su Cp si se conoce que el porcentaje de productos no conformes por un lado es el doble del porcentaje que hay por el otro. Solución:

       ̅         ̅        ̅ ̅ 

para el límite superior supongamos que por aca se arroja una proporción P de productos no conformes, entonces:

Entonces:

Se obtiene Z de la tabla

Para el límite inferior supongamos que por aca se arroja una proporción 2P de no conformidades.

   ̅   ̅      ̅ 

Entonces

Sumando (1) y (2)

11


Ahora

             

5. Wonka es una chocolatera. La calibración del peso de las barras de chocolate se ha vuelto un dolor de cabeza para la empresa. Las especificaciones en el peso mínimo y máximo de las barras son 11.2g y 15.8g respectivamente. Actualmente se producen 11.5069% y 3.0974% de barras de chocolate que no cumplen con las especificaciones en el peso; el primer porcentaje supera al valor máximo permitido y el segundo porcentaje está por debajo del mínimo valor permitido. Se va a adquirir una nueva maquinaria que incrementara el Cp actual en un 60% y tendrá un costo de $500 millones. Wonka opera en dos turnos diarios de 4 horas cada uno, 20 días al mes y su tasa de

producción es 600 barras de chocolate por hora. La producción de cada unidad le cuesta $400 y toda unidad no conforme se devuelve a la cadena productiva, pero antes se penaliza con un costo igual al 40% del precio de venta de cada chocolatina. a) ¿Cuál es el precio de venta que permitirá que la nueva maquina se pague así misma en 5 años? b) Determine el Cp que debería tener el proceso una vez centrado, para que el costo promedio de producir una unidad conforme sea de $420 y a su vez los ingresos por venta sean maximizados. Tenga en cuenta que Wonka vende cada unidad en $500 y tiene actualmente una demanda de 700 mil chocolatinas, pero por cada peso que se disminuya en el precio de venta la demanda aumentara en mil unidades. 6.

¿En que porcentaje α se debe aumentar el Cp de un proceso para que vari a bi l i d ad α? se reduzca en un porcentaje 1Solución: La variabilidad está representada por sigma, por tanto, la reducción de la La condición inicial es: variabilidad es:

           

)

Ademas, Al reemplazar el nuevo sigma

12


Completando cuadrados

                                          

7. Un proceso de manufactura tiene un tolerancia de 60 y solo es consumida el 80% de ésta. La media del proceso es 214 y está 1.75 desviaciones estándares por encima del valor nominal. a) ¿Cuál es el porcentaje actual de productos no conformes? b) ¿Qué valores en la media del proceso permitirán que se produzcan al menos el 95% de productos conformes? c) ¿Qué valor mínimo del Cp permitirá que el proceso estando centrado produzca al menos el 95% de productos conformes? Solución: a)

    13




, entonces al reemplazar y despejar

   



Si esta a 1,75 desviaciones por encima del valor nominal, es obvio que se encuentra mas cercana al LSE o sea que es más probables que ocurran no conformidades por encima del LSE que por debajo del LIE. De la grafica se puede inferir que:

Ahora bien:

Al reemplazar:

 ̅          ̅          ̅  min̅      min     min        

Vemos que las no conformidades ocurrirán por el LSE como se sospechaba en un principio:

̅          Remplazando valores:

    b) Si el proceso esta movido a la derecha del valor nominal se analizaran los valores de que satisfacen esta condición inicial y que generan una proporción de conformidades mayor al 95%.

̅

Sabemos que: PC+PNC=1 si PC=0,95, entonces PNC=0,05

̅         14


̅       ̅       ̅    ̅ ̅   ̅   ̅     ̅  ̅      ̅ Despejando

Reemplazando los valores correspondientes

Sabemos que el valor nominal es:

Como:

Al reemplazar el LSE

Si el proceso esta movido a la izquierda del valor nominal se analizaran los valores de que satisfacen esta condición inicial y que generan una proporción de conformidades mayor al 95%. Sabemos que: PC+PNC=1 si PC=0,95, entonces PNC=0,05

̅         ̅       ̅    ̅ ̅   ̅     Despejando

Sabemos que el valor nominal es:

Como:

15


Al reemplazar el LSE

̅        ̅

Por tanto, para obtener al menos un 95% de productos conformes, se debe mantener en el siguiente intervalo.

̅

̅

c) Como el proceso está centrado, se debe suponer que las probabilidades de defectos por el LSE son iguales a las probabilidades de no conformidades del LIE. Sabemos que:

   

Digamos que por cada límite de especificación se arroja una proporción P de no conformidades, como se desea un 95% de conformidades, entonces se debe plantear lo siguiente:

Para el LSE

Para el LIE

Igualando

̅

     ̅   ̅          ̅     ̅    ̅      ̅   ̅   ̅        ̅    ̅      ̅                 16


          

Luego

8. ¿Cuál es el Cp de un proceso que produce un 10% de productos no conformes, si por fuera de uno de los límites de especificación hay un 6% más de productos no conformes que por el otro? Solucion: En este caso se debe plantear que:

      

Para el límite superior supongamos que este es el que está arrojando mayor cantidad de PNC.

Para el LIE

Igualando

Luego

̅

̅           ̅       ̅     ̅    ̅      ̅   ̅   ̅        ̅    ̅      ̅               

17


          9. “El Campeón” es un famoso y reconocido veneno en la lucha contra insectos y roedores. En sus principios no era mas que un simple matarratas, pero en la actualidad su uso se extiende hasta algunos insectos no deseados en el ambiente domestico. El porcentaje de arsénico presente en el producto condiciona la calidad y efectividad de éste. El producto con un contenido entre 16% y 24% de arsénicos se la da la calificación C y es el más común en el mercado contra roedores; La calificación B se le da al producto con contenido entre 24% y 28% de arsénico y debido a su alta concentración es utilizado para evitar el crecimiento bacteriano y la proliferación de mosquitos en lugares húmedos; La calificación A se le otorga al producto cuyo contenido de arsénico oscila entre 10% y 16% y es usado en la lucha contra cucarachas, las cuales detectan con facilidad las altas concentraciones de arsénico, pero son presa fácil a las bajas concentraciones. El producto con porcentaje de arsénico por debajo del 10% debe ser enriquecido bajo un proceso cuya efectividad es del 70% y tiene un costo de $5000 por kilogramo procesado. Por otro lado, es un muy costoso para le empresa tener un producto con un porcentaje de arsénico por encima del 28%, por lo que debe ser sometido a un empobrecimiento y menguar la alta riqueza de arsénico presente en él; este proceso es efectivo en un 80% y tiene un costo de $ 3000 por kilogramo de sustancia. Los residuos de los dos procesos anteriores son tratados para su aprovechamiento y las sustancias recuperadas pasan a ser nuevas materias primas de otros productos, es este proceso se carga un costo de $1000 por kilogramo.

El proceso productivo de “

” es

un poco complejo, en este es creada una mezcla altamente viscosa que no alcanza la total homogeneidad. Después del proceso de deshidratación se forma una masa solida llamada sustancia base. Por la forma como es divida esta masa para su procesamiento y en base a estudios realizados con anterioridad, se conoce que el porcentaje de arsénico se halla distribuido ajustándose a una distribución normal con media de 20% de arsénico y una desviación estándar del 5%. Diariamente son procesados 100Kg de sustancia El Campeón

base en lo que se generacesosunrealcostoizadosde $’a lasustanci .. aLabaseclasigeneran ficaciónotros en sus$’dif.erentes . calidades y otros pro

“El Campeón” en calidades A, B y C es distribuido en diferentes presentaciones: la

calidad C se distribuye al menudeo en sobres de pastillas de 20g y su precio de venta es $1000; mientras que las calidades A y B se distribuyen en grandes almacenes en envases plásticos de 250g del producto en polvo. La calidad A tiene un precio de venta de $ 30.000 y la B de $ 27.500. a) ¿Cual es el índice de capacidad del proceso? b) ¿Cuál es el costo promedio de producción de 1 Kg de sustancia apta para comercializar? 18


c) ¿Cuál es la utilidad bruta esperada por cada Kg de sustancia comercializada? d) ¿Centrar el proceso productivo favorece a una mejoría para éste? ¿Por qué? e) Se estudian dos propuestas que buscan mejorar desde el punto de vista económico la situación actual del proceso productivo del producto. 



Incrementar en un 2% el porcentaje promedio de arsénico en la sustancia base. Disminuir en un 2% el porcentaje promedio de arsénico en la sustancia base.

Se tomaran como criterios de decisión: Costo promedio de producción de sustancia comercializable. Utilidad bruta promedio de sustancia comercializable. Ignorando los costos de implementación de las propuestas, para cada criterio tome una decisión. f) Una maquinaria nueva aumentaría la capacidad del proceso actual en un 25%,  

pero su alquiler mensual seria de $’.. ¿Vale la pena alquilar la maquina nueva? Suponga que se labora 20 días al mes. Solucion: a)

b)

̅             ̅  min̅      min     min         Costos

C.de producci o n y cl a si f i c aci o nC.de aumentar el  C.C.dede direaprovechami sminuir el porcentaj e ento de sustancias 19


Costoskg   kg C  kg$ C  kg$  (CC) kg$ C C C z ̅ C z z ̅ C z LE   ̅ C z LE   C z  Costoskg   kg  kg$  kg$  () kg$

Calculemos

y

.

Por otro lado

Al reemplazar los valores se obtiene

  700000+113,5+0,3+8,33=70295

10. Usted es el gerente de producción de la prestigiosa empresa de licores Lacra . La estimación de la media y variabilidad del volumen de llenado de las botellas de 750ml se realiza mensualmente en base a la toma de mil muestras, cada una de 20


tamaño 4, durante diez días. Las especificaciones en el volumen de llenado de estas botellas admite un error máximo de 10ml. Durante los primeros 8 días se han tomado 750 muestras y los resultados fueron una media de 744ml con un rango promedio de 8.236ml. Usted aunque aun tiene se ese

tidienmpoero” para termi n ar el muestreo deci d e no compl e tarl o para “ahorrar y en su remplazo simulará la toma de los muestras restantes para luego

presentar su informe donde mostrará que la media en el volumen de llenado cumple con el valor nominal y que la variabilidad del proceso es 3 ml. Información del departamento de costos muestra que el llenado de cada envase le cuesta a la empresa $1000 y los errores en éste son solucionados de manera manual por operarios especializados y se carga un costo por unidad de $200. Durante el muestreo se puede volver a calibrar la maquina si la media en el volumen de llenado no es el valor nominal; pero dicho procedimiento necesita de una cantidad de tiempo significativo, durante el cual se perdería mucho dinero al parar la cadena productiva, así de ser necesaria la calibración se haría una única

vez y según el departamento de costos esto costaría alrededor de $’..

Lacra produce mensualmente 2500 cajas de 12 botellas cada una y se desea saber si su manera de actuar fue o no fue acertada, por lo que es necesario dar respuesta a los siguientes interrogantes. a) ¿Cuál debe ser la media y el rango promedio de los datos simulados que permiten presentar los resultados del informe? b) ¿Qué se puede concluir y esperar del proceso de llenado a la luz de la información presentada por usted? c) ¿Cuál es la situación real del proceso? d) A pesar de que usted mintió en la presentación de los resultados, ¿lo hizo en busca de un beneficio económico para la empresa? e) Determine el máximo costo de la calibración por debajo del cual su manera de actuar es totalmente deshonrosa para con la empresa.

11. Demuestre que: a) b) c)

        

para todo proceso centrado.

Solucion:

a) Sabemos que:

21


Por tanto,

̅     ̅     ̅ ̅               ̅̅      ̅     ̅    ̅ ̅ ̅        ̅          ̅  ̅     ̅                   ̅       ̅

b) Sabemos que:

c) Si el proceso está centrado entonces.

Para el LSE

O lo que es lo mismo

Para el LIE

22


               

1.

.̅.

a) 0.675 b) 2.355 c) 0.4936 2. a)

 ̅   

;

%PNC=8.1166%; Cp=0.5833; Cpk=0.5555; Tipo 4. b)

.. $.        .

c) Cp(min)=0.655 d) e) 0.01285 3. a) 0.625; No b) 0.41666; Tipo 4

c) 11.1859%; SI; 5.10667% Una vez centrado. d) 4.4919% e) f) 0.7754 g) 0.9997247 4. Cp=0.4875 5.

̅   . . .̅. a) P=$535.64 b) Cp=0.722

6. 7.

a) 2.275% b) c) Cp(min)=0.65332 8. Cp=0.60166 9. a) Cp=0.6

23


 ̅ $.   $.    ̅      ̅    ̅    

b) c) d) Si, e) Ninguna f) Si 10.

2%

a) b) Cp=1.111; %PNC=0.0853%; Tipo 2 y Centrado. c) Cp=0.8333; %PNC=15.866%; Tipo 3 y descentrado. d) Si e) $877440

24

Control de Calidad i Corte

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