CATATAN KULIAH MATEMATIKA 'Diferensial'.docx

CATATAN KULIAH
KALKULUS DIFERENSIAL
Alexandro Leon
2016


Diferensial
Differensial berasal dari kata "Diffrent"(Bahasa Inggris) yang artinya beda atau selisih .Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

"f" adalah simbol dari fungsi.Fungsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebih"f" adalah simbol dari fungsi.Fungsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebihContoh Kasus Diferensial:
"f" adalah simbol dari fungsi.
Fungsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebih
"f" adalah simbol dari fungsi.
Fungsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebih
M dimana M adalah fungsi AM dimana M adalah fungsi AAyah memberikan uang saku pada Mahasiswa,sehingga apa yang diterima oleh Mahasiswa tergantung oleh Ayah. Maka jika diaplikasikan dalam bentuk matematika akan menjadi :
M dimana M adalah fungsi A
M dimana M adalah fungsi A
M=f(A)
Ket:
Mengapa ?Karena Ayah tidak terikat dan menjadi fungsi bagi mahasiswa.Mengapa ?Karena Ayah tidak terikat dan menjadi fungsi bagi mahasiswa.*Ayah (A) merupakan variabel bebas
Mengapa ?
Karena Ayah tidak terikat dan menjadi fungsi bagi mahasiswa.
Mengapa ?
Karena Ayah tidak terikat dan menjadi fungsi bagi mahasiswa.


Mengapa ?Karena jumlah uang yang diterima oleh Mahasiswa tergantung pada Ayah.Mengapa ?Karena jumlah uang yang diterima oleh Mahasiswa tergantung pada Ayah.
Mengapa ?
Karena jumlah uang yang diterima oleh Mahasiswa tergantung pada Ayah.
Mengapa ?
Karena jumlah uang yang diterima oleh Mahasiswa tergantung pada Ayah.
*Mahasiswa (M) merupakan Variabel Terikat

d Ad AMisalnya, jika terjadi perubahan pada uang saku yang di berikan oleh Ayah maka akan berbentuk seperti berikut:
d A
d A
Perubahan Pada f(A) menjadiPerubahan Pada f(A) menjadiM=f(A)
Perubahan Pada f(A) menjadi
Perubahan Pada f(A) menjadi

"d" adalah perubahan
Perubahan A menyebabkan perbuahan pada MPerubahan A menyebabkan perbuahan pada M*Sehingga dA dM
Perubahan A menyebabkan perbuahan pada M
Perubahan A menyebabkan perbuahan pada M

Perbandingan perubahan dari :
Koefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas dengan Variabel bebasVariabel tidak bebasVariabel bebas=dydxKoefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas dengan Variabel bebasVariabel tidak bebasVariabel bebas=dydxInilah yang disebut dengan koefisien diferensialInilah yang disebut dengan koefisien diferensial dA dM adalah dAdM
Koefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas dengan Variabel bebas
Variabel tidak bebasVariabel bebas=dydx
Koefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas dengan Variabel bebas
Variabel tidak bebasVariabel bebas=dydx
Inilah yang disebut dengan koefisien diferensial
Inilah yang disebut dengan koefisien diferensial











Rumus Dasar Koefisien Diferensial
Nomor
Fungsi (y=f(x))
Koefisien Diferensial
dydx
1
y=axn
dydx=a.n xn-1
2
y=lnf(x)
Dimana, ln=loge
e=2,7182
dydx=1f(x) .f'(x)
3
y=logax
dydx=1xlna
4
y=ef(x)
dydx=f'x. ef(x)
5
y=af(x)
dydx=f'x. anlna
6
y=sinx
dydx=cosx
7
y=cosx
dydx=-sinx
8
y=tanx
dydx=sec2x
9
y=sinhx

Sinh dibaca sinus hiperbolikus
dydx=coshx
10
y=coshx

Cosh dibaca cosinus hiperbolikus

dydx=sinhx

11

y=tanhx
Tanh dibaca tangen hiperbolikus
dydx=sech2x
12
y=sin-1x
dydx=11-x2
13
y=cos-1x
dydx=-11-x2
14
y=tan-1 x
dydx=11+x2
15
y=sinh-1 x
dydx=1x2+1
16
y=cosh-1x
dydx=1x2-1
17
y=tanh-1x
dydx=11-x2





Contoh dan Pembahasan
Contoh rumus ke-1:
Carilah Koefiseien Diferensial dari soal berikut:
y=2x3
Jawab :
dydx=3. 2x3-1
=6 x2
y=4 x12
Jawab :
dydx=4 . 12 x12-1
=2 x-12
=21x
y=20x2.x
Jawab :
y =20 x2.x12
=20 x52
dydx=20.52 x52-1
=50 x32
=50 x3


Ingat!Selalu perhatikan variabel yang digunakanSoal nomor 1 memakai variabel y dan z sehingga koef. diferensialnya menjadi dydzIngat!Selalu perhatikan variabel yang digunakanSoal nomor 1 memakai variabel y dan z sehingga koef. diferensialnya menjadi dydzContoh rumus ke-2 :
Ingat!
Selalu perhatikan variabel yang digunakan
Soal nomor 1 memakai variabel y dan z sehingga koef. diferensialnya menjadi dydz
Ingat!
Selalu perhatikan variabel yang digunakan
Soal nomor 1 memakai variabel y dan z sehingga koef. diferensialnya menjadi dydz
Diferensialkanlah :
y=lnz
Jawab :
dydz=1z

Ingat!y=lnf(x)dydx=1f(x) .f'(x)Ingat!y=lnf(x)dydx=1f(x) .f'(x)y=ln2x2+1
Ingat!
y=lnf(x)
dydx=1f(x) .f'(x)
Ingat!
y=lnf(x)
dydx=1f(x) .f'(x)
Jawab :
dydx=12x2+1. 2.2x2-1+0

=4x2x2+1
y=ln(x-2)2
Jawab :
Pertama selesaikan turunan dari (x-2)2
Misalkan p=(x-2)2, maka dpdx=2.(x-2)2-1. 1
= 2.(x-2)
=2x-4
Setelah memisalkan p=(x-2)2, maka:
y=lnp sehingga , dydp=1p


Setelah itu carilah dydx
dydx=dydp . dpdx
dydx=1p.(2x-4)
dydx=2x-4p=2x-4(x-2)2

Contoh rumus ke-3 :
Diferensialkanlah :
y=logaz

dydz=1z ln a

–

Contoh rumus ke-4 :
Diferensialkanlah :
y=ex
dydx=ex

y=e4x-50
dydx=4-0 . e4x-50
dydx=4 e4x-50

Koef. Differensial rumus ke-5Koef. Differensial rumus ke-5y=e2x+22x
Koef. Differensial rumus ke-5
Koef. Differensial rumus ke-5
dydx=2 e2x+2.22xln2



y=100 e(2x+1)2
dydx=100. 2(2x+1)2-1. 2.1 x1-1+1.0. e(2x+1)2
dydx=2002x+1. 2. e(2x+1)2
dydx=400 2x+1e(2x+1)2
y=(ax+b)ndydx=n (ax+b)n-1(a.1 x1-1+b.0)dydx=n (ax+b)n-1.ay=(ax+b)ndydx=n (ax+b)n-1(a.1 x1-1+b.0)dydx=n (ax+b)n-1.a
y=(ax+b)n
dydx=n (ax+b)n-1(a.1 x1-1+b.0)
dydx=n (ax+b)n-1.a

y=(ax+b)n
dydx=n (ax+b)n-1(a.1 x1-1+b.0)
dydx=n (ax+b)n-1.a








Contoh rumus ke-5
Diferensialkanlah :