Capitolul 4 Microeconomie-Stelian Stancu

Capitolul 4 Efectul de substituţie şi efectul de venit Prof. dr. Stelian STANCU

4.1. Funcţiile de utilitate indirectă şi de cheltuieli şi proprietăţile acestora 

Fie problema de optim: [max]U ( x)  x (4.1) pe restricţia de buget p x  p x V 2 2  1 1 din rezolvare se obţine cererea necompensată din cele două bunuri, şi anume: x1*  x1* ( p1 , p 2 , V ) x 2*  x 2* ( p1 , p 2 , V ) Înlocuind pe x1 şi x 2 în funcţia de utilitate directă U ( x1 , x 2 ) cu x1* şi x 2* , se obţin funcţia de utilitate indirectă u * ( p1 , p 2 , V ) , pentru cererea necompensată: U ( x1* , x2* )  u * ( p1 , p2 ,V ) (4.2) şi, respectiv, funcţia cheltuielilor: V * ( p1 , p 2 , V )  p1 x1* ( p1 , p 2 , V )  p 2 x 2* ( p1 , p 2 , V )  Fie problema de optim: [min]{ p1 x1  p2 x2 }  x1, x2  (4.3) pe restricţia: U ( x , x )  u 1 2   din care se obţine cererea compensată din fiecare bun: x1**  x1** ( p1 , p 2 , u ) x 2**  x 2** ( p1 , p 2 , u ) şi deci

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

152

- funcţia de utilitate indirectă, u ** ( p1 , p 2 , u ) , pentru cererea compensată. - funcţia cheltuielilor, cu: V ** ( p1 , p 2 , u )  p1 x1** ( p1 , p 2 , u )  p 2 x 2** ( p1 , p 2 , u )

(4.4)

Proprietăţi ale funcţiei cheltuielilor V ** ( p1 , p 2 , u ) 

Proprietăţi ale funcţiei V ** ( p1 , p 2 , u ) P1 ) Funcţia de cheltuieli V ** ( p1 , p 2 , u ) este omogenă de grad 1 în

preţuri V ** (kp1 , kp2 , u )  kV ** ( p1 , p2 , u ) .

P2 ) Funcţia cheltuielilor V ** ( p1 , p 2 , u ) este crescătoare în u V ** ( p1 , p2 , u1 )  V ** ( p1 , p2 , u ) , cu u1  u V ** ( p1 , p 2 , u ) 0 u

sau

(4.5)

P3 ) Funcţia cheltuielilor este concavă în vectorul preţurilor: Fie - p  ( p1 , p 2 ) pentru care V ** ( p1 , p 2 , u ) reprezintă venitul minim necesar obţinerii nivelului de utilitate u ; - p'  ( p1 , p 2 ' ) pentru care V ** ( p1, p2 , u ) reprezintă venitul minim necesar obţinerii nivelului de utilitate u ;









- p1" , p 2"    p1 , p 2   1    p1' , p 2' pentru care V ** ( p1, p2, u ) reprezintă venitul minim necesar obţinerii nivelului de utilitate u ; cu  [0,1] Atunci: V ** ( p1, p 2 , u )  V ** ( p1 , p 2 , u )  (1   )V ** ( p1' , p 2' , u )

(4.7)

Capitolul 4. Efectul de substituţie şi efectul de venit

153

P4 ) Lema Shephard Alegerea optimă de tip Hicks este egală cu derivata funcţiei cheltuielilor minime în raport cu preţul bunului, adică: xi** ( p1 , p 2 , u ) 

V ** ( p1 , p 2 , u ) , i  1,2 p i

(4.8)

P5 ) Funcţia cheltuielilor V ** ( p1 , p 2 , u ) este crescătoare în raport cu preţul fiecărui bun şi este strict crescătoare numai dacă: x** i (p1 ,p 2 ,u )  0 , () i  1,2.

Proprietăţi ale funcţiei de utilitate indirectă:

P1 ) Utilitatea marginală indirectă în raport cu venitul V este egală cu multiplicatorul Lagrange: u * ( p1 , p 2 ,V )  V

(4.10)

P2 ) Utilitatea marginală indirectă în raport cu preţul unui anumit bun se calculează după relaţia: * u * ( p1 , p 2 , V ) 2 U ( x1 , x 2 ) x j ( p1 , p 2 , V )    j 1 p i x j pi

2

x *j ( p1 , p 2 ,V )

j 1

pi

   pj

(4.11)

P3 ) Identitatea lui Roy: u * ( p1 , p 2 , V )  xi* ( p1 , p 2 , V ) , i  1,2 p i cu:  

u * ( p1 , p 2 , V ) .0 V

(4.12)


154

4.2. Efectul de substituţie şi efectul de venit de tip Slutsky Presupunând că preţul bunului 1 scade, dreapta de buget se va deplasa la dreapta, ca în figura următoare: x2 V dreapta iniţială a bugetului p2 noua dreaptă a bugetului V A B p2 C ES

0

EV

V p1

V p1

V p1

x1

Figura 4.4. Efectul de substituţie şi efectul de venitde tip Slutsky

Alegerea optimă iniţială: punctul A( x1* , x 2* ) , unde x1* ( p1 , p 2 , V ) şi x 2* ( p1 , p 2 , V ) . Presupunem că p1  p1 . Fie V  venitul ce păstrează nemodificată puterea de cumpărare iniţială: V   p1 x1* ( p1 , p 2 , V )  p 2 x 2* ( p1 , p 2 , V ) (4.13) Definiţia 4.1. Numim efect de substituţie de tip Slutsky modificarea cererii marshalliene din bunul i , ca urmare a modificării preţului bunului i sau al unui alt bun din pachetul de bunuri, în condiţiile în care puterea de cumpărare rămâne nemodificată (adică rămâne cea optimă iniţială). Pentru bunul 1: *xS1  x1* ( p1 , p 2 ,V )  x1* ( p1 , p 2 ,V ) (4.14) ES A  C *  Punctul C este de coordonate x1 ( p1 , p 2 , V ), x 2* ( p1 , p 2 , V ) .





Definiţia 4.2. Numim efect de venit de tip Slutsky modificarea cererii marshalliene din bunul i , ca urmare a modificării venitului nominal, preţul fiind cel nou. Pentru bunul 1:


155

x1*V  x1* ( p1 , p 2 , V )  x1* ( p1 , p 2 , V ) EV C  B, cu B de coordonate: * B x1 ( p1 , p 2 , V ), x 2* ( p1 , p 2 ,V ) Efectul total de tip Slutsky va fi pentru bunul 1:





x1*  x1*S  x1*V  x1* ( p1 , p 2 ,V )  x1* ( p1 , p 2 ,V ) sau grafic: ES EV A  C  B

ET (efectul total) 

(4.15)

Ecuaţia lui Slutsky pe caz continuu temă

Ecuaţia generalizată a lui Slutsky [max]U ( x)  x C.N.O. pentru problema pe restricţia de buget sunt date de: p x  p x V 2 2  1 1  U ( x1 , x 2 )  pi , i  1,2  xi  p x  p x V 2 2  1 1 Diferenţiem fiecare ecuaţie a ultimului sistem în jurul punctului de optim: d [U i ( x1 , x2 )  pi ]  0, i  1,2  d [V  p1 x1  p2 x2 ]  0 U cu U i ( x1 , x2 )  xi

 2 ij  U ( x1 , x2 )dx j  pi d  dpi  0, i  1,2  j 1 de unde:  2 dV  [ x dp  p dx ]  0  i i i i  i 1  2U ( x1,x2 ) ij unde: U ( x1,x2 )  , i,j  1,2. x1x2

(4.16)


156

Forma matriceală a sistemului este: U H  p T   dx  I 2 0  dp T   (4.17)      T   1  dV  0  d   x  p unde: x   dx  x   1 , dx   1  , p  ( p1 , p 2 ), dp  (dp1 , dp 2 ) ,  =scalar, V = scalar  x2   dx 2  U H = matricea hessiană a funcţiei de utilitate, cu

UH

  2U ( x)  x 2   2 1  U ( x)   x 2 x1

 2U ( x)   x1x 2   2U ( x)   x 22 

U H Notând cu A    p

 pT   , soluţia ecuaţiei matriceale este: 0 

I 2  dx  1  d   A  xT   

0  dpT     1  dV 

(4.17’)

cu condiţia ca matricea A să fie inversabilă. Determinarea matricei A 1 prin metoda Frobenius-Shurr: B a - fie matricea A 1 de forma: A 1    b c unde, B - matrice pătratică; a - vector coloană; b - vector linie; c - scalar.  I 2 0 2,1  - Din relaţia A  A 1   , cu 0 i, j reprezentând matricea cu i linii 1  01, 2 şi j coloane (cu elemente nule), avem:


U H   p

 p T  B a  I 2   0   b c  01, 2

157

0 2,1  1 

sau, mai mult: U H B  p T b  I 2  H T U a  p c  0 2,1   01, 2  pB  pa 1  sau echivelent:

 B  (U H ) 1 p T b  (U H ) 1  H 1 T a  (U ) p c  H 1 T H 1  p(U ) p b  p (U )  01, 2  p(U H ) 1 p T c  1  cu soluţiile: 1  c  p (U H ) 1 p T   (U H ) 1 p T a   p  (U H ) 1 p T   H 1 b   p(U )  p(U H ) 1 p T  T H 1  B  (U H ) 1  I  p p (U )   2   p (U H ) 1 p T   

(4.18)

Observaţii: 1) B  (U H ) 1   I 2  pT  b  2) Din a  b T , avem:

 dx   B b T  I 2  T d       b c  x

0  dp T   B b T   dp T          1  dV   b c   x T dp T  dV 

unde: dx – reprezintă modificarea cererii din fiecare bun ca urmare a schimbării preţului fiecărui bun şi de asemenea a venitului consumatorului;


158

d – modificarea preţului umbră ataşat restricţiei de buget.

dx  BdpT  bT ( x T dp T  dV )

Relaţia:

(4.19)

reprezintă ecuaţia generalizată a lui Slutsky, cu - efectul de substituţie: dx S  BdpT

(4.19’)

- efectul de venit: dx V  b T ( x T dp T  dV )

(4.19’’)

4.3. Efectul de substituţie şi efectul de venit tip Hicks - efectul de substituţie de tip Hicks pune în evidenţă modificarea cererii dintr-un bun ca urmare a modificării preţurilor bunurilor, păstrând nemodificat nivelul de utilitate corespunzător alegerii optime iniţiale. Presupunm o reducere a preţului bunului 1 la p'1  p1 .

x2 V p2

dreapta iniţială a bugetului noua dreaptă a bugetului

V p2

A

B C

ES 0

EV V p1

V p1

V p1

x1

Figura 4.5. Efectul de substituţie şi efectul de venit de tip Hicks

Concluzie: Efectul total de tip Slutsky este egal cu efectul total de tip Hicks.


159

În funcţie de poziţia celor trei puncte, A, C şi B, faţă de axa 0x1 , avem clasificare a bunurilor: - bun normal este acela pentru care scăderea preţului său duce la creşterea cererii din acel bun atât ca urmare a efectului de substituţie, cât şi ca urmare a efectului de venit; x2 B bun Giffen bun inferior V p2





B A

V p2

bun normal C  B ES

0

V p1

V p1'

V p1'

x1

Figura 4.6. Categorii de bunuri după cele două efecte, în funcţie de poziţionarea punctului optim B

- bun inferior este acela pentru care scăderea preţului său duce la o creştere a cererii, ca urmare a efectului de substituţie, şi la scăderea cererii din acelaşi bun, consecinţă a efectului de venit, efectul total fiind totuşi pozitiv; - bun Giffen este acela a cărui cerere creşte ca urmare a scăderii preţului său, ca urmare a efectului de substituţie, si de asemenea scade cererea din acelaşi bun ca urmare a efectului de venit. Observaţie: Orice bun Giffen este un bun inferior. Reciproca este falsă.


160

4.4. Exemple de efect de substituţie şi efect de venit de tip Slutsky, în funcţie de natura preferinţelor. Legea cererii pentru un bun normal temă a1 ) Cazul bunurilor perfect substituibile

x2 C noua dreaptă a bugetului p1  p 2 iar p'1  p2 V p2

B

dreapta iniţială a bugetului EV=0 ES 0

A V p1

V p1

x1

Figura 4.7. În cazul bunurilor perfect substituibile



V

nu există efect de venit x1*  0

Efectul de substituţie este dat de segmentul [A0]. Efectul de venit este zero.




161

a 2 ) Cazul bunurilor perfect complementare x2 noua dreaptă a bugetului V' p2

V p2

A C B

p'1  p1 , ES=0 dreapta iniţială a bugetului

EV 0 V p1

V' p1

V p1

x1

Figura 4.8. În cazul bunurilor perfect complementare nu există efect de substituţie

Efectul de substituţie este nul. Efectul de venit este de la C la B. Propoziţia 4.1. (Legea cererii pentru un bun normal sau teorema fundamentală a opţiunii consumatorului) Dacă la o creştere a venitului consumatorului cererea dintr-un bun creşte, atunci cererea din acel bun va scădea atunci când preţul său va creşte. - pentru un bun normal: x1  x1S  x1V (-) (-) (-)

4.5. Variaţia compensatorie (VC) şi variaţia echivalentă de venit (VE) Fie un consumator cu:. xi - cantitatea consumată din bunul i, i=1,2;

162


p  ( p1 , p2 ) vectorul preţurilor V – venitul său. Presupunem că p1 < p'1 - funcţiile de cerere marshalliană: - pentru starea iniţială: xi*  ( p1 ,p 2 ,V ) , i  1,2

- pentru starea finală: xi*  ( p '1 ,p 2 ,V ) , i  1,2

Definiţia 4.3. Numim variaţie compensatorie de venit (VC) modificarea venitului unui consumator în condiţiile în care se modifică vectorul preţurilor bunurilor, utilitatea rămânând cea optimă iniţială ( u1 ): VC  V ** ( p, u1 )  V ** ( p' , u1 )

(4.21.a)

sau ca acea schimbare în venit necesară a menţine nivelul de utilitate optim iniţial nemodificat, în condiţiile în care se modifică vectorul preţurilor bunurilor: u * ( p, V )  u * ( p ' , V  VC )  u1

(4.21.b)

Definiţia 4.4. Numim variaţie echivalentă de venit (VE) acea modificare a venitului unui consumator în condiţiile în care se modifică vectorul preţurilor bunurilor, utilitatea fiind cea optimă din starea finală ( u '1 ) VE  V ** ( p, u '1 )  V ** ( p ' , u '1 )

(4.22.a)

sau ca acea schimbare în venit necesară pentru a face ca utilitatea obţinută când preţul este p ' şi venitul V să fie aceeaşi cu cea obţinută atunci când preţul este p şi venitul tot V.


163

4.6. Alegerea optimă între timpul pentru muncă şi timpul liber la nivelul consumatorului (gospodăriei) Presupunem: -

o gospodărie reprezentativă;

-

funcţia de utilitate: [max]U (C , L) C ,L

unde: C - reprezintă cantitatea consumată la nivelul gospodăriei respective dintr-un bun sau vectorul cantităţilor consumate din pachetul de bunuri; L - reprezintă timpul destinat producerii bunului respectiv. C curba de indiferenţă a utilităţii

L (ore) T (timpul total din perioada analizată) Figura 4.11. Reprezentarea grafică a curbei de indiferenţă

U (C , L)  U , cu U dat

Restricţia problemei este: pC  wL  C 0

164


Rezolvarea problemei: [max]U (C , L)  C , L pe restricţia de buget:  pC  wL  C 0  se realizează cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange:

(4.23)

- fie L(C , L, ,  )  U (C , L)   ( w L  C 0  pC ) Condiţiile de ordinul 1 sunt:  L  U  U  0   p  0  C  C  C  p,   0     L  U  U  w  0    w  0   L  L  L  L  pC  wL  C  pC  w L  C 0 0  0       sau, altfel scris:

 U  L w  U   p   C  pC  wL  C 0  Din rezolvarea sistemului (4.24) se deduc C * , L* şi, de asemenea, * . Observaţie: Notând cu T – timpul total într-o perioadă de analiză, iar cu R – timpul pentru repaus avem că: T  L  R , de unde L  T  R . Problema de optim devine: [max]U (C , L)  C ,L  pe restrictia de buget  pC  wR  wT  C 0  şi soluţia este (C * , R * ) , după care se poate afla L* .

(4.24)

(4.24’)

Capitolul 4 Microeconomie-Stelian Stancu

Recommend Documents