5 Cinétic Cinética a de los Cuerpos Cuerpos Rígidos Rígidos Un cuerpo rígido es un caso caso especial de un sistema de partículas. Es un cuerpo en el cual las distancias entre todas las partículas permanecen constantes bajo la aplicación de un sistema de fuerzas externas. El cuerpo rígido conserva conserva su forma, antes, durante, y después del movimiento. Se recuerda que el movimiento más general de un cuerpo rígido es la suma de una traslación del punto O del cuerpo rígido, más una rotación en torno al punto fijo O. En todo caso puede encontrarse un punto de traslación con respecto al cual el cuerpo rígido sólo rota, el CIR.
5.1 Traslación En traslación todos los puntos del cuerpo rígido se mueven con igual velocidad y aceleración. El punto escogido para el análisis será el centro de masa, puesto que, del sistema de partículas se sabe que el centro de masa se mueve según la ecuación. n
∑=
r
Fi
i 1
n
∑=
=
d (m G v G ) = m G a G dt r
r
n
= ∑ miai r
i =1
n
r
MG = 0,
entonces
i 1
∑=
r
Fi pasa por G.
i 1
5.2 Rotación Antes de analizar las ecuaciones de la rotación pura se necesitan algunas definiciones que aparecen en las ecuaciones de movimiento de los cuerpos rígidos.
5.2. 5.2.1 1 Momentos y prod uctos de inercia de masa Los momentos y los productos de inercia representan una medida de la resistencia que presentan los cuerpos rígidos al movimiento de rotación (aceleración rotatoria), dependen de la masa del cuerpo y su posición po sición con respecto al eje desde el cual se q uiere medir esta resistencia. Se considera un cuerpo rígido en e n un sistema de coordenadas x,y,z (ver Figura 5.1): Y
r
r y mi y r
r z
r
x
r x
z
Z
Figura 5.1
X
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
Se define:
Los momentos de inercia con respecto a Los
productos
de
inercia:
Ι XX = ∫ r x2 dm = ∫ (y 2 + z 2 ) dm
x,y,z representan las distancias entre el elemento de masa dm y los planos yz, zx, xy. Ι XY = xy dm
Ι YY = ∫ r y2 dm = ∫ (x 2 + z 2 ) dm
Ι YZ
Ι ZZ = ∫ r z2 dm = ∫ (x 2 + y 2 ) dm
Ι ZX
los ejes X, Y, Z.
∫ = ∫ yz dm = ∫ zx dm
Las integraciones anteriores se efectúan sobre toda la masa del cuerpo. De lo anterior, se observa: -
Ι XX , Ι YY , Ι ZZ
son siempre positivos.
-
Ι XY , Ι YZ , Ι ZX
pueden ser positivos o negativos.
-
Ι XY = 0
si el eje X o el eje Y o ambos son ejes de simetría (ver Figura 5.2).
dm +y
Eje de simetría x
-y
dm Figura 5.2
A. RADIO DE GIRO A veces se expresa el momento de inercia en términos del radio de giro i. El radio de giro representa la distancia del eje a la cual se concentra la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia:
Ι XX = i 2x m Ι YY = i 2y m
Ecns 5.1 (Formulario)
Ι ZZ = i 2zm Donde:
m = la masa total del cuerpo rígido.
54
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
B. TEOREMA DE L OS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER ) Se ve que los momentos de inercia dependen de la posición de los ejes con respecto a los cuales se mida. A veces es necesario cambiar el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado para que sea con respecto a otro eje.
Ι XX , Ι YY , Ι ZZ , con respecto al sistema O,X,Y,Z se quiere obtener las inercias con respecto a 0’X’Y’Z’, es decir, Ι X'X' , Ι Y'Y' , Ι Z' Z' (ver Figura 5.3). Para un conjunto dada de
Para la deducción completa del teorema de Steiner (ver Anexo 5).
Y dm Y’
r
r r
r '
O
X
r
r O
O’
Z
X’
Z’ Figura 5.3: Ejes paralelos
Desde la deducción en el Anexo 5, es posible llegar a la forma generalizada del Teorema de Steiner:
Ι Z0 = Ι ZG + mh 2 Donde:
Ecn 5.2 (Formu lario)
ΙZO = el momento de inercia con respecto a un eje que va en la dirección z y pase por un punto cualquiera O.
ΙZG = el momento de inercia con respecto a un eje que va en la dirección z pasa por el centro de masa G. h = la distancia entre los ejes paralelos.
55
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
La Figura 5.4 muestra más ejemplos del teorema.
1
Z
Ι Z = Ι ZG + mh 2ZG
h1G
2 Ι 1 = Ι 1G + mh1G
G
X hzG
1
Y Figura 5.4: Teorema de Steiner
Teorema: El momento de inercia en torno a un eje cualquiera es igual al momento de inercia en torno a un eje paralelo que pasa por G, más m veces la distancia al cuadrado entre ambos ejes (ver Figura 5.5).
ω, α A
ΙzCIR = ΙzG+mr
2
G
Ι zA = Ι zG
r
y
y x
L
G
⎛ L ⎞ + m⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
x CIR
Figura 5.5: Ejemplos del Teorema de Steiner
56
2
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
C. MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS Los momentos de inercia de cuerpos compuestos se calculan aplicando el teorema de los ejes paralelos, es decir, se obtiene la inercia total como la suma de las inercias simples con respecto al eje que se desea conocer. x
hB GB
h A G A
hC
GC
y
z Figura 5.6: Cuerpo Compuestos Donde:
Ι T = Ι AG + ΙBG + Ι CG + h A2 m A + hB2 mB + hC2 mC
5.2.2 Dinámic a de Rotació n Pura Se considera un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje Z, con velocidad angular Cada una de sus partículas describe una órbita circular con centro en el eje Z.
r
ω
.
Z
ω r
r
vi
r i
Figura 5.7: Rotación Pura Se puede mostrar (ver Anexo 5) que, cuando un cuerpo rota alrededor de un eje fijo con velocidad angular ω que:
∑ Donde:
∑
r
Ho
= Ι ωω r
Ecn 5.3
r
Ho es la suma del momentum angular con respecto al eje de rotación.
Ιω es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. 57
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
Y como Ι ω es constante, debido a que la distribución de masa es constante, derivando con respecto al tiempo:
dω dt r
Ιω
= ∑ Mo r
Ι ωα = ∑ Mo r
Entonces: Donde:
Ecn 5.4
r
∑
r
Mo es la suma de momento con respecto al eje de rotación.
5.3 Movimiento Plano Considerando un cuerpo rígido en movimiento plano se puede aplicar:
∑F = m r
r
G
aG
El centro de masa del cuerpo rígido plano tiene sus componentes en x e y.
∑ ∑F ∑F ∑F
F = Fx ˆi + Fy jˆ r
Por lo tanto: En coordenadas rectangulares; En coordenadas intrínsecas; En coordenadas polares;
x
= ma Gx ;
n
= ma Gn ;
r
= ma Gr ;
r
aG
y
= a Gx ˆi + a Gy jˆ
∑ F = ma ∑ F = ma ∑ Fθ = ma θ y
Gy
tg
Gtg
G
Ojo: la aceleración en estas ecuaciones es la aceleración del centro de masa.
Además (para el desarrollo de esta ecuación ver el Anexo 5):
∑M Donde:
∑
= ΙG α r
G
Ecn 5.5 (Formulario )
r
MG = la suma de momento con respecto al centro de masa.
ΙG = momento de inercia con respecto al centro de masa. Estas ecuaciones muestran que la aceleración del centro de masa G y su aceleración angular α se puede determinar fácilmente, al determinar las fuerzas exteriores actuando y el momento exterior resultante. El movimiento de la placa está totalmente determinado por la fuerza resultante y el momento resultante con respecto a G de las fuerzas exteriores.
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Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
5.3.1 Movimiento de rodadur a Otro caso importante de movimiento plano es el movimiento de un disco o una rueda rodando sobre una superficie. Si se restringe al disco a que ruede sin resbalar, la aceleración del centro de masa G del disco y su aceleración angular son dependientes:
α, ω
aG = r α vG = r ω
r
r
G CIR
Figura 5.8: Un disco que rueda sin deslizar La magnitud de la fuerza de roce (f r ) puede tener cualquier valor, pero no debe ser mayor que: f r máx = µestN Cuando el disco rueda y resbala, existe movimiento relativo entre el punto del disco que µN. está en contacto con la superficie y la superficie, y f r = En este caso a G y α no son dependientes: r
r
1. Rueda sin resbalar
→
f r < µestN
→
aG = r α
2. Resbalamiento inminente
→
f r = µestN
→
aG = r α
3. Rueda y resbala
→
f r = µcinN
→
aG ≠ r α
Si el disco estuviera desequilibrado (ver Figura 5.9), o sea G y 0 no coinciden no se cumple la relación entre a G y α . Lo que sí se cumple es que: r
r
ω
a0 = r α o
G
Figura 5.9: Un disco desequilibrado Se puede utilizar la expresión del movimiento relativo: r
aG r
aG
= a 0 + a G/0 r
r
= a 0 + α x ρ G/0 + ω x (ω x ρ G/0 ) r
r
r
r
r
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Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
A. FUERZA DE ROCE EN CILINDROS
ω M F M f r
f r
1
2
Figura 5.10: La fuerza de roce debajo de un cilindro en rodadura 1. En el caso que el cilindro rueda sin deslizar (ver Figura 5.10.1), aunque el cilindro se mueva hacia la derecha, la fuerza de roce opone la tendencia al movimiento en el punto de contacto con el piso dando una fuerza de roce hacia la derecha, sobre la rueda o cilindro. 2. Si se aplica una fuerza F (ver Figura 5.10.2), hace que la rueda gira y deslice. De nuevo la fuerza de roce opone el movimiento en el punto de contacto con el piso, pero ahora éste va en el otro sentido y la fuerza de roce apunta hacia la izquierda.
Si el plano es i nclin ado (ver Figura 5.11):
El cilindro deslizará si no hubiese roce
α En el caso que un cilindro rueda sin deslizar por un plano inclinado la fuerza de roce siempre apunta hacia arriba f r
Figura 5.11: El plano inclinado
60
Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
5.4 Trabajo y energía de un cuerpo rígido Para un sistema de partículas se define la energía cinética como:
1 2
K=
n
∑= m v i
2 i
i 1
Para el caso en que se tiene traslación:
⎞ 1 ⎛ ⎜ m i ⎟v 2 2 ⎜⎝ i=1 ⎠⎟
n
K=
1 m i v i2 2 i=1
∑
n
∑
=
Ya que todas las partículas del cuerpo rígido tienen los mismos movimientos:
K=
-
1
m G v G2
2
Para el caso en que se tiene rotación con respecto al eje fijo: 1 2
K=
n
∑= m v i
i 1
vi
= ω x r i
vi
= ωr i
r
r
r
K=
1 2
n
∑=
n
Se recuerda que:
2 i
mi ω2r i2
=
i 1
1 2
n
∑= (m r )ω 2
2
i i
i 1
∑= m r = Ιω 2
i i
i 1
El momento de inercia con respecto al eje de rotación.
Por lo tanto:
K=
1 Ι ω ω2 2
La expresión anterior es válida para cualquier eje de rotación no importa que no sea un eje principal de inercia. El eje de rotación puede ser centroidal o no. -
Para el caso de movimiento general plano K=
1 mGv G 2
1 2
+ Ι G ω2
Ecn 5.6 (Formu lario)
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Dinámica: Unidad 5: Cinética de los Cuerpos Rígidos
Observación 1; Cuando en un problema participan varios cuerpos rígidos, cada cuerpo rígido puede considerarse por separado y, el principio del trabajo y energía se aplica a cada cuerpo o, simplemente, sumar las energías cinéticas de todos los cuerpos y considerar el trabajo de todos las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.
Observación 2; Muchas veces se simplifi ca el análisis si se realiza con respecto al CIR (un eje de rotación). Así se puede aplicar la ecuación de energía para el caso de una rotación pu ra con respecto al CIR: K=
1 Ι CIR ω 2 2
A. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL DEL CUERPO RÍGIDO Para determinar la energía potencial gravitacional de un cuerpo se analiza el cambio en altura del centro d e masa. En el caso que haya más que un cuerpo, se suman las energías potenciales gravitacionales de cada uno.
B. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA (MOVIMIENTO GENERAL PLANO ) En el caso específico de la rodadura de una rueda sin deslizar (ver Figura 5.12), se conserva la energía mecánica, porque, aunque la rueda se desplaza en la dirección x,y existe una fuerza de roce en el punto de contacto entre la rueda y el piso, no hay desplazamiento relativo entre ellos y, por lo tanto, esta fuerza no hace trabajo.
x
CIR v = 0, dr = 0
f r Figura 5.12: Rueda en rodadura sin deslizamiento
62
