Geomecánica
Auxiliar 1. Esfuerzos 2D / 3D – 3D – Deformaciones Deformaciones – – Lab Lab roca intacta - Esfuerzos in situ
Tensor de esfuerzos 2D y 3D
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Auxiliar 1. Esfuerzos 2D / 3D – Deformaciones – Lab roca intacta - Esfuerzos in situ
Rotación de esfuerzos
Esfuerzos principales
Esfuerzo normal y de corte para un plano dado
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Problema 1 Para el estado de esfuerzos mostrados a continuación determine: a) b)
Esfuerzo normal y de cizalle en el plano A. Esfuerzos principales y la inclinación del esfuerzo principal mayor con respecto al eje x.
A
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Problema 2 En un lugar determinado, se midió el siguiente tensor de esfuerzos:
xx
15 MPa
yy
10 MPa
zz
7 MPa
zx
3 MPa
yz
0
xy
0
Para el tensor anterior se pide: (a) Calcule los esfuerzos actuando sobre una falla con orientación 35°/90° (D/DD), si se tiene que el Norte corresponde al ejê y y el Este al ejê x. (b) Calcule los esfuerzos principales y sus respectivas direcciones con respecto a los ejes cartesianos (x, y, z).
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Problema 3 Un paralelepípedo de dimensiones a = 3 cm, c = 4 cm, constituido por un material homogéneo elástico se aloja en una cavidad de la misma forma y dimensiones, cuyas paredes son de un material lo suficiente rígido para poderlo suponer indeformable. Sobre la abertura de la cavidad de dimensiones axb y atreves de una placa rígida de peso y rozamiento despreciables se aplica, perpendicularmente a ella, una fuerza F = 200 N que comprime al bloque elástico. Si
v 0.3
E 2 *10^ 4 N / cm
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Problema 4 La unidad de cuerpo libre mostrado en la figura está sujeta a un campo de esfuerzos actuando de forma paralela a los ejes de referencia sobre la cara visible del cubo. Completar el diagrama de cuerpo libre, insertando los componentes de esfuerzos y especificando los seis componentes relativos a los ejes x, y, z. A.
7 ,866
x 1,857
y
0,012
z 1,422
6,308 7,825
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Solución: Problema 4 Esfuerzos normales
7 ,866
Esfuerzos de corte
x y 1,857
0,012
xyz
z
1,422
7,825
6,308
7,825 1,422 1,857 1,422 6,308 0,012 1,857 0,012 7,866
xyz
xx yx zx
xy yy zy
xz
yz zz
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Solución: Problema 4 Los cosenos directores del sistema de referencia en l, m, n relativos al sistema de referencia x, y, z son: B.
l x 0,281 l 0,597 y l z 0,751 Determinar los esfuerzos
m x 0,844 m 0,219 y m z 0,490
m n l ,
,
n x 0,457 n 0,771 y n z 0,442
relativo a los componentes de esfuerzo en x, y, z .
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Solución: Problema 4
0,281 0,597 0,751 R 0,844 0,219 0,490 0,457 0,771 0,442 ll lm ln
ml mm mn
0,281 0,844 nm 0,457 nn nl
Matriz de rotación
ll lm ln
ml mm mn
l x nm m x nn n x nl
l y m y n y
l z xx
m z yx n z zx
xy yy zy
xz l x
yz l y zz l z
1,857 0,281 0,844 0,457 0,219 0,490 1,422 6,308 0,012 0,597 0,219 0,771 0,771 0,442 1,857 0,012 7.866 0,751 0,490 0,442 0,597
0,751 7,825
1,422
m x
n x
m y
n y
m z
n z
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Propuesto: Se tiene las siguientes componentes de esfuerzo en un punto.
σxx = 20 MPa σyy = 28 MPa σzz = 16 MPa txy = -0,6 MPa tyz = 6,0 MPa txz = -2,1 MPa Determinar los esfuerzos principales y la dirección de los cosenos directores.
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Roca Intacta Esfuerzos in-situ
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Problema 5 Asumiendo un material isótropo, lineal y elástico determine que trayectoria de esfuerzos - permitiría estimar el módulo de deformación de corte G, mediante la medición del esfuerzo axial y la deformación axial en un ensayo de compresión triaxial, es decir, para que se cumpla que 1
G
1
2 1
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Problema 6 Se sospecha que en un sitio el estado de esfuerzos es litostatico. i) Utilizando la ley de Hooke para un material lineal-elástico demuestre que para estas condiciones:
k
h v
1
ii) Posteriormente la erosión ha removido una altura de material igual a ΔH. Si el esfuerzo horizontal inicial permanece ¨lock-in¨, es decir, inalterado durante la erosión, calcule la nueva razón entre las tensiones horizontal y vertical k a la profundidad original H. Grafique la variación del nuevo coeficiente k con la cantidad de erosión DH/H. La siguiente figura presenta la superficie de terreno original en conjunto con la cantidad de erosión Superficie de terreno original
iii) Una medición de esfuerzos ha sido realizada en el sector a una profundidad de 500 m, determinado una razón de esfuerzos k=1,5. Utiliz do la ió deri da (ii) lcul la idad de ió ha rido
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Problema 7 Explicar para que tipo de material, continuo, isótropo, homogéneo, lineal y elástico se cumple que:
G
E
2(1 v )
Elasticidad: el material vuelve a su posición original una vez retiradas las cargas El caso de corte puro es un resultado de deformaciones
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Formulas útiles:
vl l x v m m x vn n x
l z v x
l y
xx
m z v y n z v z
m y n y
yx
ml mm mn
nl
l y
l z xx
xy
nm
l x m x nn n x
m y
m z yx
yy
n y
P x xx P y yx P z zx xx yx zx
xy yy
zy
n z zx
zy
xz l x
m x
n x
yz
m y
n y
l y zz l z
m z
x yz y zz z
xy
xz
yy zy
x 0 yz y 0 zz z 0 xz
xy yy
zx
lmn R xyz R t ll lm ln
n z
3
xz
0
yz
zy
zz
I 1 2 I 2 I 3 0
1 , 2 , 3
I 1 xx yy zz
I 2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx 2
2
2
I 3 xx yy zz 2 xy yz zx xx yz yy zx zz xy x1
A A
yy
1
yz
yz zz
1
x1 A
2
y1
B
B
z1
C xy zx
2
2
2
K yz zz
1
C
xy zx
yy
y1 z1 1 2
2
B
1
yz
C
