CALCULO DEL CENTRO DE MASA DE UN SOLIDO APLICANDO I NTEGRALES TRIPLES
I.
INTRODUCCION
La presen presente te invest investig igaci ación ón dirig dirigida ida al campo campo de la ingen ingenier iería ía civil civil aplic aplica a herramie herramientas ntas de la matemátic matemática a Como la integral integral triple como estrategia estrategia de solución para el cálculo del del centro de masa de un sólido, sólido, siendo este este el asunto central de la investigación. investigación.
Es muy importante el conocimiento de la posición del centro de masa en la ingeniería civil principalmente en el diseño de estructuras, por ejemplo para el diseño de estructuras antisísmicas: el Centro de masa nos permite conocer el eecto de los vientos al chocar contra la estructura! para el diseño de una repres represa: a: el centro centro de masa masa nos nos permi permite te evitar evitar el volcam volcamien iento to de la presa presa causado por la uer"a del agua! para el diseño de ediicios: el centro de masa nos permite sa#er dónde y cómo diseñar y una columna! para el diseño de casas: el centro de masa nos permite sa#er dónde dónde u#icar una columna! columna! y para el diseñ diseño o de voladi voladi"os "os:: el centro centro de masa masa nos nos permit permite e sa#er sa#er la distan distancia cia má$ima del voladi"o.
II.
FUNDAMENTO TE TEÓRICO Centro de masa: Es el punto geom%trico en el cual es sólido esta en e&uili#rio esta#le. 'ea un sólido en
3
R y ρ : S ⊂ R
3
⟶ R
( x , y , z )
una unción continua so#re ' y &ue
ρ ( x , y , z )
⟶
(eine la densidad del solido ' en cada punto )$,y,"* (einimos: +. La masa masa total total del del solid solido o está está dado dado por por
∭ ρ ( x , y , z ) dv
m=
∈
'.
. Los momentos de masa respecto a los planos coordenados del solido ' con unción de densidad
ρ : S ⊂ R
3
⟶ R
, son:
∭ z ρ ( x , y , z ) dv
M xy =
∭ yρ ( x , y , z ) dv
M x z =
∭ xρ ( x , y , z ) dv
M yz =
-. El centro de masa del solido ' es el punto
´ = M z y X m
´= Y
,
M xz m
( x , y , z )
,
, donde:
´ = M xy Z m
#servaciones: /ara hallar el centro de masa tener en cuenta todas las simetrías posi#les +. 'i el sólido ' es sim%trico respecto al plano 01 y
ρ ( x , y ,− z )= ρ ( x , y , z )
´ =0 , similar caso ocurren con los otros planos coordenados. Z
entonces
. 'i el solido es sim%trico con respecto al eje 0 y
ρ ( x , − y , − z ) = ρ ( x , y , z )
´ = Z ´ =0 . 2 resultado similar se cumplen para los otros ejes Y
entonces
coordenados.
III.
PROBLEMA Calcular el centro de masa de un solido. 'e desea construer una 3uente de agua ormadas por el para#oloide 2
2
x + y =Z
y el cono
2
2
2
x + y =Z . Encontrar el centro de masa del
solido dentro del para#oloide y uera del cono. La densidad del volume es constante.
IV.
OBJETIVO •
Calcular el centro de masa del solido aplicando la integral triple
V.
METODOLOGIA
4ipotesis: El centro de masa de un solido es su punto geometrico de e&uili#rio si la densidad de su volumen es constante.
•
Como metodo de estrategia emplearemos la integral triple par solucionar el pro#lema.
'e desea construer una 3uente de agua ormadas por el para#oloide 2
2
x + y =Z
y el cono
2
2
2
x + y =Z . Encontrar el centro de masa del
solido dentro del para#oloide y uera del cono. La densidad del volume es constante.
'olucion /lanteamiento del pro#lema
´ =( X ´ , ´Y , ´Z ) , &ue es centro de gravedad del solido C
•
'e pide hallar
•
'. Como datos se o#tienen las supericies: 2
2
S 1: x + y = Z
S 2: x
2
1 la densidad ρ ( x , y , z )= K
/asos a seguir +. 5raicar el solido :
2
2
+ y = Z
6l intersecar
z = z
2
⟺ z
2
S 1 ∩ S 2 se hace:
− z =0
z ( z − 1 ) =0 z =0 , z =1 2 2 /ara z =1 , se o#tiene: x + y =1
•
Como el solido ' &ue aparece en el graico es simetrico respecto al eje 7 , entonces
•
'olo hallemos
´ =Y ´ =0 X
´ : Z = M xy Z m
(onde: a*
∭ Kdv
m=
como en las dos ecuaciones de las supericies &ue limitan el solido ', aparecen : x
2
+ y 2
, entonces aplicar coordenadas
cilindricas:
{
X =r cos θ Y =r sin θ Z = Z
El jaco#iano es 89r
2
2
x + y =Z se convierte en
r
2
= Z
x
2
2
2
+ y =Z
se convierte en
2
r = z
2
r = z
•
La nueva region so#re la cual se integra es , donde 2
Q=[( r , θ , z )/ r ≤ z ≤ r , 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π ]
Entonces:
2 π 1
r
∫ ∫∫ krdzdrdθ
m=
0
0
2 π 1
r
2
r
¿ k ∫∫ ∫ r ( r − r 2) dr dθ 0
0
r
2
2 π 1
¿ k ∫∫ ( r 2 −r 3) dr dθ 0
0
2 π 1
¿ k ∫∫ ( 0
¿
1 k
0
3
4
− r ) r =1 dr dθ 3 4 r= 0
r
2 π
1 dθ= kπ ∫ 12 6 0
•
El momento con respecto al plano 01 es:
∭ z k dv
M xy =
2 π 1
r
¿ k ∫ ∫∫ z r dz dr dθ 0
2
0
r
2 π 1
r
¿ k ∫ ∫∫ r 0
0
r
2 π 1
2
[ ] == z
2
z r dz dr dθ 2 z r 2
1
¿ k ∫ ∫ r ( r 2−r 4) dr dθ 0
1
2
0
2 π 1
¿ k ∫∫ ( r 3− r 5) dr dθ 2
0
0
2 π
[
4
6
]
¿ k ∫ ( − ) r =1 dθ 2 0 4 6 r =0 1
¿
1 24
•
r
r
2 π
∫ θ dθ = 121 kπ
k
0
Luego
, 1
´= Z
12 1 6
•
kπ
=
kπ
1 2
´ =(0,0,1 / 2) C
6nálisis de resultados: •
Luego de eectuar el cálculo del centro de masa del solido empleando para ello la integral triple. #tuvimos las coordenadas en el espacio tridimensional
•
VI.
´ =(0,0,1 / 2) C &ue nos da la u#icación del punto de
e&uili#rio geom%trico del solido o centro de masa. /odemos airmar &ue el centro de masa de un solido es su punto geometrico de e&uili#rio si la densidad de su volumen es constante.
CONCLUSIONES: •
'e calculo en centro de masa del solido aplicando la integral triple y se o#tuvo como respuesta la u#icación de su centro de masa en coordenadas
´ =(0,0,1 / 2) C .
•
VII.
El centro de masa de un solido es su punto geometrico de e&uili#rio si la densidad de su volumen es constante.
BIBLIOGRAFÍA:
;
L676<, análisis matemático III calculo vectorial. -ra ed. Lima: =oshera '.<.L. >+. ?@?p. I'AB B D@FDDF@+-F?>F-.
;
=IG6C =E76 =.: HCálculo III Edit. 'an =arcos, Lima,
+DD@.
